Suites et séries de fonctions Cours complet - CPGE Dupuy de Lôme

Séries de fonctions : converge simple, uniforme, normale et continuité.
Définition 2.1 : série de fonctions
Soit (un) une suite de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
On appelle série de fonctions de terme général un la suite ∑
n≥0
la série définies par : ∀ n ∈ , ∀ x ∈ I, Sn(x) = ∑
k=
n
u des fonctions « sommes partielles » de
Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 4 -
0
u ( x)
.
Définition 2.2 : convergence simple et limite simple d’une série de fonctions sur un intervalle
Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
n≥0
On dit que la série converge simplement sur I ou qu’il y a convergence simple de la série sur I si et
seulement si la suite de fonctions (Sn) converge simplement sur I, soit si : ∀ t ∈ I, ∑ u n ( t)
converge.
n≥0
La fonction S définie sur I par : ∀ t ∈ I, S(t) = ∑ +∞
u ( t , est alors appelée limite simple de la série ou
n=0
somme de la série de fonctions et est notée ∑ +∞
u .
n=0
n
Définition 2.3 : convergence uniforme d’une série de fonctions sur un intervalle
Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
n≥0
On dit que la série converge uniformément sur I ou qu’il y a convergence uniforme de la série sur I si et
seulement si la suite (Sn) converge uniformément sur I (vers la somme de la série).
Définition 2.4 : convergence normale d’une série de fonctions sur un intervalle
Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
n≥0
On dit que la série converge normalement sur I ou qu’il y a convergence normale de la série sur I si et
seulement si :
• pour tout entier n, la fonction un est bornée sur I et y admet donc une borne supérieure,
• la série numérique ∑sup u n ( x)
converge.
x∈I
Théorème 2.1 : liens entre les différentes convergences d’une série de fonctions
Soit ∑ u n une série de fonctions définies d’un intervalle I de dans K.
n≥0
Pour la série ∑ u n , les implications suivantes sont alors vérifiées :
n≥0
• (convergence normale sur I) ⇒ (∀ t ∈ I, convergence absolue de ∑ u n ( t)
) ⇒ (convergence simple
n≥0
sur I) .
• (convergence normale sur I) ⇒ (convergence uniforme sur I ⇒ (convergence simple sur I).
Démonstration :
Du fait des études faites précédemment, on sait déjà que la convergence uniforme sur I entraîne la
convergence simple sur I.
De même, la convergence absolue pour tout : t ∈ I, de ∑ u n ( t)
, entraîne la convergence de ∑ u n ( t)
n≥0
n≥0
pour tout : t ∈ I, ce qui correspond à la convergence simple de la série sur I.
• Montrons que la convergence normale entraîne l’absolue convergence pour tout élément de I.
Pour cela, soit : a ∈ I.
Alors : ∀ n ∈ , ( a)
≤ sup u ( x)
, et par comparaison de séries à termes réels positifs, la série
u n
n
x∈I
k
n )
n