Analyse de la robustesse d'un système asservi

An alyse d e la
Robu stesse
d es Systèm es Asservis
ULP – ENSPS 3a ISAV- MASTER ISTI
Ed ou ard Laroch e
laroch e@lsiit.u - strasbg.fr
h ttp :/ / eavr.u -
strasbg.fr/ ~ laroch e/ stu d en t/

+
Problém atiqu e
-
correcteur
Process
• Souvent, le correcteur est établi pour un
modèle du processus correspondant au
fonctionnement nominal
• Robustesse en stabilité: le système bouclé est- il
stable malgré des variations de comportement
du modèle ?
• Robustesse en performance : les performances
sont elles conservées malgré des variations de
comportement du modèle ?
u
y
2

Les sou rces d ’erreu r d e
m od élisation
• Param ètres m al con n u s (m al id en tifiés
ou qu i varien t len tem en t)
• Erreu rs d e m od élisation :
- certain s p aram ètres su bissen t d es
variation s d on t on n églige les
d yn am iqu es
- certain es d yn am iqu es son t n égligées
d an s le m od èle d e syn th èse
3

Bu ts d e cet en seign em en t
• Don n er les bases th éoriqu es
(con cep ts et th éorèm es)
• Don n er u n e ‘cu ltu re’ (les ou tils
d isp on ibles p ou r l’an alyse d e la
stabilité, le vocabu laire)
4

Plan de l’exposé
A- In trod u ction
B- Robu stesse d es systèm es à
p aram ètres con stan ts in certain s
(m od èle LFR)
C- Robu stesse d es systèm es à
p aram ètres varian t d an s le tem p s
(m od èle LPV affin e)
5

Bibliograp h ie (1)
• Duc G. and Font S., Com m ande H et μanalyse ‑ ,
∞
Hermes, 1999
• Balas G.J., Doyle J.C., Glover K., Packard A. and
Smith R., μ- Analysis and Synthesis Toolbox, The
MathWorks, 1994
• Boyd S., El Ghaoui L., Feron E. and Balakrishnan V.,
Linear Matrix Inequalities in System and Control
Theory, SIAM, 1994
• Fan M.K.H., Tits A.L. and Doyle J.C., Robustness in
the presence of mixed parametric uncertainty and
unmodeled dynamics, IEEE trans. Autom atic Control,
vol. 36, no. 1, 1991
• Ferreres G., A Practical Approach to Robustness
Analysis with Aeronautical Applications, Kluwer
6
Academic Publishers, 2001.

Bibliograp h ie (2)
• Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J. and Chilali M.,
LMI Control Toolbox, The MathWorks, 1995
• Magni J.F., Linear Fractional Representations with a
Toolbox for use with Matlab, rapport technique,
ONERA, 2001
• Scherer C. and Weiland S., Lecture Notes on DISC
Course on Linear Matrix Inequalities in Control,
Université de Delft (Pays- Bas), 1999,
h ttp :/ / www.ocp .tu d elft.n l/ sr/ p erson al/ Sch erer/
• Young P.M. and Doyle J.C., Computation of μ with
real and complex uncertainties, proc. of Conference
on Decision and Control, pp. 1230- 1235, 1990
• Zhou K., Doyle J.C. and Glover K., Robust and
7
Optim al Control, Prentice ‑
Hall, 1996

Ou tils m atlab
● μ- Analysis and Synthesis Toolbox : calcul de μ
● LMI toolbox m atlab : solver LMI + fonctions
d’analyse et de synthèse pour m odèles LPV
● LMI toolbox (El Guaoui) : solver LMI
http:/ / robotics.eecs.berkeley.edu/ ~ elghaoui/ lmitool/ l
mitool.html
● LMI toolbox (SEDUMI) : solver LMI
http:/ / fewcal.kub.nl/ sturm/ software/ sedumi.html
● LFR toolbox : création et m anipulation de
représentations linéaires fractionnaires (LFR),
http:/ / www.onera.fr/ dcsd
8

T
Notation s et acron ym es
( ) ( ( ) ) T
θ = M
M θ
LTI: linéaire à temps invariant
LTV: linéaire à temps variant
LPV: linéaire à paramètres variants
LFR: linear fractional representation
LFT: linear fractional transformation
LMI: linear matrix inequality
co : enveloppe convexe
9

A- Introduction
A1- les d ifféren ts typ es d e m od èles
A2- in égalités m atricielles affin es (LMI)
A3- con vexité
A4- m éth od es d ’an alyse d e la stabilité
A5- critères d e p erform an ce
A6- les d ifféren ts p roblèm es d e
robu stesse
A7- exem p le traité

A1- Différents ty pes de
modèles
• Systèm e LTI
• Systèm e LTV
• Systèm e LPV
• Systèm e qu asi- LPV
• Systèm e n on - lin éaire
11

Systèm e lin éaire à tem p s
in varian t (LTI)
u
u y
x
y
⎧x
= Ax + Bu
⎨
⎩y
= Cx + Du
nu
∈ R y = G(
s)
x ∈ R
y ∈ R
n
n
G
G
u
( s)
= C ( sI − A)
n
x
ny×
nu
( s)
∈ R
−1
B + D
12

Systèm e lin éaire à tem p s
varian t (LTV)
u y
⎧ x = A(
t)
x + B(
t)
u
⎨
⎩ y = C(
t)
x + D(
t)
u
13

θ ∈ Θ
Θ
θ
w
k0
θ
Systèm e lin éaire à
p aram ètre varian t (LPV)
u
θ
[ ] [ ]
θ ;
θ × θ ; θ
( ) θ + θ
( ) θ − θ
⎧
⎨
⎩
[ ] θ ; θ = [ θ − w ; θ + w ]
k
=
k
=
=
k
⊂
1
1
2
1
2
R
1
n
k
k
θ
k0
2
k
k
k
2
×
k0
x
y
=
A(
θ)
x + B(
θ)
u
= C(
θ)
x + D(
θ)
u
× ⎡θ ⎢⎣ n ; θ
Θ
On parle de système quasi- LPV si θ = Fx
k
n
Θ
⎤
⎥⎦
y
14

