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I : : Le cadre de l’étude.
CHAPITRE V
RAYONNEMENT D’UN DIPOLE OSCILLANT.
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CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
1°) Modélisation de la source de rayonnement.
Dipôle élémentaire.
On a déjà étudié dans le cadre de l’électrostatique le dipôle électrique,
modélisé comme un ensemble de deux charges q et –q, placées
respectivement en P et N, distantes de a.
On a établi les expressions du potentiel électrique et du champ
E( M )
créés à grande distance par ce dipôle (cas où r >> a ), qui
font intervenir le moment dipolaire électrique : z e qa NP q p
= = .
De tels dipôles peuvent exister spontanément dans la matière ou
encore être créés par un champ électrique appliqué au milieu, du fait d’une séparation des barycentres des
charges positives et négatives.
On généralise le concept de moment dipolaire à des dipôles « non rigides », pour lesquels la distance a
peut dépendre du temps. Le moment dipolaire instantané s’écrit alors : z e ) t ( qa p
z
P
a
N
p
q
-q
r
M
== .
Le dipôle de Hertz.
On appelle dipôle de Hertz un dipôle électrique oscillant, caractérisé par un moment
dipolaire électrique dépendant sinusoïdalement du temps.
j t
En représentation complexe, on peut écrire : p p0e ω
= .
Un tel dipôle peut être vu comme l’ensemble de deux charges +q et -q données séparées d’une distance
variable oscillant dans le temps, ou encore de deux charges fixes (distantes de a donné) mais variables dans
le temps : q(t) = q0
cosωt.
L’une ou l’autre de ces interprétations du dipôle de Hertz permet une description du
rayonnement électromagnétique à partir du mouvement d’oscillation des charges électriques
autour de leur position moyenne.
En mettant un grand nombre de dipôles élémentaires de ce type bout à bout, on modélise ainsi un fil
conducteur parcouru par un courant variable, c'est-à-dire une antenne.
Ainsi, le dipôle de Hertz est à la base de la description du rayonnement des antennes.
La dépendance temporelle sinusoïdale du dipôle de Hertz ne limite en rien l’intérêt de
l’étude, puisque l’on sait que toute évolution temporelle peut se ramener, par une analyse
de Fourier, à une somme de fonctions sinusoïdales.
2°) Les potentiels retardés de Liénard-Wiechert.
D’une manière générale le rayonnement dipolaire obéit aux équations de Maxwell dans le vide :
⎧
⎪ div B = 0
⎪
⎨
⎪ ∂B
⎪rot
E = -
⎩ ∂t
avec
B = rot
A
∂A
E = - grad V −
∂t
1
associées à la condition de Jauge de Lorentz divA(M,
t) +
2
c
∂V(M,
t)
= 0 ces équations de Maxwell donnent
∂t

2
2
1 ∂ V ρ
1 ∂ A
ΔV
− =
et ΔA
- = µ j
2 2 2 o
C ∂ t
C ∂ t
2 ε 0
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CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
les solutions des équations aux potentiels en régime variable sont appelées potentiels retardés (ou potentiels
de Liénard-Wiechert), donnés par :
⎧
PM
⎪
ρ( P, t − ) dτ
1
P
( , )
c
⎪V
M t =
4πε
∫∫∫
⎪
0 PM
P∈D Potentiels retardés ⎨
.
⎪ PM
j( P, t − ) dτ
μ
P
⎪
0
A( M , t)
=
c
⎪
⎩ 4π
∫∫∫ PM
P∈D Ces résultats montrent que les phénomènes électromagnétiques ne se propagent pas instantanément,
mais avec une vitesse finie (c dans le vide ou l’air).Par suite, en un point M à la distance r de la distribution
de charges et à l’instant t, les potentiels ne peuvent pas correspondre aux charges et courants au même instant.
S’il a fallu un temps r/c (où r = PM) pour que la perturbation parvienne en M, nous admettrons que les
potentiels correspondent en ce point aux distributions qu’avaient ρ et j r
à l’instant t − .
3°) Zone de rayonnement ; les approximations.
Nous cherchons des solutions données par les potentiels retardés, pour le champ créé par un dipôle oscillant,
d’extension géométrique a au voisinage d’un point fixe O, en un point M situé à la distance r =
OM. Soit λ la longueur d’onde du champ rayonné par le dipôle.
