Morphologie binaire ensembliste

Traitement d'images
4 – morphologie mathématique

Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Plan du cours
1 – Introduction
images binaires
propriétés algébriques, topologiques
2 – Morphologie binaire ensembliste continue
élément structurant; opérations de base: érosion dilatation;
opérations combinées: ouverture et fermeture
3 – Morphologie binaire ensembliste discrète
discrétisation; transposition des opérations ensemblistes;
transformation «hit or miss»; squelettisation
4 – Morphologie en niveaux de gris
extension fonctionnelle; opérations de base; gradient
morphologique; ligne de partage des eaux
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Différentes approches
Morphologie binaire ensembliste continue
opère sur des images binaires définies sur un support continu.
utilise les opérations ensemblistes standard: intersection, union,
inclusion, etc...
Morphologie binaire ensembliste discrète
similaire, mais sur un support discret, donc influencée par la
grille de discrétisation spatiale.
Morphologie en niveaux de gris
morphologie fonctionnelle: l'image est représentée par une
surface dans un espace à trois dimensions.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Morphologie binaire ensembliste (1/3)
Images binaires
images pour lesquelles chaque pixel ne peut prendre que les
deux valeurs zéro ou un.
contexte simple permettant une formalisation mathématique
des problèmes par des outils tels que la topologie.
passage obligé dans certaines applications (détection de
défauts, contrôle qualité, métrologie), suivant en général la
phase de segmentation.
Manipulation des images binaires
nombreux outils spécialisés et théories mathématiques.
Obtention d'une image binaire
à partir d'une image en niveaux de gris, au moyen d'une
technique de seuillage.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Morphologie binaire ensembliste (2/3)
Morphologie mathématique ensembliste
traite les images binaires et fait appel à la théorie des
ensembles.
l'image binaire renferme un certain nombre de régions
(ensemble de pixels connexes) codées à 1 que l'on peut définir
comme des objets d'intérêt, par rapport à un fond codé à 0.
Élément structurant
une transformation morphologique utilise un ensemble
particulier de centre x, de géométrie et de taille connues, appelé
élément structurant.
l'élément structurant est déplacé de façon à ce que son centre x
passe successivement par toutes les positions possibles dans
l'image binaire.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Morphologie binaire ensembliste (3/3)
Transformation morphologique
pour chacune des positions du centre de l'élément structurant,
on se pose une question relative à l'union ou à l'intersection de
l'élément structurant avec les objets de l'image.
l'ensemble des points correspondant à une réponse positive
permet de construire une nouvelle image résultat.
Transformations basiques
pour la dilatation, la question posée est: l'intersection entre
l'élément structurant et la région de l'image est­elle non vide?
pour l'érosion, la question posée est: l'élément structurant est­il
complètement inclus dans la région de l'image? (c'est à dire:
l'intersection est­elle l'élément structurant lui­même?)
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Propriétés topologiques des ensembles
Topologie euclidienne
ℝ 2, support de l'image, associé à la distance euclidienne permet
de définir une topologie.
boule ouverte de centre x et de rayon r: ensemble des points
situés à une distance de x strictement inférieure à r.
ensemble ouvert: union (finie ou infinie) de boules ouvertes.
espace topologique: support de l'image associé à tous les ouverts
pouvant être définis sur ce support.
Autres propriétés
ensemble fermé: complémentaire d'un ouvert.
adhérence d'un ensemble: plus petit fermé qui le contient.
intérieur d'un ensemble: plus grand ouvert inclus.
frontière: différence entre l'adhérence et l'intérieur.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Transformation homotopique
Homéomorphisme
transformation: fonction qui associe un ensemble à un autre
ensemble de l'espace.
un homéomorphisme est une transformation bijective et
bicontinue.
intuitivement: un homéomorphisme «déforme» un ensemble en
un autre ensemble de forme similaire.
ensembles homéomorphes: deux ensembles dont l'un est la
transformée de l'autre par un homéomorphisme.
Transformation homotopique
une transformation est homotopique si l'image initiale et sa
transformée sont homéomorphes.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Connexité des ensembles
Connexité (par arc = propriété topologique)
un ensemble E est connexe (par arcs) si, pour tout couple de
points (A,B) de cet ensemble, il existe au moins un chemin
continu de E qui relie A à B.
un ensemble est simplement connexe si tout lacet de l'ensemble
peut être réduit à un point unique par un homéomorphisme.
