Maple TP1 Corrigé - CPGE Dupuy de Lôme

TP info n°1 2012-2013
Théme : équivalents, développement limités, suites et séries.
Utilisation (ou révision) des fonctions et procédures Maple suivantes :
affectation (:=), définition de fonction (->), composée de fonctions (@, et@@),
boucles et boucles conditionnelles (while...do..od, for...from...to do..od, if ...then...else..fi,
etc...),
graphiques (bibliothèque "plots", plot + options, display),
limites et développements limités, fonctions et fonctions "inertes" (Limit, limit, Sum, sum, taylor,
series, asympt, etc...),
procédures (proc, local, global, end, ...),
partie entière d'un réel (floor).
On peut toujours s'aider de l'aide en ligne.
Exercice 1 : développements limités et équivalents.
Déterminer un développement limité des expressions proposées aux ordres et aux points
proposés ou un équivalent :
⎛
⎛ 3 ⎞ sin( x ) ⎞⎜
⎟
⎜ ⎟⎜
⎟
⎝ x ⎠
⎝ x ⎠
2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞
à l'ordre 6 en 0, ln⎜x tan⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠
1
) à l'ordre 6 en ∞,
x
x x
− sin( x)
sin( x )
à l'ordre 5 en 0, équivalent en 0 de : −
x 2
> restart;
f:=x->(sin(x)/x)^(3/x^2);
taylor(f(x),x=0,10);
e
( ) / -1 2 1
60 e(
⎛ sin( x )
f := x → ⎜
⎝ x
151200 e(
⎞
⎟
⎠
1
⎛ ⎞
⎜3
⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x 2
1
.
2
Arcsin( x )
− − − +
) / -1 2 x 2 139 ) / -1 2 x 4 1
) / -1 2 x 6
O( x )
7
16000 e(
Notez que la notation O( x )
7 entraîne que la quantité est un o( x )
6 , et qu'il a été nécessaire de
demander à Maple l'ordre 10 (nécessaire dans les calculs intermédiaires pour au final aboutir à
l'ordre 6).
> g:=x->ln(x*tan(1/x));
asympt(g(x),x,6);
g := x →
⎛ ⎛ ⎞ ⎞
ln⎜x tan⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠
1
x
1 1
+ +
3 x 2
7 1
90 x 4
⎛ ⎞
O ⎜
⎟
⎝ ⎠
1
x 6
> h:=x->1/x^2-1/(arcsin(x))^2;
taylor(h(x),x=0,9);
Page 1

1
x −
h := →
x 2
1
arcsin( x) 2
1 1
+ + +
3 15 x2 31
945 x4 O( x )
6
L'équivalent qu'on en déduit garantit le signe des termes de la série à partir d'un certain rang,
puis la divergence de la série.
> i:=x->x^x-(sin(x))^(sin(x));
series(i(x),x=0,4);
On en déduit l'équivalent cherché :
Exercice 2 (exercice ENSAM).
i := x → x −
x
sin( x)
sin( x)
⎛1
1 ⎞
⎜ + ln( x ) ⎟ x +
⎝6
6 ⎠
3
O( x )
4
ln( x ) x 3
.
6
Déterminer a,b,c,d,e pour que la fonction définie par : ( ) =
f x cos( x ) −
infiniment petit d'ordre le plus élevé possible en 0.
Donner alors un équivalent de f(x) en 0.
> restart:
f:=x->cos(x)-(a+b*x^2+c*x^4)/(1+d*x^2+e*x^4);
> series(f(x),x,11);
( 1 − a )
f := →
x cos( x ) −
a + b x +
2
1 + d x +
2
c x 4
e x 4
⎛ 1 ⎞
⎜−
− b + a d ⎟ x
⎝ 2 ⎠
2 ⎛ 1
⎞
⎜ − c + a e − ( − b + a d) d ⎟ x
⎝ 24
⎠
4
+ + +
⎛
⎞
⎜−
( − b + a d) e − ( − c + a e + d b − a d ) − ⎟
⎝
⎠
2 1
d
720 x6 +
a + b x +
2
1 + d x +
2
c x 4
, soit un
4
e x
⎛ 1
⎞
⎜ − ( − c + a e + d b − a d ) −
⎟
⎝40320
⎠
2 e ( e b − 2 e a d + d c − d + )
2 b a d 3 d x 8 ⎛ 1
+ ⎜−
⎝ 3628800
−
( e b − 2 e a d + d c − d + )
2 b a d 3 e
( e c − a e − + − + − )
2
2 e d b 3 e a d 2
d 2 c d 3 b a d 4 ⎞
−
d ⎟ x
⎠
10
O( x )
11
+
On peut alors procéder directement ou de proche en proche :
> a:=1:
series(f(x),x,11);
⎛ 1 1 ⎞
⎜ − c + e − ⎟
⎝24
2 ⎠
d x4 ⎛ 1
⎞
⎜−
− − ⎟
⎝ 2 ⎠
e
⎛ 1 ⎞ 1
⎜−
c + e − d ⎟ d
⎝ 2 ⎠ 720 x6
+ +
⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1
1 ⎞ ⎞
⎜ − ⎜ − c + e − d⎟ e − ⎜ − e + d c − e d + ⎟ ⎟
⎝40320
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎠
d2 d x 8 +
Page 2