Systèm e n on - lin éaire
u y
⎧x
=
⎨
⎩y
=
f ( x,
u,
θ)
g(
x,
u,
θ)
f
: R
g : R
Le modèle linéarisé est un modèle LPV :
A(
x
B(
x
0
0
, u
, u
0
0
⎧
⎨
⎩
x
y
=
=
A(
x
C(
x
0
0
∂f
, θ)
= ( x
∂x
∂g
, θ)
= ( x
∂x
0
0
, u
, u
, u
, u
0
0
0
0
, θ)
x + B(
x
, θ)
x + D(
x
, θ)
, θ)
B(
x
D(
x
0
0
0
, u
0
, u
, u
0
0
, u
n
n
0
0
x
x
×
×
, θ)
=
, θ)
=
R
R
, θ)
u
n
n
, θ)
u
u
u
×
×
∂f
( x
∂u
∂g
( x
∂u
Attention, le choix des variables d’état est fondamental
15
pour la simplicité du modèle
0
0
R
R
n
n
, u
, u
θ
θ
0
0
→
→
, θ)
, θ)
R
R
n
n
x
y

A2- Inégalités Matricielles
Affines
• LMI = lin ear m atrix in equ ality
16

Défin ition d e la p ositivité
• Soit M, une m atrice de R n×n .
• M est dite définie positive et on note M > 0, si
et seulem ent si
x
T
Mx
• Équivalent à : vp(M) > 0
> 0 ∀x
∈ R , x ≠
• Rem arque : On travaille sur des m atrices
sym étriques
n
0
17

In égalités m atricielles
affin es (1)
• Soit M 0, …, M p, p+ 1 m atrices de R n×n .
• Le problèm e consistant à trouver x 1, …, x p
tels que
M
0
+ 1 1 + + p p M x M x
constitue une inégalité matricielle affine
(AMI ou LMI)
<
0
18

In égalités m atricielles
affin es (2)
• Le p roblèm e d u typ e trou ver u n e
m atrice Q sym étriqu e strictem en t
p ositive telle qu e
A T
Q
+ QA
où A est d on n ée, se ram èn en t au
p roblèm e p récéd en t en p osan t
Q
=
⎡ x
⎢
⎣x
d an s le cas d e m atrices 2×2.
1
2
x
x
2
3
⎤
⎥
⎦
<
0
19

M
M
LMI : p rop riétés
< N ⇔ M − N
< γI
⇔ vp(M )
Un système de plusieurs LMI est une LMI:
M
> 0⎫
⎬ ⇔
N > 0 ⎭
⎡M
⎢
⎣ 0
<
<
γ
0
N
0
⎤
⎥
⎦
>
0
20

Ed iteu rs LMI
• In terfaces vers les solveu rs:
– LMI control toolbox (commercial)
– LMI tools de El Ghaoui
(http:/ / robotics.eecs.berkeley.edu/ ~ elghaoui/ )
– SeDuMi de Peaucelle
(http:/ / www.laas.fr/ ~ peaucell/ SeDuMiInt.html)
– YALMIP
(http:/ / control.ee.ethz.ch/ ~ joloef/ yalmip.php)
21

lm ied it (toolbox LMI
con trol)
22

A3- Conv exité
• en sem ble con vexe
• fon ction con vexe
• m u lticon vexité
23

En sem ble con vexe
• Un en sem ble E est d it con vexe si
x ∈ E ⎫
⎬ ⇒ λx
+ ( 1−
λ)
y ∈E
∀λ
∈[
0,
1]
y ∈ E⎭
p ou r tou t cou p le d e p oin ts (x,y), le
segm en t qu i les relie ap p artien t
au ssi à l’en sem ble
Ensem ble convexe
Ensem ble non convexe
24

• Soit
En sem ble con vexe
p articu lier
{ min
max
x x ≤ x x }
E =
\ k k ≤ k
Cet en sem ble est ap p elé
p arallélép ip èd e rectan gle ou boite ;
il est con vexe
25

En velop p e con vexe
• On note co(E) le plus petit ensem ble
convexe contenant l’ensem ble E.
• co(E) est aussi l’ensem ble des
com bianaisons barycentriques des
élém ents de E :
co
{ E}
x 4
x 3
⎪⎧
n
n
= ⎨∑λ
∈ ≤ λ ≤ ∑
k xk
\ x k E,
0 k 1,
λ
⎪⎩
k = 1 k=
1
x1 x 2
co{E}
k
⎪⎫
= 1 ⎬
⎪⎭
E={X 1,X 2, X 3,X 4}
26

Ap p lication 1
• Pour que l’inégalité m atricielle f(x) < 0 affine en
x soit vérifiée sur F = co{E}, il suffit qu’elle soit
vérifiée sur E.
Supposons en effet que la LMI soit vérifiée sur E,
alors:
( x)
= M + ∑ M x < 0 ∀x
= ( x ) ∈ E
f 0
j j
j
j
Et calculons f(x), pour x∈F:
x
=
f x =M 0 ∑ j
( x )
∑λ = ∈ ≤ λ ≤ ∑ k xk
\ xk
kj E,
0 k 1,
k
k=
M j x j =M 0∑ k
k ∑ j
M j∑ k
n
1
λ
k
= 1
k x kj =∑ k
k M 0 ∑ j
0
M x 0
j kj

Fon ction con vexe
• la fonction f est dite convexe ssi
λf(x 1 )+(1- λ)f(x 2 )
( λx
+ ( 1− λ)
x ) ≤ λf
( x ) + ( 1−
) f ( x )
f λ
1
2
c’est- à- dire si le segm ent passe audessus
de la courbe
f(λx 1+(1- λ)x 2)
x 1
λx 1 +(1- λ)x 2
x 2
1
2
28

En sem ble m u lticon vexe
• Un ensem ble E est dit m ulticonvexe s’il est
convexe dans chacune des directions de
l’espace
• Un ensem ble convexe est m ulticonvexe
m ais un ensem ble m ulticonvexe n’est pas
nécessairem ent convexe
• En dim ension 1, convexité et m ulticonvecité
coincident
Ensem ble
m ulticonvexe
Ensem ble non m ulticonvexe
29

Fon ction m u lti- con vexe
• Un e fon ction est m u lti- con vexe si
elle est con vexe d an s ch acu n e d es
d irection s d e l’esp ace
• Un e fon ction con vexe est
n écessairem en t m u lticon vexe
• Il existe d es fon ction s m u lticon vexes
n on con vexes
30

Ap p lication d e la m u lticon
vexité
• Soit f u n e fon ction m u lti- con vexe et
E u n e boite en gen d rée p ar l’en sem ble
E s d e ses som m ets (E = co(E s ))
• f(x) < 0 su r E si f(x) < 0 su r E s
• Au trem en t d it, il su ffit d e vérifier la
con d ition su r les som m ets d e E.
0
x m in
x m ax
31

A4- Analy se de stabilité
• p ôles d ’u n systèm e lin éaire
• th éorèm e d u p etit gain
• th éorie d e Lyap u n ov
32

