Suites et séries de fonctions Cours complet - CPGE Dupuy de Lôme

Soit alors : ε > 0, fixé.
La fonction f étant continue sur , elle est uniformément continue sur [-T/2,+T/2], donc sur (voir
démonstration précédente).
T ) tel que : ∀ (t,t’) ∈ 2 , (|t – t’| ≤ η) ⇒ (|f(t) – f(t’)| ≤ 2
Donc : ∃ η > 0 (qu’on peut de plus choisir : η <
2
Elle est de plus bornée sur par une constante M (car bornée sur [-T/2,+T/2]).
ε
Donc : ∀ n ∈ , ∀ t ∈ , ∀ v ∈ [-η,+η], |(t – v) – t| ≤ η, donc : |f(t – v) – f(t)| ≤ , et :
2
T
η
ε η
ε
ε
f ( t v)
f ( t)
. ( v).
dv . ( v).
dv . 2
∫ − − ϕn
≤ ϕn
≤ T ϕn
( v).
dv =
2 ∫
2 ∫
.
−η
−η
−
2
2
−η
∫− 2
T
2
η
T
2
η
Puis : T f ( t − v)
− f ( t)
. ϕn
( v).
dv + ∫ f ( t − v)
− f ( t)
. ϕn
( v).
dv ≤ 4.
M.
∫ ϕn
( v).
dv , puisque ϕn est paire.
Et comme ϕn est décroissante sur [η,T/2], on aboutit à :
T
−η
⎛ T ⎞ 1 ⎛ π.
η ⎞
∫ f ( t − v)
− f ( t)
. ϕ ( v).
dv + 2
2n
T n ∫ f ( t − v)
− f ( t)
. ϕn
( v).
dv ≤ 4.
M.
⎜ − η⎟.
. cos ⎜ ⎟ .
− η
2
⎝ 2 ⎠ I n ⎝ T ⎠
Si on revient maintenant à In, on constate que, grâce à un changement de variable, on a :
T
T
+ ⎛ ω ⎞ +
+
+
+
+ ