Leçon 25 : Définition et propriétés du barycentre de n points ...

Leçon 25
Définition et propriétés du barycentre de n points pondérés. Application à l’étude de
configurations du plan ou de l’espace.
→
On se placera dans E plan affine ou espace affine suivant les cas de direction E.
1. Définition du barycentre de n points pondérés :
1.1 Définitions :
Définition 1 : On appelle point pondéré tous couple (A , α) où A est un point de E et α un réel appelé coefficient (ou
masse, ou poids) de A.
Soit n ∈ V * , on appelle système de n points pondérés toute famille { (Ai , α i ) 1 < i < n } de n points pondérés.
n
Le réel α = ∑ α i est appelé poids total du système.
i = 1
Lorsque α ≠ 0 et seulement dans ce cas, le barycentre du système est le point G ∈ E caractérisé par :
n
⎯→ →
⎯→
∑ α i GAi = 0 ce qui est équivalent à OG =
i = 1
1
α ∑
n
⎯→
α i OAi où O est une origine quelconque.
i = 1
n
n
⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎯→ ⎯→ ⎯→
Equivalence des deux écritures : On écrit GAi = OAi - OG ⇔ 0 = ∑ α i GAi = ∑ α i OAi - α OG
i = 1
i = 1
Remarque : D’après la deuxième écriture, on voit que le point G est défini de manière unique.
On s’intéresse uniquement ici à des coefficients réels.
Définition 2 : Lorsque les α i sont tous égaux, on dit que G est l’isobarycentre du système.
Exemple : L’isobarycentre de deux points est leur milieu.
1.2 Fonction de Leibniz :
Définition 3 : On appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système pondéré { (Ai , α i ) 1 < i < n } l’application :
→
→
f : E → E
n
⎯→
M ï ∑ α i MAi
i = 1
Proposition 1 : La fonction vectorielle de Leibniz est constante si et seulement si α = ∑ α i = 0. Dans le cas contraire,
i = 1
→
c’est une bijection de E dans E s’annulant en le barycentre du système.
Démonstration : Soit M un point de E. La relation de Chasles entraîne que
→
Donc
n
f est constante si et seulement si α = ∑
i = 1
→ → n
f (M) = f (O) + ∑
i = 1
α i
Hannon.J - 1 -
α i = 0. Dans le cas contraire, ∀
→ →
f (M) -
⎯→ →
⎯→
MO = u a une unique solution en le point M donnée par : OM =
n
n
f (O)= ∑
i = 1
α i
→ →
u ∈ E, l’équation
⎯→
MO (O origine)
→ →
f (O) - u
, c’est donc bien une
α

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n
→ → →
⎯→
bijection de E dans E. f (M) = 0 ⇔ ∑ α i MAi ⇔ M est le barycentre du système { (Ai , α i ) }.
i = 1
n
→
⎯→
Remarque : Lorsque α = 0 on ne peut pas définir le barycentre du système, mais le vecteur f (M) = ∑ α i MAi
i = 1
est alors indépendant du point M.
2. Propriétés du barycentre :
2.1 Propriétés :
n
Propriété 1 : Soit G = bar { (Ai , α i )1 < i < n } avec α = ∑
i = 1
Hannon.J - 2 -
α i ≠ 0. On a les propriétés suivantes :
i) G reste inchangé lorsque qu’on lui rajoute un point de masse nulle.
ii) G = bar { (Aσ(j) , α σ(j) ) 1 < j < n } où σ est une permutation de {1,…, n} (commutativité du barycentre)
iii) G reste inchangé si l’on multiplie tous ses coefficients par un réel non nul (Homogénéité du barycentre)
G = bar { (Ai , λ α i )1 < i < n } ∀ λ ∈ Y *
iv) G reste inchangé si l’on remplace un ou plusieurs points pondérés par le barycentre correspondant à ces
points affecté du coefficient égal à la somme des coefficients des points concernés (Associativité)
Démonstration : Les points i), ii) et iii) sont clairs en utilisant la première définition du barycentre.
Montrons iii) : Soit 1< p < n. Supposons que l’on veuille remplacer p points, par le ii) on peut supposer que se sont les
p premiers (quitte à réordonner les indices).
n
p
n
⎯→
⎯→
⎯→ →
On a ∑ α i GAi = ∑ α i GAi + ∑ α i GAi = 0
i = 1
i = 1
i = p + 1
p
Soit H = bar { (Ai , α i ) 1 < i < p } et µ = ∑ α i . On a ∑
i = 1
i = 1
n
⎯→
⎯→
soit µ GH + ∑ α i GAi =
i = p + 1
p
α i
p
⎯→
GH + ∑
i = 1
α i
n
⎯→
⎯→
HAi + ∑ α i GAi =
i = p + 1
→
0 ⇒ G est le barycentre du système formé par (H , µ) et les autres points pondérés.
Remarques : On a vu qu’on pouvait rajouter un point dans le système en lui affectant une masse nulle, un autre moyen
d’introduire le point A est la suivante, on rajoute : (A , α) et (A , -α).
2.2 Isobarycentre :
On a déjà vu que l’isobarycentre de deux points est leur milieu.
Définition 4 : L’isobarycentre G d’un triangle ABC est appelé encore centre de gravité du triangle ABC.
Proposition 2 : Les 3 médianes d’un triangle ABC sont concourantes en un point G situé au 2/3 des longueurs en
partant des sommets.
Démonstration : L’isobarycentre G du triangle ABC est le barycentre de (A,1) (B,1) (C,1) et est aussi le barycentre de
(A,1) (I,2) où I est le milieu de [BC] (propriété 1, iv ).
⎯→
Ainsi AG = 2
⎯→
⎯→
AI . De même on montrerait BG =
3
2
⎯→
⎯→
BJ où J milieu de [AC] et CG =
3
2
⎯→
CKoù K milieu de [AB]
3
D’où le résultat.
→
0

