Corrigé du DS de Mathématiques n°3 - TIVOMATHS - Free

Lycée St-Joseph de Tivoli Seconde 3 Lundi 15 Octobre 2012
Corrigé du DS de Mathématiques n°3
Exercice 1 ( ≈ 10 points)
1. a) ֒→ Notons DF l’ensemble de définition de F.
∀ x ∈ R, x ∈ DF ⇔ 24 − 8x = 0
Ainsi, DF = R \ { 3 }.
- Inéquations & Tableaux de signes -
⇔ x = 3
֒→ Dressons le tableau de signe de F(x).
x −∞ −8
5 3 +∞
Signe de
8+5x
− 0 + +
Signe de
24−(8x)
+ + 0 −
Signe de
F(x)
− 0 + −
b) Par lecture du tableau précédent, on déduit que :
SI1 =
è
− 8
å
; 3 .
5
2. a) ֒→ Notons DG l’ensemble de définition de G.
∀ x ∈ R, x ∈ DG ⇔ −3x + 4 = 0
⇔ x = 4
3
4
Ainsi, DG = R \ .
3
֒→ Remarquons alors que, ∀ x ∈ R \
4
,
3
G(x) = {(5x)2 − 22 }(2x + 5)
−3x + 4
= (5x − 2)(5x + 2)(2x + 5)
.
−3x + 4
Dressons alors le t.d.s de G(x).
x
Signe de
5x− 2
Signe de
5x+ 2
Signe de
2x+ 5
Signe de
−(3x)+4
Signe de
G(x)
−∞ −5
2
−2
5
− − − 0 + +
− − 0 + + +
− 0 + + + +
+ + + + 0 −
− 0 + 0 − 0 + −
b) Par lecture du tableau précédent, on déduit que :
SI2 =
2
5
4
3
å
− 5
è å å
2 4
; −2 ∪ ; .
2 5 5 3
+∞
3. a) ֒→ Notons DH l’ensemble de définition de H.
∀ x ∈ R, x ∈ DH ⇔ 9 − 5x = 0
⇔ x = 9
9
Ainsi, DH = R \ .
5
֒→ Remarquons alors que, ∀ x ∈ R \
H(x) =
5
9
,
5
(2x + 4)(2 − x)(2 − x)
9 − 5x
Dressons alors le t.d.s de H(x).
x −∞ −2
Signe de
2x+ 4
Signe de
2− x
Signe de
2− x
Signe de
9−(5x)
Signe de
G(x)
9
5 2 +∞
− 0 + + +
+ + + 0 −
+ + + 0 −
+ + 0 − −
− 0 + − 0 −
b) Par lecture du tableau précédent, on déduit que :
SI3
è å
9
= ] −∞ ; −2 [ ∪ ; +∞ \ { 2 } .
5
Exercice 2 (≈ 10 points)
֒→ Notons D4 l’ensemble de définition de (I4).
On a :
x ∈ D4 ssi x − 3 = 0 et 2 − x = 0
ssi x = 3 et x = 2
Ainsi, D4 = R \ { 2 ; 3 } .
֒→ Pour tout x ∈ R \ { 2 ; 3 },
(I4) ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
(x + 3)(x − 3) (x − 3)(2 − x)
− < 0
(x − 3)(2 − x) (x − 3)(2 − x)
(x − 3) [(x + 3) − (2 − x)]
< 0
(x − 3)(2 − x)
(x − 3)(x + 3 − 2 + x)
< 0
(x − 3)(2 − x)
2x + 1
< 0
2 − x
֒→ Dressons alors le t.d.s de Q(x) =
2x + 1
2 − x :
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x −∞ −1
2 2 +∞
Signe de
2x+ 1
− 0 + +
Signe de
2− x
+ + 0 −
Signe de
Q(x)
− 0 + −
֒→ En se rappelant que 2 et 3 sont les valeurs interdites
pour (I5), on conclut alors :
è
S5 = −∞ ; − 1
å
∪ ] 2 ; +∞ [ \ { 3 } .
2
......................................................
֒→ Notons D5 l’ensemblededéfinition del’inéquation
(I5). On a :
x ∈ D5 ssi x + 5 = 0
ssi x = −5
Ainsi, D5 = R \ { −5 } .
⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
֒→ Pour tout x ∈ R \ { −5 },
(I5) ⇐⇒
x + 2 x + 5
− 0
x + 5 x + 5
⇐⇒ −3
0
x + 5
֒→ Dressons alors le t.d.s de −3
x + 5 :
x −∞ −5 +∞
−3 − −
x + 5 − 0 +
−3
x+5 + −
֒→ Donc, S6 = ] −5 ; +∞ [ .
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