Université Bordeaux I - Master GSAT – IMA - Travaux Dirigés - IMS

CADV
Automatique
et Commande de vol
Travaux dirigés
IAT 744 F. Cazaurang
http://www.maintenance–aeronautique.fr

Linéarisé tangent d’un système non linéaire multivariable
Le procédé représenté sur la figure (1) est un système hydraulique DTS 200 fabriqué par la société amira GmbH . Il
se compose de trois cuves T1, T2 et T3, d'une bâche B0 et de deux pompes P1 et P2. Chaque cuve est reliée à la bâche par
un conduit de section Sn dont le débit est modulable par une vanne manuelle. De plus deux conduits de mêmes sections,
dont le débit est modulable par une vanne, permettent de relier les cuves T1 et T3 d'une part et les cuves T2 et T3 d'autre
part.
Débit Q1 Débit Q2
P1
Cuve T1 Cuve T3 Cuve T2
h1
Vanne 10 Vanne 30 Vanne 20
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h3
Vanne 13 Vanne 32
Bâche B0
figure 1
Les pompes ont un fonctionnement unidirectionnel et sont contrôlées en débit. Les niveaux d'eau dans les cuves, notés
h1, h2 et h3, sont mesurés par des capteurs de pression placés au fond de cuves. Le niveau d'eau de chaque cuve est
proportionnel à l'intégrale des débits des différents conduits. On peut donc écrire les équations suivantes:
S ( ) ( )
( ) ( )
dh
Q h Q h h Q
dt
S dh
Q h Q h h Q
dt
S dh
1
c = − 10 1 − 13 1 , 3 + 1
2
c = − 20 2 + 32 2 , 3 + 2
3
c = −Q h − Q h h + Q h h
dt
( ) ( , ) ( , )
30 3 32 2 3 13 1 3
Sc : section d'une cuve
h2
h1 : hauteur d'eau dans la cuve T1
h2 : hauteur d'eau dans la cuve T2
h3 : hauteur d'eau dans la cuve T3
Q10 : débit de la cuve T1 dans la bâche B0
Q20 : débit de la cuve T2 dans la bâche B0
Q13 : débit de la cuve T1 dans la cuve T3
Q32 : débit de la cuve T3 dans la cuve T2
En utilisant la loi de Toricelli, les différents débits peuvent s'écrire sous la forme suivante:
( )
( )
( )
Q10 h1 = az10S n 2gh1
= a10 h1
Q h = az Sn 2gh
= a h
Q h = az S 2gh
= a h
20 2 20 2 20 2
30 3 30 n 3 30 3
( , ) n ( ) 2
( )
( , ) ( ) 2
( )
Q h h = az S sign h − h g h − h = a sign h − h h − h
13 1 3 13 1 3 1 3 13 1 3 1 3
Q h h = az S sign h − h g h − h = a sign h − h h − h
32 2 3 32 n 3 2 3 2 32 3 2 3 2
Q1 : débit de la pompe P1
Q2 : débit de la pompe P2
(1.1)
Sn représente la section des conduits entre les différents éléments, et les coefficients aij traduisent le débit du conduit
reliant l'élément i à l'élément j via la vanne Vij. Toutes les vannes sont à la même hauteur correspondant au niveau zéro.
P2

Le système de trois équations différentielles non linéaires (I.1) constitue l'équation d'état du procédé. Le vecteur d'état
correspond aux trois hauteurs d'eau h1, h2 et h3. Les entrées de commande sont les deux débits Q1 et Q2, les sorties à
régler sont les niveaux h1 et h2.
