formation des images dans l'approximation de gauss

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CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS
L’APPROXIMATION DE GAUSS
I. INTRODUCTION
A l’aide des lois décrivant le comportement de la lumière dans l’approximation de l’optique
géométrique, nous allons maintenant nous intéresser au comportement d’ensemble des rayons
lumineux. Notre but est d’étudier la convergence des rayons lumineux issus d’une source lumineuse
1 , i.e. la formation des images. Nous étudierons les images formées par des miroirs et des lentilles
minces avec pour objectif de traiter dans le chapitre suivant leurs nombreuses applications aux
instruments d’optiques.
II. IMAGES EN OPTIQUE GEOMETRIQUE
1) Stigmatisme d’un système optique
Un instrument d’optique est composé d’un système optique provoquant la convergence des rayons
lumineux (miroir, lentille ou ensemble de miroirs et de lentilles) et d’un détecteur qui peut être un
écran, un œil, une plaque photographique, une caméra CCD …
Lorsque l’ensemble des rayons lumineux émis par un point objet A converge en un point A′ du
détecteur, A′ est appelé image de A , on dit aussi que l’instrument est stigmatique 2 pour le couple
de points AA′ (figure 8.1.a.). En vertu du principe de retour inverse, le système optique donnera
d’un point objet placé en A′ une image en A . Pour cette raison, les deux points sont dits conjugués
l’un de l’autre. Une relation de conjugaison permet de trouver l’un en connaissant l’autre.
Le stigmatisme d’un système optique est dit rigoureux si l’image d’un objet ponctuel est un point.
En pratique, l’image est toujours dégradée par rapport à l’objet, le stigmatisme d’un système
optique n’est donc pas rigoureux. Mais le caractère granulaire du récepteur nous permettra tout de
même de considérer le système optique comme stigmatique : si l’image d’un objet ponctuel a une
dimension inférieure au « grain » du récepteur (cônes et bâtonnets de la rétine, cristal photosensible
de la pellicule photographique, pixel de la caméra CCD …), tout se passera comme si l’image était
ponctuelle.
Remarque :
D’après le principe de moindre temps, tous les rayons issus du point objet doivent voyager de A à
A′ en une même durée minimale.
2) Image réelle, image virtuelle
Les définitions données dans le paragraphe précédents sont valables pour un système optique à la
sortie duquel les rayons issus d’un objet ponctuel convergent : une telle image est dite réelle.
Nous pouvons les généraliser au cas où les rayons sortants divergent : l’image virtuelle est alors le
point de convergence du prolongement arrière des rayons (figure 8.1.b.). Contrairement au cas
d’une image réelle, une telle image, en amont du système optique (ou dans le système optique), ne
peut pas être recueillie sur un écran.
1
cette source peut être primaire , i.e. émettre de la lumière (soleil, ampoule), ou secondaire , i.e. diffuser de la lumière
reçue d’une source primaire (objet éclairé).
2
du grec stigma : « pointe »

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A système optique A’ A A’
Figure 8.1.a. : Image réelle Figure 8.1.b. : Image virtuelle
3) Exemple du miroir plan
Considérons un point objet placé à une distance AH d’un miroir plan (figure 8.2.). La situation
possédant une symétrie de révolution par rapport à l’axe (AH), nous restreindrons notre étude à un
plan contenant cet axe, la situation générale en trois dimensions s’en déduisant par rotation autour
de l’axe (AH). Cette symétrie impose donc à l’image de A de se trouver sur l’axe (AH).
⊕
Figure 8.2. : Miroir plan
Les lois de Descartes de la réflexion permettent de tracer un rayon quelconque réfléchi par le
miroir. Le triangle AIA′ est isocèle de base 2d : les prolongements de tous les rayons issus de A et
réfléchis par le miroir passent donc par le point A’ : A’ est le point conjugué de A (c’est une image
virtuelle) et le miroir plan est un système optique rigoureusement stigmatique.
La relation de conjugaison du miroir plan s’écrit :
HA + HA′ = 0
(les distances algébriques sont positives lorsqu’elles sont mesurées dans le sens de propagation de
la lumière incidente).
Remarquons que la relation de conjugaison reste valable dans le cas d’un objet virtuel réalisable en
éclairant le miroir avec des rayons convergents (figure 8.3.). L’image A’ est alors réelle.
⊕
Figure 8.3. : Image réelle d’un objet virtuel
4) Cas des objets étendus, grandissement
A
i
-i
A’
système optique
Chacun des points d’un objet étendu (i.e. non ponctuel) émet de la lumière, l’image d’un objet
étendu s’obtient en construisant l’image de chaque point, ou lorsque cela est possible de certains
points particuliers.
H
I
H
-i
A
A’

