Suites et séries de fonctions Cours complet - CPGE Dupuy de Lôme

Suites et séries de fonctions. Chap. 07 : cours complet.
1. Suites de fonctions : convergence simple et uniforme, continuité.
Définition 1.1 : suite de fonctions
Définition 1.2 : convergence simple d’une suite de fonctions sur un intervalle
Définition 1.3 : limite simple d’une suite de fonctions sur un intervalle
Définition 1.4 : convergence uniforme d’une suite de fonctions sur un intervalle
Théorème 1.1 : la convergence uniforme entraîne la convergence simple
Théorème 1.2 : continuité d’une limite simple et convergence uniforme
Théorème 1.3 : continuité d’une limite simple et convergence uniforme sur tout segment
Théorème 1.4 : étude d’une limite simple aux bornes d’un intervalle ouvert
2. Séries de fonctions : convergence simple, uniforme, normale et continuité.
Définition 2.1 : série de fonctions
Définition 2.2 : convergence simple et limite simple d’une série de fonctions sur un intervalle
Définition 2.3 : convergence uniforme d’une série de fonctions sur un intervalle
Définition 2.4 : convergence normale d’une série de fonctions sur un intervalle
Théorème 2.1 : liens entre les différentes convergences d’une série de fonctions
Théorème 2.2 : continuité de la somme et convergence uniforme
Théorème 2.3 : continuité de la somme et convergence uniforme sur tout segment
Théorème 2.4 : étude d’une somme de série de fonctions aux bornes d’un intervalle ouvert
3. Liens avec l’intégration ou la dérivation des fonctions.
Théorème 3.1 : convergence uniforme et intégrales, cas des suites
Théorème 3.2 : convergence uniforme et intégrales, cas des séries
Théorème 3.3 : dérivabilité de la limite d’une suite de fonctions
Théorème 3.4 : dérivabilité de la somme de série de fonctions
4. Approximations de fonctions.
Définition 5.1 : fonction continue par morceaux sur un segment ou un intervalle à valeurs dans K
Définition 5.2 : fonction en escaliers sur un segment à valeurs dans K
Définition 5.3 : fonction en escaliers sur
Théorème 5.1 : structure d’espace vectoriel pour les fonctions continues par morceaux
Théorème 4.2 : toute fonction continue par morceaux est limite uniforme de suite de fonctions en
escaliers sur un segment
Théorème 4.3 : de Weierstrass
Théorème 4.4 : de Weierstrass, version trigonométrique
Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 1 -

Suites et séries de fonctions. Chap. 07 : cours complet.
Suites de fonctions : convergence simple et uniforme, continuité.
Définition 1.1 : suite de fonctions
Soit I un intervalle de .
On appelle suite de fonctions une application u de (ou d’une partie de de type {n0, n0 + 1, …}) dans
l’ensemble F(I,K) des fonctions de I dans K.
On note alors la suite (un)n∈ (ou u ( ≥ ) ou plus simplement (un).
n n n0
)
Définition 1.2 : convergence simple d’une suite de fonctions sur un intervalle
Soit (un) une suite de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
On dit que (un) converge simplement sur I ou qu’il y a convergence simple de la suite (un) sur I si et
seulement si :
∀ t ∈ I, (un(t)) converge dans K.
Définition 1.3 : limite simple d’une suite de fonctions sur un intervalle
Soit (un) une suite de fonctions définies d’un intervalle I de dans K, qui converge simplement sur I.
On note : ∀ t ∈ I, u(t) = u ( t)
.
lim n
n →+∞
La fonction u définie ainsi de I dans K est appelée limite simple de la suite (un) sur I.
Définition 1.4 : convergence uniforme d’une suite de fonctions sur un intervalle
Soit (un) une suite de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
On dit que (un) converge uniformément sur I ou qu’il y a convergence uniforme de la suite (un) sur I si et
seulement si il existe une fonction u, définie de I dans K, telle que :
• pour tout entier n, la fonction |un – u| est bornée sur I et y admet une borne supérieure,
• lim
⎛
sup u n ( t)
u(
t)
⎞
⎜ − ⎟=
0 .
n→+∞⎝
t∈I
⎠
On dit aussi que u est la limite uniforme de la suite (un) sur I.
Théorème 1.1 : la convergence uniforme entraîne la convergence simple
Soit (un) une suite de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
Si (un) converge uniformément sur I (vers une fonction u), alors (un) converge simplement sur I vers u, et
u est donc la limite simple de la suite (un) sur I.
Démonstration :
Soit : a ∈ I.
Alors : ∀ n ∈ , 0 ≤ |un(a) – u(a)| ≤ u ( t)
− u(
t)
.
sup n
t∈I
Le théorème des gendarmes montre alors que (|un(a) – u(a)|) converge vers 0 et donc que (un(a))
converge vers u(a).
Théorème 1.2 : continuité d’une limite simple et convergence uniforme
Soit (un) une suite de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
Si, pour : a ∈ I, on a :
• pour tout entier n, la fonction un est continue en a,
• la suite (un) converge uniformément sur I vers u,
alors u est continue en a.
Plus généralement, si :
• pour tout entier n, la fonction un est continue sur I,
• la suite (un) converge uniformément sur I vers u,
alors u est continue sur I.
Démonstration :
• Commençons par la continuité en a, et pour cela, soit : ε > 0.
Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 2 -

La convergence uniforme de (un) sur I vers u montre que : ∃ N ∈ , ∀ n ≥ N, sup u n
Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 3 -
t∈I
( t)
−
u(
t)
ε
≤ .
