Modélisation de phénomènes dépendant du temps - Exemples ...

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Modélisation de phénomènes dépendant du temps
Exemples choisis en dynamique des populations
François Ducrot
http://math.univ-angers.fr/∼ducrot/CSG/
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Introduction
Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
En 1859, 24 lapins furent introduits en Australie, par un
agriculteur nostalgique de son pays d’origine. Quelques années plus
tard ces petites bêtes pullulaient, et devenaient un fléau national.
Pour tenter de le juguler, on a introduire des prédateurs (des
renards), une maladie (la myxomatose), et on a construit des
milliers de kilomètres de clotures. Tout ceci sans succès.
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Introduction
Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
En 1859, 24 lapins furent introduits en Australie, par un
agriculteur nostalgique de son pays d’origine. Quelques années plus
tard ces petites bêtes pullulaient, et devenaient un fléau national.
Pour tenter de le juguler, on a introduire des prédateurs (des
renards), une maladie (la myxomatose), et on a construit des
milliers de kilomètres de clotures. Tout ceci sans succès.
Dans cet exposé, on cherche à modéliser mathématiquement
l’évolution de populations animales.
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Contenu
Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
1 Modéliser le problème
2 Discuter et modifier le modèle
3 Un modèle proie-prédateur
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
La formule fondamentale
On étudie l’évolution d’une population entre deux instants t1 et
t2 > t1. On a alors
effectif(t2) − effectif(t1) = nb de naissances − nb de décès
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
La formule fondamentale
On étudie l’évolution d’une population entre deux instants t1 et
t2 > t1. On a alors
effectif(t2) − effectif(t1) = nb de naissances − nb de décès
Le biologiste fait alors une hypothèse, en proposant une loi
mathématique qui donne les nombres de naissances et de
morts en fonctions des différents paramètres.
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
La formule fondamentale
On étudie l’évolution d’une population entre deux instants t1 et
t2 > t1. On a alors
effectif(t2) − effectif(t1) = nb de naissances − nb de décès
Le biologiste fait alors une hypothèse, en proposant une loi
mathématique qui donne les nombres de naissances et de
morts en fonctions des différents paramètres.
Le mathématicien peut alors étudier le modèle, et faire des
prévisions sur l’évolution de la population.
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
La formule fondamentale
On étudie l’évolution d’une population entre deux instants t1 et
t2 > t1. On a alors
effectif(t2) − effectif(t1) = nb de naissances − nb de décès
Le biologiste fait alors une hypothèse, en proposant une loi
mathématique qui donne les nombres de naissances et de
morts en fonctions des différents paramètres.
Le mathématicien peut alors étudier le modèle, et faire des
prévisions sur l’évolution de la population.
Il faut enfin confronter les prévisions et les observations, et
éventuellement modifier le modèle.
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
L’hypothèse malthusienne
Hypothèse
Les nombres de naissances et de morts dans une population,
pendant une période de courte durée, sont proportionnels
à la l’effectif de cette population
à la durée de cette période
On peut alors mettre en oeuvre cette hypothèse en raisonnant
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
L’hypothèse malthusienne
Hypothèse
Les nombres de naissances et de morts dans une population,
pendant une période de courte durée, sont proportionnels
à la l’effectif de cette population
à la durée de cette période
On peut alors mettre en oeuvre cette hypothèse en raisonnant
en temps discret : on étudie une suite
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
L’hypothèse malthusienne
Hypothèse
Les nombres de naissances et de morts dans une population,
pendant une période de courte durée, sont proportionnels
à la l’effectif de cette population
à la durée de cette période
On peut alors mettre en oeuvre cette hypothèse en raisonnant
en temps discret : on étudie une suite
en temps continu : on étudie une équation différentielle
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Modélisation en temps discret
Notons
u0 = nombre initial de lapins lâchés
un = nombre de lapins vivants au bout de n années
Soient a le taux annuel de natalité, et b le taux annuel de
mortalité. L’hypothèse de Mathus s’écrit
nombre de naissances pendant la n + 1-ième année = aun
nombre de morts pendant la n + 1-ième année = bun
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Modélisation en temps discret
Loi d’évolution (Malthus en temps discret)
un+1 − un = aun − bun = Kun,
où K est la différence entre le taux annuel de natalité et le taux
annuel de mortalité.
Ou encore :
Soit :