Pôles d ’u n systèm e lin éaire
• Un systèm e au ton om e lin éaire x = Ax
est stable si les valeu rs p rop res d e la
m atrice A , ap p elées p ôles d u systèm e,
son t à p artie réelle n égative.
• Pou r la stabilité d ’u n systèm e n on
lin éaire x = f ( x)
au tou r d ’u n p oin t
d ’équ ilibre x0 \ f(x 0) = 0, on con sid ère
df
A =
( x ) 0
dx
33

Th éorèm e d u p etit gain
z
Δ(s)
P(s)
• Le système interconnecté est stable ssi | | Δ(s)P(s)| | ∞ < 1
où
M ( s)
max σ(
M ( jω))
∞
=
ω∈R
et σ
est la plus grande des valeurs singulières
v
34

Stabilité au sen s d e Lyap u n ov
(p assivité)
• Soit Σ, un systèm e dynam ique autonom e
• x 0 est un point d’équilibre stable s’il existe une
fonction scalaire V(x) dite fonction de stockage
(storage) vérifiant:
● la condition de m inim um : V x > V x ∀x
≠
● la condition de décroissance :
x =
( ) ( ) 0 x0
( x)
< 0 ∀x
x0
V ≠
f
35
(x)

Stabilité quad ratique
• On d it d ’u n systèm e qu ’il est
qu ad ratiqu em en t stable s’il existe u n e
fon ction d e Lyap u n ov qu ad ratiqu e V(x)
= xTQx, où Q = QT > 0 telle qu e
( x)
<
0 ∀x
x0
V ≠
• Pou r le systèm e x = f (x)
T T T
T T
V ( x)
= x Qx + x Qx
= f ( x)
⋅Q
⋅ x + x ⋅Q⋅
f ( x)
36

Stabilité quad ratique :
systèm e LTI
• Le systèm e LTI est stable ssi
∃ Q = Q T x = Ax
> 0 vérifian t la LMI :
A T
Q
+ QA
<
0
37

A5- Analy se des
performances
• Norm e H ∞
• Dissip ativité
38

Norm e H ∞
• On d éfin it la p erform an ce d ’u n
systèm e p ar la n orm e H ∞ d ’u n tran sfert
m u lti- variable
• Le n iveau d e p erform an ce réalisé est γ
w
P(s)
z
M
( s)
≤ γ
∞
39

Dissip ativité
• Soit Σ, un systèm e dynam ique et S(u,y) une
fonction scalaire (dite d’alim entation ou
supply)
• Σ est dit S- dissipatif (stricte) s’il existe
une fonction de stockage V(x) telle que
( x)
<
S ( u y)
V ,
40

Fon ction d ’alim en tation
qu ad ratique
• {Q 1,Q 2,Q 3}- d issip ativité
⎡y⎤
⎡
Q
Q
⎤⎡y⎤
1 3
( u,
y)
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢
⎥
⎣u
⎦ ⎣Q3
Q2⎦⎣u
⎦
S T
T
41

•
Dissip . : systèm e LTI (1)
• {Q 1,Q 2,Q 3}- d issip ativité
1 3
1 3
( u,
y)
= ⎢ ⎥ ⎢ T ⎥⎢
⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢
⎥⎢
⎥
⎣u
⎦ ⎣Q3
Q2⎦⎣u
⎦ ⎣u⎦
⎣0
I ⎦ ⎣Q3
Q2
⎦⎣0
I ⎦⎣u⎦
•
⎧x
= Ax + Bu
Σ:
⎨
⎩y
= Cx + Du
⎡y⎤
T
⎡
Q
Q
⎤⎡y⎤
⎡x⎤
⎡C
D⎤
S T
V
⎡x⎤
T T
( x)
= x Qx + x Qx
= ⎢ ⎥ ⎢ T ⎥⎢
⎥
⎣u⎦
B Q 0 ⎣u⎦
T
⎣
T
T ⎡ A Q + QA
T
⎡
Q
QB⎤⎡x⎤
⎦
Q
⎤⎡C
D⎤⎡x⎤
42

⎡A
⎢
⎣
Dissip . : systèm e LTI (2)
• Σ est {Q 1,Q 2,Q 3}- d issip atif s’il existe
Q = Q T > 0 tel qu e
T
Q+
QA
−C
QC
QB
− C
T
T
T
1
1
3
*
T
T T
− D Q1
D−
D Q3
− Q3
D −Q2
• Dém o : il su ffit d ’écrire
Q D −C
Q
⎤
⎥
⎦
( x)
<
S ( u y)
V ,
< 0
43

Lem m e d e Yaku bovitch -
Kalm an
• Les propositions suivantes sont équivalentes:
Σ est {Q 1,Q 2,Q 3}- dissipatif
– ∀ω ∈ R\ det(jω I- A)≠0,
G
⎢
⎣
T
( ) Q Q ( )
⎡ jω
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣Q
1
T
3
≥ 0
• Dém o: en fréquentiel, u(t)= e jω t , y(t)= G(jω )e jω t et
V
( x)
= 0
I
→ Extension des critères de perform ance H∞ aux
systèm es non linéaires et LPV
Q
3
2
⎤⎡G
jω
⎥⎢
⎦⎣
I
⎤
⎥
⎦
44

• Soit
Systèm e LTI : n orm e H ∞
S
• Les propositions suivantes sont
équivalentes:
Σ est S- dissipatif
– | | Σ| | ∞ < γ
2 T T
( y,
u)
= γ u u − y y = ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥⎢
⎥
⎣u⎦
⎣ 0 γ I⎦⎣u
⎦
• Dém o: Q 1= - I, Q 2 = γ 2 I et Q 3 = 0;
YK : G * (jω )G(jω ) < γ 2 I
⎡y⎤
⎡−
I
⎤⎡y⎤
⇔ vp( G * (jω )G(jω ) ) = σ 2 ( G(jω ) ) < γ 2
• On parlera alors de γ - dis sipativ ité
T
0
45

Systèm e LTI : n orm e H ∞ (2)
Pou r u n systèm e LTI H(s),
la γ - d issip ativité est
équ ivalen te à | | H(s)| | ∞ < γ
46

Lem m e born é réel
(bound ed real lem m a BRL)
• | | Σ| | ∞ < γ ssi ∃ Q = Q T > 0 vérifian t
la LMI
⎡A
⎢
⎣
T
Q+
QA
+ C
B
T
Q+
D
T
C
T
C
T QB
+ C D⎤
T 2 ⎥
D D−
γ I⎦
<
0
47