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Exemple :
Dans le cas de l’image d’un objet rectiligne AB donnée par un miroir plan, le tracé de l’image
s’obtient comme en figure 8.4.
A
B
Figure 8.4. : Construction de l’image d’un objet étendu donnée par un miroir plan
On appelle grandissement du système optique et on note γ le rapport algébrique de la taille de
l’image sur la taille de l’objet :
AB ′ ′
γ ≡
AB
Exemple :
Dans le cas du miroir plan, γ = AB ′ ′ AB=+
1,
l’image est donc « droite » (i.e. non-renversée) et de
même taille que l’objet.
III. INTRODUCTION AUX ABERRATIONS : L’EXEMPLE DU DIOPTRE PLAN
1) Aberrations géométriques et stigmatisme approché
Nous savons depuis le lycée qu’un dioptre plan n’est pas un système optique stigmatique.
Considérons en effet un seau rempli d’eau dans le fond duquel est posé une bille: l’image (virtuelle)
de la bille est différente pour différents observateurs 3 (figure 8.5.) . Tous les rayons lumineux issus
de l’objets ne convergent donc pas en une image unique : c’est le phénomène d’aberrations
géométriques.
O1
A′
2
A′
1
Figure 8.5. : Dioptre plan
Ceci est bien visible si l’on demande à un logiciel de tracer plusieurs images issues d’un objet
ponctuel plongé dans l’eau (figure 8.6.a.), en faisant varier l’angle d’incidence sur le dioptre de 0 à
40°. Si on fait varier l’angle d’incidence sur une plage plus faible, de 0 à 20°, la séparation entre les
différentes images s’amenuise (figure 8.6.b.). Enfin, lorsque la plage de variation de l’angle est 0° -
3 là encore, la symétrie de révolution du problème permet de connaître l’axe sur lequel se trouvent les images.
H
I
A
B’
A’
O2

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air
air
air
eau
eau
eau
i
A’
A
A
A
Figure 8.6.a. : Dioptre air-eau, rayons issus d’un objet A
Figure 8.6.b. : Dioptre air-eau
Figure 8.6.c. : Dioptre air-eau
i ∈ [ 0, 40°
] (échelle horizontale dilatée)
i ∈ [ 0, 20°
] (échelle horizontale dilatée)
i ∈ [ 0,10°
] (échelle horizontale dilatée)
Figure 8.6. : Aberrations géométriques et stigmatisme approché dans le cas du dioptre plan

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10°, la séparation entre les images n’est plus perceptible : le dioptre plan présente donc un
stigmatisme approché restreint aux petits angles (figure 8.6.c.).
Remarque :
Ce domaine de validité du stigmatisme du dioptre plan coïncide avec l’approximation géométrique
sin i tan i i i en radian
des petits angles, dans laquelle : ( )
2) Aberrations chromatiques
Nous avons vu au chapitre précédent que, dans un milieu dispersif, l’indice optique dépend de la
longueur d’onde. Dans le cas d’un dioptre plan dans son domaine de stigmatisme approché, et plus
généralement pour un système optique quelconque dans ces conditions, il y a donc une image par
longueur d’onde: c’est le phénomène d’aberrations chromatiques (figure 8.7.).
A′
A
R A′ J A′B
i
Rouge
Jaune Bleu
air n = 1
verre n > n > n
B J R
Figure 8.7. : Aberrations chromatiques dans le cas du dioptre plan
IV. MIROIRS SPHERIQUES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS
1) Miroirs
Un miroir est une surface à fort pouvoir réfléchissant, réfléchissant plus de 50% de l’énergie
lumineuse incidente. Il est réalisé en déposant par évaporation sous vide une fine couche métallique
(aluminium, argent ou or).
Un miroir sphérique est un miroir réalisé à partir d’une portion de sphère, le rayon algébrique
R ≡ SC de la sphère est appelé rayon de courbure du miroir (C est le centre de la sphère, et l’axe
est orienté dans le sens de propagation de la lumière incidente). Selon que le côté intérieur ou
extérieur de la sphère est recouvert d’une couche réfléchissante, le miroir sphérique est dit concave 4
ou convexe (figures 8.8.).
4 « cave » = creux
⊕
C
S
S C
Miroir concave
Miroir convexe
(R0)
Figure 8.8. : Miroirs sphériques