Le problème sera traité dans le cadre suivant :
1. On se place dans le cadre de l’approximation dipolaire : r >> a ;
2. On se place dans le cadre de l’approximation non relativiste : a > λ .
Discussion :
L’approximation non relativiste consiste à considérer la vitesse de la charge du dipôle oscillant comme
2π
négligeable devant c, soit v ≈ aω = a a permet d’écrire : ≈ .
PM r
- La condition a

le vecteur moment dipolaire p du dipôle étant porté par l’axe Oz.
Le plan e , e ) est un plan de symétrie paire pour les sources.
( r θ
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CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
B(M,
t), vecteur axial (pseudo vecteur) est perpendiculaire au plan e , e ) .B est donc azi-
( r θ
mutal, parallèle au vecteur eϕ . E (M,t), et A (M,t), sont des vecteurs polaires (vrai vecteur),
sont contenu dans ce plan.
b) Calcul du potentiel vecteur ( M, t ) rayonné
A
Par application de la relation donnant le potentiel vecteur On trouve pour le du dipôle de hertz
⎛ PM ⎞
q v P, t -
⎜ ⎟
µ 0
c
A(M,
t) -
⎝ ⎠ ⎛ PM ⎞
=
où v ⎜ P, t - ⎟
4π
PM ⎝ c ⎠
est la vitesse de la charge –q au point P à l’instant t qui s’écrit
( ) z e
• ⎛ PM ⎞
p P, t -
∂a
0 ∂ p ∂ a
⎜ ⎟
µ 0 c
v P, t = En remarquant que p = = - q ez
= - q v , il vient que A (M, t) =
⎝ ⎠
e z
∂t
∂ t ∂ t
4 π PM
Dans le cadre des approximations dipolaire et relativiste on a
• ⎛ r ⎞
p t -
⎜ ⎟
µ 0 ⎝ c ⎠
A(M,
t) =
ez
4 π r
c) Calcul du potentiel retardé V(M,t) rayonné
1 1
≈ et
PM r
PM r
≈ soit
c c
∂V
2
Par application de la jauge de Lorentz on écrit = - c div A il s’agit donc de calculer div A
∂ t
⎛ • ⎛ r ⎞ ⎞
⎜ p ⎜t
- ⎟ ⎟
⎜ µ 0 ⎝ c ⎠
=
⎟
div A div
⎜
ez
4 π r ⎟
sachant que divfu
= u grad f + f divu
on écrit
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ • ⎛ r ⎞ ⎞
⎛ • r ••
⎛ ⎞ ⎛ r ⎞ ⎞
⎜ p ⎜t
- ⎟ ⎟
⎜ p t - p t -
⎜ µ 0 ⎝ c ⎠
div A = e . grad
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟
µ 0 c c
z ⎜ 4 π r ⎟
soit div A .
⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= −
⎟
( ez
. er
)
4 ⎜
+
2 π r rc ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ • r ••
⎛ ⎞ ⎛ r ⎞ ⎞
2 ⎜ p ⎜t
- ⎟ p ⎜t
- ⎟ ⎟
2
∂V
µ 0c
c c
et en multipliant par ( −c ) on trouve .
⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
⎟
( ez
. er
)
t 4 ⎜
+
2
∂ π r rc ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Par intégration on trouve
⎛ ⎛ r • ⎞ ⎛ r ⎞ ⎞
2 ⎜ p ⎜t
- ⎟ p ⎜t
- ⎟ ⎟
µ 0c
cos θ
=
⎜ ⎝ c ⎠ ⎝ c
V
.
