La fonction logarithme népérien - math et mac

§1. Historique
La fonction logarithme népérien
Voyez notamment la feuille consacrée à John Néper.
§2. Définition
La fonction
+ 1
f : R 0 ! " R;t !
t
+
fermé inclus dans R 0 . En d’autres termes, ! a,b]
On définit alors ln :R +
0 ! "! R;x ! ln(x)
!
=
§3. Propriétés
• ln(1) = 0
est continue. Elle admet donc une intégrale sur tout intervalle
#
+
[ " R 0 :
1
t dt
b
# existe.
a
© Jean-Pierre Verbeque 080623 logarithme népérien - 1
1
x
1
t dt
+ +
• !x "R0 : x > 1 # ln(x) > 0 et !x "R0 : 0 < x

§6. Exercices
1. Justifiez :
a) ln(ab) = lna + lnb b) ln a
= ln a ! ln b
b
c) ln a 3 = 3ln a
3
d) ln a = 1
3 ln a
2. Calculez sans calculette :
a) ln e 3 b) ln 1
3
3 c) ln e
e
3. Calculez en fonction de lna, lnb et lnc :
a) ln a 3 b 2 c b) ln a2b c 3 c) ln a2b c 3
5
4. Résolvez dans R :
a) lnx + ln3 = 1 b) lnx = ln3 +4
c) 2ln(x + 4) = lnx + ln5 d) 2ln(x + 1) = 4ln2
e) ln 2 x ! 5 ln x ! 6 = 0 f) 5ln 2 x ! 3ln x 2 ! 1 = 0
g) ln(4x + 1) < ln3 h) ln(3x 2 !1) " ln 5
i)
ln x !1
2 + ln x " 0 j) ln2 x ! 5ln x + 4 " 0
5. Quel est le domaine de définition des fonctions suivantes ?
a) ln(2x – 3) b) ln(3x 2 ! 4x + 5)
c) ln x(3 ! x) d) ln x + ln 3 ! x
e) ln
x + 2
x ! 2
f) ln x + 2 ! ln x ! 2
6. Dérivez les fonctions suivantes :
a) ln(3x – 2) b) ln(3x 2 + 2x + 1)
5
c) ln 3x
5
d) ln 3x
e) ln(sinx) f) ln(Arcsinx)
g) sin(lnx) h) Arcsin(lnx)
i) ln 2 x ! 3ln x + 5 j) ln x 2 ! 3x + 5
7. Déterminez une équation cartésienne de la tangente au graphe de f au point d’abscisse a :
a) f(x) = ln 2x et a = 0,5
b) f(x) = ln 2 3x et a = 0,33333...
c) f(x) = ln
3x +1
x + 2
et a = 1
© Jean-Pierre Verbeque 080623 logarithme népérien - 2

8. Calculez la dérivée de ln x
9. De l’exercice 8 on déduit : 1
! dx = ln x + k
x
10. Calculez :
a)
1
2 ! x dx " b)
3x
2 ! x 2 " dx
6x
c)
3x 2 !1 dx
2
" d) tgxdx
1
!
e)
x + 3
x + 2 dx ! f)
ln x
x dx
e ln x
g) ! dx
h)
1 x
2 + ln2 x
! dx
3x
11. Calculez l’aire de la partie du plan déterminée par l’axe X, la courbe d’équation xy = 4 et les
droites d’équations x = 1 et x = 4.
12. Calculez l’aire de la partie du plan déterminée par l’axe X, la courbe d’équation xy = 4 et les
droites d’équations y = x et x = 5.
13. Calculez :
a) ! ln xdx
b) ! xln xdx
c) x 2 ! ln xdx
d)
© Jean-Pierre Verbeque 080623 logarithme népérien - 3
!
!
ln x
x 3 dx