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2) Approximation de Gauss
Comme dans le cas du dioptre plan, un miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique : à
cause d’aberrations géométriques, un objet ponctuel n’admet pas d’image ponctuelle, i.e. il n’existe
pas de relation de conjugaison (figure 8.9.a.). Mais, lorsque nous restreignons l’ensemble des
rayons incidents à de faibles incidences, nous constatons que le miroir sphérique présente un
stigmatisme approché (figure 8.9.b.). Nous n’avons pas à nous inquiéter des aberrations
chromatiques, les indices optiques n’intervenant pas dans les lois de la réflexion.
A
Figure 8.9.a. : Astigmatisme d’un miroir sphérique
convexe
S
Figure 8.9.b. : Stigmatisme approché du même miroir
Lorsqu’un système optique quelconque présente une symétrie de révolution (dont l’axe est appelé
axe optique), on généralise la condition des petits angles par la condition des rayons paraxiaux,
aussi appelée approximation de Gauss :
Un système optique centré présente un stigmatisme approché si les rayons incidents sont paraxiaux,
i.e. peu inclinés par rapport à l’axe optique et peu éloignés de l’axe optique.
En pratique, on empêche les rayons indésirables de nuire à la ponctualité de l’image en
diaphragmant le faisceau incident (figure 8.10.). On réduit de fait inévitablement la luminosité de
l’image.
A
Figure 8.10. : Réalisation pratique d’une image ponctuelle avec un miroir sphérique concave
3) Première relation de conjugaison
C
Plaçons nous dans l’approximation de Gauss et montrons qu’il existe une relation de conjugaison
univoque permettant de trouver la position de l’image en fonction de celle de l’objet (figure 8.11.).
A
I
S
C S
A’
A’
C

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α π , IH SC
⊕
⊕
⊕
Figure 8.11. : Notations et orientations utilisées pour montrer la relation de
conjugaison du miroir sphérique
Comme α π , sinα tanα
α d’où AI AH , les points H et S sont confondus au premier
ordre. Les sommes des angles dans les triangles AIC et A’IC sont égales à π :
α − i+ π − ω = π ⇒ α = i+
ω
π − α′ + j+ ω = π ⇒ α′ = j+ ω =− i+
ω
Il vient, en sommant ces deux relations :
2ω = α′ + α
Dans l’approximation des petits angles, les angles sont assimilables à leur tangente :
HI HI HI
2 = +
CS A′ S AS
soit, en simplifiant par HI et en multipliant par –1 :
1 1 2
+ =
SA′ SA R
Nous avons donc montré que, dans les conditions de Gauss, il existe une et une seule image A′
associée à un point objet A situé sur l’axe optique. Cette relation reste valable pour les miroirs
sphériques convexes ainsi que pour des objets virtuels, à condition de respecter les conventions
algébriques. Remarquons que nous retrouvons la relation de conjugaison du miroir plan en faisant
tendre le rayon de courbure du miroir vers l’infini.
4) Foyers principaux
a. Foyer principal image, vergence
Par définition, le foyer principal image d’un miroir, noté F′, est l’image d’un point situé à l’infini
sur l’axe optique (figure 8.12.). Il vient, d’après la relation trouvée dans le paragraphe précédent, en
faisant tendre SA vers −∞ :
f ′ ≡ SF′ = R 2
Le foyer principal image est donc situé à mi chemin entre S et C. La distance f ′ est appelée
distance focale du miroir, un système optique de distance focale positive (i.e. pour un miroir R > 0,
donc concave) est dit convergent, un miroir de distance focale négative (i.e. pour un miroir R < 0,
donc convexe) est dit divergent.
En fonction de la distance focale du miroir sphérique, la première relation de conjugaison devient :
1 1 1
+ =
SA′ SA f ′
A la place de la distance focale, les opticiens utilisent souvent la vergence, définie comme l’inverse
de la distance focale :
i
A’