A
C 2
C 1
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B
A
C 2
C 1
B
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Propriétés des transformations morphologiques
Propriétés algébriques de la transformation
permettent de déduire des propriétés des ensembles.
transformés à partir de celles des ensembles initiaux.
croissance X ⊂ Y ⇒ (X) ⊂ (Y)
extensivité (X) ⊂ X
anti­extensivité X ⊂ (X)
continuité X Y ⇒ (X) (Y)
idempotence ((X)) = (X)
Propriétés topologiques
préservation de la connexité des ensembles.
homotopie des images.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Éléments structurants (1/2)
Définitions
ensemble B de géométrie connue repéré par son centre.
ensemble B x déduit de B par translation du centre de B en un
point x de l'espace.
transposé d'un élément, noté B , défini par symétrie centrale.
exemples: disque, carré, hexagone, bi­point ...
B
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O
B
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Éléments structurants (2/2)
Interaction ensemble / élément structurant
Pour transformer un ensemble, on déplace l'élément structurant
en chaque point de x l'image et on détermine la relation entre B x
et les objets.
B en x 2 est inclus dans Y
B en x 3 touche Y
B en x 1 : ne touche pas Y
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Y
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Érosion binaire ensembliste (1/4)
si l'élément structurant B déplacé au point x est inclus dans un
objet de l'image, le point x est conservé dans la transformée.
Source : Serge Miguet, U. Lyon II
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Érosion binaire ensembliste (2/4)
Caractéristiques de l'image résultat
les objets de taille inférieure à celle de l'élément structurant
disparaissent de l'image résultat.
les autres objets sont «amputés» d'une partie correspondant à la
taille de l'élément structurant.
s'il existe des trous dans les objets, c'est à dire des «morceaux»
de fond à l'intérieur des objets, ils sont accentués.
des parties d'un objets initialement reliées entre elles peuvent
être séparées.
une érosion avec un élément structurant de taille importante
peut se souvent se réaliser en répétant plusieurs fois une
érosion avec un élément structurant de taille plus faible.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Érosion binaire ensembliste (3/4)
Influence de l'élément structurant
la forme des objets dans l'image résultat dépend fortement de
celle de l'élément structurant.
image initiale érosion avec une boule érosion avec un segment
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Érosion binaire ensembliste (4/4)
Propriétés algébriques de l'érosion
l'érosion est anti­extensive: la transformée d'un objet est incluse
dans l'objet lui­même.
l'érosion est une transformation croissante: si X est inclus dans
Y, alors l'érodé de X est inclus dans l'érodé de Y.
l'érosion est une transformation semi­continue supérieure: si X
tend vers Y, alors l'érodé de X tend vers un ensemble inclus dans
ou égal à l'érodé de Y.
l'érosion n'est pas idempotente: l'érodé de l'érodé est différent
de l'érodé.
Propriétés topologiques
l'érosion ne préserve pas la connexité des objets, mais préserve
la connexité du fond.
l'érosion n'est pas une transformation homotopique.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Dilatation binaire ensembliste (1/3)
si l'élément structurant B déplacé au point x touche au moins
un objet de l'image, le point x est conservé dans la transformée.
Source : Serge Miguet, U. Lyon II
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Dilatation binaire ensembliste (2/3)
Caractéristiques de l'image résultat
la dilatation est l'opération duale (ou inverse) de l'érosion: elle
consiste à éroder le complémentaire de l'image, puis à
complémenter le résultat.
tous les objets «grossissent» d'une partie correspondant à la
taille de l'élément structurant.
s'il existe des trous dans les objets, c'est­à­dire des «morceaux»
de fond à l'intérieur des objets, ils peuvent être comblés.
si des objets sont situés à une distance moins grande que la
taille de l'élément structurant, il peuvent fusionner.
une dilatation avec un élément structurant de taille importante
peut se souvent se réaliser en répétant plusieurs fois une
dilatation avec un élément structurant de taille plus faible.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Dilatation binaire ensembliste (3/3)
Propriétés algébriques de la dilatation
la dilatation est extensive: la transformée d'un objet est incluse
dans l'objet lui­même.
la dilatation est une transformation croissante: si X est inclus
dans Y, alors le dilaté de X est inclus dans le dilaté de Y.
la dilatation est une transformation semi­continue inférieure: si
X tend vers Y, alors le dilaté de X tend vers un ensemble
contenant ou égal au dilaté de Y.
la dilatation n'est pas idempotente: le dilaté du dilaté est
différent du dilaté.