3
ε
Dans ce cas, uN est continue en a, et : ∃ α > 0, ∀ x ∈ I, (|x – a| ≤ α) ⇒ (|uN(x) – uN(a)| ≤ .
3
Mais alors : ∀ x ∈ I, (|x – a| ≤ α) ⇒ (|u(x) – u(a)| ≤ |u(x) – uN(x)| + |uN(x) – uN(a)| + |uN(a) – u(a)| ≤ ε.
La fonction u est donc bien continue en a.
• Etant donné que la continuité de u (ou de un, pour tout n) sur I correspond à la continuité de u (ou de
un) en tout point a de I, il est alors clair que les hypothèses de la deuxième partie, avec ce que l’on a
prouvé juste au-dessus entraîne la continuité de u en tout point de I donc sur I.
Théorème 1.3 : continuité d’une limite simple et convergence uniforme sur tout segment
Soit (un) une suite de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
Si les hypothèses suivantes sont vérifiées :
• pour tout entier n, la fonction un est continue sur I,
• la suite (un) converge uniformément sur tout segment : [α,β] ⊂ I, vers u, définie sur I,
alors u est continue sur I.
Démonstration :
Soit : a ∈ I.
Si a est une extrémité de I, la continuité de u ou des un en a se ramène à la continuité à droite ou à
gauche en ce point et la démonstration qui suit s’adapte.
Si a est intérieur à I (non situé aux extrémités), alors on peut trouver [α,β] tel que : a ∈ ]α,β[ ⊂ [α,β] ⊂ I.
La convergence uniforme de (un) sur [α,β] et la continuité des un en a, pour tout entier n, entraîne alors la
continuité de u en a (à droite et à gauche puisque a est intérieur au segment).
Finalement, u est bien continue en tout point de I, donc sur I.
Théorème 1.4 : étude d’une limite simple aux bornes d’un intervalle ouvert, « double limite »
Soit I un intervalle de , ouvert en au moins une de ses extrémités, notée a.
Soit (un) une suite de fonctions définies de I dans K, telle que :
• la suite (un) converge uniformément sur I vers u,
• pour tout entier n, la fonction un admet une limite Ln finie en a,
• la suite (Ln) admet une limite L finie ou non,
alors la fonction u admet L comme limite en a.
Démonstration :
• Cas où a est fini et où L est un élément de K.
Pour : ε > 0, on peut successivement écrire :
∃ n1 ∈ , ∀ n ≥ n1, sup u n
t∈I
( t)
ε
∃ n2 ∈ , ∀ n ≥ n2, |Ln – L| ≤ ,
3
−
u(
t)
ε
≤ ,
3
ε
avec : N = max(n1, n2), ∃ α > 0, ∀ x ∈ I, (|x – a| ≤ α) ⇒ (|uN(x) – LN| ≤ ),
3
et alors : ∀ x ∈ I, (|x – a| ≤ α) ⇒ (|u(x) – b| ≤ |u(x) – uN(x)| + |uN(x) – LN| + |LN – L| ≤ ε).
• Cas où a est infini (par exemple : a = +∞), et L est un élément de K.
Pour : ε > 0, on peut de même écrire :
∃ n1 ∈ , ∀ n ≥ n1, sup u n
t∈I
( t)
−
u(
t)
ε
≤ ,
3
ε
∃ n2 ∈ , ∀ n ≥ n2, |Ln – L| ≤ ,
3
ε
avec : N = max(n1, n2), ∃ A ∈ , ∀ x ∈ I, (x ≥ A) ⇒ (|uN(x) – LN| ≤ ),
3
et alors : ∀ x ∈ I, (x ≥ A) ⇒ (|u(x) – L| ≤ |u(x) – uN(x)| + |uN(x) – LN| + |LN – L| ≤ ε).
• Les autres possibilités (a fini ou ±∞, L fini ou ±∞ dans le cas réel), se traitent de façon identique.

Séries de fonctions : converge simple, uniforme, normale et continuité.
Définition 2.1 : série de fonctions
Soit (un) une suite de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
On appelle série de fonctions de terme général un la suite ∑
n≥0
la série définies par : ∀ n ∈ , ∀ x ∈ I, Sn(x) = ∑
k=
n
u des fonctions « sommes partielles » de
Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 4 -
0
u ( x)
.
Définition 2.2 : convergence simple et limite simple d’une série de fonctions sur un intervalle
Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
n≥0
On dit que la série converge simplement sur I ou qu’il y a convergence simple de la série sur I si et
seulement si la suite de fonctions (Sn) converge simplement sur I, soit si : ∀ t ∈ I, ∑ u n ( t)
converge.
n≥0
La fonction S définie sur I par : ∀ t ∈ I, S(t) = ∑ +∞
u ( t , est alors appelée limite simple de la série ou
n=0
somme de la série de fonctions et est notée ∑ +∞
u .
n=0
n
Définition 2.3 : convergence uniforme d’une série de fonctions sur un intervalle
Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
n≥0
On dit que la série converge uniformément sur I ou qu’il y a convergence uniforme de la série sur I si et
seulement si la suite (Sn) converge uniformément sur I (vers la somme de la série).
