Suites et séries de fonctions Cours complet - CPGE Dupuy de Lôme

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• la série ∑ n≥0 u converge uniformément ou normalement sur I (ou sur tout segment : [α,β] ⊂ I). 'n Alors la somme ∑ +∞ n=0 u n de la série de fonctions est de classe C 1 +∞ sur I, et : ∑ u n )' +∞ = ∑ n= 0 n= 0 ( u' . Démonstration : Là encore, la démonstration découle de la précédente en posant remarquant simplement que (Sn) converge simplement sur I, et que (S’n) converge uniformément sur tout segment [α,β] inclus dans I. Approximations de fonctions. Définition 4.1 : fonction continue par morceaux sur un segment ou un intervalle à valeurs dans K Soit f une fonction de [a,b] dans K. On dit que f est continue par morceaux sur [a,b] si et seulement si on peut trouver une subdivision : a = a0 < a1 < …
admettant en tout point définissant la subdivision des limites finies à droite et à gauche ». Théorème 4.2 : toute fonction continue par morceaux est limite uniforme de suite de fonctions en escaliers sur un segment Soit f une fonction de [a,b] dans K, continue ou continue par morceaux sur [a,b]. Alors il existe une suite de fonctions en escaliers sur [a,b] qui converge uniformément sur [a,b] vers f. Démonstration : • Supposons pour commencer f continue sur [a,b]. Supposons par ailleurs que : ∃ ε > 0, ∀ η > 0, ∃ (x,x’) ∈ [a,b] 2 , |x – x’| ≤ η, et : |f(x) – f(x’)| ≥ ε. Alors : ∀ n ∈ , ∃ (xn, xn’) ∈ [a,b] 2 , |xn – xn’| ≤ 2 -n , et : |f(xn) – f(xn’)| ≥ ε. La suite (xn, xn’) est alors une suite d’éléments de [a,b]×[a,b] qui est fermé et borné, donc compact dans 2 , donc il est possible d’en extraire une suite convergente (xϕ(n), xϕ(n)’) vers : (x,x’) ∈ [a,b]. Dans ce cas (xϕ(n)) converge vers x et (xϕ(n)’) vers x’. Or (ϕ(n)) tend vers +∞, et : ∀ n ≥ 0, |xϕ(n) – xϕ(n)’| ≤ 2 -ϕ(n) . Donc en faisant tendre n vers +∞, on en déduit que : |x – x’| = 0, et : x = x’. Mais alors il y a contradiction car on a de plus en passant à la limite (et puisque f est continue sur [a,b]) : |f(x) – f(x’)| ≥ ε, ce qui conduirait à : 0 ≥ ε. Donc l’hypothèse faite est fausse et : ∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀ (x,x’) ∈ [a,b] 2 , (|x – x’| ≤ η) ⇒ (|f(x) – f(x’)| ≤ ε). Remarque : on dit alors que f est uniformément continue sur [a,b] (théorème de Heine). Dans ce cas : ∀ n ≥ 0, ∃ ηn > 0, ∀ (x,x’) ∈ [a,b] 2 , (|x – x’| ≤ ηn) ⇒ (|f(x) – f(x’)| ≤ 2 -n ). ⎛ b − a ⎞ b − a b − a Posons maintenant : N = E ⎜ ⎟ + 1, qui garantit : < N, puis : h = < ηn. ⎝ ηn ⎠ ηn N On définit alors la fonction un, en escaliers sur [a,b], par : • ∀ 0 ≤ k ≤ N – 1, ∀ x ∈ Ik = [a + k.h, a + (k + 1).h[, un(x) = f(a + k.h). • un(b) = f(b). Alors : ∀ 0 ≤ k ≤ N – 1, ∀ x ∈ Ik, |un(x) – f(x)| = |f(a + k.h) – f(x)| ≤ 2 -n , puisque : |(a + k.h) – x| ≤ h ≤ ηn, et cette inégalité est évidemment vérifiée pour : x = b. Donc la fonction [un – f] est bornée sur [a,b] et : u ( t) − f ( t) ≤ 2 -n . sup n t∈[ a, b] Finalement la suite (un) est une suite de fonctions en escaliers sur [a,b] qui converge uniformément sur [a,b] vers f. • Supposons maintenant f continue par morceaux sur [a,b], et notons : a = a0, …, ap = b, la subdivision de [a,b] attachée naturellement à f (points de discontinuité de f). La restriction de f à chaque intervalle ]ak, ak+1[, est continue et se prolonge à droite en ak, et à gauche en ak+1 en une fonction fk continue sur [ak, ak+1], pour tout entier : 0 ≤ k ≤ p – 1. Soit maintenant : n ∈ . Il est possible, pour tout : 0 ≤ k ≤ p – 1, de trouver une fonction en escaliers uk,n sur [ak, ak+1] telle que de plus : u ( t) − f ( t) ≤ 2 -n , à l’aide de la construction précédente. sup k, n k t∈[ a k , a k + 1] On peut alors poser : • ∀ 0 ≤ k ≤ p – 1, ∀ x ∈ ]ak, ak+1[, un(x) = uk,n(x), • ∀ 0 ≤ k ≤ p, un(ak) = f(ak). On constate alors que la fonction un est toujours en escaliers, mais sur [a,b] cette fois, que : u ( t) − f ( t) ≤ 2 -n , puisque un coïncide avec les uk,n sur chaque intervalle ]ak, ak+1[, et qu’aux points sup n t∈[ a, b] où on a modifié les valeurs de uk,n (c'est-à-dire aux points ak), la différence [un – f] est nulle. Finalement la suite (un) est une suite de fonctions en escaliers sur [a,b], qui converge uniformément sur [a,b] vers f. Théorème 4.3 : de Weierstrass Soit f une fonction de [a,b] dans K, continue sur [a,b]. Alors il existe une suite de polynômes qui converge uniformément sur [a,b] vers f. Démonstration (hors programme) : méthode utilisant les polynômes de Bernstein • Commençons par le cas : a = 0, b = 1. Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 9 -
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