EXERCICE 4 I) Existence et unicité de la solution 1 ... - Maths-france.fr

3) g est dérivable sur R en tant que quotient de fonctions dérivables sur R dont le dénominateur ne s’annule pas sur R et
pour tout réel x
g ′ (x) = 1(1 + ex ) − (1 + x)e x
(1 + e x ) 2
= 1 − xex
(1 + e x ) 2.
Puisque pour tout réel x, on a (1+e x ) 2 > 0, g ′ (x) est pour tout réel x du signe de 1−xe x . Maintenant, d’après la question
I)2)d), la fonction f est négative sur [0, α]. Soit alors x un réel de [0, α].
f(x) ≤ 0 ⇒ x − e −x ≤ 0 ⇒ x ≤ e −x ⇒ x ≤ 1
e x
⇒ xe x ≤ 1 (car e x > 0)
⇒ 1 − xe x ≥ 0.
Finalement, la fonction g ′ est positive sur [0, α] et donc
la fonction g est croissante sur [0, α].
III) Construction d’une suite dé réels ayant pour limite α
1) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ α.
1 + 0 1
1
• Déjà u0 = 0, puis u1 = = . Or, d’après la question I)2)c), α ≥
1 + e0 2 2 ce qui montre que 0 ≤ u0 ≤ u1 ≤ α.
L’encadrement est donc vrai quand n = 0.
• Soit n ∈ N. Supposons que 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ α. Puisque g est croissante sur [0, α], on en déduit que
g(0) ≤ g(un) ≤ g(un+1) ≤ g(α) ou encore 1
2 ≤ un+1 ≤ un+2 ≤ α et en particulier 0 ≤ un+1 ≤ un+2 ≤ α.
On a montré par récurrence que
pour tout entier naturel n, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ α.
2) Ainsi d’une part, pour tout entier naturel n, un ≤ un+1 ce qui montre que la suite (un)n∈N est croissante. D’autre
part, pour tout entier naturel n, un ≤ α ce qui montre que la suite (un)n∈N est majorée par α. En résumé la suite (un)n∈N
est croissante et majorée et donc converge.
La suite (un)n∈N converge.
3) Notons ℓ la limite de la suite (un)n∈N. La fonction g est continue sur R et en particulier en ℓ. On en déduit que quand
n tend vers +∞, g(un) tend vers g(ℓ). Par suite
ℓ = lim
n→+∞ un+1 = lim
n→+∞ g(un) = g(ℓ).
Ainsi, le réel ℓ est solution de l’équation g(x) = x. La question II)2) permet alors d’affirmer que ℓ = α.
La suite (un)n∈N converge vers α.
4) On a u0 = 0 puis u1 = 0, 5. La machine fournit alors u2 = 0, 5663110032..., u3 = 0, 567143165... et finalement
u4 = 0, 567143 arrondi à la sixième décimale.
http ://www.maths-france.fr 8 c○ Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.