Définition 2.4 : convergence normale d’une série de fonctions sur un intervalle
Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
n≥0
On dit que la série converge normalement sur I ou qu’il y a convergence normale de la série sur I si et
seulement si :
• pour tout entier n, la fonction un est bornée sur I et y admet donc une borne supérieure,
• la série numérique ∑sup u n ( x)
converge.
x∈I
Théorème 2.1 : liens entre les différentes convergences d’une série de fonctions
Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
n≥0
Pour la série ∑ u n , les implications suivantes sont alors vérifiées :
n≥0
• (convergence normale sur I) ⇒ (∀ t ∈ I, convergence absolue de ∑ u n ( t)
) ⇒ (convergence simple
n≥0
sur I) .
• (convergence normale sur I) ⇒ (convergence uniforme sur I ⇒ (convergence simple sur I).
Démonstration :
Du fait des études faites précédemment, on sait déjà que la convergence uniforme sur I entraîne la
convergence simple sur I.
De même, la convergence absolue pour tout : t ∈ I, de ∑ u n ( t)
, entraîne la convergence de ∑ u n ( t)
n≥0
n≥0
pour tout : t ∈ I, ce qui correspond à la convergence simple de la série sur I.
• Montrons que la convergence normale entraîne l’absolue convergence pour tout élément de I.
Pour cela, soit : a ∈ I.
Alors : ∀ n ∈ , ( a)
≤ sup u ( x)
, et par comparaison de séries à termes réels positifs, la série
u n
n
x∈I
k
n )
n

∑ ≥0
n
u ( a)
est absolument convergente donc convergente.
n
• Montrons maintenant que la convergence normale entraîne la convergence uniforme de la série.
On vient de voir que, pour tout élément a de I, la série ∑ u n ( a)
est convergente.
n≥0
Autrement dit la série de fonctions converge simplement sur I.
n+
p
De plus : ∀ n ∈ , ∀ p ≥ 1, ∀ t ∈ I, ∑ u n ( t)
≤ ∑ u n ( t)
≤ ∑ sup u n ( x)
,
k=
n+
1
n+
p
k=
n+
1
Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 5 -
n+
p
k=
n+
1 x∈I
et en examinant la limite lorsque p tend vers +∞ (toutes les sommes partielles convergent), on obtient :
∀ n ∈ , ∀ t ∈ I, ∑ +∞
S ( t)
− S ( t)
≤ sup u ( x)
, où Sn désigne la n ième somme partielle de la série de
n
k=
n+
1 x∈I
n
fonctions, et S sa somme.
La fonction |S – Sn| est alors, pour tout entier n, majorée sur I et sa borne supérieure sur I vérifie :
∀ n ∈ , sup S(
x)
Sn
( x)
≤ sup u n ( x)
= R n .
x∈I
− ∑ +∞
k=
n+
1 x∈I
Puisqu’enfin, la suite majorante tend vers 0 quand n tend vers +∞ (puisque c’est le reste d’ordre n d’une
série numérique convergente), on en déduit que : lim
⎛
sup Sn
( x)
S(
x)
⎞
⎜ − ⎟=
0 .
n→+∞⎝
x∈I
⎠
Théorème 2.2 : continuité de la somme et convergence uniforme
Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
n≥0
Si, pour : a ∈ I, on a :
• pour tout entier n, la fonction un est continue en a,
• la série ∑ u n converge uniformément ou normalement sur I,
n≥0
alors la somme ∑ +∞
u de la série de fonctions est continue en a.
n=0
n
+∞
+∞
⎛ ⎞
En particulier cela permet d’écrire : lim ⎜ u n ( x)
⎟ = ( lim u n ( x)
)
=
→
x→a
x a
⎝ n=
0 ⎠ n 0
Plus généralement, si :
• pour tout entier n, la fonction un est continue sur I,
• la série ∑ u n converge uniformément ou normalement sur I,
n≥0
alors la somme ∑ +∞
u de la série de fonctions est continue sur I.
n=0
n
∑
Démonstration :
Puisque, pour tout entier n, la fonction Sn est continue en a (comme somme de fonctions continues en a)
et (Sn) converge uniformément sur I vers S, S est également continue en a.
Le même argument est utilisé pour montrer que si toutes les fonctions un sont continues sur I, la somme
est également continue sur I.
On en déduit alors : ∀ a ∈ I,
⎛ ⎞
• S(a) = = ⎜∑
⎟
⎝ ⎠
+∞
lim S(
x)
lim u n ( x)
, d’une part, et :
x→a
x→a
n=
0
+∞
+∞
• ( a)
= u n ( a)
= ( lim u n ( x)
)
∑
∑
=
→
S , puisque les fonctions un sont toutes continues en a.
x a
n=
0
n 0
Théorème 2.3 : continuité de la somme et convergence uniforme sur tout segment
Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
n≥0
On suppose que :
∑

• pour tout entier n, la fonction un est continue sur I,
• la série ∑ u n converge uniformément ou normalement sur tout segment : [α,β] ⊂ I.
n≥0
Alors la somme ∑ +∞
u de la série de fonctions est continue sur I.
n=0
n
Démonstration :
La démonstration utilise là encore que toutes les fonctions Sn sont continues sur I, et le théorème
démontré dans le cadre des suites de fonctions (avec des hypothèses identiques) donne le résultat
voulu.
Théorème 2.4 : étude d’une somme de série de fonctions aux bornes d’un intervalle ouvert
Soit I un intervalle de , ouvert en au moins une de ses extrémités, notée a.
Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K, telle que :
n≥0
• la série ∑ u n converge uniformément ou normalement sur I,
n≥0
• pour tout entier n, la fonction un admet une limite Ln finie en a,
• la série ∑ L n converge.
n≥0
Alors la somme ∑ +∞
u de la série de fonctions admet ∑ +∞
L comme limite en a, autrement dit, on peut
n=0
+∞
+∞
⎛ ⎞
écrire : ⎜ u n ( x)
⎟ = ( lim u n ( x)
)
∑
n
∑
=
→
lim .
x→a
x a
⎝ n=
0 ⎠ n 0
Démonstration :
Là encore, il suffit d’adapter la démonstration faite dans le cadre des suites, en notant par exemple :
∀ n ∈ , Sn = ∑ u k , βn = ∑
k=
0
k=
0
n
n
L .
k
On constate alors que :
• la suite (Sn) converge alors uniformément sur I vers S, somme de la série de fonctions,
• pour tout entier n, la fonction Sn admet pour limite βn en a,
• la suite (βn) converge vers L, somme de la série numérique.
Dans ce cas, la limite uniforme S de la suite de fonctions (Sn) admet pour limite L en a.
Liens avec l’intégration ou la dérivation des fonctions.
Théorème 3.1 : convergence uniforme et intégrales sur un segment, cas des suites
Soit (un) une suite de fonctions définies d’un segment [a,b] de dans K, continues sur [a,b].
Si la suite (un) converge uniformément sur [a,b] vers u, alors :
∫ a
∫a
lim u ( t).
dt = lim ( u ( t)).
dt = u(
t).
dt .
n→+∞
Démonstration :
Il suffit d’écrire :
b
n
b
b
n→+∞
b
n
b
b
∫a
∀ n ∈ , ∫ u ( t).
dt u(
t).
dt u ( t)
u(
t)
. dt sup u u . dt ( b a).
sup u n u
a
n − ∫ ≤
a ∫a
n − ≤ ∫a
n − = − − .
Si on fait tendre n vers +∞, le théorème des gendarmes montre alors qu’on a bien :
∫ a
∫a
lim u ( t).
dt = u(
t).
dt .
n→+∞
b
n
b
Théorème 3.2 : convergence uniforme et intégrales sur un segment, cas des séries
Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un segment [a,b] de dans K, continues sur [a,b].
n≥0
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n=0
b
n
[ a,
b]
[ a,
b]

Si la série ∑ u n converge uniformément ou normalement sur [a,b], alors :
n≥0
b
+∞
+∞
⎛ ⎞
b
∫ ⎜∑
u ⎟ = ∑⎜ ⎛
∫ ⎟
⎞
n ( t)
. dt u n ( t).
dt .
a
⎝ = ⎠ n=
0 ⎝ a
n 0
⎠
Démonstration :
Lé encore, on s’appuie sur la démonstration précédente en remarquant que la suite (Sn) des sommes
partielles converge uniformément sur [a,b], et donc, comme :
b
n
b
∀ n ∈ , ∫ S n ( t).
dt = ∑∫ u k ( t).
dt , par linéarité de l’intégrale sur [a,b], on en déduit bien que :
⎛
+∞
b
∫ ⎜∑
a
⎝
n=
0
a
a
k=
0
+∞
⎞ b
b
n
b
b
u ⎟ = ∫
= ∫ = ∑⎜ ⎛
∫ ⎟
⎞ = ∑⎜ ⎛
→+∞
→+∞
→+∞
∫ ⎟
⎞
n ( t)
. dt lim ( Sn
( t)).
dt lim Sn
( t).
dt lim u k ( t).
dt u n ( t).
dt .
a n
n a
n
⎠
= ⎝ a ⎠ n=
0 ⎝ a
k 0
⎠
Théorème 3.3 : dérivabilité de la limite d’une suite de fonctions
Soit (un) une suite de fonctions définies d’un intervalle I de dans K, de classe C 1 sur I.
On suppose que :
• la suite (un) converge simplement sur I vers une fonction u, de I dans K,
• la suite (u’n) converge uniformément sur I (ou sur tout segment [α,β] inclus dans I) vers v.
Alors u est de classe C 1 sur I, et : u’ = v.
De plus, la convergence de la suite (un) est uniforme sur tout segment [α,β] inclus dans I.
Démonstration :
Soit [α,β] un segment inclus dans I.
Posons alors : ∀ n ∈ , ∀ x ∈ [α,β], vn(x) = ∫ u 'n
( t).
dt .
α
On constate alors que :
x
x
x
x
v n ∫ α ∫α
n ∫α
n
n
[ α,
β]
∀ n ∈ , ∀ x ∈ [α,β], ( x)
− v(
t).
dt = ( u'
( x)
− v(
t)).
dt ≤ u'
( x)
− v(
t)
. dt ≤ x − α.
sup u'
−v
,
et donc, pour tout entier n, la fonction : x a − ∫α x
v n ( x)
v(
t).
dt , est bornée sur [α,β] et vérifie :
x
∀ n ∈ , sup v n ( x)
− ∫ v(
t).
dt ≤ β − α.
sup u'n
−v
.
[ x∈α,
β]
α
[ α,
β]
Il y a alors convergence uniforme (donc convergence simple) de la suite de fonctions (vn) sur [α,β], étant
donné que (u’n) converge uniformément sur [α,β] vers v.
Mais comme de plus : ∀ n ∈ , ∀ x ∈ [α,β], vn(x) = un(x) – un(α), et que cette suite de fonctions converge
simplement sur I (donc sur [α,β]) vers la fonction définie sur [α,β] par : x a u(x) – u(α), on conclut que :
x
∀ x ∈ [α,β], u(x) = u(α) + ∫ v ( t).
dt .
