Le moment cinétique En Mécanique Quantique - Chez

Le moment cinétique
En Mécanique Quantique
I_ Expression du moment cinétique
A. Énergie d'un électron
Dans un atome à un électron, l'énergie de l'électron dépend de son potentiel
de mouvement, mais aussi de l'énergie potentielle due à des interactions
électromagnétiques. On a donc :
Hˆ
2
h
ˆ
1
= − Δ −
2m
4πε
×
x
Z ×
+ y
2 2 2
0
L'équation de Schrödinger devient alors très compliquée à résoudre. On
cherche donc à l'exprimer en fonction d'opérateurs plus simples. Ce système a une
symétrie sphérique, on l'exprime alors en fonction du moment cinétique.
e
2
+ z
B. Moment cinétique en coordonnées Cartésiennes
Le moment cinétique d'un électron de masse m, tournant à une vitesse v et
une distance r s'exprime :
x
O
On peut ainsi écrire les opérateurs :
y × pˆ z − z × pˆ y et
2
Lˆ =
2
x
2
y
Lˆ =
Lˆ + Lˆ + Lˆ
l Compatibilité
r
v
m
r
r r
L = r ^p
=
Les opérateurs Lx, Ly et Lz sont incompatibles. On trouve [Lx,Ly] = iħ Lz, et
ainsi de suite pour chaque commutateur. Ils n'ont donc pas les mêmes fonctions
propres. On ne peut ainsi pas mesurer simultanément les trois composantes du
moment cinétique.
Cependant, le commutateur [L 2 ,Lz] = 0, de même pour une autre
composante. On peut mesurer simultanément une composante et la longueur du
moment cinétique. De plus, L 2 et Lz ont les mêmes fonctions propres.
x
y
z
^
p
p
p
x
y
z
=
2
z
y × p
z × p
x × p
z
x
y
− z × p
− x × p
− y × p
y
z
x

x
C. Moment cinétique en coordonnées sphériques
1) Différences entre coordonnées Cartésiennes e sphériques
z
Coordonnées
Cartésiennes
M
x est la projection de M sur (Ox)
y est la projection de M sur (Oy)
z est la projection de M sur (Oz)
Par convention, θ [0;π] et [0;2π].
l Relations entre coordonnées
x = r sin θ cos
y = r sin θ sin
z = r cos θ
dτ = dx dy dz
y
r =
tan
tan
x
( θ)
( ϕ)
2
=
=
+ y
Coordonnées
sphériques
Le facteur de dérivation dτ diffère aussi en fonction des coordonnées. Pour
décrire un système en coordonnées sphériques, on n'a besoin que des angles θ et
, ainsi dτ se simplifie en sin θ dr dθ d.
2) Expression des opérateurs du moment cinétique
l Expression de Lz
On en déduit l'expression de l'opérateur Lz en fonction des coordonnées
Cartésiennes. Cet opérateur a une forme simple en coordonnées sphériques.
On écrit le facteur de dérivation de en fonction des coordonnées
Cartésiennes :
∂ ⎛ ∂x
⎞ ∂ ⎛ ∂y
⎞ ∂ ⎛ ∂z
⎞ ∂
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
∂ϕ
⎝ ∂ϕ⎠
∂x
⎝ ∂ϕ⎠
∂y
⎝ ∂ϕ⎠
∂z
Et on trouve
∂x
∂(
r sinθ
cosϕ)
=
= −r
sinθ
sinϕ
= −y
∂ϕ
∂ϕ
∂y
∂(
r sinθ
sinϕ)
=
= r sinθ
cosϕ
= x
∂ϕ
∂ϕ
∂z
∂(
r cosθ)
= = 0
∂ϕ
∂ϕ
y
x
x
2
2
+ z
+ y
dτ = r 2 sin θ dr dθ d
z
2
2
x
z
θ
M
r est la longueur de [OM]
θ est l'angle entre (Oz) et [OM]
est l'angle entre la projection de
OM dans le plan (Oxy) et (Ox)
r
y