un+1 = kun avec k = 1 + K
u1 = ku0 , u2 = ku1 = k 2 u0 , . . . , un = k n u0
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Expérimentation numérique du modèle de Malthus discret
On regarde l’évolution de un quand n varie de 1 à 50 , pour
k = 1, 2 et k = 1, 3.
n un pour k = 1.2 un pour k = 1.3
1. 1. 1.
5. 2.0736 2.8561
10. 5.1597804 10.604499
15. 12.839185 39.373764
20. 31.948 146.19203
25. 79.496847 542.80077
30. 197.81359 2015.3813
35. 492.22352 7482.9696
40. 1224.8096 27783.742
45. 3047.7183 103159.09
50. 7583.6985 383022.48
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Expérimentation numérique du modèle de Malthus discret
On regarde l’évolution de un quand n varie de 1 à 50 , pour
k = 1, 2 et k = 1, 3.
400000
350000
300000
250000
200000
150000
100000
50000
coordonnées linéaires
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10
1
10
coordonnées logarithmiques
0
0
0 5 10
k=1.2
15 20 25 30 35 40 45 50
François Ducrot
10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Modélisation en temps continu
Le temps t varie maintenant continûment, et on note u(t) l’effectif
au temps t. On connait la valeur u(0) de la population au temps
initial.
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Modélisation en temps continu
Le temps t varie maintenant continûment, et on note u(t) l’effectif
au temps t. On connait la valeur u(0) de la population au temps
initial.
Pendant une période de temps [t, t + ∆t], la variation de la
population est proportionnelle à ∆t et à u(t). On écrit donc
u(t + ∆t) − u(t) = αu(t)∆t
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Modélisation en temps continu
Le temps t varie maintenant continûment, et on note u(t) l’effectif
au temps t. On connait la valeur u(0) de la population au temps
initial.
Pendant une période de temps [t, t + ∆t], la variation de la
population est proportionnelle à ∆t et à u(t). On écrit donc
u(t + ∆t) − u(t) = αu(t)∆t
Quand ∆t est assez petit, u(t+∆t)−u(t)
∆t
Loi d’évolution (Malthus en temps continu)
u ′ (t) = αu(t)
u ′ (t), et on peut écrire la
où α est la différence entre le taux instantané de natalité et le taux
instantané de mortalité.
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Modélisation en temps continu - 2
On obtient une équation différentielle du premier ordre, c’est à dire
une équation qui exprime la dérivée de u, en fonction de u.
Si on connait la valeur initiale u(0) = u0, on sait alors calculer les
valeurs u(t) pour tout t > 0 :
u(t) = u0e αt
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Représentation graphique du modèle de Malthus continu
300000
250000
200000
150000
100000
50000
tracé de x−>exp(kx)
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k=1.2
k=1.25
1.4e+27
1.2e+27
1.0e+27
8.0e+26
6.0e+26
4.0e+26
2.0e+26
0.0e+00
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
k=1.2
k=1.25
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Modification du modèle de Malthus
Une croissance exponentielle, comme elle est prévue par le modèle
de Malthus est irréaliste. Quand la population u(t) dépasse un
certain seuil S, l’environnement ne pourra plus procurer à l’espèce
les moyens de sa subsistance. Une façon de rendre compte de ceci
est de remplacer dans l’équation
u ′ (t) = αu(t)
le coefficient de reproduction α par une expression qui vaut α
quand u(t) est proche de zéro, et vaut 0, quand u(t) est proche de
S. On arrive au
Modèle logistique en temps continu
u ′ (t) = α
S − u(t)
u(t)
S
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Simplification de l’équation
Quitte à changer d’unités, on peut toujours ramener l’équation
précédente à
Modèle logistique en temps continu (équation réduite)
u ′ (t) = (1 − u(t))u(t)
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
0.2
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Quelque soit l’effectif initial, la population se rapproche très vite
du seuil limite.
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Formulation en temps discret
On peut aussi formuler le modèle logistique quand le temps varie
de façon discrète.
Modèle logistique en temps discret
un+1 = aun(b − un)
En changeant d’unité (dizaine, douzaine, millier, million,... de
lapins), on peut se ramener à
Modèle logistique en temps discret(forme réduite)
un+1 = αun(1 − un)
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Construction pas à pas
On trace le graphe de y ↦→ f (x) = αx(1 − x), ainsi que la
diagonale, et la première valeur u0 (ici : α = 1 et u0 = 0.15)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.1
y=x
y=f(x)
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
u(n)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
u(n) en fonction de n
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Construction pas à pas
On construit maintenant u1
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.1
y=x
y=f(x)
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
u(n)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
u(n) en fonction de n
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps
n