α
La fonction v étant de plus continue sur [α,β], comme limite uniforme de suite de fonctions continues sur
[α,β], u est donc de classe C 1 (comme primitive de v sur [α,β]) sur tout [α,β] inclus dans I, donc sur I, et :
∀ x ∈ [α,β], u’(x) = v(x).
Enfin : ∀ n ∈ , ∀ x ∈ [α,β],
∫
x
u n ( x)
− u(
x)
≤ u n ( α)
− u(
α)
+ ( u'
n ( x)
− v(
t)).
dt ≤ u n ( α)
− u(
α)
+ β − α.
sup u'n
−v
,
et on en déduit la convergence uniforme de (un) sur [α,β] vers u.
Théorème 3.4 : dérivabilité de la somme d’une série de fonctions
Soit ∑ n
n≥0
On suppose que :
• la série ∑ u n converge simplement sur I,
n≥0
α
u une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K, de classe C 1 sur I.
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[ α,
β]

• la série ∑
n≥0
u converge uniformément ou normalement sur I (ou sur tout segment : [α,β] ⊂ I).
'n
Alors la somme ∑ +∞
n=0
u n de la série de fonctions est de classe C 1 +∞
sur I, et : ∑ u n )'
+∞
= ∑
n=
0 n=
0
( u'
.
Démonstration :
Là encore, la démonstration découle de la précédente en posant remarquant simplement que (Sn)
converge simplement sur I, et que (S’n) converge uniformément sur tout segment [α,β] inclus dans I.
Approximations de fonctions.
Définition 4.1 : fonction continue par morceaux sur un segment ou un intervalle à valeurs dans K
Soit f une fonction de [a,b] dans K.
On dit que f est continue par morceaux sur [a,b] si et seulement si on peut trouver une subdivision :
a = a0 < a1 < …

admettant en tout point définissant la subdivision des limites finies à droite et à gauche ».
Théorème 4.2 : toute fonction continue par morceaux est limite uniforme de suite de fonctions en
escaliers sur un segment
Soit f une fonction de [a,b] dans K, continue ou continue par morceaux sur [a,b].
Alors il existe une suite de fonctions en escaliers sur [a,b] qui converge uniformément sur [a,b] vers f.
Démonstration :
• Supposons pour commencer f continue sur [a,b].
Supposons par ailleurs que : ∃ ε > 0, ∀ η > 0, ∃ (x,x’) ∈ [a,b] 2 , |x – x’| ≤ η, et : |f(x) – f(x’)| ≥ ε.
Alors : ∀ n ∈ , ∃ (xn, xn’) ∈ [a,b] 2 , |xn – xn’| ≤ 2 -n , et : |f(xn) – f(xn’)| ≥ ε.
La suite (xn, xn’) est alors une suite d’éléments de [a,b]×[a,b] qui est fermé et borné, donc compact dans
2 , donc il est possible d’en extraire une suite convergente (xϕ(n), xϕ(n)’) vers : (x,x’) ∈ [a,b].
Dans ce cas (xϕ(n)) converge vers x et (xϕ(n)’) vers x’.
Or (ϕ(n)) tend vers +∞, et : ∀ n ≥ 0, |xϕ(n) – xϕ(n)’| ≤ 2 -ϕ(n) .
Donc en faisant tendre n vers +∞, on en déduit que : |x – x’| = 0, et : x = x’.
Mais alors il y a contradiction car on a de plus en passant à la limite (et puisque f est continue sur [a,b]) :
|f(x) – f(x’)| ≥ ε, ce qui conduirait à : 0 ≥ ε.
Donc l’hypothèse faite est fausse et : ∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀ (x,x’) ∈ [a,b] 2 , (|x – x’| ≤ η) ⇒ (|f(x) – f(x’)| ≤ ε).
Remarque : on dit alors que f est uniformément continue sur [a,b] (théorème de Heine).
Dans ce cas : ∀ n ≥ 0, ∃ ηn > 0, ∀ (x,x’) ∈ [a,b] 2 , (|x – x’| ≤ ηn) ⇒ (|f(x) – f(x’)| ≤ 2 -n ).
⎛ b − a ⎞
b − a
b − a
Posons maintenant : N = E ⎜
⎟ + 1,
qui garantit : < N, puis : h = < ηn.
⎝ ηn
⎠
ηn
N
On définit alors la fonction un, en escaliers sur [a,b], par :
• ∀ 0 ≤ k ≤ N – 1, ∀ x ∈ Ik = [a + k.h, a + (k + 1).h[, un(x) = f(a + k.h).
• un(b) = f(b).
Alors : ∀ 0 ≤ k ≤ N – 1, ∀ x ∈ Ik, |un(x) – f(x)| = |f(a + k.h) – f(x)| ≤ 2 -n , puisque : |(a + k.h) – x| ≤ h ≤ ηn,
et cette inégalité est évidemment vérifiée pour : x = b.
Donc la fonction [un – f] est bornée sur [a,b] et : u ( t)
− f ( t)
≤ 2 -n .
sup n
t∈[
a,
b]
Finalement la suite (un) est une suite de fonctions en escaliers sur [a,b] qui converge uniformément sur
[a,b] vers f.
• Supposons maintenant f continue par morceaux sur [a,b], et notons : a = a0, …, ap = b, la subdivision
de [a,b] attachée naturellement à f (points de discontinuité de f).