Propriétés topologiques
la dilatation préserve la connexité des objets, mais ne préserve
pas la connexité du fond.
la dilatation n'est pas une transformation homotopique.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Combinaisons d'érosions et de dilatations ensemblistes
Combinaison
la dilatation et l'érosion ensemblistes peuvent être combinées
pour définir d'autres transformations ensemblistes.
Ouverture ensembliste
l'ouverture ensembliste par un élément structurant B est la
combinaison d'une érosion par B suivie par une dilatation par le
transposé de B:
O B X = D B E B X
Fermeture ensembliste
la fermeture ensembliste par un élément structurant B est la
combinaison d'une dilatation par B suivie par une érosion par le
transposé de B:
F B X = E B B
D X
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Ouverture ensembliste (1/2)
Caractéristiques de l'image résultat
l'ouverture a pour propriété d'éliminer toutes les parties des
objets qui ne peuvent pas contenir l'élément structurant:
ouverture par une boule ouverture par un carré
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Ouverture ensembliste (2/2)
Propriétés algébriques
l'ouverture est une transformation croissante: si X est inclus
dans Y, l'ouverture de X est incluse dans l'ouverture de Y.
l'ouverture est une transformation anti­extensive: l'ouverture
de X est incluse dans X.
l'ouverture est une transformation semi­continue supérieure.
l'ouverture est idempotente: il suffit d'appliquer une seule fois
la transformation.
Propriétés topologiques
l'ouverture ne préserve pas la connexité des objets, mais
préserve la connexité du fond.
l'ouverture n'est pas une transformation homotopique.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Fermeture ensembliste (1/2)
Caractéristiques de l'image résultat
la fermeture a pour propriété de combler tous les espaces entre
les objets qui ne peuvent pas contenir l'élément structurant:
fermeture par une boule fermeture par un carré
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Fermeture ensembliste (2/2)
Propriétés algébriques
la fermeture est une transformation croissante: si X est inclus
dans Y, la fermeture de X est incluse dans la fermeture de Y.
la fermeture est une transformation extensive: X est inclus dans
sa fermeture.
la fermeture est une transformation semi­continue supérieure.
la fermeture est idempotente: il suffit d'appliquer une seule fois
la transformation.
Propriétés topologiques
la fermeture préserve la connexité des objets, mais ne préserve
par la connexité du fond.
la fermeture n'est pas une transformation homotopique.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Morphologie mathématique discrète
Échantillonnage spatial
le type de grille d'échantillonnage est important pour définir la
notion de connexité en discret.
échantillonnage carré:
chaque pixel possède soit 4 soit 8
voisins.
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échantillonnage hexagonal:
chaque pixel possède 6 voisins.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Transposition des opérations de base (1/2)
Érosion et dilatation
simples transpositions des opérations ensemblistes définies sur
un support continu.
mêmes propriétés algébriques et topologiques.
image initiale image érodée image dilatée
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Transposition des opérations de base (2/2)
image initiale
image dilatée
image binarisée
image ouverte
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image érodée
image fermée
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Extension: autre définition de l'élément structurant
Élément standard
voisinage comportant des 1 pour les pixels appartenant à
l'élément structurant, les autres pixels étant indifférents.
les pixels indifférents sont parfois indiqués par des 0 ou des X.
Élément étendu
voisinage comportant de 1 et des 0 pour les pixels définissant
l'élément structurant, les autres pixels sont soit marqués par un
X, soit laissés vides.
1
1 1 1
1
0 1 0
1 1 1
0 1 0
X 1 X
1 1 1
X 1 X
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1
0 0 1
1
X 1 X
0 0 1
X 1 X
éléments standards équivalents
éléments étendus équivalents
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Opérations définies par les éléments structurants étendus
Opération «Hit or Miss»
l'élément structurant étendu est centré sur chaque pixel de
l'image comme pour les opérations ensemblistes.
la question posée est: est­ce que le contenu de l'image est
identique au contenu de l'élément structurant, sauf pour les
positions marquées comme indifférentes?
si la réponse est oui, le pixel résultant vaut 1, sinon il vaut 0.
Utilisation
permet de détecter des configurations locales particulières dans
une image.
plusieurs masques peuvent être utilisés indépendamment, les
images résultat étant ensuite combinées par une opération OU.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Exemple d'opération Hit or Miss, détection des coins
4 masques utilisés
0 0
0 1 1
1
0 0
1 1 0
1
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1
0 1 1
0 0
1
1 1 0
0 0
haut gauche haut droit bas gauche bas droit
image originale coins détectés
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Transformations dérivées du Hit or Miss (1/2)
Amincissement
consiste à soustraire l'image résultat d'un hit or miss de l'image
initiale.
l'amincissement est une transformation anti­extensive.
