Suites et séries de fonctions Cours complet - CPGE Dupuy de Lôme

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• pour tout entier n, la fonction un est continue sur I, • la série ∑ u n converge uniformément ou normalement sur tout segment : [α,β] ⊂ I. n≥0 Alors la somme ∑ +∞ u de la série de fonctions est continue sur I. n=0 n Démonstration : La démonstration utilise là encore que toutes les fonctions Sn sont continues sur I, et le théorème démontré dans le cadre des suites de fonctions (avec des hypothèses identiques) donne le résultat voulu. Théorème 2.4 : étude d’une somme de série de fonctions aux bornes d’un intervalle ouvert Soit I un intervalle de , ouvert en au moins une de ses extrémités, notée a. Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K, telle que : n≥0 • la série ∑ u n converge uniformément ou normalement sur I, n≥0 • pour tout entier n, la fonction un admet une limite Ln finie en a, • la série ∑ L n converge. n≥0 Alors la somme ∑ +∞ u de la série de fonctions admet ∑ +∞ L comme limite en a, autrement dit, on peut n=0 +∞ +∞ ⎛ ⎞ écrire : ⎜ u n ( x) ⎟ = ( lim u n ( x) ) ∑ n ∑ = → lim . x→a x a ⎝ n= 0 ⎠ n 0 Démonstration : Là encore, il suffit d’adapter la démonstration faite dans le cadre des suites, en notant par exemple : ∀ n ∈ , Sn = ∑ u k , βn = ∑ k= 0 k= 0 n n L . k On constate alors que : • la suite (Sn) converge alors uniformément sur I vers S, somme de la série de fonctions, • pour tout entier n, la fonction Sn admet pour limite βn en a, • la suite (βn) converge vers L, somme de la série numérique. Dans ce cas, la limite uniforme S de la suite de fonctions (Sn) admet pour limite L en a. Liens avec l’intégration ou la dérivation des fonctions. Théorème 3.1 : convergence uniforme et intégrales sur un segment, cas des suites Soit (un) une suite de fonctions définies d’un segment [a,b] de dans K, continues sur [a,b]. Si la suite (un) converge uniformément sur [a,b] vers u, alors : ∫ a ∫a lim u ( t). dt = lim ( u ( t)). dt = u( t). dt . n→+∞ Démonstration : Il suffit d’écrire : b n b b n→+∞ b n b b ∫a ∀ n ∈ , ∫ u ( t). dt u( t). dt u ( t) u( t) . dt sup u u . dt ( b a). sup u n u a n − ∫ ≤ a ∫a n − ≤ ∫a n − = − − . Si on fait tendre n vers +∞, le théorème des gendarmes montre alors qu’on a bien : ∫ a ∫a lim u ( t). dt = u( t). dt . n→+∞ b n b Théorème 3.2 : convergence uniforme et intégrales sur un segment, cas des séries Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un segment [a,b] de dans K, continues sur [a,b]. n≥0 Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 6 - n=0 b n [ a, b] [ a, b]
Si la série ∑ u n converge uniformément ou normalement sur [a,b], alors : n≥0 b +∞ +∞ ⎛ ⎞ b ∫ ⎜∑ u ⎟ = ∑⎜ ⎛ ∫ ⎟ ⎞ n ( t) . dt u n ( t). dt . a ⎝ = ⎠ n= 0 ⎝ a n 0 ⎠ Démonstration : Lé encore, on s’appuie sur la démonstration précédente en remarquant que la suite (Sn) des sommes partielles converge uniformément sur [a,b], et donc, comme : b n b ∀ n ∈ , ∫ S n ( t). dt = ∑∫ u k ( t). dt , par linéarité de l’intégrale sur [a,b], on en déduit bien que : ⎛ +∞ b ∫ ⎜∑ a ⎝ n= 0 a a k= 0 +∞ ⎞ b b n b b u ⎟ = ∫ = ∫ = ∑⎜ ⎛ ∫ ⎟ ⎞ = ∑⎜ ⎛ →+∞ →+∞ →+∞ ∫ ⎟ ⎞ n ( t) . dt lim ( Sn ( t)). dt lim Sn ( t). dt lim u k ( t). dt u n ( t). dt . a n n a n ⎠ = ⎝ a ⎠ n= 0 ⎝ a k 0 ⎠ Théorème 3.3 : dérivabilité de la limite d’une suite de fonctions Soit (un) une suite de fonctions définies d’un intervalle I de dans K, de classe C 1 sur I. On suppose que : • la suite (un) converge simplement sur I vers une fonction u, de I dans K, • la suite (u’n) converge uniformément sur I (ou sur tout segment [α,β] inclus dans I) vers v. Alors u est de classe C 1 sur I, et : u’ = v. De plus, la convergence de la suite (un) est uniforme sur tout segment [α,β] inclus dans I. Démonstration : Soit [α,β] un segment inclus dans I. Posons alors : ∀ n ∈ , ∀ x ∈ [α,β], vn(x) = ∫ u 'n ( t). dt . α On constate alors que : x x x x v n ∫ α ∫α n ∫α n n [ α, β] ∀ n ∈ , ∀ x ∈ [α,β], ( x) − v( t). dt = ( u' ( x) − v( t)). dt ≤ u' ( x) − v( t) . dt ≤ x − α. sup u' −v , et donc, pour tout entier n, la fonction : x a − ∫α x v n ( x) v( t). dt , est bornée sur [α,β] et vérifie : x ∀ n ∈ , sup v n ( x) − ∫ v( t). dt ≤ β − α. sup u'n −v . [ x∈α, β] α [ α, β] Il y a alors convergence uniforme (donc convergence simple) de la suite de fonctions (vn) sur [α,β], étant donné que (u’n) converge uniformément sur [α,β] vers v. Mais comme de plus : ∀ n ∈ , ∀ x ∈ [α,β], vn(x) = un(x) – un(α), et que cette suite de fonctions converge simplement sur I (donc sur [α,β]) vers la fonction définie sur [α,β] par : x a u(x) – u(α), on conclut que : x ∀ x ∈ [α,β], u(x) = u(α) + ∫ v ( t). dt . α La fonction v étant de plus continue sur [α,β], comme limite uniforme de suite de fonctions continues sur [α,β], u est donc de classe C 1 (comme primitive de v sur [α,β]) sur tout [α,β] inclus dans I, donc sur I, et : ∀ x ∈ [α,β], u’(x) = v(x). Enfin : ∀ n ∈ , ∀ x ∈ [α,β], ∫ x u n ( x) − u( x) ≤ u n ( α) − u( α) + ( u' n ( x) − v( t)). dt ≤ u n ( α) − u( α) + β − α. sup u'n −v , et on en déduit la convergence uniforme de (un) sur [α,β] vers u. Théorème 3.4 : dérivabilité de la somme d’une série de fonctions Soit ∑ n n≥0 On suppose que : • la série ∑ u n converge simplement sur I, n≥0 α u une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K, de classe C 1 sur I. Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 7 - [ α, β]
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