La restriction de f à chaque intervalle ]ak, ak+1[, est continue et se prolonge à droite en ak, et à gauche en
ak+1 en une fonction fk continue sur [ak, ak+1], pour tout entier : 0 ≤ k ≤ p – 1.
Soit maintenant : n ∈ .
Il est possible, pour tout : 0 ≤ k ≤ p – 1, de trouver une fonction en escaliers uk,n sur [ak, ak+1] telle que de
plus : u ( t)
− f ( t)
≤ 2 -n , à l’aide de la construction précédente.
sup k,
n k
t∈[ a k , a k + 1]
On peut alors poser :
• ∀ 0 ≤ k ≤ p – 1, ∀ x ∈ ]ak, ak+1[, un(x) = uk,n(x),
• ∀ 0 ≤ k ≤ p, un(ak) = f(ak).
On constate alors que la fonction un est toujours en escaliers, mais sur [a,b] cette fois, que :
u ( t)
− f ( t)
≤ 2 -n , puisque un coïncide avec les uk,n sur chaque intervalle ]ak, ak+1[, et qu’aux points
sup n
t∈[
a,
b]
où on a modifié les valeurs de uk,n (c'est-à-dire aux points ak), la différence [un – f] est nulle.
Finalement la suite (un) est une suite de fonctions en escaliers sur [a,b], qui converge uniformément sur
[a,b] vers f.
Théorème 4.3 : de Weierstrass
Soit f une fonction de [a,b] dans K, continue sur [a,b].
Alors il existe une suite de polynômes qui converge uniformément sur [a,b] vers f.
Démonstration (hors programme) : méthode utilisant les polynômes de Bernstein
• Commençons par le cas : a = 0, b = 1.
Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 9 -

n ⎛n
⎞ ⎛ k ⎞ k
n−k
Soit f continue sur [0,1], et pour n ∈ , Bn(f) = ∑ ⎜ ⎟.
f ⎜ ⎟.
X .( 1−
X)
, (polynômes de Bernstein).
k=
0 ⎝k
⎠ ⎝ n ⎠
Puisque f est continue sur [0,1], elle y est uniformément continue (cf le théorème dans la démonstration
précédente).
ε
).
Donc, pour : ε > 0, fixé, il existe : η > 0, tel que : ∀ (u,v) ∈ [0,1] 2 , (|u – v| ≤ η) ⇒ (|f(u) – f(v)| ≤ 2
n ⎛n
⎞ k
n−k
En utilisant la remarque : ∀ x ∈ [0,1], ∑ ⎜ ⎟.
x .( 1−
x)
= (x + (1 – x))
k=
0 ⎝k
⎠
n = 1, on alors peut écrire :
n ⎛n
n
⎞ ⎡ ⎛ k ⎞⎤
k
n−k
⎛n
⎞ ⎛ k ⎞ k
n
∀ x ∈ [0,1], |f(x) – Bn(f)(x)| = ∑⎜
⎟.
⎢f
( x)
− f ⎜ ⎟⎥.
x .( 1−
x)
≤ ∑⎜
⎟.
f ( x)
− f ⎜ ⎟.
x .( 1−
x)
k=
0 ⎝k
⎠ ⎣ ⎝ n ⎠⎦
k=
0 ⎝k
⎠ ⎝ n ⎠
Pour x donné dans [0,1], on réalise alors la partition de {0, …, n} en :
k
k
E1 = {k ∈ {0, …, n}, x − ≤ η}, et : E2 = {k ∈ {0, …, n}, x − > η}.
n
n
Alors :
k
⎛ k ⎞ ε
• ∀ k ∈ E1, x − ≤ η, et donc : f ( x)
− f ⎜ ⎟ ≤ , d’où :
n
⎝ n ⎠ 2
n
n
n
⎛ ⎞ ⎛ k ⎞ k
n−k
ε ⎛ ⎞ k
n−k
ε ⎛n
⎞ k
n−k
ε
S1 = ∑⎜
⎟.
f ( x)
− f ⎜ ⎟.
x .( 1−
x)
≤ . ∑⎜
⎟.
x .( 1−
x)
≤ . ∑⎜
⎟.
x .( 1−
x)
= ,
k∈E
k n
2 k E k
2 k 0 k
2
1⎝
⎠ ⎝ ⎠
∈ 1⎝
⎠
= ⎝ ⎠
2
k
• ∀ k ∈ E2, η < x − , donc : η
n
2 ⎛ k ⎞
≤ ⎜ x − ⎟ , d’où :
⎝ n ⎠
⎛n
⎞ ⎛ k ⎞ k
n−k
2.
N ∞ ( f ) ⎛n
⎞ 2 k
n−k
S2 = ∑⎜
⎟.
f ( x)
− f ⎜ ⎟.
x .( 1−
x)
≤ . ∑⎜
⎟.
η . x .( 1−
x)
,
2
k∈E
⎝k
⎠ ⎝ n ⎠
η
2
k∈E
2⎝
k⎠
en notant N∞(f) le sup de |f| sur [0,1], et donc :
2
n
n
2
2.
N
n
∞ ( f ) ⎛ ⎞ ⎛ k ⎞ k
n−k
2.
N ∞ ( f ) ⎛ ⎞ ⎛ k ⎞ k
n−k
2.
N ∞ ( f )
S2 ≤ . . x . x .( 1 x)
. . x . x .( 1−
x)
= .
2 ∑⎜
⎟ ⎜ − ⎟ − ≤
⎜ ⎟
2 ∑ ⎜ − ⎟
S’2.