z
∂
∂ϕ
Lˆ z
Ce qui donne
∂ ∂
= x − y
∂y
∂x
Ainsi
h ⎛ ∂ ∂
= ⎜ x − y
i ⎝ ∂y
∂x
⎞
⎟
⎠
=
h
i
∂
×
∂ϕ
l Expression de Lx
Pour exprimer Lx et Ly en coordonnées sphériques, on modifie le repère
comme suit. Dans ce repère, l'expression de Lx correspond à celle de Lz dans les
nouvelles coordonnées :
x
θ1
1
x = r sinθ
cos ϕ = r cos θ
z = r cos θ = sinθ
sinϕ
1
r
1
1
1
Lˆ
= ×
h
x
i ∂ϕ1
On écrit alors le facteur de dérivation de 1 en
fonction des coordonnées sphériques :
∂
∂ϕ1
⎛ ∂θ
⎞ ∂ ⎛ ∂ϕ
⎞ ∂
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ ∂ϕ1
⎠ ∂θ
⎝ ∂ϕ1
⎠ ∂ϕ
D'après l'expression de x, y et z en fonction des
coordonnées sphériques anciennes et nouvelles, on trouve
les relations entre celles-ci :
cosθ
= sinθ
sinϕ
1
∂
sinθ1
cosϕ
tanϕ
=
cosθ
On peut ainsi déterminer la dérivée des angles et θ par rapport à 1 :
− sin θ d = sin θ cos ϕ dϕ
+ dθ
( ) ( ) ( )
∂θ
⇒
∂ϕ
1
sin θ1
cos ϕ
=
− sin θ
sin θsin
ϕ
= = − sin ϕ
− sin θ
⎛ 1 ⎞ ⎛ sin θ1
sin ϕ1
⎞
⎜ ⎟dϕ
= ⎜ −
⎟dϕ
+ ( ) dθ
2
1
1
⎝ cos ϕ ⎠ ⎝ cos θ1
⎠
∂θ
sin θ1
sin ϕ1
2 cos θ
⇒ = −
cos ϕ = − cos
∂ϕ
cos θ
sin θcos
ϕ
1
M
y = r sinθ
sinϕ
= r sinθ
cos ϕ
1
y
1
On obtient alors l'expression de Lx :
Lˆ x
1
=
1
1
1
h ⎛ ∂
− ⎜sinϕ
×
i ⎝ ∂θ
1
2
1
1
1
cos ϕ
ϕ = −
tan θ
cosϕ
∂ ⎞
+ × ⎟
tanθ
∂ϕ⎠
l Expression de Ly
Pour exprimer Ly, on remplace par - π/2, ce qui donne :
⎛ π⎞
⎫
cos⎜ϕ
− ⎟ = sinϕ
⎝ 2⎠
⎪
⎬
⎛ π⎞
sin⎜ϕ
− ⎟ = − cos ϕ⎪
⎝ 2⎠
⎪⎭
Lˆ
y
=
h
⎛ ∂
− ⎜−
cos ϕ×
i ⎝ ∂θ
sinϕ
∂ ⎞
+ × ⎟
tan θ ∂ϕ⎠

