système bielle-manivelle - Itterbeek Roger

ANNEXE 1 : SYSTÈME BIELLE-MANIVELLE ........................................ - 1 -
1.1. Cinématique ......................................................... - 1 -
1.1.1. Description et définition ....................................... - 1 -
1.1.2. Etude analytique du mouvement ................................. - 1 -
A) Mouvement de la tête de la bielle............................. - 2 -
B) Mouvement du pied de la bielle .............................. - 2 -
C) Mouvement de la bielle autour du pied de bielle................. - 4 -
1.1.3. Mécanismes : relations de ROGER ............................... - 6 -
1.2. Dynamique .......................................................... - 8 -
1.2.1. Bielle équivalente............................................. - 8 -
1.2.2. Forces externes et forces d’inerties .............................. - 10 -
Version du 31 août 2010 (15h37)

1.1. Cinématique
1.1.1. Description et définition
ANNEXE 1 : SYSTÈME BIELLE-MANIVELLE
Le système bielle-manivelle permet la transformation d'un mouvement circulaire continu en
mouvement rectiligne alternatif (application aux pompes, compresseurs alternatifs, ...) et réciproquement
mouvement rectiligne alternatif en mouvement circulaire continu (application aux moteurs à pistons); la
figure ci-dessous en présente le principe.
fig. BM.1. - Principe du système bielle-manivelle
OB est la “manivelle” de rayon rm, entraînée à la vitesse angulaire :
AB
est la “bielle” de longueur l b ; A est appelé “pied de bielle” et B est appelé “tête de bielle”.
Le pied de bielle décrit une trajectoire rectiligne, entre A 0 (“Point Mort Haut”) et A 1 (“Point Mort
Bas”); la distance A 0A 1 est la “course” du pied de bielle. Si la droite qui contient cette trajectoire passe
par O, le mécanisme est dit “à attaque centrale”; sinon, le système bielle-manivelle est “à attaque
excentrée”.
1.1.2. Etude analytique du mouvement
fig. BM.2. -
Dans le cas d'un système à attaque centrale, la position d'un point M quelconque de la bielle est
décrite par :
OM OB BM rm 1 BM 1
pour : 0 BM lb
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avec :
1cos 1x sin
1y
1cos 1 sin
1
x y
Or : rm sin lb
sin
rm
sin sin
lb arcsin
lb rm
sin
En posons :
lb
r
k , nous obtenons :
m
OM rm
cos cos arcsin x rm
y
k
k
sin
sin
1 sin
1 (éq. BM.9.)
A) Mouvement de la tête de la bielle
Pour obtenir le mouvement de la tête de la bielle B, il suffit de faire : 0 dans la formule
précédente. Nous obtenons alors :
OB r 1 r 1
cos sin
m x m y
2 2 2
L’équation est donc celle d’un cercle de centre O et de rayon rm ( x y rm).
C’est donc un mouvement circulaire varié (ou uniforme si la vitesse angulaire ω est constante).
Pour rappel :
Vitesse de B :
Accélération de B :
v r
B m
2 2
B n B tg B
a a a
2 rm rm
2 2
Notations : ω : vitesse angulaire [rad/s]
g : accélération angulaire [rad/s 2 ]
r m : rayon [m]
a n : accélération normale [m/s 2 ]
a tg : accélération tangentielle [m/s 2 ]
a B n.
(éq. BM.13.)
Et dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme 0 et aB se réduit à l’accélération normale
B) Mouvement du pied de la bielle
Pour obtenir le mouvement du pied de bielle A, il suffit de faire lb dans la formule (éq. BM.9.):
OA r
cos l cos arcsin
k
sin
1 01
m b x y
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xA rm lb
k
sin
cos
1
2
(éq. BM.13.)
et on retrouve bien : en 0 Y x r l
A0m b
en Y x 1 r l
A m b
La vitesse de A est dirigée suivant l'axe Ox (positive de O vers A) et vaut :
vA xA rm
k
k
sin 2
sin
sin
2 1
et, bien sûr, on a : en 0 Y v A 0 0
en Y v A 1 0
2
(éq. BM.18.)
En dérivant encore une fois, nous obtenons l'accélération de A (positive de O vers A) :
aA xA rm
k
k
sin 2
sin
sin
2 1
2
k
k
k
rm
k
k
2 2
sin
sin
2cos 21
2 sin
2 1
2
cos
2
sin
2
1
2 1
avec, en particulier : en 0 Y aA0rm 1
k
2
2
en Y aA0 rm
1
1
k
2
(éq. BM.23.)
Remarquons qu'en cas de mouvement circulaire uniforme de B (ou de la manivelle), on a : 0 .