BRL et com p lém en t d e
Sch u r
• Com p lém en t d e Sch u r
⎡ T
⎢
⎣U
T
U⎤
V
⎥
⎦
⎧V
< 0
< 0⇔
⎨
⎩T
−UV
• Ap p lication au BRL
[
T
A QQAC T C QBC T D
B T QD T C D T D− 2 I]
−1
T
U
< 0
=[ A T QQA QB
B T Q − 2 I]
T
−[ CT
U
D T]
−1
−I [C D]
V
48

BRL : form e éten d u e
• | | Σ| | ∞ < γ ssi existe Q = Q T > 0 vérifiant la LMI
⎡A
⎢
⎢
⎢
⎣
T
Q+
QA
B
T
C
Q
QB
− γ
2
D
I
T
C ⎤
T ⎥
D ⎥ <
− I⎥
⎦
0
49

A6- Notions de robustesse
• p roblèm e stan d ard
• p aram ètres con stan ts / varian ts
• robu stesse en stabilité / p erform an ce
50

51
Problèm e stan d ard (1)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
θ
+
θ
=
θ
+
θ
+
θ
=
θ
+
θ
+
θ
=
θ
w
D
x
C
e
u
D
w
D
x
C
z
u
B
w
B
x
A
x
s
P
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
:
)
,
(
21
2
12
11
1
2
1
( )
⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
e
D
x
C
u
e
B
x
A
x
s
K
K
K
K
K
K
K
K
:
P(s, θ)
K(s)
e
u
w z
θ
Processus LPV
Correcteur LTI
θ∈ Θ
Σ
∈
θ

x
M
=
⎡x
⎢
⎣x
K
Problèm e stan d ard (2)
⎤
⎥
⎦
⎡A
⎢
⎣C
θ
w M(s, θ) z
Ms, : x M = A M x M B M w
z = C Mx MD M w
M
M
B
D
M
M
⎤
⎥
⎦
⎡ A + B2D
K C2
⎢
=
⎢
BK
C2
⎢
⎣C1
+ D12D
K C
2
B
D
2
A
12
C
K
C
K
k
B
D
1
11
+
+
B
B
K
D
2
D
12
D
K
21
D
D
K
52
21
D
21
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦

Param ètres con stan ts
in certain s
• Dan s ce cas, les m éth od es d ’an alyse d es
systèm es lin éaires son t p ertin en tes
→ On p eu t s’in téresser au x p ôles d u
systèm e et à la n orm e H ∞ d es tran sferts
→ Partie B d u cou rs
53

Param ètres varian ts
• Dans ce cas, le vecteur des param ètres
apparaît com m e une entrée supplém entaire
qui est m élangée aux autres signaux
→ le systèm e est non- linéaire et la stabilité ne
peut être étudiée avec les outils des systèm es
linéaires
→ partie C du cours
Rq.: Le cas des param ètres constants est un cas
particulier de celui où les param ètres varient
54

Stabilité / p erform an ce
• Si le systèm e est stable pour l’ensem ble
des variations des param ètres, on dit qu’il
est robuste en s tabilité ou robustement
s table
• Si le systèm e respecte les critères de
perform ance pour l’ensem ble des
variations des param ètres, on dit qu’il est
robuste en performance
• La robustesse en perform ance inclut la
robustesse en stabilité
55

Marge d e robu stesse
• On d éfin it la m arge d e robu stesse
com m e la d ilatation qu e l’on p eu t
im p oser su r le d om ain e d e variation
d es p aram ètres tou t en con servan t la
robu stesse
• Le systèm e est robu ste si la m arge d e
robu stesse est su p érieu re ou égale à 1
56

Pessim ism e ou op tim ism e
• Si l’évalu ation d e la robu stesse est
op tim iste (ex.: on n e tien t p as com p te
d e tou s les cas), alors on obtien t u n e
born e su p érieu re d e la m arge d e
robu stesse
• Si l’évalu ation d e la robu stesse est
p essim iste (sou ven t d û à la m éth od e),
alors on obtien t u n e born e in férieu re
d e la m arge d e robu stesse
57

A7- Exemple traité
• Descrip tion
• Résu ltat d e l’asservissem en t
su r le m od èle n om in al
• Mod èle
• Problèm e d e robu stesse
58

Exem p le traité (1)
• systèm e flexible en rotation
• asservissem en t d e la vitesse d e la
ch arge
Ω 2 *
action n e
u r
u
régulate
ur
transm ission
souple
ch arge
u : couple (N.m)
y = Ω 2 : vitesse de la charge (rad/ s)
Ω 2
59

Exem p le traité (2) : sch ém a
d e sim u lation
Clock
Step1
t
To Workspace2
r
To Workspace5
NumK(s)
DenK(s)
Correcteur
U
To Workspace1
u y
Processus
y
To Workspace4
60

Exem p le traité (3) : rép on se
tem p orelle
r, y
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
réponse à un échelon
0
0 0.5 1 1.5
temps (s)
61

Exem p le traité (4) :
équation s p h ysiqu es
⎧dθ
⎪ dt
⎪
⎪ d
⎪dt
⎨
⎪dθ
⎪ dt
⎪
⎪
d
⎪⎩
dt
1
= Ω
( J Ω ) = C − f Ω − K ( θ − θ ) − f ( Ω − Ω )
2
1
= Ω
( J Ω ) = − f Ω + K ( θ − θ ) + f ( Ω − Ω )
2
1
1
2
2
2
1
2
1
Ω1 , θ1 : vitesse et position de l’actionneur (rad/ s)
Ω2 , θ2 : vitesse et position de la charge (rad/ s)
K : constante de raideur de l’accouplement (N.m/ rad)
f , f 1, f 2 : coefficients de frottement de l’accouplement,
de l’actionneur et de la charge (N.m.s)
1
1
2
2
1
1
2
2
62

Exem p le traité (5) : m od èle
d ’état
• Le m od èle s’écrit au ssi
x˙ = 1 1
J1 x 2
x˙ 2 =−K x1− f 1f
J1 x˙ = 3 1
J2 x 4
x 2 K x 3 f
J 2
x˙ 4 =K x1 f
J1 x2−K x3− f f 2
J2 y = 1
J2 x4 x 4
x 4 u
63

Exem p le traité (6) :
p roblèm e d e robu stesse
• On con sid èrera qu e les p aram ètres
K et J 2 son t in certain s d an s u n
in tervalle
K ∈
[ −K
; K ]
J
2
∈ [ −J
2
; J
2
]
64

