Enoncé et corrigé - Maths-france.fr

EXERCICE 4 (6 points )
(Commun à tous les candidats)
Partie A
1. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0; 20] par :
f(x) =0, 3x +1, 5 − 0, 9 ln(x + 1).
On admet que f est dérivable sur l’intervalle [0; 20].
Étudier les variations de f sur [0; 20] et dresser son tableau de variation.
2. On donne la fonction g définie sur l’intervalle [0; 20] par :
g(x) =−0, 05x − 1, 5 + 0, 9 ln(x + 1).
On admet que g est strictement croissante sur l’intervalle [0; 17] et strictement décroissante sur l’intervalle
[17; 20].
a. Justifier qu’il existe un unique réel x0 dans l’intervalle [0; 17] tel que g(x0) = 0.
Donner un encadrement de x0 d’amplitude 10 −2 .
b. En déduire le signe de g(x) sur [0; 20].
Partie B
Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats de la partie A. On demande de justifier les réponses.
Dans une petite ville, un promoteur immobilier projette de construire un lotissement dont le nombre
de maisons ne pourra pas dépasser 20 maisons construites. Le coût de production, en millions d’euros,
pour n maisons construites (0 n 20) est donné par :
Chaque maison est vendue 250 000 euros.
C(n) = 0, 3n +1, 5 − 0, 9 ln(n + 1).
1. a. Calculer C(0). Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
b. Combien de maisons le promoteur doit-il prévoir de construire pour que le coût de production
soit minimal ?
2. a. Montrer que le bénéfice réalisé pour la fabrication de n maisons est, en millions d’euros, donné
par B(n) =−0, 05n − 1, 5 + 0, 9 ln(n + 1).
b. Déterminer le nombre de maisons à construire pour que le bénéfice soit maximal.
Quel est alors ce bénéfice (à 100 euros près) ?
c. Déterminer le nombre minimal de maisons à construire pour que le promoteur ne travaille
pas à perte.
Pour la question suivante, on explicitera la démarche utilisée. Toute trace de recherche même incomplète,
ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
d. À partir de combien de maisons construites le bénéfice du promoteur est-il supérieur à
200000 euros ?
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EXERCICE 4
Partie A
1) Pour tout réel x de [0; 20],
f ′ (x) =0, 3 − 0, 9 ×
Pour tout réel x de [0, 20], on a
(x + 1) ′
x + 1
0, 9 0, 3(x + 1) − 0, 9
= 0, 3 − = =
x + 1 x + 1
0, 3x − 0, 6
=
x + 1
0, 3(x − 2)
.
x + 1
0, 3
x + 1 >0et donc pour tout réel x de [0; 20], f ′ (x) est du signe de x−2. Par suite, f ′ (x) 0si x ∈]2, 20] et f ′ (x) =0 si x = 2. On en déduit le tableau de variation de f sur [0, 20].
x 0 2 20
f ′ (x) − 0 +
2, 1 − 0, 9 ln 3
f
1, 5 7, 5 − 0, 9 ln(21)
2) a) Puisque la fonction g est continue et strictement croissante sur [0, 17], pour tout réel k de l’intervalle [g(0),g(17)],
l’équation g(x) =0 a une solution et une seule dans [0, 17]. Comme g(0) =−1, 5 < 0 et g(17) =−2, 35 + 0, 9 ln(18) =
0, 2 . . . > 0, 0 est un réel de l’intervalle [g(0),g(17)] et donc il existe un unique réel x0 dans [0, 17] tel que g(x0) =0.
La machine fournit de plus g(6, 66) =−0, 0005 . . . < 0 et g(6, 67) =0, 00008 . . . > 0 et donc 6, 66 < x0 < 6, 67.
b) g est décroissante sur l’intervalle [17, 20]. Donc, pour tout réel x de [17, 20], g(x) g(20) =0, 2 . . . > 0. Ainsi, pour
tout réel x de [17, 20], on a g(x) >0.
D’autre part, la fonction g est strictement croissante sur [0, 17]. Donc, si 0 x < 17, on a g(x) 0, 2. Donc si n 11, on a B(n) < 0, 2 et si 12 n 17,
on a B(n) > 0, 2. Enfin, la suite (B(n)) décroît à partir du rang 17 et puisque B(20) =0, 24 > 0, 2, on a encore B(n) > 0, 2
si 17 n 20.
Le promoteur réalise un bénéfice supérieur à 200 000 euros à partir d’une production de 12 maisons.
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