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Sommaire
OPTIQUE GEOMETRIQUE / DIOPTRE SPHERIQUE / Page 1 sur 10
DIOPTRE SPERIQUE
1. DEFINITION ............................................................................................................................................................ 1
2. VERGENCE ET DISTANCES FOCALES ............................................................................................................ 2
3. RELATIONS DE CONJUGAISON ET DE GRANDISSEMENT ....................................................................... 2
3.1 FORMULES DE CONJUGAISON. .............................................................................................................................. 3
3.1.1 Relation de conjugaison par rapport au sommet S ..................................................................................... 3
3.1.2 Relation de conjugaison par rapport au centre C....................................................................................... 3
3.2 FOYER PRINCIPAL IMAGE ..................................................................................................................................... 3
3.3 FOYER PRINCIPAL OBJET ...................................................................................................................................... 3
3.4 RELATION DE CONJUGAISON PAR RAPPORT AUX FOYERS F ET F’. ........................................................................ 4
3.5 RELATIONS DE GRANDISSEMENT ......................................................................................................................... 4
4. CONSTRUCTIONS. ................................................................................................................................................ 5
4.1 IMAGE D’UN RAYON INCIDENT PARALLELE A L’AXE OPTIQUE .............................................................................. 5
4.2 IMAGE D’UN RAYON OBJET COUPANT L’AXE EN C ............................................................................................... 6
4.3 IMAGE D’UN RAYON OBJET COUPANT L’AXE AU FOYER F .................................................................................... 6
4.4 IMAGE D’UN OBJET AB QUELCONQUE ................................................................................................................. 6
4.5 IMAGE D’UN OBJET AB PLACE DANS LE PLAN [F] ................................................................................................ 7
4.6 IMAGE D’UN OBJET A L’INFINI.............................................................................................................................. 7
5. FOYERS SECONDAIRES OBJETS ET IMAGES ............................................................................................... 7
6. RELATION DE LAGRANGE-HELMHOLTZ ..................................................................................................... 8
7. EXERCICES ............................................................................................................................................................. 9
DESCRIPTION DU CHAPITRE
Tous les systèmes étudiés dans ce programme d’optique géométrique seront constitués, en partie,
d’association de dioptres sphériques. Le système optique "œil", par exemple, peut être considéré comme
l’association de quatre dioptres sphériques (deux pour la cornée et deux pour le cristallin).
Nous voyons dans ce thème comment définir les paramètres d’un dioptre sphérique et comment ce
composant optique agit sur la lumière, de façon à pouvoir déterminer les caractéristiques (position et
dimension) d’une image à partir d’un objet.
1. Définition
Le dioptre sphérique est une surface sphérique séparant deux milieux d'indices n et n’ différents.
Un verre ophtalmique dit sphérique, par exemple, comprend deux faces sphériques. Chaque face peut être
considérée comme un dioptre sphérique séparant l’air du verre.
Le dioptre sphérique est caractérisé par un sommet S et un centre de courbure C.
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On définit alors son rayon de courbure R par : R SC .
On distingue les dioptres concaves ( R < 0 ) et les dioptres convexes ( R > 0 )
L’axe mathématique passant par les points S et C, est appelé axe optique du dioptre sphérique.
C
n n’
Représentations schématiques des dioptres :
S
dioptre concave
2. Vergence et distances focales
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n
n’
S C
dioptre convexe
La vergence notée D du dioptre sphérique ne dépend que du rayon de courbure et des indices n et n'
D
n'
n
, la vergence s'exprime en dioptrie ( ou dp)
SC
On peut calculer les distances focales objet et image notées f et f ’ par :
n n
Distance focale objet : f
SC
D n n'
n' n'
Distance focale image : f '=
SC
D n'
n
Note : si D ou f ' sont positifs, le dioptre est convergent; dans le cas contraire, il est divergent.
3. Relations de conjugaison et de grandissement
L’un des objectifs des calculs d’optique géométrique est de pouvoir déterminer la position et la dimension
d’une image connaissant celle de l’objet correspondant, et inversement, déterminer les caractéristiques
(position et dimension) d’un objet à partir de celles de l’image.
Lorsqu’un système optique donne l’image A’B’ d’un objet AB, on dit que les plans [A] (où se trouve l’objet)
et [A’] (où se trouve l’image) sont conjugués. En règle générale, les points A et A’ sont situés sur l’axe
optique du système étudié. Donnons un exemple pratique : lorsque l’on projette une diapositive sur un écran
et que l’on obtient une image nette, les plans de la diapositive et de l’écran sont alors conjugués.