⎠ ⎟
⎜
+
2
4 π r rc ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
connaissant V et A ont peut a B et E en effet E =
- grad V - ∂A
et B = rot A
∂t

d) Calcul du champ magnétique rayonné
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CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
Partant de la relation B = rot A et en utilisant la relation usuelle rot
fu
= grad f ∧ u + f rot u on obtient
•
⎛
µ 0 ⎜ p
B = grad
4 π
⎜
⎝
Ou enfin
( t - r/c )
r
⎞
⎟
⎟Λe
⎟
⎠
z
soit
⎛
µ 0 ⎜
B =
4
⎜−
π ⎜
⎝
•
••
⎛
⎞
µ 0 sin θ ⎜ p ( t - r/c ) p ( t - r/c ) ⎟
B = ⎜ +
π
⎟e
2
4 ⎜ r rc ⎟
⎝
⎠
e) Calcul du champ électrique rayonné
•
p
( t - r/c ) p ( t - r/c ) ⎟
− ( e Λe
)
•
••
•
2 ⎛
⎞
2 ⎛
⎞
µ 0c
⎜ 2p ( t - r/c ) 2 p ( t - r/c ) p ( t - r/c ) ⎟ µ 0c
⎜ p ( t - r/c ) p ( t - r/c ) ⎟
gradV
= − ⎜ +
+ ⎟ cos θe
+ ⎜ + ⎟.
sinθe
3
2
2
r
3
2
θ
4 π ⎜ r r c rc ⎟ 4 π ⎜ r r c ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∂A ∂t
••
µ 0 p ( t - r/c )
=
(cos θer
4 π r
− sin θeθ
)
⎧
•
⎡
⎤
⎪ 2 cos θ ⎢ p(
t − r / c ) p(
t − r / c )
E
⎥
r =
+
⎪
⎢ 3
2
4πε
⎥
0 r
r c
⎪
⎣
⎦
⎪
•
⎡
r ••
⎤
∂A
⎪
⎢
p(
t − )
sin θ p(
t − r / c )
p(
t − r / c ) ⎥
Avec la relation E = −gradV
− on trouve E(
r,
t ) = ⎨ Eθ
= ⎢ +
c
+
3
2
2 ⎥
∂t
⎪ 4πε
0 ⎢ r r c rc ⎥
⎪
⎢⎣
⎥⎦
⎪ Eϕ
= 0
⎪
⎪
⎪⎩
Dans la zone de rayonnement définie par a

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CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
Cette approximation locale de l’onde plane donne réalité au modèle de l’O.P.P.H. utilisée pour décrire
les ondes.
3°) Puissance électromagnétique rayonnée.
Vecteur de Poynting.
Le vecteur de Poynting s’écrit
Π =
1
2
EΛB μ
0
.et en utilisant la relation entre E et B d’un dipôle
2
E
2 ••
μ0
sin θ 2
de Hertz dans la zone de rayonnement on trouve Π = er
ou encore Π =
p ( t − r / c ) e
2 2
r
μ 0c
16π
c r
Puissance rayonnée par unité de surface
La puissance moyenne rayonnée à travers une élément de surface dS sur une sphère de rayon r s’écrit
2 ••
μ 0 sin θ 2
dP = Πer
dS ce qui donne dP = Πer
dS dP =
p ( t − r / c ) dS
2 2
16π
c r
La puissance moyenne rayonnée par unité de surface sur une sphère de rayon r dans la direction e r est
2 ••
dP μ 0 sin θ 2
=
< p > :.
2 2
dS 16π
c r
Cette expression montre :que le rayonnement d’un dipôle n’est pas isotrope : la puissance
rayonnée est nulle dans la direction du dipôle et maximale dans le plan équatorial.
Diagramme de rayonnement.
On peut rendre compte de l’anisotropie du rayonnement dipolaire en
traçant le diagramme de rayonnement défini comme le lieu des points Q
tels que r e
dP
OQ =
dS
Dans le cas du rayonnement dipolaire, on obtient une surface de révo-
2
lution dont une méridienne a pour équation polaire : r = r sin ( θ ) .
Puissance totale rayonnée.
La puissance moyenne totale rayonnée à travers une sphère de rayon r s’obtient par intégration sur tou-
dP
tes les directions de la puissance moyenne rayonnée par unité de surface
dS
•
dP 2
μ 0 2 3
< P >= ∫∫∫ r sin θdθdϕ
soit < P >=
dS
∫ < p > sin θdθ∫
dϕ
sachant que
2
16π
c
on aboutit à
Sphère
0
π •
μ 0
< P >= < p
6πc
0
La distance d’observation n’intervient pas (d’où la possibilité de propager de signaux sur
de grandes distances).