B- Système à Paramètres
Constants Incertains
B1- Balayage d e l’esp ace p aram étriqu e
B2- Rep résen tation lin éaire
fraction n aire (LFR)
B3- Valeu r sin gu lière stru ctu rée (μan
alyse)
65

B1- Balay age de l’espace
paramétrique
• Le sy stème est robuste en stabilité
si chacun des sy stèmes M(θ), θ∈ Θ
est stable (ap p roch e m u lti- m od èle)
66

Stabilité d ’u n systèm e
lin éaire: valeu rs p rop res
• Méthode: calculer les valeurs propres pour
différentes valeurs de param ètres
• Soit Θ un sous ensem ble fini de Θ.
~
• Le systèm e est stable si les pôles de A M sont à
partie réelle strictem ent négative pour θ ∈ Θ .
~
• Il s’agit d’une condition nécessaire et non
suffisante car on n’explore qu’une partie de Θ.
67

Résu ltats su r l’exem p le (1)
Partie réelle toujours négative → Système robustement stable
68

Marge d e robu stesse (1)
• But: chercher le plus grand ensem ble des
param ètres tel que le systèm e reste stable
• Soit rΘ défini ainsi:
[ θ − ; θ + rw ]
θk ∈ k0
rwθ k0
θ
• Soit φ (r) : R + → R
φ
( r ) = max real λ ( A ( θ)
)
~
θ∈rΘ
k=
1,
, n
AM
k
k
M
k
69

Marge d e robu stesse (2)
• φ (0) < 0 est une condition nécessaire de
stabilité nom inale
• φ (1) < 0 est une condition nécessaire de
stabilité robuste
• On définit r * , la m arge de robustesse (en
stabilité) com m e la plus petite valeur de r
am enant le systèm e en lim ite de stabilité:
*
r = min arg φ(
r)
= 0
r∈R
• Le dom aine de stabilité est alors (contenu
dans) r * Θ.
+
70

Résu ltats su r l’exem p le (2)
→ Marge de robustesse r * = 1,875 > 1 ⇒ système
robustement stable pour θ k∈[θ k0- r * w k; θ k0+ r * w k], θ ∈{K, J 2}
71

Résu ltats sur l’exem p le (3)
lieu des pôles limite
pour r * = 1,875
• pire cas obtenu pour δ 1 = - 1.875 et δ 2 = - 0,21
72

Robu stesse en p erform an ce (1)
• Les perform ances sont spécifiées par une
m ajoration sur la norm e H ∞ du transfert T z w(s)
entre les signaux exogènes:
T zw
( s)
≤ γ
∞
• Par exem ple, on place une pondération W1(s) sur l’erreur de régulation et on souhaite
W ( ) ( ) 1 s Ter
s ≤ 1 où T er(s) est la sensibilité
∞
(transfert entre la référence et l’erreur)
73

Robu stesse en p erform an ce (2)
• Soit
*
γ = ,
max ~
θ∈Θ
T zw
( s θ)
∞
• Le systèm e est robuste en perform ance si γ * ≤1
(condition nécessaire).
• La m arge de robustesse (en perform ance) est
r * = 1/ γ * (m ajorant de la m arge de robustesse).
74

Lim ites d e cette m éth od e
• Tem ps de calcul exponentiel en fonction
du nom bre de param ètres et de la finesse
de l’échantillonnage.
• Évaluation optim iste de la robustesse
75

B2- Représentation
linéaire fractionnaire (LFR)
• LFR et m odèle LPV
• Écriture des équations où les param ètres sont
écrits avec le m oins de redondance possible
• Écriture du schém a bloc faisant apparaître les
param ètres
• Bouclage avec le correcteur
• Norm alisation
76

LFR et m od èle LPV
u
Δ(δ)
v z
M(s)
H(s) y
• Une LFR est un m odèle LPV particulier où
les param ètres sont regroupés dans une
m atrice de gains Δ(δ) qui est bouclé avec
un systèm e LTI : H(s)
77

• Soit
LFR et m od èle LPV (2)
H
⎧x
⎪
z
( s)
: ⎨
⎪⎩
y
=
=
=
Ax
C
C
1
2
v +
• La LFR est dite ‘bien posée’ si I- D 11Δ est
inversible et alors
⎪⎧
~ ~
x = Ax
+ Bu
M ~ ~
y = Cx
+ Du
( s)
: ⎨
⎪⎩
x
+
x + D
+
B
1
D
v +
11
v
21
B
+
2
u
D
D
12
u
22
u
A=AB 1 I−D 11 −1 C 1
B=B 2 B 1 I−D 11 −1 D 12
C=C 2 D 21 I−D 11 −1 C 1
D=D 22 D 21 I−D 11 −1 D 12
78

LFR et m od èle LPV (3)
• Tout m odèle LPV dont les m atrices d’état
sont des fonctions rationnelles des
param ètres et où les param ètres ne sont pas
des pôles peut se m ettre sous form e de LFR
• Si D11 = 0, il s’agit d’un m odèle LPV affine
(les m atrices d’état sont des fonctions affines
de param ètres)
• Souvent, la m atrice Δ est diagonale et chacun
des param ètres est répété un certain nom bre
de fois
• Il existe des m éthodes d’analyse des
systèm es LFR
79

Écritu re d u sch ém a- bloc
• Mettre le m odèle sous form e de schém abloc
faisant intervenir un nom bre m inim al
de param ètres
1
u
1
s
Integrator
1
s
Integrator1
f1
Gain1
1/ J1
Gain3
1/ J2
Gain4
f2
Gain2
1
s
Integrator2
f
Gain5
1
s
Integrator3
1
y
K
Gain6
80

Mise en p lace d es
in certitu d es
• K et J 2 sont considérés com m e incertains
• Chaque param ètre incertain est norm alisé:
où
⎧K
= K
⎪
⎨ 1
⎪
=
⎩ J2
J
δ k
0
1
+
20
w
1
δ
1
+ w
∈[−1;
1]
⎧
⎪K
K ∈[
−K
; K]
⇒ ⎨
⎪w
⎪ 1
⎩
0
=
=
1
2
1
2
2
δ
2
( K + K )
( K − K )
1
In1
1
In1
w1
Gain7
w2
Gain7
z2
K0
1/ J20
Gain4
d1
z1 v1
Gain4
d2
Gain5
Gain5
v2
1
1
Out1
Out1
81

Mod èle LFR (1)
• On obtien t le m od èle su ivan t
u
Δ(δ 1,δ 2)
v z
⎡δ
1
avec Δ(
δ1,
δ 2 ) = ⎢ ⎥
⎣ 0 δ 2⎦
0
H(s) y
⎤
82