En général, k 3... 5;
si k 4... 5,
les effets d'obliquité deviennent négligeables; les
expressions ci-dessus se simplifient fortement, et en pratique on utilise (sachant que si x est petit
2
x x x
1 x 1 ... 1 ) :
2 8 2
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xA rm cos
k
2
sin
2 k
sin2
vA rm sin
2 k
sin
aA rm sin
2 k
2
rm cos
2 cos2
2 k
(éq. BM.32.)
Ces formules ont été développée avec l'origine du système d'axe au centre de rotation de la
manivelle. En général, dans le cas pratique des calculs de bielle-manivelle, on prend comme origine le
PMH du système. Dans ce cas les formules précédentes deviennent :
xA rm 1
cos
2
sin
2 k
sin2
vA rm sin
2 k
sin
aA rm sin
2 k
2
rm cos
2 cos2
2 k
(éq. BM.33.)
dans le cas des formules simplifiées. On remarquera que pour la vitesse et pour l'accélération il a suffit
de changer les signes.
Pour les formules réelles, x A devient :
xA rm lb
k
sin
1 cos
1 1
2
(éq. BM.34.)
Quant à la vitesse et à l'accélération, il suffira de changer le signe des expressions précédentes.
Commentaires :
1) La vitesse est pratiquement maximale pour tan k (la bielle est alors perpendiculaire à la
1
manivelle); elle vaut : vA max rm 1
2 k
2 (éq. BM.36.)
On voit que vA max, est très voisin de : rm .
On note également que les vitesses du pied de bielle ou voisinage du point mort haut A o sont
doubles de celles obtenues au voisinage du point mort bas A 1 lorsque .
k 3
2) Lorsque 0 , on note que l'accélération du pied de bielle au point mort haut Ao est toujours
supérieure à celle du point mort bas A1. L'accélération est maximum pour 0 et minimum
pour cos k 4 .
C) Mouvement de la bielle autour du pied de bielle
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Le mouvement que décrit la bielle autour de son pied est défini comme le “mouvement
pendulaire”.
sin
Celui-ci est défini par : sin (éq. BM.42.) (angles géométriques !)
k
avec : β : l'obliquité de la bielle.
L'obliquité maximale correspond à la position des bras du vilebrequin perpendiculaire au corps
de bielle.
Dans ce cas nous avons alors : sin 1 .
k
La vitesse angulaire de la bielle autour de son pied ωA est donné par la dérivée de β par rapport
au temps : cos cos
d 1 d
dt k dt
d
sin
avec : ; cos .
dt
1
k
On obtient :
A
d
dt k
k
cos
sin
1
2
2
(éq. BM.47.)
et celle-ci est :
< maximale pour : 0 et ( k );
< nulle pour l’obliquité maximale.
L’accélération angulaire g A est donnée par la dérivée seconde de β, soit :
2 2
sin
cos sin
cos
d
dt
d 1 d d
2
dt k dt dt
avec :
d
d
d
cos
; ; .
dt dt dt k cos
Et en transformant cos et sin en fonction de θ, on obtient :
A
et celle-ci est :
2
d
dt
k
1
2 2
k
sin
1
2
sin
1
k
2
A
k
2
cos
sin
1
2
cos (éq.
BM.57.)
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maximale pour : 2 ( A
2
);
2
k 1
< nulle aux PMH et PMB.
Remarques :
1) En cas de mouvement circulaire uniforme de la manivelle, on a : ;
0
2
x x x
2) De plus, sachant que si x est petit 1 x 1 ... 1 , les expressions
2 8 2
ci-dessus se simplifient fortement et deviennent :
sin
sin
sin
cos
sin
k
d
A 1
dt k
2
2 k (éq. BM.62.)
2
d
A 2
dt
32
2 2 k 1
2 k sin
1.1.3. Mécanismes : relations de ROGER
Dans un mécanisme comportant plusieurs corps en mouvement dans un même plan, chaque corps
qui n'est pas en mouvement de translation possède à l'instant donné son propre C.I.R. et sa propre vitesse
angulaire. Dès lors, le point de liaison entre deux corps doit respecter, au niveau de sa vitesse et de son
accélération, aussi bien les champs de vitesse et d'accélération du premier corps que ceux du second
corps.
D'autre part, si, pour un solide σ, connaît les vitesses et accélérations de deux de ses points A et
B , alors pour tout point D sur le segment AB , la vitesse v D (respectivement l'accélération a D ) est une
variation linéaire entre et (respectivement entre et ).
v A
AD k AB
Soit : .
v B
a A
a B
fig. BM.3. - Relations de Roger.
Si et sont connus, on peut écrire (1ère
relation de Roger) :
v A
v B
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vB
vA
p
AB
vD
vA
p
AD
vD vA p k AB
v v k v v
D A B A
Y
v k v k v
1
D A B
De même si et sont connus on peut écrire (2ème
a A a B
relation de Roger) :
aB
aA
p AB p
p AB
a D
a A
p AD p
p AD
Y
a
1 ka
k a
aD aA p k AB p
p k AB
a a k a a
D A B A
D A B
Dans notre cas, si A est le pied de bielle et B la tête de bielle et DG , le centre de gravité de
celle-ci, on obtient aisément la vitesse et l’accélération du centre de gravité (ou de tout autre point du
corps de bielle).