−Q10 ( h1 ) − Q13 ( h1 , h3
)
− Q20 ( h2 ) + Q32 ( h2 , h3
)
( ) ( , ) ( , )
h
Q
S H S h
Q( H) B
Q
h Q h Q h h Q h h
Q
⎛ & ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟
& &
⎜
⎟ ⎜ ⎟⎛
⎞
c = c ⎜ ⎟ = ⎜
⎟ + ⎜ ⎟⎜
⎟ = +
⎜ & ⎟ ⎜
Q
⎝ ⎠ ⎝−
+ −
⎟ ⎜ ⎟⎝
⎠
⎠ ⎝ ⎠
⎛
1
1 0
1
1 ⎞
2
0 1
⎜ ⎟
2
⎝ 2 ⎠
3 30 3 13 1 3 32 2 3 0 0
h1
⎛ y1
⎞ 1 0 0
⎜ ⎟ = h2
CH
⎝ y2
⎠ 0 1 0
h
⎛
⎛ ⎞
⎞⎜
⎟
⎜ ⎟⎜
⎟ = (I.3)
⎝ ⎠⎜
⎟
⎝ ⎠
Ce modèle constitue le modèle complet du procédé pour chaque configuration. A chaque position des vannes,
correspond un ensemble de valeurs des coefficients aij. La configuration utilisée pour extraire un modèle d'état linéarisé
autour d'un point d'équilibre est la suivante:
Les vannes V10 et V30 sont fermées (a10=a30=0), les vannes V13, V32 et V20 sont ouvertes (a13; a32; a20 non nuls).
On suppose qu'il n'y aura pas d'inversion d'écart de niveau entre les cuves et que h1>h3>h2.
A.1 Point d’équilibre:
A.1.1 En partant de l’hypothèse qu’ au point d’équilibre le débit Q20 est égal à Q1e+Q2e d’une part, et que les débits
Q1e, Q13, Q32, sont égaux d’autre part, montrer que dans la configuration proposée les hauteurs d’équilibre h10,
h20 et h30 peuvent se mettre sous la forme suivante:
h
20
⎛ Q + Q
= ⎜
⎝ a
1e 2e
20
2
⎞
Q
⎟ ; h30 = h20
+
⎠
a
⎛
⎜
⎝
A.2 Linéarisé tangent au voisinage d’un point d’équilibre:
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3
1e
32
2
⎞
Q
⎟ ; h10 = h30
+
⎠
a
⎛
⎜
⎝
A.2.1 En considérant le point d'équilibre (Q1,Q2, h10, h20, h30), montrer que le linéarisé tangent peut s'écrire:
avec δh(
t)
( ) ( ) ( )
δ &h t = Aδh t + BδQ t (I.4)
( )
( )
( )
⎛δh1
t ⎞ ⎛1
0⎞
⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟
= ⎜δh2
t ⎟ , B = ⎜0
1⎟
⎜
⎝δh
t
⎟ Sc ⎜ ⎟
⎠ ⎝0
0⎠
⎛ 2
2
⎜ a13
a13
⎜
− 0
+
2S
Q1
2S
Q
⎜
⎛ 2
2
a
a ⎞
2
⎜
32
20
a32
A = ⎜ 0 − ⎜
+
⎟
⎝ S Q S ( Q + Q ) ⎟
+
2 ⎠ S Q
⎜
1 2 1 2 2
⎜ 2
2
a
a
− +
⎜ 13
32
⎜+
+
⎝ 2S Q
2S Q
2S
Q
3
, δQ(
t)
c e c 1e
c e c e e c 1e
2 2 ( a32 a13
)
c 1e
c 1e
c 1e
( )
( )
1e
13
δQ
t
=
δQ
t
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
⎞
⎟
⎠
2
(I.2)
⎞
⎟
⎟
⎟ ⎛−α
13 0 α ⎞
⎟ Δ 13
⎜
⎟
⎟ = ⎜ 0 α 22 α 32 ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎝ α 13 α 32 −α 32 − α 13⎠
⎟
⎟
⎠
A.2.2 Déterminer la matrice de commandabilité du linéarisé tangent en fonction des coefficients α13, α22, α22 et α33.
A.2.3 Montrer que si le coefficient α13 est non nul le système est commandable.