Mod èle LFR (2)
• et le sch ém a- bloc d e H(s)
su ivan t:
3
u
1
s
Integrator
1
s
Integrator1
w2
Gain7
1/ J1
Gain3
1/ J20
Gain4
f1
Gain1
2
z2
f2
Gain2
2
v2
s
Integrator2
1
1
s
Integrator3
f
Gain5
3
y
v z
H(s)
u
y
w2
1/ J20
Gain8
Gain6
v1
1
z1
1
83

84
Mod èle LFR (3)
• Le m od èle d e H(s) s’écrit
( )
2
4
20
4
2
2
3
1
1
1
1
2
2
1
4
20
2
3
0
2
1
1
0
4
2
4
20
3
2
1
0
4
20
3
0
2
1
1
1
0
2
2
1
1
1
1
1
v
X
J
y
X
w
z
X
w
X
w
z
v
f
f
v
X
J
f
f
X
K
X
J
f
X
K
X
v
X
J
X
u
fv
v
K
X
J
f
X
K
X
J
f
f
X
K
X
X
J
X
+
=
=
−
=
+
−
+
+
−
−
+
=
+
=
+
−
−
+
+
+
−
−
=
=

In tégration d u correcteu r
-K(s)
u
v z
Δ(p)
H(s)
y
v z
Δ(p)
M(s)
on parle de produit de Redheffer ou de starproduct
et on note M = H∗(- K)
85

B3- Valeur singulière
structurée (μ- analy se)
• définitions
• calcul direct
• calcul par gridding (échantillonnage
fréquentiel)

Δ
E
Δ
Mod èle M- Δ (1)
• Soit le m odèle suivant:
∈
Δ
∞
E
Δ
=
≤ 1
z
Δ
M(s)
⎪⎧
diag[
δ1Ir
, , δ , 1 , , , 1,
1 sI
r ε I ε Δ
s c1
t Ict
⎨
mi×
mi
⎪⎩ δ i ∈ R,
εi
∈ C,
Δi
∈ C
v
, Δ
F
: ⎪⎫
⎬
⎪⎭
87

z
Δ
M(s)
M ( s)
− Δ :
Mod èle M- Δ (2)
x
v
=
M ( s)
:
Δ :
z = Δv
⎧x
= Ax + Bz
⎨
⎩v
= Cx + Dz
La représentation linéaire fractionnaire (LFR) est bien
conditionnée si I+ DΔ est non singulier et l’équation
dynamique du système bouclé est:
( −1
A + BΔ(
I + DΔ)
C )x
88

Utilisation d u th éorèm e d u
p etit gain
• Théorèm e du petit gain: Stabilité si | | ΔM(s)| | ∞ ≤ 1
• | | Δ(s)| | ∞ ≤ 1⇒ stabilité si | | M(s)| | ∞ ≤ 1
• Condition suffisante m ais non nécessaire qui ne
tient pas com pte de la structure de Δ.
89

μ
Valeu r sin gu lière
stru ctu rée: d éfin ition
⎛
( ) = 0
( M ) = ⎜ inf σ(
Δ)
: det(
I − ΔP
)
⎝
=
Δ∈E
Δ
0
if
det
⎞
⎟
⎠
−1
( I − ΔP
) = 0 ∀ Δ ∈ E .
• 1/ μ est la taille de la plus petite incertitude
capable de déstabiliser le systèm e
• 1/ μ est la m arge de robustesse
• μ(P) < 1 ⇒ s tabilité robus te
,
Δ
90

Calcu l d irect
• Pour Δ donné, le systèm e est stable si les
pôles de A+ BΔ(I+ DΔ) - 1C sont tous à partie
réelle strictem ent négative.
• On travaille alors sur E Δ , un sousensem
ble fini de EΔ. ~
• Si Δ ne com porte que des scalaires réels, il
s’agit d’un cas particulier de la m éthode
présentée au § B.
91

Résu ltats su r l’exem p le
• cf. résultats de l’analyse m ulti- m odèle
• μ = 1/ r * = 0,53 < 1 ⇒ système robustement
stable
92

Calcu l d e μ : Grin d in g
fréqu en tiel
Pour une pulsation ω k,
soit M k := M(jω k) = D+ C(jω k I n–A) - 1 B.
Il s’agit alors d’évaluer la valeur singulière
structurée d’une m atrice M k de gains
com plexes.
On obtient alors différentes valeurs μ k
pour les différentes pulsations. On parle
de « μ- plot ».
μ est le m axim um des μ k.
93

Calcu l d e μ : born e in férieu re
Soit E Q le sous- ensemble de E Δ suivant:
{ }
* *
Q ∈ E : δ ∈[
−1;
1],
ε ε = 1,
Δ Δ = I
EQ = Δ i
i i i i
Il a été montré par Young et Doyle (1990) que:
max ρR
( QM k ) ≤ μ(
M k )
Q∈E
Q
où ρR est la plus grande valeur absolue des valeurs
propres réelles: ρ (
M ) = max λ ( M )
R
ρ R = 0 si M n’a pas de valeur propre réelle
Remarque: cette borne inférieure peut être atteinte
Inconvénient: difficultés de convergence pour les
incertitudes réelles pures
r i
94

Calcul de μ : borne supérieure (1)
principe:
μ(
M k ) ≤ σ(
M k )
idée: considérer l’ensemble E D des matrices
inversibles qui commutent avec les matrices Δ.
{ }
ri
× ri
*
+ *
diag[
D , , D , d I , , d I ] : D ∈C
, D = D > 0,
d ∈
ED 1 s+
t 1 m F m i
i i i
= R
- 1 D
D
M(s)
Δ
1
F
Δ
D - 1 D
M(s)
95

Calcul de μ : borne supérieure (2)
Majorant :
( ) inf ( ≤ μ D DM
∈ σ
M k
k
D E
Remarque : le majorant peut- être atteint
Sous forme de LMI (Fan et al., 1991):
E
D
−1
)
{ }
*
* 2
β : M DM + j(
GM − M G)
− β D ≤ 0
μ(
M k ) ≤ inf min k k
k k
G
=
D∈E
G∈E
D
G
β∈R
+
{ }
* ri
× ri
diag[
G , , G , 0 , , 0 , 0 , , 0 : G = G ∈C
1
s
c
1
c
t
m
1
m
f
i
i
96

Calcul de μ : borne supérieure (3)
Majorant :
μ ( ) ≤ inf σ(
DM D
Δ
M k
k
D∈E
Remarque : le majorant peut- être atteint
Inconvénient 1 : présence de pics étroits qui
risquent d’être minorés (surtout pour les systèmes
flexibles)
Inconvénient 2 : La matrice Δ n’est pas calculée, on
ne connaît donc pas le pire cas.
D
−1
)
97