2
η k∈E
k n
η k 0 k n
η
2⎝
⎠ ⎝ ⎠
= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
On va maintenant majorer cette dernière somme.
Pour cela, on développe en :
n
n
n
2 ⎛n
⎞ k
n−k
2.
x ⎛n
⎞ k
n−k
1 ⎛n
⎞ 2 k
n−k
S’2 = x . ∑⎜
⎟.
x .( 1−
x)
− . ∑⎜
⎟.
k.
x .( 1−
x)
+ . ∑⎜
⎟.
k . x .( 1−
x)
.
2
k=
0 ⎝k
⎠
n k=
0 ⎝k
⎠
n k=
0 ⎝k
⎠
En dérivant alors par rapport à x puis en multipliant par x l’égalité : (x + y) n n ⎛n
⎞ k n−k
= ∑ ⎜ ⎟.
x . y , on obtient :
k=
0 ⎝k
⎠
n.x.(x + y) n-1 n ⎛n
n
⎞ k n−k
⎛n
⎞ k
n−k
= ∑ ⎜ ⎟.
k.
x . y , puis on remplace y par (1 – x) et : ∑ ⎜ ⎟.
k.
x .( 1−
x)
= n.
x .
k=
0 ⎝k
⎠
k=
0 ⎝k
⎠
En dérivant à nouveau par rapport à x, puis en remultipliant par x la première égalité, on obtient encore :
n.x.(n.x + y).(x + y) n-2 n ⎛n
⎞ 2 k n−k
= ∑ ⎜ ⎟.
k . x . y , ce qui donne, en remplaçant encore y par (1 – x) :
k=
0 ⎝k
⎠
n ⎛n
⎞ 2 k
n−k
∑ ⎜ ⎟.
k . x .( 1−
x)
= n.x.(1 + (n – 1).x).
k=
0 ⎝k
⎠
x.( 1−
x)
En remplaçant toutes ces quantités dans S’2, cela donne finalement : S’2 = .
x.(
1−
x)
1
Etant donné de plus que : ∀ x ∈ [0,1], ≤ , on obtient :
n 4
ε N ∞
( f )
∀ n ∈ *, ∀ x ∈ [0,1], |f(x) – Bn(f)(x)| ≤ + . 2
2 2.
η . n
Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 10 -
n
−k
.

⎛ N ∞ ( f ) ⎞
N ∞ ( f ) ε
Enfin, puisque ⎜ ⎟ tend vers 0 en +∞ : ∃ N ∈ , ∀ n ≥ N, ≤ .
2 2
⎝ 2.
η . n ⎠
2.
η . n 2
Donc pour : n ≥ N, la fonction |f – Bn(f)| est bornée sur [0,1] par ε, sa borne supérieure sur [0,1] aussi, et
la suite (Bn(f)) est une suite de polynômes qui converge uniformément sur [0,1] vers f.
• Pour le cas général où a et b sont quelconques, soit : f ∈ C 0 ([a,b],K).
On pose alors : ∀ x ∈ [0,1], g(x) = f(a + x.(b – a)), avec : g ∈ C 0 ([0,1],K).
La suite (Bn(g)) converge alors uniformément sur [0,1] vers g.
⎛ t − a ⎞
Notons enfin : ∀ n ∈ *, ∀ t ∈ [a,b], Pn(t) = Bn(g) ⎜ ⎟ .
⎝ b − a ⎠
⎛ t − a ⎞
Alors : ∀ t ∈ [a,b], en posant : x = ⎜ ⎟ , on a : |f(t) – Pn(t)| = |g(x) – Bn(g)(x)| ≤ sup g − Bn
( g)
.
⎝ b − a ⎠
[ 0,
1]
Donc la fonction |f – Pn| est bornée sur [a,b] et vérifie : f − P ≤ sup g − B ( g)
.
sup n
n
[ a,
b]
[ 0,
1]
Finalement la suite (Pn) est une suite de polynômes qui converge uniformément sur [a,b] vers f.
Théorème 4.4 : de Weierstrass, version trigonométrique
2. π
Soit f une fonction T-périodique de dans , continue sur , et soit : ω = .
T
+ n
n
iωkt
a 0
Alors il existe une suite de fonctions du type : P ( t)
= ∑ γ k . e = + ∑(
a k . cos( kωt)
+ b k.
sin( kωt))
,
k=
−n
2 k=
1
dits « polynômes trigonométriques » à coefficients dans , qui converge uniformément sur vers f.
Démonstration (hors programme) :
Notons tout d’abord que les deux formes proposées de P se déduisent l’une de l’autre en utilisant les
formules d’Euler.
• Pour : n ∈ , on note : In = ∫ +
T
⎛ ω
2 2n
. t ⎞
T cos ⎜ ⎟.
dt , intégrale positive (la fonction sous l’intégrale est positive)
−
2 ⎝ 2 ⎠
et non nulle puisque la fonction sous l’intégrale est continue et non nulle.
1 2n
⎛ ω.
t ⎞
Soit alors : ∀ t ∈ , ϕn(t) = . cos ⎜ ⎟ .
I ⎝ 2 ⎠
n
T
2
∫ T n =
2
+
−
• Posons alors fn la fonction définie par : ∀ t ∈ , fn(t) = ∫ +
T
2
T f ( u).
ϕn
( t − u).
du .
−
2
La fonction ϕn est paire, T-périodique, continue sur et telle que : ϕ ( t).
dt 1.
