00 - Calculs élémentaires partie 1 Corrigé - CPGE Dupuy de Lôme

π
∀ x ∈ ]0, [, 2.x + x.cos(x) – 3.sin(x) > 0.
2
Si on note f la fonction qui apparaît au-dessus, elle est dérivable sur l’intervalle et :
π
[, f’(x) = 2 – 2.cos(x) + x.sin(x) > 0, donc f est strictement croissante sur l’intervalle, et nulle en
∀ x ∈ ]0, 2
0, donc elle y reste strictement positive.
• Là encore, on étudie la fonction g définie par la différence des deux termes.
On constate que sa dérivée 4 ème est positive, que g’’’ est croissante négative en 0n positive en π/2, donc
que g’’ est décroissante puis croissante, mais étant nulle en 0 et en π/2, elle est négative.
Donc g’ est décroissante, positive en 0, négative en π/2, donc g est croissante puis décroissante.
Etant enfin nulle en 0 et en π/2, g reste finalement positive sur l’intervalle consiféré.
2.
n ⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞ 1
• L’inégalité est équivalente à : ∀ n ∈ *, e. ≤ ⎜1+
⎟ , soit : n. ln⎜1
+ ⎟ −1
+ ln( 2 + ) − ln( 2)
≥ 0 .
2.
n + 1 ⎝ n ⎠
⎝ n ⎠ n
1
Il suffit donc d’étudier la fonction h : t a . ln( 1+
t)
−1
+ ln( 2 + t)
− ln( 2)
, sur ]0,1] : elle y est croissante et
t
positive puisque de limite nulle en 0.
• x et y restant positifs, il suffit d’étudier la fonction : t a ( 1−
t).
ln( 1−
t)
+ t.
ln( t)
+ ln( 2)
, sur ]0,1[, et
constater qu’elle y reste positive (en s’annulant en ½).
1 1 1 1 1
16. On commence par écrire : = . − , pour : x ≠ ±1.
2
x −1
2 x −1
2 x + 1
( n)
1 n ⎡ 1 1 ⎤
On en déduit que : ∀ n ∈ , ∀ x ≠ ±1, f ( x)
= .( −1)
. n!.
⎢ − n+
1
n+
1 ⎥ .
2 ⎣(
x −1)
( x + 1)
⎦
17. La fonction proposée est définie sur , continue sur * du fait des théorèmes généraux et y est même de
classe C ∞ .
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
De plus : ∀ x ≠ 0, f '(
x)
= 2.
x.
sin⎜
⎟ − cos⎜
⎟ .
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠
En 0, cette fonction admet une limite nulle (application du théorème des gendarmes) et est donc continue
en 0.
f ( x)
− f ( 0)
⎛ 1 ⎞
Puis le taux d’accroissement en 0 vaut : = x.
sin⎜
⎟ , qui tend vers 0 quand x tend vers 0
x − 0 ⎝ x ⎠
(toujours le théorème des gendarmes), ce qui garantit que f est dérivable en 0 avec : f’(0) = 0.
⎛ 1 ⎞
Enfin, f’ n’est pas continue en 0 car : x a cos ⎜ ⎟ , n’a pas de limite en 0 (en utilisant par exemple les deux
⎝ x ⎠
1
1
suites (xn) et (x’n) définies par : ∀ n ∈ *, xn = , et : x’n =
.
2.
n.
π ( 2.
n + 1).
π
Pour la généralisation, on peut par exemple penser à des primitives itérées de la fonction f (primitive pour
le cas : n = 1, et en itérant la primitivation pour des n plus grands)
18. f est tout d’aborde de classe C 1 1
sur , et : ∀ x ∈ , f’(x) = . 2
1+
x
1
π
1 1
Par ailleurs, ( 1−
1)!.
cos ( f ( x)).
sin( 1.(
+ f ( x)))
= cos( Arc tan( x)).
cos( Arc tan( x))
= = .
2
2
2
2
1+
x
1+
x
Si on suppose maintenant que pour un entier : n ≥ 1, donné, f est de classe C n et vérifie l’égalité proposée,
alors f (n) est de classe C 1 sur et : ∀ x ∈ ,
f (n+1) n−1
π
n
π
(x) = n!.
cos ( f ( x))[
−sin(
f ( x)).
f '(
x)].
sin( n.(
+ f ( x)))
+ n!.
cos ( f ( x)).
f '(
x).
cos( n.(
+ f ( x)))
.
2
2
n −1
n+
1
On peut alors remarquer que : cos ( f ( x))
f '(
x)
= cos ( f ( x))
, et donc :
Chapitre 00 – Calculs : méthodes, exemples et exercices. - 4 -
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