Épaississement
consiste à calculer l'union de l'image résultat d'un hit or miss et
de l'image initiale.
l'épaississement est une transformation extensive.
Propriétés
lorsque les masques de l'opération hit or miss sont définis de
façon adéquate, ces opérations préservent la connexité.
de ce fait, l'amincissement est l'équivalent homotopique de
l'érosion, l'épaississement celui de la dilatation.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Squelettisation (opération morphologique homotopique)
Squelette d'une forme
le squelette est l'ensemble des centres de toutes les boules
incluses dans un objet touchant simultanément deux bords de
cet objet.
on définit également le squelette par l'intermédiaire de la
fonction distance: la valeur de la fonction distance pour un
pixel est la distance de ce pixel au bord le plus proche.
le squelette est l'ensemble des maximums locaux de la fonction
distance.
Transformation axe médian (TAM)
la transformation en axe médian est l'image de la fonction
distance, ramenée à zéro pour les points n'appartenant pas au
squelette.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Exemples de squelettes et de TAM
image initiale
image initiale
squelette
squelette
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TAM (maxi = blanc)
TAM (maxi = blanc)
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Propriétés de la squelettisation
Propriétés algébriques
la squelettisation est une transformation idempotente.
la squelettisation n'est pas une transformation continue.
exemple: polygone régulier, à la limite devient un cercle.
Propriété topologique
la squelettisation est une transformation homotopique, à
condition que l'ensemble de départ soit un ouvert.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Squelettisation par amincissements successifs
Principe
à chaque itération, on enlève des points par une transformation
homotopique adaptée.
on arrête le processus itératif lorsque l'image reste constante.
Points retirés
cette opération est appelée érosion conditionnelle.
elle ne doit, ni modifier la connexité, ni retirer des extrémités
de lignes, ni retirer des points isolés.
0 0 0
1
1 1 1
0 0
1 1 0
1 1
1 0
1 1 0
1 0
1 1
1 1 0
0 0
1 1 1
1
0 0 0
exemple d'éléments structurants: famille Mskel
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1 1
0 1 1
0 0
0 1
0 1 1
0 1
0 0
0 1 1
1 1
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Morphologie en niveaux de gris = morphologie fonctionnelle
Morphologie fonctionnelle
on utilise la fonction niveau de gris de l'image afin de limiter un
volume dans un espace 3D.
ce volume est situé sous la représentation de la fonction: c'est
pourquoi il est parfois appelé ombre de l'image.
Exemple en 2 dimensions (image 1D)
G(x)
«volume» défini sous la courbe de la fonction image
ou ombre de l'image
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x
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Morphologie fonctionnelle
Extension 3D
les opérateurs morphologiques ensemblistes sont étendus en 3D.
l'image devient le volume défini sous la fonction niveau de gris.
l'élément structurant est alors un ensemble fermé 3D.
la frontière du volume transformé est la nouvelle fonction ndg.
Exemple: dilatation
D(G(x))
G(x)
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x
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Exemples d'opérations morphologiques fonctionnelles
image initiale
ouverture
érosion
fermeture
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dilatation
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Gradient morphologique
Objectif
déterminer les contours des objets dans une image en niveaux
de gris, de façon similaire aux opérateurs différentiels.
les contours correspondent aux variations significatives de la
fonction niveau de gris.
au niveau des contours, l'image dilatée et l'image érodée
présentent de fortes différences.
Définition du gradient morphologique
c'est la différence pixel à pixel des niveaux de gris de l'image
transformée par une dilatation fonctionnelle et l'image
transformée par une érosion fonctionnelle.
∥∇ I ∥= 1
2 DB I − E B I
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Exemples de calcul du gradient morphologique
image initiale image érodée
image gradient image dilatée
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Ligne de partage des eaux
Analogie avec la topographie
l'ombre de l'image est considérée en tant que relief.
les lignes de partage des eaux séparent les bassins versants.
Technique
simuler l'inondation de bassins en les empêchant de se déverser
les uns dans les autres au moyen de barrages ou de digues.
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Introduction morphologie continue morphologie discrète morphologie fonctionnelle
Exemple de calcul de la LPE
image initiale
image + marqueurs
image complément
LPE
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minima locaux
LPE étiquetée
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