⎛ 1 ⎛ 1
1 ⎞
⎞
⎜−
− ⎜ − e + d c − e d + ⎟ −
⎟
⎝ 3628800 ⎝ 2 2 ⎠
⎠
d2 ⎛
⎞
e ⎜ e c − e + − + − ⎟
⎝
⎠
2
e d d 2 c e d 2 1
2 d3 d x 10 +
O( x )
11
> b:=d-1/2:
series(f(x),x,11);
⎛ 1 1 ⎞
⎜ − c + e − ⎟
⎝24
2 ⎠
d x4 ⎛ 1
⎞
⎜−
− − ⎟
⎝ 2 ⎠
e
⎛ 1 ⎞ 1
⎜−
c + e − d ⎟ d
⎝ 2 ⎠ 720 x6
+ +
⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1
1 ⎞ ⎞
⎜ − ⎜ − c + e − d⎟ e − ⎜ − e + d c − e d + ⎟ ⎟
⎝40320
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎠
d2 d x 8 +
⎛ 1 ⎛ 1
1 ⎞
⎞
⎜−
− ⎜ − e + d c − e d + ⎟ −
⎟
⎝ 3628800 ⎝ 2 2 ⎠
⎠
d2 ⎛
⎞
e ⎜ e c − e + − + − ⎟
⎝
⎠
2
e d d 2 c e d 2 1
2 d3 d x 10 +
O( x )
11
> c:=e-d/2+1/24:
series(f(x),x,11);
⎛ 1
⎞
⎜−
+ − ⎟
⎝ 2 ⎠
e
1
24 d
1
720 x6 ⎛ 1 1
⎞
⎜ + −
⎟
⎝40320
24 ⎠
e
⎛ 1 ⎞
⎜ − + ⎟
⎝ 2 ⎠
e
1
+ d d x8 +
24
⎛ 1 ⎛ 1 ⎞
⎞
⎜−
− ⎜ − + ⎟ −
⎟
⎝ 3628800 ⎝ 2 ⎠
⎠
e
1 ⎛ 1
⎞
d e ⎜ + − ⎟
24 ⎝ 24 ⎠
e
1 1
e d
2 24 d2 d x 10
O( x )
11
+
> d:=24*(e/2+1/720):
series(f(x),x,11);
⎛ 13 1 ⎞
⎜ − + ⎟ + +
⎝ 604800 40 ⎠
e x8 ⎛ 1 1
⎞
⎜ − − −
⎟
⎝ 3628800 720 ⎠
e
⎛ 1 ⎞
⎜ − ⎟
⎝40
⎠
e
1 ⎛ 1 ⎞
⎜12
e + ⎟ x
21600 ⎝ 30 ⎠
10
O( x )
11
> e:=40*13/604800:
series(f(x),x,11);
Et afficher ensuite toutes les valeurs :
> a;b;c;d;e;
59
− +
152409600 x10
1
-115
252
313
15120
11
252
13
O( x )
11
15120
On peut aussi raisonner directement :
> restart:
f:=x->cos(x)-(a+b*x^2+c*x^4)/(1+d*x^2+e*x^4):
series(f(x),x,11); Page 3