Linéarisé tangent d’un système non linéaire monovariable
Le gyroscope est un instrument constitué d'une roue équilibrée statiquement à fort moment d'inertie en rotation rapide
autour de son axe principal. Si son centre d'inertie est confondu avec son centre de gravité et que le gyroscope est fixé à
une monture lui permettant de flotter sans frottement, il conserve une direction fixe dans l'espace. C'est cette propriété
que l’on utilise dans les plates-formes gyroscopiques qui servent au guidage des fusées, des missiles et des avions. Plus
le frottement est léger, plus la dérive est faible. Les gyroscopes les plus précis, ont respectivement des dérives horaires
de l'ordre d'une minute et de quelques secondes d'arc. Une technologie possible pour réduire les frottements dans un
gyroscope consiste à remplacer les suspensions classiques par un champ électrostatique. Avec ce champ électrostatique
qui maintient en l’air la masse inertielle mobile dans sa cavité, les frottements secs ou visqueux sont quasiment nuls.
Ainsi une fois mise en rotation, la masse inertielle continue à tourner presque indéfiniment.
On s’intéresse dans ce sujet à l’asservissement de la position de la masse inertielle dans sa cavité. On considère pour
cette étude un modèle simplifié à une seule dimension de l’espace. Ainsi on suppose que la masse inertielle se déplace
uniquement dans la direction verticale. Sur le schéma électrique figure 1, la masse inertielle est représentée par une
sphère et la partie supérieure de la cavité fixe par une demi-sphère. Le capteur de position permet de mesurer la position
x de la masse inertielle dans la cavité. La position d’équilibre correspond à x = 0. Ce capteur permet également de relier
électriquement la masse inertielle à la masse électrique. L’effort mécanique exercé par le biais du capteur sur la masse
est modélisé par un ressort dont l’effort est proportionnel à l’élongation (Fr = - k x).
Electriquement l’écart entre la cavité et la masse inertielle est équivalent à un condensateur dont la capacité C(x) dépend
de la position x. C(
x)
Aε
0
=
D + x
L’effort électrostatique Fe dépend de la densité du courant q telle que ( t)
x(t)
C(x)
i(t)
Figure 1
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R
( t)
dq
i = et s’écrit :
dt
e(t)
F e
2
q
=
2ε A
Le modèle dynamique du système est donné par l’équation mécanique (1) et l’équation électrique (2):
2
( t)
( t)
mg
d x
q
m = −Fr
− Fe + P = −Kx(
t)
− +
2
dt
2Aε ( t)
Ri(
t)
+ v ( t)
( t)
q(
t)
+
C(
x)
2
( t)
0
(1)
dq
dq D + x
= = R
= R + q(
t)
(2)
dt
dt Aε
e c
Le signal d’entrée du système u(t) est la tension d’alimentation e(t).
0
0

Les paramètres du modèle sont la masse de la bille m, l’accélération de la pesanteur g, la résistance du circuit électrique
R, les constantes D, A et ε0 liées à la géométrie et la nature de l’air entre les plaques du condensateur.
A.1 Représentation d’état non linéaire et point d’équilibre
On choisit comme variables d’état :
dx
1 ( t)
x(
t)
, ( )
( t)
x 2 t = , x 3 ( t)
= q(
t)
x =
La sortie y ( t)
du système est la position ( t)
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dt
x . L’entrée u(t) du système est la tension e(t).
⎛ x&
1 ⎞ ⎛ f
⎜ ⎟ ⎜
A.1.1 Ecrire une représentation d’état du système non-linéaire sous la forme ⎜ x&
2 ⎟ = f ( x,
u)
= ⎜ f
⎜ ⎟ ⎜
⎝ x&
3 ⎠ ⎝ f
.
1
2
3
( )
( )
( ) ⎟⎟⎟
x,
u ⎞
x,
u
x,
u
A.1.2 En supposant que la bille est en équilibre à la position x = 0 =cste, montrer que le vecteur d’état ( ) 0
e t e = , correspondant à ce point de fonctionnement peuvent se mettre sous la forme suivante :
tension ( ) 0
⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟
X 0 = ⎜ 0 ⎟ ; u 0 = D
⎜ ⎟
⎝ 2mgAε
0 ⎠
A.2 Petites variations autour du point d’équilibre ( linéarisation )
2mg
Aε
0
⎠
.
X t X = , et la
On suppose à présent qu’une petite variation δ u(
t)
de la tension induit une petite variation δ x(
t)
de l’état, et y(
t)
sortie.
