061008 Trans Fonctions de plusieurs variables - Free

I Introduction
II Généralités
Fonctions de plusieurs variables
III Limites – Continuité
IV Dérivées partielles
IV 1 Accroissement
IV 2 Dérivées partielles premières
IV 3 Dérivées partielles secondes
V Optimisation
V 1 Optimisation libre
V2 Optimisation sous contrainte

I Introduction
économistes ↔ fonctions de plusieurs variables.
Exemples:
- les entreprises vendent souvent deux variétés d'un même
produit qui ne différent que par la qualité, la norme et le coût.
Ainsi si 6000 et 8000 sont les prix unitaires de chacune des
deux variétés (1) et (2), et Q1 et Q2 les quantités vendues, le
chiffre d'affaires R peut s'exprimer par:
R( Q1, Q2 ) = 6000 Q1 + 8000 Q2
-une fonction de demande f dépend des prix P1 et P2 de
plusieurs biens et du revenu R, soit
Q = f ( P1 , P2, R )
Remarque : fonctions définies de manière explicite.
Par contre, variable dépendante peut être connue que de
façon indirecte, par exemple à l’aide d’une relation entre 3

variables :
R ( x, y, z ) = 0.
On parle alors de fonction implicite.
Ainsi, si on a 2 x + 3 y + z – 25 =0
z = - 2 x – 3 y + 25
La fonction explicite f est: ( x, y ) - 2 x – 3 y + 25
Dans la suite, on se limitera aux fonctions de 2 variables.
II Généralités
Domaine de définition
Définition: On appelle fonction de 2 variables une application
qui, à tout couple ( x, y ) d'une partie D de IR 2 fait correspondre
un nombre réel f ( x, y ).
( x, y ) → f ( x, y )
D s'appelle le domaine de définition.

Exemples:
1) Une entreprise vend 2 produits X et Y en quantités x et y
pour des prix de unitaires respectifs de 100 et 80.
L’entreprise dispose d’une quantité au plus égale à 2000
unités pour le produit X et 3000 unités pour le produit Y.
Ecrire le Chiffre d’Affaires comme fonction f de x et y. Quel
est le domaine de définition de la fonction f ?
Soit R le chiffre d’affaires.
R = 100 x + 80 y
Avec 0 < x ≤ 2000
0 < y ≤ 3000
Le domaine de définition s’obtient en traçant les droites
x = 2000 et y = 3000 et en hachurant ou en colorant ce qui ne
convient pas.

y
Domaine de définition de f : ( x,y ) R = f ( x ,y )
x

2) Exemple économique:
théorie néo-classique de l'économie
La production globale Q d'un certain pays est supposée être
expliquée par une fonction de la forme:
où A > 0
Q( L, C ) = A L k C
L quantité totale de main d’oeuvre
1− k
C quantité de capital à un moment donné
k > 0 et 1 - k > 0.
domaine de définition : partie du plan où L et C sont positifs .
fonctions dites de Cobb-Douglas.

Représentation graphique
fonction d'une variable ↔ courbe de y= f ( x ),
fonction de deux variables ↔ surface z = f ( x, y ).
Le plus souvent, difficiles à visualiser, d’où utilisation des
représentation graphiques de coupes horizontales (courbes de
niveau) ou verticales (abaques).
Courbes de niveau
Définition: on appelle courbe de niveau k la courbe d'équation
f ( x, y ) = k.
Exemples: 1) en géographie, ligne joignant les points de même
altitude.
2) en théorie néoclassique du consommateur, la « fonction
d'utilité » mesure la satisfaction du consommateur lorsqu'il
consomme une quantité x d'un bien X et une quantité y d'un
bien Y. Les courbes de niveau joignent les points qui procurent
la même satisfaction et s'appellent les courbes

d'indifférence.
Ainsi, si la fonction d'utilité est donnée par:
U ( x, y ) = 2 x + 3 y
les courbes d'indifférence sont les droites d'équation:
2 x + 3 y = k
c'est-à-dire un ensemble de droites parallèles de pente –2/3.
3) en théorie de la production, les courbes de niveau sont
appelées isoquantes.
III. Limites -Continuité
Extension des notions vues pour les fonctions d'une variable.