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Une relation de conjugaison est une relation mathématique qui lie la position
d’un objet à celle de son image.
Une relation de grandissement est une relation mathématique qui lie la dimension
d’un objet à celle de son image.
3.1 Formules de conjugaison.
Les positions de l’objet et de son image peuvent être repérées par rapport à différents points particuliers du
dioptre sphérique : le sommet S et le centre C par exemple.
3.1.1 Relation de conjugaison par rapport au sommet S
La relation mathématique relie, dans ce cas, les distances SA et SA ' :
3.1.2 Relation de conjugaison par rapport au centre C
La relation mathématique relie, dans ce cas, les distances CA et CA ' :
3.2 Foyer principal image
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n' n n'
n
D
SA'
SA SC
n n'
n'
n
D
CA'
CA SC
Lorsque le plan [A] est très éloigné (on dit aussi que l’objet est à l’infini), le plan image est alors un plan
particulier que l’on appelle plan focal image que l’on note [F’]. Le point de ce plan situé sur l’axe optique est
appelé foyer principal image du dioptre. On le note F’.
3.3 Foyer principal objet
Lorsque le plan image [A’] est très éloigné (on dit aussi que l’image est rejetée à l’infini), le plan objet qui
lui correspond est noté [F] ; c’est le plan focal objet. Le point situé sur l’axe optique du dioptre sphérique et
appartenant au plan [F] est le foyer principal objet. On le note F.

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3.4 Relation de conjugaison par rapport aux foyers F et F’.
La relation mathématique relie, dans ce cas, les distances FA et F ' A'
: F ' A'
FA f f'
3.5 Relations de grandissement
Définition : On note y la dimension de l’objet AB, et y’ la dimension de l’image A’B’. Le grandissement
transversal noté gy (ou parfois ) est défini par :
g y
y'
y
Note : Le grandissement transversal est une grandeur algébrique sans unité. Lorsque gy est positif, on dit
que l’image est droite. Dans le cas contraire, gy négatif, on dit que l’image est renversée. D’autre part, on ne
peut utiliser le grandissement transversal lorsque l’objet ou l’image sont à l’infini.
A
B
B’
A’
n n’
S
A’
B’
Exemple d’image renversée
A
B
n n’
Exemple d’image droite
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S

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On distingue, comme pour les relations de conjugaison, quatre relations de grandissement transversal selon
les points du dioptre utilisés pour repérer l’objet A et l’image A’.
Formule de Descartes (avec origine en S) :
Formule avec origine en C :
g y
g y
y'
y
y'
y
n SA'
.
n'
SA
CA'
y'
F'
A'
f
g y
Formule de Newton (avec origine en F et F’) : y f ' FA
4. Constructions.
Pour mener à bien une construction, il convient de respecter rigoureusement certaines règles. Le but
recherché dans une construction peut être de construire un ou plusieurs rayons (image connaissant le rayon
incident, ou antécédent objet connaissant le rayon émergent) ou l’image A’B’ d’un objet AB connu ou
encore l’antécédent objet AB connaissant l’image A’B’.
4.1 Image d’un rayon incident parallèle à l’axe optique
(1)
C
F’
(1’)
CA
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règle :
1) le rayon (1) est parallèle à l'axe;
donc son image (1’) coupe l'axe en F’;

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4.2 Image d’un rayon objet coupant l’axe en C
(1)
C
(1’)
4.3 Image d’un rayon objet coupant l’axe au foyer F
(1)
F
(1’)
4.4 Image d’un objet AB quelconque
B
A
F
(1)
(2)
F’
B’
A’
(1’)
(2’)
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règle :
1) le rayon (1) coupe l’axe optique au
point C, donc le rayon image (1’)
correspondant n’est pas dévié.
règle :
1) le rayon (1) coupe l’axe optique au
point F, donc le rayon image (1’)
correspondant est parallèle à l'axe
règle :
on choisit deux rayons passant par B :
1) le rayon (1) est parallèle à l’axe; son
image (1’) coupe l’axe en F’;
2) le rayon (2) coupe l’axe en F et son
image (2’) est parallèle à l’axe.
3) l'intersection entre (1’) et (2’) définit le
point B’ et par translation sur l’axe, on
obtient A’.

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4.5 Image d’un objet AB placé dans le plan [F]
B
A
C
(1)
(2)
(1’)
(2’)
F’
4.6 Image d’un objet à l’infini
A à l’
sur l’axe
B à l’infini dans
la direction de
ces rayons
F
(1)
(2)
C
A’ à l’infini
B’ à l’infini
dans la direction
de ces rayons
A’ = F’
5. Foyers secondaires objets et images
B’
(2’)
(1’)
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règle :
on choisit deux rayons passant par B :
1) le rayon (1) est parallèle à l’axe; son
image (1’) coupe l’axe en F’;
2) le rayon (2) coupe l’axe en C et n’est
pas dévié en traversant le dioptre
3) l’intersection entre (1’) et (2’) définit
le point B’. Puisque (1’) et (2’) sont
parallèles, l’image est à l’infini.
règle :
on choisit deux rayons issus de B, (1)
et (2)
1) puisque B est à l’infini, ces deux
rayons sont parallèles entre eux.
2) le rayon (2) coupe l’axe en F, son
image est parallèle à l’axe.
3) le rayon 1 coupe l’axe en C, son
image n’est pas déviée.
4) les rayons (1’) et (2’) se coupent
dans le plan [F’].
Définition : Les points appartenant au plan focal objet (plan perpendiculaire à l’axe optique et passant par le
point F) sont appelés foyers secondaires objets et notés . De même, les points appartenant au plan focal

