Sph`eres dures et Physique statistique - Espci

Sphères dures et Physique statistique
Florent Krzakala et Michael Schindler
ESPCI Paristech
Laboratoire PCT, UMR Gulliver CNRS-ESPCI 7083,
10 rue Vauquelin, 75231 Paris, France
(Dated: 11 février 2013)
I. UN PEU DE PHYSIQUE STATISTIQUE
Malheureusement, vous avez à peine commencé votre cours de physique statistique. Mais la bonne nouvelle, c’est
que nous pouvons rapidement résumer entièrement la discipline en quelques mots. En effet, d’apres Richard Feynman,
dans son livre Statistical Mechanics :
The key principle of statistical mechanics is as follows :
If a system in equilibrium can be in one of N states, then the probability of the system being in the state n is
P = 1
Z e−βEn (1)
where Z =
n e−βEn is called the partition function and beta = 1/kT .
This fundamental law is the summit of the statistical mechanis and the entire subject is either the slide-down from
this summit, as the principle is applied to various cases, or the climb-up to where the fundamental law is derived.
Vous voila donc expert en physique statistique ! La seule différence avec la formulation de Feynman pour notre
ensemble de particules, c’est que nous avons à notre disposition un continuum (et non un ensemble discret) d’états
possible : un état étant spécifié par la position et la vitesse des N particles.
II. PHYSIQUE STATISTIQUE DES SPHÈRES DURES
Pour notre ensemble spheres dures, les choses sont de plus assez simples puisque nous travaillons avec une temperature
inverse β = 1.
La vitesse des particules doivent être donc distribuéée comme
v2 − v2
P (v) ∝ e 2mβ −
= e 2 (2)
puisque l’on travaille avec β = m = 1 dans le code. Il s’agit deja d’une prediction non triviale : Si je regarde la
distribution des vitesses apres un certain temps, elle devrait suivre cette distribution dite Gaussienne ! Prenez donc
le temps de verifier cette prediction, et notez sa simplicitéé. . .
Pour la positions, c’est encore plus simple : l’energie est infinie si il y a un recouvrement, et nulle si il n’y en a pas.
On en déduit donc que TOUTES les configurations permises des N particules sont équiprobables. La encore, il s’agit
d’une prediction tres forte !
Enfin, on peut exprimer la fonction de partition a volume fixé par :
ZV ∝
dvi
i
V
i
−
dxie i
∝ A
V
v 2 i
2mβ θ (| xi − xj| > 2r0|) (3)
dxiθ (| xi − xj| > 2r0|) (4)
avec r0 le rayon des particules.
Peut-on en déduire la pression d’un système en fonction de sa densité ? La réponse est oui, mais il faut travailler un
peu plus et en raisonnant avec des systèmes de différents volumes.
En effet, l’energie associée à un changement de pression est simplement P V . Il faut donc inclure ce terme dans la
description statistique et la probabilité d’observer un volume V pour une pression V est maintenant donée par
P (V ) = 1
Z e−βP V ZV = e −βP V +log(ZV )
. Cela nous permet de deriver une relation
importante en general : si l’on connait la fonction de partition d’un système a volume fixé, sa derivée par rapport au
volume nous donne la pression. Il nous faut donc savoir calculer la fonction de partition a volume fixé.
Le maximum de cette probabilité est atteint pour V ∗ tel que βP = log(ZV )
dV
i
(5)

III. FONCTION D’ÉTAT
Notre but est maintenant de calculer la fonction d’état qui donne la pression P en fonction de la densité ρ = N/V .
Commençons par la description la plus simple : Nous travaillons avec une temperature telle que kT = 1. En déduire
que selon la loi de gaz Parfait, on trouve :
PGP = ρ (6)
Une façon d’aller plus loin que le gaz parfait est d’utiliser l’equation de Van der Waals. Montrez que
PV dV = ρ + cstρ 2
et calculer cette constante. Comment cela se compare avec vos data ? Attention à la difference entre ρ = N/V dans le
calcul et φ = Nv0/V dans la simulation.
IV. DÉVELOPPEMENT DU VIRIEL (OU DE MAYER)
Nous allons maintenant voir comment on peut exploiter la physique statistique pour predire la fonction P (ρ). Pour
cela on rappelle que
log(Z(V )
P = , où Z(V ) ∝ dxi θ (| xi − xj| > 2r0|) (8)
dV
Cette integrale parait simple, mais elle est affreusement compliquée. De fait, personne ne sait comment la calculer en
toute dimension, sauf en dimension une ! Il faut donc utiliser une approximation, et c’est le role du développement de
Mayer (ou du Viriel), qui est la base de la théorie des liquides et des gaz en physique statistique.
On commence par poser
et notre fonction de partition devient une somme de plusieurs termes.
Z(V ) = cst d xi (1 + fij) = cst
⎛
N
dxi ⎝1 +
fij +
i
i