( 1 − a )
⎛ 1 ⎞
⎜−
− b + a d ⎟ x
⎝ 2 ⎠
2 ⎛ 1
⎞
⎜ − c + a e − ( − b + a d) d ⎟ x
⎝ 24
⎠
4
+ + +
⎛
⎞
⎜−
( − b + a d) e − ( − c + a e + d b − a d ) − ⎟
⎝
⎠
2 1
d
720 x6 +
⎛ 1
⎞
⎜ − ( − c + a e + d b − a d ) −
⎟
⎝40320
⎠
2 e ( e b − 2 e a d + d c − d + )
2 b a d 3 d x 8 ⎛ 1
+ ⎜−
⎝ 3628800
−
( e b − 2 e a d + d c − d + )
2 b a d 3 e
( e c − a e − + − + − )
2
2 e d b 3 e a d 2
d 2 c d 3 b a d 4 ⎞
−
d ⎟ x
⎠
10
O( x )
11
+
Et à l'aide de copier-coller, puis un solve résoudre directement le problème.
> sol:=solve({1-a,-1/2-b+a*d,1/24-c+a*e-(-b+a*d)*d,-(-b+a*d)*e-
(-c+a*e+d*b-a*d^2)*d-1/720,1/40320-(-c+a*e+d*b-a*d^2)*e-(e*b-
2*e*a*d+d*c-d^2*b+a*d^3)*d},{a,b,c,d,e});
13 -115 11
sol := { a = 1 , e = , b = , d = , }
15120 252 252 = c
313
15120
On a donné à l'aide de cette commande les valeurs trouvées aux cinq variables et on vérifie
l'équivalent pour f en 0.
> assign(sol):
series(f(x),x,11);
Exercice 3
59
− +
152409600 x10
O( x )
11
On considère la suite u définie par : u0 = 1, pour tout n : u n + 1 = cos( un ) .
Définissez u0 , puis calculer u5, u10, u100, u1000 .
Constatez-vous des problèmes ?
Comment les résoudre ?
> restart;u0:=1.;
u5:=(cos@@5)(u0);
u10:=(cos@@10)(u0);
u100:=(cos@@100)(u0);
u1000:=(cos@@1000)(u0);
u0 := 1.
u5 := .7013687737
u10 := .7442373549
u100 := .7390851332
u1000 := .7390851332
On veut tracer le graphique habituel permettant de visualiser la suite (u n ).
Pour cela, construire un tableau contenant la liste des coordonnées des points du support de la
ligne brisée permettant de représenter les éléments de la suite (u n ), pour n variant de 1 à 10.
Page 4

S:=[u0,0]:
s:=u0:u:=u0:
for i from 1 to 10 do s:=cos(u);
S:=S,[u,s],[s,s];
u:=s;
od:
Tracer sur un même graphique cette ligne brisée, la courbe représentative de la fonction cosinus
et la première bissectrice (varier les couleurs !).
Que semble-t-il apparaître ?
La suite vous paraît-elle convergente ?
> with(plots):
plot1:=plot([S],color=red):
plot2:=plot(cos(t),t=0..1.2,color=blue):
plot3:=plot(t,t=0..1.2,color=black):
display({plot1,plot2,plot3});
Décrire les résultats que l'on pourrait montrer à la lecture du dessin, et indiquer comment on
pourrait démontrer ces résultats.
En supposant ces résultats démontrés, comment déterminer un rang pour lequel u n constitue une
( )
approximation de la limite à 10 −10 près ?
Calculer ce n et préciser l'approximation obtenue.
On peut penser que les suites d'indices pairs et impairs sont respectivement décroissante et
croissante et de même limite, ce que l'on peut obtenir en utilisant les propriétés classiques sur
les suites récurrentes.
Page 5

De plus, on peut démontrer que pour tout entier n, | u n + 1 − un | est supérieur à | L − u n + 1 |.
La boucle suivante permet alors de trouver un n tel que un différe de la limite à moins de
( )
10 −10 près.
> u:=u0:
i:=0:
delta_u:=abs(cos(u)-u):
while delta_u>10^(-10)
do u:=cos(u);
delta_u:=abs(cos(u)-u);
i:=i+1;
od:
print(valeur_approchee,u);
print(nombre_d_iterations_necessaires,i);
print(estimation_de_l_erreur,delta_u);
valeur_approchee , .7390851333
nombre_d_iterations_necessaires, 56
estimation_de_l_erreur , .1 10 -9
Reprendre les questions précédentes sous forme de procédure, avec u 0 , f, n, et l'intervalle où l'on
trace la fonction comme paramètres.
> trace_de_suite:=proc(u0,f,n,intervalle)
local s,u,i,S,plot1,plot2,plot3;
s:=u0;u:=u0;with(plots):S:=[u0,0]:
for i from 1 to n do u:=f(u);s:=s,u;od:s:=[s];
for i from 1 to n do S:=S,[s[i],s[i+1]],[s[i+1],s[i+1]];od:
plot1:=plot([S],color=red):
plot2:=plot(f(t),t=intervalle[1]..intervalle[2],color=blue):
plot3:=plot(t,t=intervalle[1]..intervalle[2],color=black):
display({plot1,plot2,plot3});
end:
Vérifier la procédure avec cosinus puis avec : x → − + 2 x + 1, à partir de différentes valeurs
(-0.7; 1.25; ce que vous voulez).
Que constate-t-on dans le dernier exemple ?
> trace_de_suite(1,cos,10,[0,1.1]);
Page 6
x 2