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Construction pas à pas
ensuite u2
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.1
y=x
y=f(x)
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
u(n)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
u(n) en fonction de n
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps
n

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Construction pas à pas
et on continue. . .
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.1
y=x
y=f(x)
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
u(n)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
u(n) en fonction de n
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps
n

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Etude qualitative
Suivant les valeurs de α et u0, la suite peut se comporter de
différentes façons.
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Etude qualitative
α = 1.5 et u0 = 0.1 : converge en croissant
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
u(n)
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
u(n) en fonction de n
0.00
0.00
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
y=x
y=f(x)
n
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Etude qualitative
α = 2 et u0 = 0.1 : converge rapidement en croissant
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.1
y=x
y=f(x)
0.2 0.3 0.4 0.5
u(n)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
u(n) en fonction de n
0.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps
n

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Etude qualitative
α = 2.8 et u0 = 0.6 : convergence en oscillant
0.74
0.72
0.70
0.68
0.66
0.64
0.62
0.60
0.58
0.56
u(n)
0.74
0.72
0.70
0.68
0.66
0.64
0.62
0.60
0.58
0.56
u(n) en fonction de n
0.56 0.58 0.60 0.62 0.64 0.66 0.68 0.70 0.72 0.74
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
y=x
y=f(x)
n
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Etude qualitative
α = 2.8 et u0 = 0.05 : croît puis oscille
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.1
y=x
y=f(x)
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
u(n)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
u(n) en fonction de n
0.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps
n

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Etude qualitative
α = 3.1 et u0 = 0.6 : deux valeurs limites
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
0.50 0.55
y=x
y=f(x)
0.60 0.65 0.70 0.75
u(n)
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
u(n) en fonction de n
0.50
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps
n

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Etude qualitative
α = 3.5 et u0 = 0.6 : on n’y comprend plus rien
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.3 0.4
y=x
y=f(x)
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
u(n)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
u(n) en fonction de n
0.3
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps
n

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Etude qualitative
α = 4 et u0 = 0.6 : comportement totalement chaotique
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y=x
y=f(x)
u(n)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
u(n) en fonction de n
0.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps
n

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Discussion a posteriori du modèle logistique
le modèle logistique en temps continu donne toujours une
convergence vers le seuil limite
le modèle logistique en temps discret peut se comporter de
différentes façons
convergence monotone vers une limite
convergence oscillante vers une limite
plusieurs valeurs limites
comportement chaotique
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Discussion a posteriori du modèle logistique
le modèle logistique en temps continu donne toujours une
convergence vers le seuil limite
le modèle logistique en temps discret peut se comporter de
différentes façons
convergence monotone vers une limite
convergence oscillante vers une limite
plusieurs valeurs limites
comportement chaotique
Quel modèle doit-on utiliser ?
Espèce avec cycle saisonnier : temps discret
Espèce sans cycle saisonnier : temps continu
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Sardines et requins
Les pêcheurs de la mer Adriatique pêchent des sardines et des
requins. Les requins se nourrissent de sardines, et les sardines
mangent des petits organismes, qui sont en quantité suffisante.
Les pêcheurs ont constaté que les stocks de sardines et de requins
varient de façon périodique en fonction du temps, avec la même
périodicité, mais que leurs cycles sont décalés.
Le mathématicien Volterra a proposé en 1926 un modèle décrivant
ce phénomène. Les mêmes équations ont été également trouvées
par A.J. Lotka pour décrire l’évolution d’un modèle chimique.
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Sardines et requins
(Modèle de Lotka-Volterra)
où
x ′ (t) = ax(t) − bx(t)y(t)
y ′ (t) = cx(t)y(t) − dy(t)
x(t) = population de sardines à l’instant t
y(t) = population de requins à l’instant t
Les deux termes en rouge correspondent à des termes d’interaction
entre les deux espèces. Si ces termes n’étaient pas là, les sardines
prolifèreraient suivant le modèle de Malthus, alors que les requins
s’éteidraient de façon exponentielle.
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Expérimentation numérique, a = 2, b = c = d = 1
t = 2.75, y est minimal
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
effectifs en fonction de t
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sardine
requin
requin
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
espace des phases
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
sardine
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Expérimentation numérique, a = 2, b = c = d = 1
t = 3.85, x est maximal
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
effectifs en fonction de t
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sardine
requin
requin
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
espace des phases
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
sardine
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Expérimentation numérique, a = 2, b = c = d = 1
t = 4.58, y est maximal
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
effectifs en fonction de t
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sardine
requin
requin
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
espace des phases
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
sardine
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Expérimentation numérique, a = 2, b = c = d = 1
t = 5.80, x est minimal
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
effectifs en fonction de t
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sardine
requin
requin
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
espace des phases
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
sardine
François Ducrot Modélisation de phénomènes dépendant du temps

Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Portrait de phase
On trace différentes trajectoires, correspondant à différentes
conditions initiales, sur un même diagramme.
7
6
5
4
3
2
1
0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
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Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Influence de la pêche
Si on exerce une activité de pêche, les taux de mortalité des
sardines et des requins augmentent d’une même valeur. Le système
initial
( Lotka-Volterra sans pêche)
devient
( Lotka-Volterra avec pêche)
x ′ (t) = ax(t) − bx(t)y(t)
y ′ (t) = cx(t)y(t) − dy(t)
x ′ (t) = ax(t) − αx(t) − bx(t)y(t)
y ′ (t) = cx(t)y(t) − dy(t) − αy(t)
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Modéliser le problème
Discuter et modifier le modèle
Un modèle proie-prédateur
Influence de la pêche
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
sans pêche, a=2,d=1
avec pêche, a=1,d=2
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
La proportion sardines/requins a augmenté !
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