Les fonctions sont bien définies puisque, pour t fixé réel, u a f(u).ϕn(t – u), est définie, continue sur .
On peut ensuite linéariser cos 2n en : ∀ t ∈ , cos 2n
n
⎛ ω.
t ⎞
⎜ ⎟ = ∑ c n , k.
cos( k.
ω.
t)
,
⎝ 2 ⎠ k=
0
puisqu’une puissance paire de cosinus se développe en une somme où n’interviennent que des
multiples pairs de la pulsation, d’où l’écriture proposée.
On peut alors transformer fn en :
+
+
∀ t ∈ , fn(t) = ∑ ∫−
∫−
=
⎥ ⎥
n ⎡ T
T
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎤
⎢⎜
2
⎟ ω + ⎜ 2
⎟
⎜ T f ( u).
c n , k.
cos( u).
du
⎟
. cos( k.
. t)
⎜ T f ( u).
c n,
k.
sin( u).
du
⎟
. sin( k.
ω.
t)
,
k 0 ⎢⎣
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠ ⎦
ce qui montre que fn est un polynôme trigonométrique (de pulsation ω).
• Montrons maintenant que (fn) converge uniformément sur vers f.
T
T
t+
∫t −
−
2
2
Pour cela : ∀ n ∈ , ∀ t ∈ , fn(t) = 2 − ϕ = 2
T f ( t v).
n ( v).
dv ∫ T f ( t − v).
ϕn
( v).
dv , puisque la fonction de v
sous l’intégrale est T-périodique.
T
T
2
2
∫− −
2
2
Donc : ∀ n ∈ , ∀ t ∈ , |fn(t) – f(t)| = T [ f ( t − v)
− f ( t)].
ϕn
( v).
dv ≤ ∫ T f ( t − v)
− f ( t)
. ϕn
( v).
dv .
Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 11 -

Soit alors : ε > 0, fixé.
La fonction f étant continue sur , elle est uniformément continue sur [-T/2,+T/2], donc sur (voir
démonstration précédente).
T ) tel que : ∀ (t,t’) ∈ 2 , (|t – t’| ≤ η) ⇒ (|f(t) – f(t’)| ≤ 2
Donc : ∃ η > 0 (qu’on peut de plus choisir : η <
2
Elle est de plus bornée sur par une constante M (car bornée sur [-T/2,+T/2]).
ε
Donc : ∀ n ∈ , ∀ t ∈ , ∀ v ∈ [-η,+η], |(t – v) – t| ≤ η, donc : |f(t – v) – f(t)| ≤ , et :
2
T
η
ε η
ε
ε
f ( t v)
f ( t)
. ( v).
dv . ( v).
dv . 2
∫ − − ϕn
≤ ϕn
≤ T ϕn
( v).
dv =
2 ∫
2 ∫
.
−η
−η
−
2
2
−η
∫− 2
T
2
η
T
2
η
Puis : T f ( t − v)
− f ( t)
. ϕn
( v).
dv + ∫ f ( t − v)
− f ( t)
. ϕn
( v).
dv ≤ 4.
M.
∫ ϕn
( v).
dv , puisque ϕn est paire.
Et comme ϕn est décroissante sur [η,T/2], on aboutit à :
T
−η
⎛ T ⎞ 1 ⎛ π.
η ⎞
∫ f ( t − v)
− f ( t)
. ϕ ( v).
dv + 2
2n
T n ∫ f ( t − v)
− f ( t)
. ϕn
( v).
dv ≤ 4.
M.
⎜ − η⎟.
. cos ⎜ ⎟ .
− η
2
⎝ 2 ⎠ I n ⎝ T ⎠
Si on revient maintenant à In, on constate que, grâce à un changement de variable, on a :
T
T
+ ⎛ ω ⎞ +
+
+
+
+ ⎛ ω ⎞
1
1
1
In = 2 2n
. t
∫
≥ 2 2n
1 . t 2
2 n 4
2 n 4
n
T cos ⎜ ⎟.
dt
− ∫ T cos ⎜ ⎟.
dt = .
−
∫ ( 1−
s ) . ds = .
− ∫ ( 1−
s ) . ds ≥ . ∫ ( 1−
s)
. ds ,
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ ω 1
ω 0
ω 0
2
2
4
soit finalement : In ≥ .
ω.(
n + 1)
Cela permet donc d’obtenir :
T
−η
⎛ T ⎞
⎛ π.
η ⎞
∫ f ( t − v)
− f ( t)
. ϕ ( v).
dv + 2
2n
T n ∫ f ( t − v)
− f ( t)
. ϕn
( v).
dv ≤ M.
⎜ − η⎟.
ω.(
n + 1).
cos ⎜ ⎟ .
− η
2
⎝ 2 ⎠
⎝ T ⎠
Comme enfin la suite majorante tend vers 0 en +∞, on peut donc trouver : n0 ∈ , tel que :
T
−η
ε
∀ n ≥ n0, f ( t v)
f ( t)
. ( v).
dv 2
∫ T − − ϕn
+ ∫ f ( t − v)
− f ( t)
. ϕn
( v).
dv ≤ , et : |fn(t) – f(t)| ≤ ε.
−
η
2
2
La fonction |fn – f| est alors majorée sur [-T/2,+T/2] (donc sur , puisque T-périodique) par ε, donc elle
admet une borne supérieure sur qui vérifie : f − f ≤ ε .
sup n
R
Finalement, la suite (fn) est une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément sur
vers f.
Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 12 -
ε ).