A.2.1 Montrer que la représentation d’état du système linéarisé autour du point d’équilibre précédent peut s’écrire :
A.3 Analyse du système linéarisé
⎛
⎜
⎜
⎛ & δx
⎞ 1 ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ & δx2
⎟ = ⎜
⎜ & ⎟
δx
⎜
⎝ 3 ⎠ ⎜
⎜−
⎜
⎝
0
− K
m
2mg
ε AR
0
2
1
0
0
⎞
0 ⎟
⎟
⎛ ⎞
⎜ 0 ⎟
⎟ ⎛δx1
⎞ ⎜ ⎟
2g
⎟ ⎜ ⎟
− . δx
⎜
2 0 ⎟.
δu
ε 0 Am
⎟ ⎜ ⎟ + ,
⎜ ⎟
⎟ ⎜δx
⎟
⎝ 3 ⎠ ⎜ 1 ⎟
D ⎟ ⎜ ⎟
− ⎟ ⎝ R ⎠
ε 0 AR ⎟
⎠
⎛δx1
⎞
⎜ ⎟
δ y( t)
= ( 1 0 0)
. ⎜δx2
⎟ + 0.
δe(
t)
.
⎜δx
⎟
⎝ 3 ⎠
Expliciter les méthodes pour analyser les propriétés suivantes : (NE PAS FAIRE DE CALCUL)
A.3.1 Stabilité du système au voisinage du point d’équilibre.
A.3.2 Commandabilité du système au voisinage du point d’équilibre (depuis δu).
A.3.3 Observabilité du système linéarisé au voisinage du point d’équilibre ( depuis δy ).
δ de la

Représentation d’état et fonction de transfert
On considère le système dont la fonction de transfert est la suivante :
A.1 Mise sous forme compagne:
F
( s)
=
s
A.1.1 Montrer que la forme compagne associée est la suivante:
( 1+ τ s)
⎛0
1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟
A =
0
= =
⎜ −
⎟
B k
⎜
⎟
C D
⎝ τ 1 ⎠ ⎝τ
1 ⎠
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k
1
( 1 0)
= ( 0)
A.1.2 Donner la représentation par schéma bloc pour la forme compagne précédente.
A.1.3 Ce système est-il à stabilité interne ?
A.2 Détermination de la matrice de transition d’état
A.2.1 Déterminer l’expression de la matrice ( ) ( ) 1 −
Φ s = sI − A .
A.2.2 Montrer que l’expression de la matrice de transition d’état φ(t) est la suivante :
⎡ ⎛ t
− ⎞⎤
⎢ ⎜ τ ⎟ 1
1 τ 1 ⎥
1
( ) 1
1
1 ⎢ ⎜ − e
−
−
−
⎟
At
⎥
φ t = L [ Φ(
s)
] = L [ ( sI − A)
] = e = ⎜ ⎟
⎢ ⎝ ⎠⎥
∀t
≥ 0 .
⎢
t
− ⎥
⎢
τ1
0
⎥
⎣ e ⎦
Le système est initialement au repos avec x(0)=(0,0) t , on applique l’entrée suivante :
u
1
Δ
( t)
= ∀t
≥ 0
A.2.3 Déterminer l’évolution de l’état x(t) dans ces conditions.
A.2.4 Vérifier que la valeur de l’état x0 à l’instant t0 peut alors s’écrire :
⎛ ⎛
⎞
⎜
⎛ t0
⎞⎞
k ⎜
−
⎜ τ ⎟⎟
⎟
1
⎜ ⎜t
0 −τ
1⎜1
− e ⎟⎟
⎜ Δ
⎟
⎜ ⎜ ⎟⎟
⎟
x ( t ) ⎜
⎝ ⎝ ⎠⎠
0 = x0
=
⎟ .
⎜ ⎛ t0
− ⎞
k ⎜ ⎟
⎟
τ1
⎜
⎜1−
e ⎟
⎟
⎜ Δ ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠
A partir de l’instant t = t0 la commande u(t) est mise à zéro. A cet instant l’état du système est égal à x0.
