Sph`eres dures et Physique statistique - Espci

III. FONCTION D’ÉTAT
Notre but est maintenant de calculer la fonction d’état qui donne la pression P en fonction de la densité ρ = N/V .
Commençons par la description la plus simple : Nous travaillons avec une temperature telle que kT = 1. En déduire
que selon la loi de gaz Parfait, on trouve :
PGP = ρ (6)
Une façon d’aller plus loin que le gaz parfait est d’utiliser l’equation de Van der Waals. Montrez que
PV dV = ρ + cstρ 2
et calculer cette constante. Comment cela se compare avec vos data ? Attention à la difference entre ρ = N/V dans le
calcul et φ = Nv0/V dans la simulation.
IV. DÉVELOPPEMENT DU VIRIEL (OU DE MAYER)
Nous allons maintenant voir comment on peut exploiter la physique statistique pour predire la fonction P (ρ). Pour
cela on rappelle que
log(Z(V )
P = , où Z(V ) ∝ dxi θ (| xi − xj| > 2r0|) (8)
dV
Cette integrale parait simple, mais elle est affreusement compliquée. De fait, personne ne sait comment la calculer en
toute dimension, sauf en dimension une ! Il faut donc utiliser une approximation, et c’est le role du développement de
Mayer (ou du Viriel), qui est la base de la théorie des liquides et des gaz en physique statistique.
On commence par poser
et notre fonction de partition devient une somme de plusieurs termes.
Z(V ) = cst d xi (1 + fij) = cst
⎛
N
dxi ⎝1 +
fij +
i
i