Travaux dirigés de Probabilités Master 1 Mathématiques, année ...

Travaux dirigés de Probabilités
Master 1 Mathématiques, année 2009/2010,
Feuille 3
Indépendance.
Exercice 1 (La non corrélation n’implique pas l’indépendance). Soit (X, Y ) un couple de
variables aléatoires prenant les valeurs (1, 0), (−1, 0), (0, 1) et (0, −1) avec égale probabilité.
Calculer E(X), E(Y ), V(X), V(Y ) et Cov(X, Y ). Les variables X et Y sont elles corrélées ?
Indépendantes ?
Exercice 2 (L’indépendance deux à deux n’implique pas l’indépendance mutuelle). Soient X
et Y deux variables aléatoires indépendantes prenant les valeurs 1 et −1 avec égale probabilité.
On pose Z = XY . Montrer que les variables X, Y et Z sont deux à deux indépendantes mais
pas mutuellement indépendantes.
Exercice 3 (Stabilité de loi binomiale). (1) Montrer que la somme de n variables aléatoires
X1, . . . , Xn indépendantes et de même loi de Bernouilli B(p) suit une loi binomiale
B(n, p).
(2) Soient Y1, . . . , Ym des variables aléatoires indépendantes telles que, pour i = 1 . . . m, la
variable Yi suive une loi binomiale B(ni, p), avec ni ≥ 1. Quelle est la loi de la somme
Y1 + · · · + Ym ?
Exercice 4. Deux joueurs A et B jouent une suite de parties indépendantes. Lors de chacune
d’elles, ils ont respectivement les probabilités p pour A et q = 1 − p pour B de gagner. Le
vainqueur final est celui des deux joueurs qui le premier obtient deux victoires de plus que
son adversaire. Quelle est la probabilité que A soit vainqueur ?
Indication : après deux parties, ou bien il y a un vainqueur, ou bien les deux joueurs sont à
égalité et le jeu recommence à l’identique ; le résultat du jeu se décide par séquences de deux
parties.
Exercice 5. Soient X1, . . . , Xn des variables indépendantes de même loi exponentielle de
paramètre 1. Montrer que les variables X1, . . . , Xn sont presque sûrement toutes distinctes.
On pose
Z = min
1≤i≤n Xi et N = min{1 ≤ i ≤ n : Xi = Z} .
Déterminer la loi de Z. Établir que pour tout 1 ≤ k ≤ n et tout t > 0,
P(N = k, Z > t) = e −nt /n .
En déduire que les variables aléatoires Z et N sont indépendantes et préciser la loi de N.
Exercice 6 (L’indépendance n’est pas toujours évidente). Soient X et Y deux variables
aléatoires indépendantes de même loi gaussienne standard.
(1) Donner la densité du couple (X, Y ).
(2) On pose U = X2 +Y 2
2 et V = X2
X 2 +Y 2 . Montrer que le couple (U, V ) admet la densité
f(u, v) = 1
π e−u
1
1 ]0,∞[(u) 1 ]0,1[(v) .
v(1 − v)
(3) Quelle est la loi de U ? Et celle de V ? Les variables U et V sont-elles indépendantes ?
1

2
Exercice 7 (Stabilité de la loi gamma). Soient X et Y deux variables indépendantes. On
suppose que X suit une loi gamma γ(a, l) et Y suit une loi gamma γ(b, l). On pose U = X +Y .
(1) Montrer que pour toute fonction h borélienne positive, on a
E(h(U)) = Cla+b
Γ(a)Γ(b)
∞
h(u)u
0
a+b−1 e −lu du ,
avec C = 1
0 xa−1 (1 − x) b−1 dx.
(2) En déduire la loi de U et la valeur de la constante C.
Exercice 8 (Renouvellement exponentiel ; nombre de renouvellements). Soit (Xn)n≥1 une
suite de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre λ. Pour
tout n ≥ 1, on pose Tn = X1 + · · · + Xn.
(1) Montrer que Tn possède la densité
gn(x) =
λn
(n − 1)! xn−1 e −λx 1 ]0,+∞[(x) .
(2) Pour t > 0 et n ≥ 1, calculer P(Tn ≤ t < Tn+1).
(3) Des clients arrivent aléatoirement dans un magasin. On suppose que les intervalles de
temps entre des arrivées successives sont des variables aléatoires indépendantes de loi
exponentielle de paramètre λ. On note Nt le nombre de clients arrivés avant l’instant
t. Donner la loi Nt.
Exercice 9 (Retour sur la loi binomiale). Calculer la fonction caractéristique d’une loi binomiale
B(n, p). Retrouver les résultats de l’exercice 3 en utilisant les fonctions caractéritiques.
Exercice 10 (Stabilité de la loi de Poisson). Calculer la fonction caractéristique d’une loi de
Poisson de paramètre λ. Soient X1, . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes telles que,
pour i = 1 . . . n, la variable Xi suive une loi de Poisson de paramètre λi. Quelle est la loi de
X1 + · · · + Xn ?
Exercice 11 (Vecteurs gaussiens). On rappelle que la fonction caractéristique d’une loi normale
N (0, 1) est la fonction t ↦→ exp(−t 2 /2).
(1) Calculer la fonction caractéristique d’une loi normale N (m, σ 2 ).
(2) Soient X1, . . . , Xn des variables indépendantes telles que, pour i = 1 . . . n, la variable
Xi suive une loi normale N (mi, σ2 i ). Calculer la fonction caractéristique de la variable
X1 + · · · + Xn. Quelle loi reconnaît-on ?
(3) On dit d’un vecteur aléatoire X = (X1, . . . , Xn) qu’il est gaussien si toute combinaison
linéaire de ses coordonnées suit une loi normale.
(a) Donner un exemple de vecteur gaussien.
(b) On note m = (E(X1), . . . , E(Xn)) le vecteur espérance de X et Γ = (Cov(Xi, Xj))1≤i,j≤n
la matrice de covariance de X. Montrer que la fonction caractéristique φX du vecteur
gaussien X est donnée par
∀t ∈ R d
, φX(t) = exp i〈 t, m 〉 − 1
〈 t, Γt 〉 .
2
(c) La loi d’un vecteur gaussien X est caractérisée par son vecteur moyenne et sa
matrice de covariance. En déduire que les coordonnées d’un vecteur gaussien sont
indépendantes si et seulement si elles sont deux à deux de covariance nulle.