Utilisation sou s Matlab
• Les born es ‘in f’ et ‘su p ’ son t
d isp on ibles avec les fon ction s m u
d e la ‘toolbox’ « μ- an alysis an d
syn th esis » et m uss d e la Robu st
con trol toolbox v. 3
98

Résu ltat su r l’exem p le
● μ ≤ 0,88 < 1 ⇒ système robustement stable
• la borne inférieure ne converge pas
systématiquement (incertitudes toutes réelles)
• pic très étroit (même cause)
99

Robustesse en performance (1)
• Pour le critère de perform ance
on obtient le schém a suivant où
− Δ s(θ) contient les param ètres (scalaires réels),
− Δ p est une m atrice com plexe pleine.
z 2 W 1(s)
Δ p
v 2 = r
+
‑
e
K(s)
u
v 1
Δ s(θ)
H(s)
z 1
( s)
T ( s)
≤ 1
W1 er
y
∞
100

Robustesse en performance (2)
• On con stru it alors le systèm e P(s) avec
Δ
v z
P(s)
• La stabilité robu ste est assu rée si μ(P)≤1
Δ
=
⎡
⎢
⎣
Δ
s
0
0
Δ
p
⎤
⎥
⎦
101

Résu ltats su r l’exem p le :
m od èle
3
vp
Δ
=
W1
⎡δ
⎢
⎢ 0
⎢
⎣
0
z3
3
NumW1(s)
DenW1(s)
0
δ
0
δ
0
p
NumK(s)
DenK(s)
Correcteur
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
1
v1
2
v2
v1
v2
u
Processus
1 δ 1∈R; δ 2∈R; δ p∈C;
2
0
W
1
( s)
=
0,
25
s
z1
z2
y
s + 0,
125
1
z1
2
z2
102

Résu ltats su r l’exem p le (2)
● μ < 1 ⇒ systèm e robuste en perform ance
● la borne inférieure converge bien (une
incertitude com plexe)
103

Rem arqu es su r la μ-
an alyse
• Ne pas oublier de vérifier la stabilité du
systèm e central (pour Δ= 0)
• L’analyse considère des param ètres
constants incertains → analyse optim iste
dans le cas de param ètres variants
• S’adresse à des m odèles sous form e de LFR
104

Su p p ression d e
l’éch an tillon n age fréquen tiel
z
M ( s)
:
Δ
M(s)
v
⎧x
= Ax + Bz
⎨
⎩v
= Cx + Dz
• On peut considérer 1/ ω (dans s = jω )
com m e un param ètre incertain
• Pour éviter les problèm es en ω = 0, on
peut utiliser le changem ent de variable
1
1+
δ
=
ω 1−
δ
z
x
⎡1
⎢ s
⎢
⎣
In
⎡A
⎢
⎣C
⎤
⎥
Δ
⎥
⎦
B
D
⎤
⎥
⎦
dx
dt
v
105

C- Systèmes à
paramètres variants
C1- Stabilité qu ad ratiqu e
C2- Stabilité qu ad ratiqu e d ép en d an t
d es p aram ètres
C3- Passivité
106

C1- Stabilité quadratique :
systèm e LPV
• Le systèm e LPV est
quadratiquem ent stable ssi ∃ Q = QT x = A(
θ)x
> 0 tel
que
A T
( θ) Q
+ QA(
θ)
< 0 ∀θ∈
Θ
• Il s’agit d’une LMI (sem i- ) infinie. On peut
chercher à l’évaluer sur un sous- ensem ble
fini Θ de Θ.
~
107

Stabilité quad ratique :
systèm e LPV affin e
• Systèm es LPV affine :
( θ) = + θ + + θnΘ
nΘ
A
A A0
1
A 1
• Soit Θ s l’ensem ble des som m ets de Θ :
∀ Θ est l’ensem ble convexe engendré par Θ s .
s
θk
θ
Θ
s
k
108

Stab. quad . – LPV affin e (2)
• Notons où
• Toute m atrice A(θ) peut s’écrire com m e une
com binaison linéaire des som m ets:
∀θ
∈ Θ,
∃
s
k
( ) ( ) +
α ∈ R
k
( s )
A = A θ
k
θ
⎧
⎪A
⎪
\ ⎨
⎪
⎪
⎩
( θ)
k=
1 ns
ns
s
k
n
s
∈Θ
s
=
∑
k = 1
∑
k=
1
α
n
s
k
α
k
= 1
A
s
k
109

Stab. quad . – LPV affin e (3)
• Prop riété : p ou r u n systèm e LPV
affin e, il su ffit d e vérifier la con d ition
p ou r θ∈ Θ s .
• En effet :
x T A T QQ A x=x T ∑ k=1
n s
n s
=∑ k=1
n s
s
k A k TQQ∑
k=1
k x T
A k
s T QQA k
0
T s
k Ak x
s
x 0
110

Stab. quad . : rem arques
• On obtien t u n e con d ition su ffisan te
(n on n écessaire) d e stabilité.
• La stabilité est évalu ée p ou r d es
variation s arbitraires d es p aram ètres
(san s lim itation su r les vitesses d e
variation ).
• La d ép en d an ce affin e d e la m atrice
d ’état lim ite fortem en t le ch am p
d ’ap p lication .
111

Stab. quad . : Am élioration
• Matrice d e Lyap u n ov Q(θ) d ép en d an te
d es p aram ètres
→ p rise en com p te d es vitesses d e
variation d es p aram ètres
→ la con d ition reste su ffisan te m ais n on
n écéssaire
112

Stabilité quad ratiqu e avec
tau x d e d écroissan ce
• En plus d’une fonction d’énergie
décroissante, on peut chercher à im poser
un taux de décroissance : on cherche Q> 0
telle que
T
V ( x)
< −αx
x
• C’est équivalent à
A θ Q + QA θ + αI
<
T
( ) ( ) 0
• Pour θ donné, cette relation est une LMI en
Q et α.
• On peut chercher Q et α tout en
m axim isant α.
113

C2- Stabilité quadratique
dépendant des paramètres (1)
• L’idée est de chercher un fonction de
Lyapunov dépendant des param ètres:
V(x)= x T Q(θ)x, pour dim inuer le conservatism e.
• La condition de décroissance s’écrit
m aintenant :
˙Vx= ˙x T Qxx T Q ˙xx T ˙Qx
=x T A T QQ A ˙Qx 0
• Pour un m odèle A(θ) affine, on cherchera
égalem ent Q(θ) affine:
( θ) = + θ + + θnΘ
nΘ
Q
Q Q0
1
Q 1
114