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Exemple 1 : On s’intéresse maintenant à l’isobarycentre G d’un quadrilatère ABCD. G est barycentre de (A,1) (B,1)
(C,1) (D,1).
On regroupe (A,1) (C,1) ensemble et (B,1) (D,1) ensemble. Soit I milieu de [AC] et J milieu de [BD].
Alors G est aussi barycentre de (I,2) (J,2) c’est à dire que G est l’isobarycentre de [IJ].
⇒ G est le milieu de [IJ]
On obtient de plus que si ABCD est un parallélogramme, comme I = J alors G = I = J. G est l’intersection des
diagonales.
Exemple 2 : On se place désormais dans l’espace et on considère un tétraèdre ABCD. On cherche à caractériser
l’isobarycentre G.
G barycentre de (A,1) (B,1) (C,1) (D,1). En reprenant la même démarche que précédemment et en regroupant les points
2 par 2 à chaque fois on arrive à la conclusion suivante :
Proposition 3 : Dans un tétraèdre, les 3 segments joignant les milieux des arêtes opposées ont même milieu :
l’isobarycentre G des 4 sommets.
2.3 Coordonnées barycentriques :
Définition 5 : Supposons que E soit de dimension n. Un repère affine de E est une (n+1) liste (A0, …, An) de points de E
⎯→ ⎯→
→
tels que la famille ( A0A1 , … , A0An ) soit une base de E.
Théorème 1 : Supposons que (A0 , … , An) est un repère affine de E, alors :
- ∀ M ∈ E, ∃ (α0 , … , αn+1) ∈ Y n+1 tel que M = bar{ (Ai , α i)0 < i < n }
- Si M = bar{ (Ai , α i)0 < i < n } et M = bar{ (Ai , β i)0 < i < n } alors les suites (α0 , … , αn+1) et (β0 , … , βn+1) sont
proportionnelles.
- ∀ M ∈ E, ∃ ! (α0 , … , αn+1) ∈ Y n+1 n
tel que M = bar{ (Ai , α i)0 < i < n } et ∑
i = 0
Démonstration : i) Tout point M de e s’écrit de manière unique sous la forme
⎯→ ⎯→
→
( A0A1 , … , A0An ) est une base de E. Par Chasles, on obtient :
⇔ ⎝ ⎜ ⎛
n
∑
i = 1
λ i − 1
⎞
⎟
⎠
⎯→
MA0 - ∑ i = 1
Hannon.J - 3 -
n
λ i
⎯→
n
A0M - ∑
i = 1
λ i
α i = 1
n
⎯→
A0M = ∑
i = 1
n
⎯→
A0M = ∑
i = 1
⎯→ ⎯→
λi A0Ai car
⎯→
λ i MAi
A0M ∈
→
E et
⎯→ →
n
MAi = 0 . On pose α0 = ∑ λ i – 1 ; αi = -λ i ∀ i ∈ {1, …, n} et on a le résultat.
i = 1
ii) Si M = bar{ (Ai , α i)0 < i < n } et M = bar{ (Ai , β i)0 < i < n } alors ∑ i = 0
n
∑
i = 0
n
⎯→
β i A0M = ∑
i = 1
βi
⎯→
A0Ai ⇒
⎯→
A0M =
n
∑ βi
i = 1
n
∑
i = 0
⎯→
A0Ai
β i
=
n
∑
i = 1
α i
n
∑ α i
i = 0
n
⎯→
A0Ai
α i
n
⎯→
⎯→
A0M = ∑ α i A0Ai et
i = 1
⇒ α i
n
∑
i = 0
αi
= β i
n
∑
i = 0
β i
∀ i ∈ {0, …, n}