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1
V ≡ qui s’exprime en m
f ′ -1 , ou dioptries (δ ).
b. Foyer principal objet
Le foyer principal objet F du miroir est par définition la position d’un objet ponctuel sur l’axe
optique ayant son image à l’infini. En vertu du principe de retour inverse de la lumière, F et F′
sont confondus.
5) Deuxième relation de conjugaison : Grandissement du miroir sphérique
Pour déterminer la position de l’image d’un point situé en dehors de l’axe optique, nous avons
besoin d’une deuxième relation. Dans l’approximation de Gauss, nous savons qu’il existe une
image unique B′ d’un point B : il nous suffit donc de trouver le point d’intersection de deux rayons
particuliers réfléchis par le miroir pour obtenir la position de cette image.
Par définition du foyer principal image, le rayon issu de B et parallèle à l’axe optique est réfléchi en
direction de F′. De plus, le rayon issu de B et passant par le centre de courbure du miroir sphérique
C frappe le miroir avec un angle d’incidence nul : il est donc réfléchi en direction de C (figure
8.13.).
⊕
vers A
⊕
⊕
B
A
Figure 8.12. : Foyer principal image
α
Figure 8.13. : Construction de l’image d’un point en dehors de l’axe optique
Les triangles CAB et CA′ B′
étant semblables, le grandissement du miroir sphérique s’écrit :
C
α
A’
B’
C
F’
S
S

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vers B
vers A
α
AB ′ ′ CA′
γ ≡ =
AB CA
C’est la deuxième relation de conjugaison. Dans l’exemple de la figure 8.13., le grandissement est
négatif (l’image est renversée) et inférieur à 1 (l’image est plus petite que l’objet).
Remarquons enfin que, lorsque nous faisons tendre la distance SA vers −∞ en maintenant l’angle
α constant 5 , A′ tendra vers F′ et B′ se trouvera dans un plan perpendiculaire à l’axe optique et
passant par F′, nommé plan focal image du miroir, constitué par l’ensemble des foyers images
secondaires, images des points situés à l’infini en dehors de l’axe optique (figure 8.14.). On a
alors :
⊕
⊕
⊕
AB ' '=− α f'
C
Plan focal
image
A’=F’
α
B’
Figure 8.14. : Plan focal image
6) Modélisation des miroirs sphériques
Dans l’approximation de Gauss, comme nous l’avons vu au paragraphe 3, les surfaces utilisées des
miroirs sont assimilables à la droite qui leur est tangente au point S, on choisit alors de les
symboliser comme indiqué en figures 8.15.
Une telle modélisation supprime toute information sur le rayon de courbure du miroir, elle n’est
donc utilisable que si la position du foyer principal image est indiquée (ou, manière équivalente, la
position du centre de courbure). En effet, c’est la seule information dont nous avons eu besoin au
paragraphe précédent pour construire les images de sources ponctuelles (ou étendues, en les
considérant comme un ensemble de sources ponctuelles indépendantes).
axe
optique S a.o. S
F’ F’
Miroir concave Miroir convexe
Figure 8.15. : Symboles des miroirs sphériques
5 Si on maintenait la distance AB constante, l’angle α tendrait vers zéro, nous voyons ici que seul l’angle d’observation
à un sens physique lors d’une observation à l’infini (cas des objets en astronomie ou, comme nous le verrons, des
images en microscopie).
S

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La construction de l’image d’un objet se fait alors facilement à partir de deux des trois rayons
particuliers ainsi que de leur prolongement si cela est nécessaire (figures 8.16.).
⊕
B
A
⊕
⊕
C
B′
A′
F′ = F
Figure 8.16.a. : Construction d’une image
donnée par un miroir convergent
Figure 8.16.b. : Construction d’une image donnée par un miroir divergent
V. LENTILLES SPHERIQUES MINCES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS
Après cette étude des systèmes optiques utilisant la réflexion, nous nous intéressons aux systèmes
optiques utilisant la transmission : les lentilles.
1) Définitions
S
ao ..
B
A
a. Dioptre sphérique
Un dioptre sphérique est une portion de sphère séparant deux milieux transparents d’indices
optiques différents (figure 8.17.a.). Leur étude théorique détaillée, hors programme, n’est pas
nécessaire à la compréhension des lentilles minces, des constatations expérimentales suffiront. Un
dioptre sphérique présente un stigmatisme approché dans les conditions de Gauss (figure 8.17.b.).
Tout comme le dioptre plan, le dioptre sphérique présente des aberrations chromatiques.
Figure 8.17.a. : Dioptre sphérique Figure 8.17.b. : Stigmatisme approché du dioptre sphérique
S
B′
A′
F′ =
F
C
ao ..