SQDP(2)
• Il s’agit donc de vérifier les inégalités
où
( θ)
= θ
( ) 1Q1
+ + θn
Q = Q θ − Q0
Q n
avec Σ l’ensem ble des vitesses adm issibles:
Θ
( ) nθ
θ ∈ Σ ⊂ R
On considère Σs θ = k k = 1 nθ
l’ensem ble des som m ets de Σ:
Σ
s
Q 0
A T QQA ˙Q 0
=
{ { }
σ = [ σ ] : σ ∈ θ , θ
k
k = 1
n
Θ
k
Θ
k
k
115

SQDP(3)
• A cause du produit A(θ)Q(θ), la LMI
AT
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 − θ + θ θ + θ θ Q Q A Q Q
0 <
n'est plus affine en θ. Il ne suffit donc plus
de vérifier l'équation aux som m ets du
dom aine pour qu'elle soit valable partout.
→ utilisation de la m ulticonvexité pour obtenir
une condition suffisante
116

SQDP (4)
• Lem m e
Soit f : Θ⊂ R p → R n×n , Θ= co{Θ s }
et
Θ
s
=
alors ( )
{ θ = [ θ ] : θ ∈ { θ , θ } }
f
∂
2
∂x
x
f
2
<
( x)
k
k = 1
n
Θ
s
0 ∀x
∈ Θ ⎫
⎪
⎬
≥ 0 ∀x
∈ Θ⎪
⎭
k
⇒
f
k
k
( x ) < 0 ∀x
∈ Θ
117

SQDP (5)
• Application: le systèm e LPV affine est
robuste en stabilité s’il existe des m atrices Q k
sym étriques vérifiant:
⎧Q(
θ)
> 0
s
∀ θ ∈ Θ
⎪
T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎨A
θ Q θ + Q θ A θ + Q θ − Q0
< 0
⎪ T
⎪⎩
Ak
Qk
+ Qk
Ak
≥ 0 ∀ k = 1,
, nθ
∀ ( θ θ ) s
, ∈ Θ × Σ
• Il s’agit de résoudre + + θ LMIs dont
les inconnues sont les Qk. θ
θ n n
2
4 n
118
s

fon ction s d e la LMI toolbox
• Fonctions s’adressant à des systèm es LPV
polytopiques ou affines:
• quadstab : stabilité quadratique
• decay : taux de décroissance de la fonction de
coût quadratique
• quadperf : calcule la norm e H ∞ m axim ale
• pdlstab : stabilité quadratique dépendant des
param ètres
119

C3- Dissipativ ité d’un sy stème
LPV
• Soit Σ un systèm e LPV :
∀ Σ est S- dissipatif s’il existe Q = QT ⎧x
= A(
θ)
x + B(
θ)
u
⎨
⎩y
= C(
θ)
x+
D(
θ)
u
> 0
vérifiant, pour tout θ∈ Θ la LMI sem i- infinie :
⎡A
⎢
⎢⎣
T
( ) ( ) ( )
T
θ ⋅Q+
Q⋅
A θ + C θ ⋅C(
θ)
( ) ( )
T
Q⋅
B θ + C θ ⋅ D(
θ)
T ( θ)
T
B ⋅Q+
D ( θ)
⋅C(
θ)
T ( ) ( ) 2
D θ ⋅ D θ − γ I
• Cette LMI peut être évaluée sur un sousensem
ble fini Θ ⊂ Θ
• LMI non affine en A, B, C et D
~
120
⎤
⎥ < 0
⎥⎦

Dissip ativité d ’u n systèm e
LPV
• Soit Σ un systèm e LPV :
∀ Σ est S- dissipatif s’il existe Q = QT ⎧x
= A(
θ)
x + B(
θ)
u
⎨
⎩y
= C(
θ)
x+
D(
θ)
u
> 0
vérifiant, pour tout θ∈ Θ la LMI sem i- infinie :
T ⎡A
( θ)
⋅Q+
Q⋅
A(
θ)
⎢ T
⎢ B ( θ)
⋅Q
⎢
( ) ⎣
C θ
Q⋅
B(
θ)
2
− γ I
D(
θ)
T
C ( θ)
⎤
T ⎥
D ( θ)
⎥ < 0
− I ⎥
⎦
• Cette LMI peut être évaluée sur un sousensem
ble fini Θ ⊂ Θ
~
121

Dissip . : systèm e LPV affin e
• Systèm e LPV affine :
⎧A
⎪
⎪B
⎨
⎪C
⎪
⎩
D
( θ)
( θ)
( θ )
( θ )
=
=
=
=
A
B
C
0
0
D
0
0
+
+
+
+
θ
θ
θ
1
1
1
θ
• LMI affine en θ → il suffit de la vérifier aux
som m ets Θ s de Θ.
1
A
B
C
1
1
1
D
1
+
+
+
+
+
+
+
+
θ
θ
θ
n
n
n
θ
Θ
Θ
Θ
n
Θ
A
B
C
n
n
n
D
Θ
Θ
Θ
n
Θ
122

Dissip ativité :
in terp rétation
• Si le systèm e LPV Σ est S- d issip atif
alors:
– il est stable pour toute trajectoire de θ
dans Θ (x tend vers z éro pour u = 0)
– | | Σ| | ∞ < γ pour tout θ figé dans Θ.
123

Dissip . d e systèm e LPV :
rem arqu e
• La robustesse est évaluée sans restriction
sur les vitesses de variation des
param ètres
→ Introduction d’une m atrice de Lyapunov
Q(θ) dépendant des param ètres
124

Récapitulatif des différentes
méthodes d’analyse de la stabilité
Mod èle
Dyn am iqu e
d es
p aram ètres
Marge d e
robu stesse
μ- an alyse
LPV affin e +
LFR
n u lle
born es in f. et
su p .
Stabilité qu ad ratiqu e
m atrice
con stan te
LPV affin e
in fin ie
born e in f
d ép en d an t
d es
p aram ètres
LPV affin e
born ée
born e in f
125

Récapitulatif des différentes méthodes
d’analyse des performances
Mod èle
Dyn am iqu e
d es
p aram ètres
Marge d e
robu stesse
μ- an alyse
LPV affin e +
LFR
n u lle
born es in f. et
su p .
Dissip ativité qu ad ratiqu e
m atrice
con stan te
LPV affin e
in fin ie
born e in f
d ép en d an t
d es
p aram ètres
LPV affin e
born ée
born e in f
126