IV Dérivées partielles.
On suppose la fonction f définie « autour de ( x0,y0} ».
IV. 1 Accroissement:
∗ Δx accroissement de x autour de x0
∗ Δy accroissement de y autour de y0,
accroissement Δf de la fonction
Δf = f ( x0 + Δx, y0 + Δy ) - f ( x0, y0 )
accroissement partiel par rapport à l'une des variables, l'autre
étant fixée à une certaine valeur:
f ( x0 + Δx, y0 ) - f ( x0, y0 )
IV. 2. Dérivées partielles premières
Définition: on appelle dérivée partielle de f par rapport à x au
point ( x0, y0 ) la limite du quotient de l'accroissement partiel
précédent par Δ x quand Δx tend vers 0.

On la note f 'x ( x0, y0 ) ou encore
Soit
f
'
x
( x
,
)
0 y0
= lim
Δ x →0
f ( x
0
∂f
( x0
, y0
)
∂x
+ Δx,
y0)
− f ( x
Δx
Remarque 1 : on définit de manière analogue la dérivée
partielle par rapport à y.
f
'
y
( x
,
)
0 y0
= lim
Δ x →0
f ( x
0
,
y
0
+ Δy)
−
Δy
f ( x
Remarque 2: en fait, f 'x se calculera en considérant y comme
constante et en dérivant par rapport à x.
Remarque 3: comme pour les dérivées des fonctions d'une
variable, on peut définir des fonctions dérivées partielles
0
,
0
y
0
,
)
y
0
)

Exemple :
Calculer les dérivées partielles de:
f ( x, y ) = x y + 2 x 2 + 3 y 3 + 5.
Pour calculer f 'x, on considère y comme une constante et on
dérive par rapport à x.
f 'x ( x, y ) = y+ 2 * 2 * x
d'où f 'x ( x, y ) = 4 x + y
On calcule f 'y de manière analogue:
f 'y ( x, y ) = x+ 3 * 3 * y 2
soit f 'y ( x, y ) = x+ 9 y 2

IV. 3. Dérivées partielles secondes.
dérivées partielles secondes : dérivées partielles par rapport à x
et y des fonctions f 'x et f 'y considérées comme fonctions de 2
variables.
Donc 4 dérivées partielles secondes, notées usuellement:
f
f
' '
x
' '
y
2
2
=
=
∂
∂
∂
∂
f
x
f
'
x
y
'
y
f
f
"
xy
"
yx
=
=
∂
∂
f
y
'
x
∂ f
∂ x
Exemple: Calculer les dérivées partielles premières et
secondes de la fonction définie par:
f ( x, y ) = 4 x 3 + 3 x 2 y -2 x y 2 + y 4 - 5
On calcule d'abord f ’x et f 'y.
f 'x ( x, y ) = 4 * 3 *x 2 + 3 * 2 *x * y –2 * y 2
soit f 'x ( x, y ) = 12 x 2 + 6 x y - 2 y 2
f 'y ( x, y ) = 3 * 2 * x - 2 x* 2 y + 4 y 3
soit f 'y ( x, y ) = 6 x - 4 x y+ 4 y 3
'
y

Ensuite, il faut dériver f 'x et f 'y. Ainsi
f "x2 ( x, y ) = 24 x + 6 y
f "xy ( x, y ) = 6 x - 4 y
f "y2 ( x, y ) = - 4 x+ 12 y2
f "yx ( x, y ) = 6 x – 4 y
On remarque que f "x y ( x, y ) = f "y x.( x, y )
C'est une propriété générale connue sous le nom de théorème
de Schwarz:
Soit une fonction f : ( x,y ) f ( x,y ) dont les dérivées partielles
premières et secondes sont définies et continues.
Alors, f "xy ( x, y ) = f "yx.( x, y )