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b. Lentilles sphériques
Une lentille sphérique est une association de deux dioptres sphériques, de rayons de courbure
algébriques R1 ≡ CS 1 1 et R2 ≡ CS 2 2 . Elles peuvent être à bords minces ( SS 1 2 < 0 ) ou épais
( SS 1 2 > 0 ) (figures 8.18.).
C1
S2
e
Figure 8.18.a. : Lentille à bords minces biconvexe Figure 8.18.b. : Lentille à bords épais biconcave
2) Construction de l’image donnée par un lentille sphériques à bords minces
a. Stigmatisme approché, foyer principal image
Comme on s’y attendait étant donné le stigmatisme approché d’un dioptre sphérique, on constate
expérimentalement qu’une lentille sphérique à bords minces présente un stigmatisme approché
(figures 8.19.).
Figure 8.19.a. : Astigmatisme d’une lentille sphérique
à bords minces
S1
C2
⊕
Figure 8.19.b. : Stigmatisme approché d’une lentille sphérique
à bords minces
Tout comme dans le cas des miroirs, le point F’ vers lequel convergent des rayons arrivant de
l’infini parallèlement à l’axe optique est appelé foyer principal image de la lentille. A cause de cette
propriété de convergence, une lentille à bord minces est dite convergente.
Remarque :
D’après le principe de moindre temps, le fonctionnement d’une lentille peut être compris ainsi : On
interpose sur les trajets des rayons lumineux une couche d’un matériau transparent dont l’épaisseur
est ajustée de manière à retarder les rayons dont le parcours est le plus court, ainsi tous les rayons ont
la même durée minimale de parcours jusqu’au point image. Les dioptres sphériques sont un bon
compromis entre la qualité de l’image et la facilité de fabrication.
b. Lentille mince
axe optique
Une lentille sphérique est dite mince si son épaisseur est très inférieure à ses rayons de courbure :
e R, R
1 2
C1 S1 S2
e
C2
⊕
axe optique
F’

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On peut alors négliger cette épaisseur ; le point d’intersection O de la lentille mince et de l’axe
optique est appelé centre optique de la lentille mince. La modélisation d’une telle lentille est donnée
en figure 8.19.
La distance algébrique f ′ du centre optique au foyer principal objet est la distance focale de la
lentille :
f ′ ≡ OF′
positive dans le cas d’une lentille convergente, et le plus souvent de l’ordre de quelques
centimètres. On définit aussi la vergence de la lentille, égale à l’inverse de sa distance focale et
exprimée en dioptries (δ ) :
1
V ≡
f ′
En vertu du principe de retour inverse de la lumière, il existe un point F, symétrique de F’ par
rapport à O et nommé foyer principal objet, qui a la propriété suivante : la lentille donne d’un objet
placé en F une image à l’infini.
Figure 8.19. : Modélisation d’une lentille mince à bords minces
c. Construction d’une image : rayons particuliers
Nous constatons de plus que tout rayon passant par le centre optique de la lentille n’est pas dévié.
Nous pouvons donc tracer géométriquement l’image d’un objet étendu AB perpendiculaire à l’axe
optique en construisant l’image B’ de B grâce à deux des trois rayons particuliers suivants :
• Le rayon issu de B parallèlement à l’axe optique émerge de la lentille en passant par le foyer
principal image F’.
• Le rayon issu de B et passant par le centre optique O de la lentille n’est pas dévié.
• Le rayon issu de B et passant par le foyer principal objet émerge de la lentille parallèlement à
l’axe optique.
La symétrie axiale du problème imposant à l’image A’ de A d’être sur l’axe optique, la position de
A’ se déduit de celle de B’ par projection sur l’axe optique (figure 8.20.).
B
A
⊕
F
F
O
F’
O
Figure 8.20. : Construction de l’image B’ d’un objet ponctuel B
Remarque :
Tout comme dans le cas des miroirs, il suffit d’utiliser les prolongements des rayons lorsque la
construction n’est pas aussi immédiate (objet ou image virtuels).
F’
A’
B’
a.o.
⊕
⊕
⊕