trace_de_suite(1.25,x->-x^2+2*x+1,6,[0.9,2.1]);
On peut penser que la suite diverge puisque les suites de termes d'indices pairs et impairs ne
semblent pas converger vers la même limite.
2
x +
x
Reprendre la préocédure précédente avec la fonction : x → , à partir de la valeur initiale 2
2
Page 7

et constater la rapidité de convergence.
> trace_de_suite(2,x->(x+2/x)/2,6,[1.3,2]);
Il pourrait être judicieux de limiter également l'intervalle de tracé en y.
Exercice 4
Ecrire une fonction f qui à n associe la somme des cubes des chiffres utilisés dans l'écriture
décimale de n en base 10.
Donner le résultat pour un nombre n que vous choisirez supérieur à 100.
Déterminer ensuite les nombres entre 1 et 1000 qui sont égaux à la somme des cubes de leurs
chiffres.
> restart;
f:=proc(n) local m,x,resultat;
m:=n:
resultat:=0:
while m>0 do x:=floor(m/10):
resultat:=resultat+(m-10*x)^3:
m:=x:
od:
resultat;
end;
f := proc( n)
local m, x, resultat;
m := n;
Page 8

esultat := 0;
while 0 < m do x := floor( 1 / 10∗m ) ; resultat := resultat + ( m − 10∗x) ^3
; m := x od;
resultat
end
> f(136);
> for n from 1 to 1000
do if n=f(n) then print(n)
fi
od;
Exercice 5
Etudier la nature des séries suivantes à l'aide de développements limités et d'équivalents :
∑ ⎛ n ⎞(
n )
⎜ ⎟
⎝ n + 1 ⎠
2
⎛ n − 1 ⎞
Arctan( n ) − 2 Arctan⎜
⎟
⎝ n ⎠
, ∑
, ∑ sin( π 4 n + )
n
2
1 ,
( −1) ∑
n ⎛ 1 ⎞
n sin ⎜
⎟
⎝ n ⎠
n + ( −1 )
n
.
> restart;
u:=n->(n/(n+1))^(n^2);
taylor(u(n),n=infinity,5);
e
( ) / 1 2 1
244
1
153
370
371
407
⎛ n ⎞
u := n → ⎜ ⎟
⎝ n + 1 ⎠
( ) / 1 2
( n )
2
( ) / 1 2
e 11 e
− + +
3 n 36 n 2
⎛ ⎞
O ⎜
⎟
⎝ ⎠
1
n 3
e n
La série est à termes positifs, et est donc clairement convergente, en utilisant un équivalent en
( )
∞ valant e e −n .
> v:=n->(arctan(n)-2*arctan((n-1)/n))/n;
asympt(v(n),n,4);
v := n →
⎛ n − 1 ⎞
arctan( n ) − 2 arctan⎜
⎟
⎝ n ⎠
Page 9
n

1 1
+
2 n 3
⎛ ⎞
O ⎜
⎟
⎝ ⎠
1
n 4
On en déduit que la série est à termes positifs à partir d'un certain rang grâce à l'équivalent du
terme général qui vaut 1
, puis la convergence de la série.
3
2 n
Pour la série suivante, il faut commencer par transformer le terme général en supprimant le
2 n π dans le sinus.
> w:=n->sin(2*n*Pi*(sqrt(1+1/(4*n^2))-1));
asympt(w(n),n,4);
w := n →
⎛
sin ⎜
⎜2
n π
⎝
⎛
⎜
⎝
1 1
1 +
4
n 2
⎞ ⎞
− 1⎟
⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎠
1 π ⎛ ⎞
+ O⎜ 4 n
⎜
⎟
⎝ ⎠
1
n 3
L'équivalent qu'on en déduit garantit le signe des termes de la série à partir d'un certain rang,
puis la divergence de la série.
> x:=n->(-1)^n*sqrt(n)*sin(1/sqrt(n))/(n+(-1)^n);
asympt(x(n),n,3);
x := n →
( -1 )
n
-1 n 2 1
⎛
n sin ⎜
⎝
n + ( -1 )
n
1 ⎞
⎟
n ⎠
( -1) + +
n
n
− ( ( ) ) − ( -1) 6
n
n 2
⎛ ⎞
O ⎜
⎟
⎝ ⎠
1
n 3
On peut simplifier aisément et évidemment conclure que la série est convergente grâce à
l'absolue convergence de la deuxième partie.
Page 10