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1.2. Dynamique
1.2.1. Bielle équivalente
Tout équilibrage fait intervenir les forces d'inertie que développent les organes mobiles. Pour
simplifier le problème, on est conduit, dans le cas d'un système bielle-manivelle, à lui substituer un
système dynamiquement équivalent, constitué par deux masses ponctuelles, situées l'une (m A) au pied de
bielle, animée d'un mouvement alternatif, l'autre, m B à la tête de bielle, animé d'un mouvement de rotation.
fig. BM.4. - Bielle équivalente
D'après les théorèmes de la dynamique, la bielle réelle et la bielle de remplacement ont même
centre de gravité, même masse totale et même moment d'inertie I par rapport à G. Nous pouvons écrire
:
< m m m
même masse [éq. BM.80]
bielle A B
A B
< m g l m g l
même centre de gravité [éq. BM.81]
1 2
La rotation de la bielle autour de son centre de gravité fait naître un couple d'inertie :
I
<
même moment d’inertie [éq. BM.82]
d
m r
dt
d
2
2
G 2
bielle g
2
2
dt
2
mA l1 2
2 d
mB l2
q 2
dt
(rg = rayon de giration)
< Ll l
On impose les masses en A et B [éq. BM.83]
1 2
Les deux premières équations déterminent (m A) et (m B) mais le moment d'inertie formée par (m A)
et (m B) autour de (G) n'est pas nécessairement égal à (I G) et pour avoir un système de remplacement
équivalant il faut ajouter un couple correcteur (q).
Recherchons la valeur du couple correcteur (q) :
l2
mA mbielle
L
Nous avons :
(Équation des moments)
l1
mBmbielle
L
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m l m l m
l
l
L
l
m
L
d’où :
l
2
A 1 B
2
2 bielle
2 2
1
1
bielle
l1 l2
mbielle l1 l2
L
m l l
bielle
1 2
et (q) vaut en partant de l’équation (3) :
2
d
I m
r
dt
d
dt
m l l d
2
G 2 bielle g 2
2
bielle 1 2 q
2
dt
2
2
2 d
d’où : q mbielle l1 l2 rg
[éq. BM.85]
2
dt
Le couple (q) engendre deux forces perpendiculaires à la bielle et appliquées respectivement en
2
A et en B. En général (q) est négligeable (les bielles sont construites en ayant : l1 l2 rg) dans ce cas la
bielle équivalente est constituée uniquement par deux masses, l’une en A, l’autre en B et rien de plus.
En général on a pour un :
mA
1 m
bielle
m 1 m
3
4
moteur lent : mB
2
mbielle
moteur rapide :
3
m
3 m
4
l L
2
l L
3
2 4
2
2
A bielle
B bielle
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1.2.2. Forces externes et forces d’inerties
Le système bielle - manivelle pris dans son ensemble, de même que chaque organe isolé sont en
équilibre dynamique sous l'action :
< des forces agissantes externes
< des forces d inertie
Les forces intérieures deux à deux égales et opposées se feront équilibre et ne seront pas à
considérer.
Nous pourrons négliger l'action des forces de pesanteur. De plus nous pourrons remplacer la
bielle par les masses fictives (m A) et (m B), mais nous négligerons le couple correcteur (q). Ajoutons que
(m A) et (m B) ne pourront être ajoutés respectivement au piston et à la manivelle, lorsque l'on recherche
l'action de la bielle sur ces organes.
fig. BM.7. - Schéma équivalent
masse totale en translation : mtranslation mAmpiston axe
masse totale en rotation : mrotation mBmmaneton Le problème à résoudre est de déterminer les efforts dynamiques de chaque organe dans le but
d'en déduire son dimensionnement ou de le vérifier.
Les forces agissantes externes sont de deux types :
< les forces de pressions
< les forces de frottement
Les forces de pressions sont dues à la combustion des gaz et se calcule par :
Fpression p A
avec : p : pression relative s'exerçant sur le fond du piston
A : surface du fond du piston
Ces forces de pressions sont évidement variables non seulement en fonction de la course du piston
mais aussi en fonction de la phase pendant laquelle nous nous trouvons.
Les forces de frottement proviennent de deux genres de frottement à savoir :
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frottement plan, caractérisé par un angle (n) de frottement (exemple : piston - cylindre)
< frottement dans les articulations cylindres, caractérisé par un cercle fictif de frottement de
rayon r'r f ; avec (r) le rayon de l'articulation et f tg.
Quant aux forces d'inerties, elles se déterminent par :
F ma
(Le sens de la force d’inertie est contraire à celui de
inertie
l’accélération !)
avec : m : masse de l'objet
a : accélération totale de cet objet
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