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image sont appelés foyers secondaires images et notés ’. Les foyers secondaires sont dotés de propriétés
très utiles dans les constructions :
Lorsque deux rayons objets incidents sur un dioptre sont parallèles entre eux, les
rayons images correspondants se coupent sur un même foyer secondaire image
’.
Lorsque deux rayons objets incidents sur un dioptre se coupent sur un même
foyer secondaire objet , les rayons images correspondants sont parallèles
entre eux.
6. Relation de Lagrange-helmholtz
La relation de Lagrange-Helmholtz est surtout utilisée en optique physiologique. On peut
l’introduire à partir de la figure ci-dessous :
ny
y
B (1) (1')
A
Indice objet : n
n'
y'
'
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’
Indice image : n’
y’
A’
B’

7. Exercices
Exercice 1
Calculer les vergences des dioptres suivants :
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1 // n = 1 ; n’ = 1,5 ; R=+100 mm.
2 // n' n 0,
525 et R = - 175 mm, le dioptre est convergent.
3 // n = 1,7 ; n’ = 1 ; R = -8,5 cm
Exercice 2
La distance entre le sommet et le centre d’un dioptre concave est de 75 mm. Les indices sont 1,5 pour le
milieu objet et 1,33 pour le milieu image.
1 // Calculer D.
2 // Le dioptre est-il convergent ou divergent ? Justifier.
3 // Calculer les distances focales f et f ’ du dioptre.
Exercice 3
Soit un dioptre sphérique d’indices n = 1 et n’ = 1,336, de vergence +60 .
1 // Calculer le rayon de courbure.
2 // L’indice objet est maintenant égal à 1,33. Le rayon de courbure prend la valeur déterminée
précédemment. Calculer D, la nouvelle vergence.
Exercice 4
La distance focale image d’un dioptre sphérique d’indices n = 1,33 et n’ = 1,5 vaut +200 mm.
Calculer le rayon de courbure du dioptre. Est-il concave ou convexe ? Justifier.
Exercice 5
On considère le système optique comprenant trois dioptres qui séparent successivement les quatre milieux
suivants : l’eau, le verre, l’air et le dernier. Les indices sont :
eau : 1,33
verre : 1,525
air : 1
dernier : 1,336.
Les rayons de courbures des trois dioptres sont : R1 = + 200 mm ; R2 = - 400 mm ; R3 = + 6 mm.
Calculer la vergence du deuxième dioptre, la distance focale image du troisième dioptre et la distance focale
objet du premier dioptre.
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Exercice 6
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On considère deux dioptres sphériques tels que S 1S 2 20mm
. Entre les deux surfaces sphériques l’indice
vaut 1,525. Les autres indices sont égaux à 1. Les deux dioptres ont des vergences égales à 10 .
1 // Calculer les rayons de courbure et préciser les natures des dioptres (concave ou convexe).
2 // On considère un point objet A à l’infini.
2-a // Calculer la position de l’image notée A1 donnée par le dioptre 1. On calculera S 1 A1.
En déduire
2 1 A S .
2-b // Calculer alors la distance entre S2 et A’, où A’ représente l’image de A1 donnée par le dioptre 2.
Exercice 7
Soit un dioptre d’indices n = 1,5 et n’ = 4/3. Soit A un point objet et A’ son image. On mesure les distances
suivantes : SA ' 100cm
et SA 35mm
.
Calculer la vergence, le rayon de courbure et les distances focales.
Exercice 8
La vergence d’un dioptre sphérique est : D
L’indice du milieu objet est n = 1.
1 // Calculer n’.
2 // Calculer la distance focale objet.
3 // Calculer le rayon de courbure.
10 . La distance focale image est : f ' 152,
5mm
.
Exercice 9
Soit un dioptre d’indices objet n = 1,3 et image n’ = 1,6. Sa vergence est de +10 .
1 // Le dioptre est-il convergent ou divergent ? Justifier.
2 // Calculer le rayon de courbure et préciser, en justifiant, s’il s’agit d’un dioptre concave ou convexe.
3 // Calculer les distances focales objet et image.
4 // On considère un point objet A sur l’axe tel que SA 260mm
. Calculer SA ' .
5 // On considère un point objet A sur l’axe tel que SA 160mm
. Calculer SA ' .
6 // On considère un point image A’ sur l’axe tel que SA ' 130mm
. Calculer SA.
7 // On considère un point image A’ sur l’axe tel que SA ' 200mm
. Calculer SA.
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