••
2
>
2π
0
π
∫
0
sin
3
θdθ
=
Remarque :
Il est remarquable que la puissance moyenne rayonnée soit indépendante du rayon r de la sphère. Ceci
vient directement de la décroissance des champs en 1/r et montre que cette décroissance n’est pas liée à un
phénomène d’absorption, mais à la répartition de la puissance sur une surface qui croît comme r 2 .
2 4
2
μ 0 p0
ω
En remplaçant pɺɺ par − p0ω cos( ωt)
, il vient : < P >=
.
12πc
z
p
O
θ Q
4
3

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CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
III : Diffusion du rayonnement électromagnétique.
1°) Rayonnement d’une charge accélérée.
Les expressions précédentes de la puissance moyenne totale rayonnée montrent que cette puissance est
liée à l’accélération de la particule chargée mobile.
Réciproquement, toute charge accélérée libère de l’énergie par rayonnement électromagnétique.
Reprenons l’exemple simple du dipôle oscillant formé d’une charge q mobile se déplaçant sur l’axe Oz
au voisinage d’une charge –q fixée en O. La charge mobile est repérée par sa cote : z( t ) = z0
cos ωt
.
Le moment dipolaire de cette distribution vaut : p = qz( t) ez
.
••
2
2 2
μ q z μ q < a >
0 < > 0
La puissance moyenne rayonnée s’écrit alors : < P >=
=
. ( a
6πc
6πc
est l’accélération
de la charge).
La dernière expression, faisant intervenir l’accélération de la charge constitue la formule de Larmor,
qui donne la puissance rayonnée par une particule non relativiste.
2°) Notions sur la diffusion Rayleigh.
Le champ E du rayonnement émis parle Soleil interagit avec les molécules de l’atmosphère qui se
comportent alors comme des dipôles électriques induits.
Ces dipôles oscillants rayonnent à leur tour des ondes électromagnétiques dans toutes les directions. On
dit que la lumière du Soleil est diffusée.
Le modèle de l’électron élastiquement lié.
On étudie l’interaction atome – rayonnement, dans le cadre de la mécanique classique, à l’aide du modèle
phénoménologique dit :
Le modèle de l’électron élastiquement lié, pour lequel :
1. Les différents électrons des molécules de l’atmosphère peuvent être traités indépendamment.
2. Chaque électron est modélisé comme un oscillateur harmonique amorti. L’électron est
2
soumis à une force de rappel de la forme −mω0
r , qui rend compte de l’effet du déplacement
de l’électron sur le champ électrique qu’exercent sur lui les noyaux de la molécule et les autres
électrons. L’électron est soumis en outre à une force de frottements fluides −mΓr ɺ qui rend
compte des diverses causes d’amortissement.
16 8
Typiquement, on a : ω ≈ 10 rad / s >> Γ ≈ 10 rad / s .
0
Modélisons la lumière venant du Soleil par une O.P.P.H., de pulsation ω (ω étant compris entre
2.10 15 rad/s et 4.10 15 rad/s pour la lumière visible.
F = q E
+ v ∧ B .
L’électron est soumis à la force de Lorentz ( S S )
Pour l’O.P.P.H. solaire, on a B S = E S / c, et en supposant les électrons non relativistes, la
force magnétique est négligeable devant la force électrique.
D’autre part, l’électron reste lié au noyau et se déplace au plus de 0,1 nm. Les longueurs
d’onde du spectre visible étant de l’ordre de 500 nm, on peut considérer le champ électrique
solaire E S comme uniforme à l’échelle du déplacement de l’électron et écrire :
E = E cos( ωt)
.
S 0S

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CHAPITRE V - RAYONNEMENT DIPOLAIRE.
Montrer que le principe fondamental de la dynamique appliqué à l’électron s’écrit dans ces conditions
:
2
mr = −mω r − mΓr − eE cos( ωt)
ɺɺ ɺ
.
0 0S On cherche la réponse en régime harmonique forcé de pulsation ω en passant par la représentation complexe
(équation différentielle linéaire à coefficients constants) :
jωt e E0Se Établir que :
r = −
.
2 2
m ω − ω + jΓω
0
Compte tenu des ordres de grandeur numériques,ω0 est dans l’ultraviolet lointain, de sorte qu’on a :
ω