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⇒ αi =
n
∑
α i
i = 0
n
∑
i = 0
β i
β i d’où le résultat.
iii) conséquence de i) et ii)
Définition 6 : Dans les conditions du théorème précédent, la liste (α0 , … , αn+1) est appelée système de coordonnées
n
barycentriques du point M dans le repère affine (A0 , … , An). Lorsque de plus ∑
i = 0
normalisé.
Hannon.J - 4 -
α i = 1 , on dit que le système est
Conséquence : Si (xj,1 , …. , xj,n) désignent les coordonnées normalisées de Aj dans un repère affine de E, les
α j xj,i
j = 1
coordonnées (g1 , … , gn) de G = bar { (Aj , αj)1 < j < n } sont gi = n
∑ α j
j = 1
3. Applications :
3.1 Lecture de barycentre :
On considère les 2 figures ci-dessous, et l’on demande d’exprimer D comme barycentre des points A, B et C.
Dans la deuxième figure, ABCD est un parallélogramme.
Dans la 1 ère figure, D est le milieu de [CT] donc D est barycentre de (C,3) (T,3). Or T est barycentre de (A,2) (B,1) et
donc par associativité D est barycentre de (A,2) (B,1) (C,3)
⎯→ ⎯→ → ⎯→ ⎯→ ⎯→ →
Dans la deuxième figure, DA + BC = 0 ⇒ DA – DB+ DC= 0 et donc D est barycentre de (A,1) (B,-1) (C,1)
3.2 Ensembles de points :
Théorème 2 : Soit G barycentre de { (Ai , α i ) 1 < i < n } . Alors ∀ M ∈ E, on a :
⎯→ ⎯→ n ⎯→
MA1+ … + MAn = ∑ α i MG
i = 1
Démonstration : Evident en utilisant Chasles et le fait que G barycentre de { (Ai , α i ) 1 < i < n }
Application : Soit A, B, C trois points de l’espace non alignés et k un réel de l’intervalle [-1 , 1]
Soit Gk le barycentre du système (A,k² + 1) (B,k) (C,-k)
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
1. Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que || 2MA
+ MB– MC|| = || 2MA
– MB + MC||
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
2. Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que || 2MA
+ MB– MC|| = || 2MA
– MB - MC||
Solution : 1. G1 barycentre de (A,2) (B,1) (C,-1) donc pour tout point M de l’espace 2
⎯→
MA +
⎯→
MB–
⎯→
MC = 2
⎯→
MG1
n
∑

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⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
G-1 barycentre de (A,2) (B,-1) (C,1) donc pour tout point M de l’espace 2MA
- MB + MC = 2 MG-1
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
⎯→ ⎯→
Ainsi || 2MA
+ MB– MC|| = || 2MA
– MB + MC|| ⇔ || 2 MG1 || = || 2 MG-1 || ⇔ 2 MG1 = 2 MG-1 ⇔ MG1 = MG-1
L’ensemble cherché est le plan médiateur du segment [G1G-1]
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
2. On sait que 2MA
+ MB– MC = 2 MG1.
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
2MA
– MB - MC = 2 MA - MA - AB - MA - AC = - ( AB + AC)
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
⇒ || 2MA
– MB - MC|| = || - ( AB + AC) || = || AB + AC ||
⎯→ ⎯→ ⎯→
Soit D le point tel que ABDC soit un parallélogramme, AB + AC = AD.
⎯→ ⎯→
On appelle I le milieu de [BC], alors AD = 2 AI
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
Alors || 2MA
+ MB– MC|| = || 2MA
– MB - MC|| ⇔ || 2 MG1 || = || 2 AI || ⇔ MG1 = AI
L’ensemble cherché est la sphère de centre G1 et de rayon AI
Hannon.J - 5 -