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3) Lentilles à bords épais
On constate qu’une lentille à bords épais à pour effet de faire diverger des rayons initialement
parallèles (figures 8.21.). Pour cette raison, ces lentilles sont appelées divergentes.
Figure 8.21.a. : Astigmatisme d’une lentille à bords épais Figure 8.21.b. : Stigmatisme approché d’une lentille à
bords épais
L’image d’un objet situé à l’infini sur l’axe optique est donc virtuelle. Si la lentille est mince, on la
modélise comme indiqué en figure 8.22.
Figure 8.22. : Modélisation d’une lentille mince à bords épais
Sa distance focale est négative tout comme sa vergence. On généralise les constructions vues dans
le paragraphe précédent au cas des lentilles divergentes en prolongeant les rayons incidents et
émergents (figure 8.23.).
A
B
F’ F
O
F’ O F
A’
Figure 8.23. : Construction de l’image d’un objet étendu donnée par une lentille mince
divergente
Dans cet exemple, l’image est virtuelle, droite et plus petite que l’objet.
B’
F’
⊕
⊕
⊕

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4) Relations de conjugaison
Cherchons les relations de conjugaison de la lentille mince, i.e. les relations algébriques permettant
de trouver la position de l’image en fonction de celle de l’objet et de la distance focale de la lentille.
Afin de fixer les idées, nous étudierons le cas d’une lentille convergente (figure 8.24.).
A
B
F
α
Figure 8.24. : Notations pour l’établissement des relations de conjugaison
Remarquons tout d’abord que les triangles OAB et OA’B’ sont semblables :
AB ' ' OA'
= (1)
AB OA
Il en est de même pour les triangles IOF’ et B’A’F’ :
AB ' ' AF ' ' AB ' ' AF ' '
= ⇔ = (2)
OI OF ' AB OF '
puisque OI = AB . Il vient, en combinant (1) et (2) :
OA' A'F' A'O+ OF ' OA'
= = = 1 −
OA OF ' OF ' OF '
1 1 1
⇔ = −
OA OA' OF '
1 1 1 1
⇔ − = = = V
OA' OA OF ' f ′
Ce résultat est la première relation de conjugaison des lentilles minces, qui donne la position de A’
connaissant celle de A et la distance focale de la lentille.
Nous voulons, de plus, pouvoir calculer la distance entre B’ et l’axe optique. Connaissant la
position de A’ par la première formule de conjugaison et la taille de l’objet AB, la position de B se
déduit du grandissement qui s’écrit, d’après (1) :
AB ' ' OA'
γ = =
AB OA
C’est la deuxième relation de conjugaison des lentilles minces. Ces deux relations restent valables
dans le cas d’un objet ou d’une image virtuelle, ainsi que pour une lentille divergente, à condition
de respecter les conventions de signe.
5) Cas d’un objet à l’infini en dehors de l’axe optique
I
J
O
Lorsque nous faisons tendre la distance OA vers −∞ en maintenant l’angle α constant (figure
8.25.), A′ tend vers F′ et B′ se trouve dans un plan perpendiculaire à l’axe optique et passant par
F’
⊕
⊕
A’
B’
⊕

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F′, nommé plan focal image de la lentille, constitué par l’ensemble des foyers images secondaires,
images des points situés à l’infini en dehors de l’axe optique. L’ objet AB étant de taille infinie, le
grandissement n’a alors plus de signification physique et la deuxième relation de conjugaison doit
être modifiée pour s’écrire en fonction des angles (figure 8.25). :
FB ′ ′ = αOF′
Figure 8.25. : Cas d’un objet à l’infini en dehors de l’axe optique
6) Association de lentilles
On réalise un doublet de lentilles en les accolant, i.e. en superposant leur centre optique :
O = O = O (figure 8.26).
1 2
vers A
vers B
α
B
A
Figure 8.26. : Doublet de lentilles minces
La position de l’image A’ donnée par une lentille de distance focale f ′ 1 se trouve avec la première
relation de conjugaison :
1 1 1
− =
OA′
OA f ′ 1
Si on accole une deuxième lentille de distance focale f ′ 2 , la position de l’image finale A " sera
donnée par la même relation de conjugaison, en prenant cette fois pour objet l’image donnée par la
première lentille :
1 1 1
− =
OA′′ OA′
f ′ 2
En additionnant ces deux relations on obtient :
1 1 1 1
− = + = V1 + V2
OA′′
OA f ′ f ′
O
O
1 2
1' F
2' F
B’
Plan focal
image
A’=F’
⊕
⊕
⊕

PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 16/16
Un doublet de lentilles minces accolées est équivalent à une seule lentille de vergence égale à la
somme des vergences.
Si les deux lentilles ne sont pas accolées, il suffit alors de calculer la position de l’image finale en
prenant pour objet de la deuxième lentille l’image donnée par la première.