A.2.5 Déterminer l’évolution de l’état x(t) dans ces conditions, pour 0 t t ≥ .
A.2.6 Vers quelle fonction tend x(t) si l’on prend t0=Δ, et que l’on fait tendre t0 vers zéro ?
A.2.7 Comment peut-on obtenir le résultat précédent à partir de φ(t) sans effectuer de calcul.

Représentation d’état et fonction de transfert
A - Représentation d’état associée à une fonction de transfert:
On donne la fonction de transfert suivante: F( s)
A.1 Mise sous forme compagne:
s + 4
=
2
s − s − 2
A.1.1 Montrer que la forme compagne associée est la suivante:
A = B C D
⎛ ⎞
⎜ ⎟ =
⎝ ⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
0 1 0
⎟ = =
2 1 1⎠
( 4 1) ( 0 )
A.1.2 Donner la représentation par schéma bloc pour la forme compagne précédente.
A.2 Mise sous forme diagonale
A.2.1 Décomposer la fonction de transfert en éléments simples.
A.2.1 En déduire que ce système peut se mettre sous la représentation d’état diagonale suivante :
Ad = Bd Cd Dd
− ⎛ ⎞
⎜ ⎟ =
⎝ ⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
1 0 1
⎟ = − =
0 2 1⎠
( 1 2) ( 0 )
A.2.2 Comparer cette représentation avec celle obtenue en diagonalisant la matrice A.
A.2.3 Déterminer l’évolution de l’état pour une entrée u(t) échelon unitaire (u(t)=1 pour t>0) dans la base associée à la
réalisation (Ad,Bd,Cd,Dd)
B - fonction de transfert associée à une représentation d’état:
On donne la réalisation suivante:
Le vecteur d’état s’écrit ( )
⎛ −1
⎞
⎜ 0 0⎟
⎜ τ 1 ⎟
⎛
−
⎜
1 0 ⎞
A =
⎜ 1 ⎟ −1
⎟
σ 0 B = ⎜0
⎟ C = D =
⎜ τ ⎟
2 ⎜ τ 2 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
0 1 0
⎟
⎝0
0 ⎠
⎝ ⎠
⎛θ⎞
⎜ ⎟
x t = ⎜ v⎟
⎜ ⎟
⎝h⎠
et le vecteur des entrées u( t)
B.1 Donner une représentation graphique de l’équation d’état.
B.2 Déterminer la fonction de transfert entre h(t) et u(t).
f
=
w
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
B.3 Déterminer la fonction de transfert entre h(t) et w(t). Commenter.
( 0 0 1) ( 0)
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Représentation d’état et fonction de transfert
On considère le système dont la fonction de transfert est la suivante:
A.1 Mise sous forme compagne:
F
( s)
=
s
A.1.1 Montrer que la forme compagne associée est la suivante:
s + 3
+ 2s
+ 2
⎛ 0 1 ⎞ ⎛0
⎞
A = ⎜
=
2 2 ⎟ B = ⎜
1 ⎟ C D
⎝−
− ⎠ ⎝ ⎠
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2
( 3 1)
= ( 0)
A.1.2 Donner la représentation par schéma bloc pour la forme compagne précédente.
A.2 Mise sous forme diagonale
A.2.1 Montrer que la matrice A possède deux valeurs propres complexes distinctes λ1 et λ2.
Les coordonnées dans la base de diagonalisation Bd seront notées X*. Les coordonnées dans la base associée à la forme
compagne Bc seront notées X.
A.2.2 Montrer qu’une matrice de passage vérifiant X*=PX possible est la matrice : ⎟ ⎛ 1 1 ⎞
P = ⎜
⎝−1
− i −1+
i⎠
A.2.3 En déduire que dans ce nouveau système de coordonnées, une réalisation du système est donnée par :
A
d
⎛−1
− i 0 ⎞ 1 ⎛−1⎞
= ⎜
= ⋅ =
0 1 ⎟ Bd
2 ⎜
1 ⎟ Cd
d
⎝ − + i⎠
i ⎝ ⎠
( 2 − i 2 + i)
D = ( 0)
A.2.4 Donner la représentation par schéma bloc pour la forme diagonale précédente.