V Optimisation
V. 1. Optimisation libre.
La fonction f admet un maximum local en un point ( x0, y0 ) si:
f ( x0, y0 ) > f ( x, y )
pour tout ( x, y ) se situant « autour de ( x0,y0 ) » (notion
mathématique de voisinage, généralisation de l’intervalle de
IR).
La fonction f admet un minimum local en un point ( x0, y0 ) si:
f ( x0, y0 ) < f ( x, y )
pour tout ( x, y ) se situant « autour de ( x0, y0 ) ».
condition nécessaire pour qu'il existe un maximum local ou un
minimum local en un point ( x0, y0 ) :
les dérivées partielles premières s'annulent en ( x0, y0 ) .
f 'x ( x0, y0 ) = 0 f 'y ( x0, y0 ) = 0
Attention: cette condition n'est pas suffisante. Il faut lui
ajouter une condition du second ordre,
( f’’xy ( x0, y0 ) ) 2 – f’’x2( x0, y0 ) * f’’y2( x0, y0 ) < 0

Si f’’x 2 ( x0, y0 ) < 0 (ou f’’y 2 ( x0, y0 ) < 0) c'est un maximum.
Si f’’x 2 ( x0, y0 ) > 0 (ou f’’y 2 ( x0, y0 ) > 0) c'est un minimum.
Dans les autres cas, soit il n'y a pas d'extremum, soit on ne
peut conclure.
Exemples:
1) Une entreprise produit une quantité x d'un bien X et une
quantité y d'un produit Y .La fonction de coût est:
C( x, y ) = 8 x 2 + 6 y 2 – 2 x y - 40 x - 42 y+ 180
Les dérivées partielles premières sont:
C'x ( x, y ) = 16 x - 2 y – 40
C'y ( x, y ) = 12 y - 2 x - 42
Nous devons donc résoudre le système: 16 x - 2 y = 40
- 2 x + 12 y = 42
En multipliant par 8 la deuxième équation et en l'ajoutant à la
première, on obtient:

94 y = 376
d'où y = 4. On en déduit x= 3.
Il faut donc vérifier si le point (3,4) peut être un extremum. On
calcule les dérivées partielles secondes.
C "x2 ( x, y ) = 16
C"xy ( x, y ) = - 2
C"y2 ( x, y ) = 12
On a donc ( C"xy ) 2 - C"x 2 .C"y 2 = ( -2 )2 -16 * 12 = -188

V. 2. Optimisation sous contrainte.
résoudre des problèmes sous contrainte : par exemple utilité
sous contrainte de budget ou coût sous contrainte d'un
minimum de production obligatoire.
1er Cas: une des variables peut s'exprimer en fonction de
l'autre : se ramener à la recherche des extrema d'une fonction
d'une variable.
2ème cas: utilisation d’une fonction auxiliaire L, appelée
Lagrangien, qui permet de se ramener à une optimisation libre.
Soit ainsi f : ( x, y ) f ( x, y ) la fonction à optimiser sous la
contrainte g ( x, y ) = O. Le Lagrangien est la fonction de 3
variables x, y et λ (se dit lambda), définie par:
L ( x, y, λ ) = f ( x, y ) + λ g ( x, y )
λ s'appelle le multiplicateur de Lagrange.
L'extremum de f sous la contrainte g ( x, y ) = 0 correspond à
l'extremum de L. On est donc amené à exprimer les conditions

du premier ordre:
L'x ( x, y, λ ) = 0 L'y ( x; y, λ ) = 0
L' λ ( x, y, λ ) = 0, ce qui correspond à g ( x, y ) = 0
Exemple:
Soit f ( x, y ) = x 2 + x y + y 2 à optimiser sous la contrainte
x + y= 2
Le Lagrangien s'écrit :
L ( x, y, λ ) = x 2 + x y + y 2 + λ ( x + y - 2 )
Calculons les dérivées partielles premières.
L'x ( x, y, λ ) = 2 x + y + λ = 0
L'y ( x, y, λ ) = x+ 2y + λ = 0
L' λ . ( x, y, λ ) = x + y - 2 = 0
De la première équation, on tire λ = -2x -y,
et en remplaçant dans la deuxième équation, il vient :
x + 2 y - 2 x – y = 0,
soit y – x = 0, et donc x = y.
En reportant dans la troisième équation, il vient x = y= 1.
Il y a donc un seul extremum possible au point ( 1, 1 ). On
pourrait montrer qu'il s'agit d'un minimum.