Lˆ
2
l Expression de L 2
2
2 2 2 2
2 ⎡ 1 ∂ 1 ∂ ⎛ ∂
= Lˆ + + = − Λˆ
x Lˆ
y Lˆ
z h
= −h
⎢ × + × ⎜sin
θ
2 2
⎣sin
θ ∂ϕ
sinθ
∂θ
⎝ ∂θ
Et on appelle Λ le Laplacien angulaire.
II_ Propriétés générales des opérateurs du
moment cinétique
A. Opérateurs de montée et descente
Les valeurs précédentes correspondent à un moment cinétique orbital,
comme dans le cas d'un électron, qui est un cas particulier. De manière générale, on
peut retenir que le moment cinétique respecte toujours :
[Lx,Ly] = iħ Lz et [L 2 ,Lz] = 0
On définit les opérateurs de montée L+ et de descente L-, qui permettent de
passer d'un niveau d'énergie à un autre. On trouve :
L+ = Lx + i Ly et L- = Lx - i Ly
Démonstration :
Lˆ , Lˆ = Lˆ + i × Lˆ , Lˆ = Lˆ , Lˆ + i Lˆ , Lˆ = −ihLˆ
− hLˆ
= −hLˆ
[ + z ] [ ( x
y ) z ] [ x z ] [ y z ] y x
+
De manière plus générale, on écrit :
[ Lˆ
± , Lˆ
z ] = mhLˆ
±
On trouve aussi que :
Lˆ Lˆ 2
= Lˆ + iLˆ
Lˆ − iLˆ
Lˆ 2
+ Lˆ = i Lˆ , Lˆ 2 2
+ Lˆ + Lˆ = −hLˆ
2
+ Lˆ − Lˆ
−
+
x
x
y
y
x
y
[ ] 2
x
y
x
B. Nombres quantiques m et l
Lz et L² ont les mêmes fonctions propres, ils sont commutables. Soit Ψm une
fonction propre, avec les valeurs propres telles que :
z m = mh
Ψm
et
2
Lˆ Ψm
On a
Or
D'où
Lˆ
y
2
( ) = ( λ ) m
Lˆ Ψ h Ψ
[ Lˆ
−,
Lˆ
z ] Ψm
= Lˆ
− ( Lˆ
zΨm
) − Lˆ
z ( Lˆ
−Ψm
) = h × Lˆ
−Ψm
( Lˆ
zΨm
) = ( mh)
× Lˆ
−Ψm
Lˆ
z ( Lˆ
−Ψm
) = ( mh)
× Lˆ
−Ψm
− h × Lˆ
−Ψm
= ( m −1)
h × Lˆ
−Ψm
−
On écrit de manière générale :
Lˆ
−
m
( ha−,
m ) Ψm−1
et Lˆ
+ Ψm
= ( a+
, m ) Ψm+
1
Ψ =
h
Lz est la projection du vecteur L sur l'axe z. Il possède une valeur maximale
que l'on appelle l. Les valeurs extrémales de Lz sont alors lħ et -lħ.
z
z
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦

En appliquant les opérateurs de montée ou de descente, on passe de m à
m+1 ou m-1. Ainsi pour passer de -l à +l, on effectue un nombre exact de sauts de 1
en 1. 2l est donc un nombre entier, et l est entier ou demi-entier.
On a alors -lml et m et l sont des entiers ou demi-entiers.
Remarque : Une fois les valeurs extrémales atteintes, on ne peut pas aller plus loin.
Lˆ = 0 et Lˆ Ψ = 0
+ Ψl − −l
On trouve alors :
Lˆ
Lˆ
Lˆ
z
2
±
Ψ
Ψ
Ψ
l,
m
l,
m
l,
m
=
=
( mh)
Ψl,
2
h l(
l + 1)
= a
± , m
m
× Ψ
Ψ
l,
m
l,
m±
1
C. Propriétés des opérateurs L+ et Ll
Anti-Hermiticité
Les opérateurs de montée et de descente sont commutables d'une certaine
manière ; on dit qu'ils sont anti-Hermitiques.
Ψ Lˆ
+ Ψ'
= Lˆ
−Ψ
Ψ'
Démonstration :
Ψ Lˆ Ψ'
= Ψ Lˆ
+
l Relations
On trouve par calculs :
=
a
Ψ
l,
m−1
h × a
Ψ
= h
= h
−,
m
l,
m−1
Ψ
⇒ a
−,
m
=
Lˆ
( x + iLˆ
y ) Ψ'
= Ψ Lˆ
xΨ'
+ i Ψ ( iLˆ
y ) Ψ'
= Lˆ
xΨ
Ψ'
+ ( − iLˆ
y ) Ψ Ψ'
= ( Lˆ − iLˆ
) Ψ Ψ'
= ( Lˆ ) Ψ Ψ'
Relation entre a-,m et a+,m+1
Lˆ
−
Ψ
a *
Ψ
l,
m
l,
m−1
+ , m−1
=
Ψ
Lˆ
+
l,
m−1
Ψ
l,
m−1
Valeur de a-,m
Lˆ
2 2 ( Lˆ − Lˆ − hLˆ
)
Ainsi, on écrit :
Lˆ
2
= h
a
±
Ψ
l,
m
= h × a *
l,
m
+ , m
Ψ
l,
m
Ψ = h l m
Ψ
l,
m
2 2
2
× l(
l + 1)
Ψl,
m−1
− ( m −1)
h Ψl,
m−1
− h ( m −1)
2
[ l(
l + 1)
− ( m −1)
− ( m −1)
] Ψl,
m−1
2 2
2
2
a−,
m Ψl,
m−1
= h [ l(
l + 1)
− ( m −1)
− ( m −1)
]
= l(
l + 1)
− m(
m −1)
2
2
⇔ h
l,
m−1
−,
m
+
−
Ψ
l,
m−1
z
z
+ , m−1
Ψ
a
l,
m−1
−,
m
Ψ
l,
m−1
= h
2
a
−,
m
2
Ψ
Ψ
l,
m−1
l,
m−1
Ψ
l,
m−1
( l 1)
− ( m ± 1)
Ψl,
m 1
x
y
±
−