A.3 Détermination de la matrice de transition d’état à partir de la forme compagne
A.3.1 Déterminer l’expression de la matrice ( ) ( ) 1 −
{ }
-at
On rappelle que L K e sin ωt
⋅u(
t)
Kω
=
s + a ω
Φ s = sI − A .
K
{ } ( s + a)
=
-at
et L K e cosωt
⋅u(
t)
2
2
( ) +
2
2
( ) +
s + a
A.3.2 Déterminer l’expression de la matrice de transition d’état Φ(t) à partir de la matrice Φ(s).
A.4 Détermination de la matrice de transition d’état à partir de la forme diagonale
Ad
t
A.4.1 Déterminer l’expression de la matrice Φ ( t ) = e .
d
A.4.2 A l’instant t = 0s, l’état du système est égal à x0. La commande u(t) est nulle pour t ≥ 0s
. Déterminer l’évolution
de X*(t) (coordonnées de l’état dans la base Bd) dans ces conditions, pour 0 t t ≥ .
A.4.3 Donner l’expression de l’évolution de X(t) (coordonnées de l’état dans la base Bc) en fonction de la matrice Φd(t)
et de la matrice de passage P. Ne pas faire le calcul. Quel est le lien avec la matrice Φ(t) calculer en A.3.2.
ω
.

On considère le système suivant:
B.1 Mise sous forme compagne:
Représentation d’état et fonction de transfert
F
( s)
3
s
s − s −1
=
= 1−
3 2
3 2
s + s − s −1
s + s − s −1
B.1.1 Montrer que la forme compagne associée est la suivante:
⎛0
1 0 ⎞ ⎛0
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = ⎜0
0 1 ⎟ B = ⎜0
⎟ C =
D
⎜
1 1 1
⎟ ⎜
1
⎟
⎝ − ⎠ ⎝ ⎠
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2
( 1 1 −1)
= ( 1)
B.1.2 Donner la représentation par schéma bloc pour la forme compagne précédente.
B.1.3 Montrer que λ = −1
et λ 1 sont des valeurs propres de A. En déduire les multiplicités associées.
B.2 Mise sous forme modale
1
2 =
B.2.1 Montrer que la matrice A n’est pas diagonalisable.
Les coordonnées dans la base de Jordanisation seront notées X*. Une matrice de passage vérifiant X=PX* possible est
⎛ 1 0 1⎞
⎜ ⎟
la matrice : P = ⎜−1
1 1⎟
.
⎜ ⎟
⎝ 1 − 2 1⎠
B.2.2 En déduire que dans ce nouveau système de coordonnées, une réalisation du système est donnée par :
A
J
⎛−1
1 0⎞
⎛ −1⎞
⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟
= ⎜ 0 −1
0⎟
BJ
= ⎜−
2⎟
C J =
J
⎜
4
0 0 1
⎟ ⎜
1
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( −1
3 1)
D = ( 1)
B.2.3 Donner la représentation par schéma bloc pour la forme de Jordan précédente.
B.3 Solution de l’équation d’état dans la base modale
B.3.1 Déterminer l’expression de la matrice ( ) ( ) 1 −
Φ = − J A sI s .
B.3.2 Montrer que l’expression de la matrice de transition d’état φ(t) est la suivante :
1⎛ 1
−
On rappelle que L ⎜ ⎟ = t ⋅u(
t)
⎝ s
2
⎞
⎠
−1
( t)
= L Φ(
s)
−1
[ ] = L ( sI − AJ
)
0 ⎤
−1
⎢ −t
⎥
[ ] = ⎢ 0 e 0 ⎥ ∀t
≥ 0
φ .
⎢ 0
⎣
0
t
e ⎥
⎦
avec u(t) la fonction échelon.
Le système est initialement éloigné du point d’équilibre avec x(0)=(x10, x20, x30) t , l’entrée de commande est nulle pour t>0.
B.3.3 Déterminer l’évolution de l’état x(t) exprimé dans la base initiale dans ces conditions.
B.3.4 Un tel système est-il stable ?
⎡e
−t
te
−t