TS Logarithme népérien Cours

Année 2012/2013
I Définition
TS Logarithme népérien Cours
Soit x un réel strictement positif.
Sur , la fonction exponentielle est une fonction continue et strictement croissante à valeurs sur .
Or x donc il existe un unique réel y tel que expy x
Définition
La fonction qui a tout réel strictement positif x associe l’unique antécédent de x par la fonction exponentielle
est appelée fonction logarithme népérien.
On note :
Conséquences :
ln :
x lnx
x : e lnx x et x : lne x x
(On dit que les fonctions ln et exp sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.)
ln1 0 et lne 1
Théorème
Preuve
Pour tout réel x 0 et pour tout réel y :
lnx y x e y
Si lnx y alors e lnx e y c’est à dire x e y
Réciproquement, si x e y alors lnx lne y y
II Propriété fondamentale de la fonction logarithme népérien
Théorème
Preuve
a 0, b 0 lnab lna lnb
a 0, b 0
lnab lne lna e lnb lne lnalnb lna lnb car les fonctions exp et ln sont réciproques l’une de l’autre.
Remarque : voir preuve sans utiliser la fonction exponentielle dans ROC 2.
Théorème
Pour tous réels a et b strictement positif et pour tout entier relatif n :
1) ln 1 a lna
2) ln a lna lnb
b
3) lna n nlna
4) ln a 1 2 lna
1

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Preuve
Les fonctions exp et ln sont réciproques l’une de l’autre.
1) ln 1 a ln 1
elna lne lna lna
2) ln a ln
b
elna
elnb lne lnalnb lna lnb
3) lna n lne lna n lne nlna nlna
4) lna ln a a ln a ln a 2ln a donc ln a 1 2 lna
Remarque : voir preuves sans utiliser la fonction exponentielle dans ROC 3.
Exercice 1
Simplifier : A ln3 ln 1 3
B 1 2
ln 2 C ln 16
25
III Etude de la fonction logarithme népérien
1) Sens de variation
Théorème
Preuve
La fonction ln est strictement croissante sur
D ln 135 ln 75 ln15 ln 27
Soit a et b deux réels strictement positifs.
a b e lna e lnb lna lnb car la fonction exponentielle est strictement croissante sur .
Application à la résolution d’inéquations :
Résoudre dans l’inéquation lnx 4 4
L’inéquation n’est définie que si x 4 0 x 4
Pour x 4 ; :
lnx 4 4
lnx 4 lne 4
x 4 e 4 car la fonction ln est strictement croissante sur
x e 4 4
S 4 ; e 4 4
Exercice 2
Résoudre dans l’inéquation ln2x 2 3x 2 ln6 x
2) Limite en 0 et en
Limite en
Théorème
Preuve
lim lnx
x
Soit I A ;
Posons M e A
Pour tout x M, on a lnx lnM (car ln est strictement croissante sur 0 ; ) donc lnx lne A donc
lnx A (car exp et ln sont des fonctions réciproques l’une de l’autre)
Donc A ; contient toutes les valeurs de lnx pour x assez grand donc lim
x lnx
2

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Limite en 0
Théorème
Preuve
lim lnx
x0
x 0 ; , on a lnx ln 1 x
lim
x0
1 x
lim lnX
X
donc, par limite de composée, lim
x0 ln 1 x
3) Tableau de variations et courbe
Tableau de variation :
x 0
variations de ln
Représentation graphique de la fonction ln
y
4
2
0
-2
-4
donc lim lnx .
x0 20 40 60 80 100
Remarque : Dans le plan muni d’un repère orthonormal, les courbes représentatives des fonctions ln et exp sont
symétriques par rapport à la droite d’équation y x.
4) Signe de ln :
Théorème
Preuve
lnx 0 x 0;1
lnx 0 x 1
lnx 0 x 1;
ln est une fonction strictement croissante sur et ln1 0.
5) Egalité de ln a et ln b
Théorème
Preuve
Pour tous réels a et b strictement positif :
lna lnb a b
La fonction ln est strictement croissante sur
3
x

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4

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Application à la résolution d’équation et de systèmes
Exercice 3
1) Résoudre dans l’équation ln 2x 3 ln6 x 1 lnx
2
2) Résoudre dans l’équation lnx 2 3 lnx 2 0
IV Dérivation et primitives
1) Dérivation
Théorème (admis)
Théorème
Preuve
La fonction logarithme népérien est continue sur
La fonction logarithme népérien est dérivable sur et pour tout réel x strictement positif ln x 1 x
Soit a un réel de l’intervalle 0 ; . Pour x strictement positif et x a, on considère :
Tx
lnx lna
x a
lnx lna
e lnx e lna
lim lnx lna par continuité
xa
lim
Xlna
e X e lna
X lna exp lna explna a car exp est dérivable en lna
e lnx e lna
donc, par limite de composée,
lim
a donc, par limite d’inverse, lim
xa lnx lna xa Tx 1 a
Le résultat est vrai pour tout a de 0 ; donc ln est dérivable sur 0 ; et pour tout x 0 ; , on a
ln x 1 x
Remarque : Voir preuve en admettant la dérivabilité dans ROC 1.
Théorème
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I
Alors lnu est dérivable sur I et lnu u
u
Preuve : On utilise la dérivée d’une fonction composée.
Exercice 4
Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
1) f1x lnx 2
2) f2x lnlnx 3) f3x xln x
2) Primitive
Propriété
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I qui ne s’annule pas sur I
Alors ln|u| est une primitive de u
u
sur I.
Exercice 5
Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l’intervalle donné :
1) fx ex ex 1 sur I 2) gx x
x2 sur I
1
3) hx 1
3x 1 6
x 2 sur I 1 ; 2
3
5

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V Des limites importantes
1) Une limite particulière
Théorème
lim
h0
Preuve
ln1 h
h
ln1 h
h
1
ln1 h ln1
h
Comme ln est une fonction dérivable en 1 alors lim
h0
Exercice 6
Déterminer lim
x xln 1 1 x
2) Croissance comparée
Théorème
lim lnx
x 0
x
Preuve (ROC 5)
x 0 ; , on a lnx
x lnx
e lnx
lim lnx
x
lim
X
e X
X
donc, par limite de composée, lim
x
ln1 h ln1
h
e lnx
lnx
ln 1 1 1
Remarque : voir preuve sans utiliser la fonction exponentielle dans ROC 4
Exercice 7
Déterminer lim
x lnx x
Théorème
Preuve
lim xlnx 0
x 0 x 0 ; , on a xlnx xln 1 x ln 1 x
1 x
lim
x0
lim
X
1 x
lnX
X
0
Théorème (généralisation) :
donc, par limite de composée, lim
x0
Pour tout entier naturel n non nul, on a :
lim
x
lnx
x n 0
lim
x0 x n lnx 0
ln 1 x
1 x
6
1 donc lim
h0
ln1 h
h
1
lnx
donc, par limite d’inverse, lim
x x 0
0 donc limxlnx
0
x0

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On retiendra : "en et en 0, toute puissance de x l’emporte sur lnx"
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