III_ Propriétés du moment cinétique orbital
A. Harmonique sphérique
Le moment cinétique orbital s'exprime en fonction des angles θ et . On lui
applique donc une fonction d'onde dépendant de θ et . Elle est définie par les
nombres quantiques m et l. On l'appelle harmonique sphérique Yl m .
On peut appliquer cette fonction à l'opérateur du moment cinétique ( au carré )
et à l'opérateur Lz, car ils sont commutables. On obtient alors :
m
m
2 m
2
m
Lˆ
z l θ,
ϕ = mh
Υl
θ,
ϕ et Lˆ Υl
θ,
ϕ = h × l l + 1 Υl
θ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ϕ)
Υ ,
l Expression de Yl m :
En exprimant Lz appliqué à Yl m , on trouve :
m
Lˆ
zΥl
=
m h ∂ m
mh
Υl
= × Υl
i ∂ϕ
m
∂Υl
⇔ = im×
∂ϕ
⇒ ln Υ
m
l
Υ
m
( ) ( ) ( )
l
⇒ Υ
= im×
ϕ + cte
= C×
e
m
im×
ϕ
l
On sait que Yl m dépend de θ et . On sait donc que la constante C dépend de
θ. On l'appelle le polynôme de Legendre, noté Pl m .
im×
ϕ
m m e
Υl
= Pl
( θ)
×
2π
On observe que les deux variables sont séparées, ce qui facilitera la
résolution de l'équation de Schrödinger.
B. Variables de l'harmonique
l m est un entier
En ajoutant 2π à un angle, on tombe sur le même angle, ainsi :
im×
ϕ
im×
ϕ im×
2π
m
m
m e
m e e
im×
2π
Υl
( θ,
ϕ)
= Υl
( θ,
ϕ + 2π)
⇔ Pl
( θ)
× = Pl
( θ)
× ⇒ e = 1
2π
2π
⇒ cos(
0)
+ i×
sin(
2πm)
= 1⇒
2πm
= 2kπ
⇔ m = k
On en déduit que m est un entier pour le moment cinétique orbital (c'est un
demi-entier pour le spin), et donc l est aussi un entier.
l Développement de l'harmonique sur la base sphérique
L'harmonique sphérique est une fonction normée, on l'a donc égale à 1 sur
tout l'espace des variables, ce qui s'écrit :
π 2π
m
2
∫ ( , ) sin(
) d d 1
0 ∫ Υ
0 l θ ϕ × θ θ ϕ =
On peut séparer les variables :
im×
ϕ
2
π
e
m
2
2π
∫ P ( ) sin(
) d
d 1
0 l θ × θ θ×
∫ ϕ =
0
2π
On peut donc décrire n'importe quelle fonction de θ et avec l'harmonique.

l Conjugué complexe
Lˆ
z
Υ
m
l
⇔ mh
⇒ Υ
m
l
=
m h ∂ m
m ∗ ⎡h
∂ m
( mh)
Υ = × ( Υ ) ⇒ [ ( mh)
Υ ] = × ( Υ )
m ∗ h ∂ m ∗
m ∗
m
( Υ ) = − × ( Υ ) ⇔ Lˆ ( Υ ) = −mh(
Υ )
=
l
( ) ( ) m
m ∗
Υ × −1
l
l
i
i
∂ϕ
∂ϕ
l
l
z
l
l
⎢
⎣ i
l
∂ϕ
∗
l
⎤
⎥
⎦
∗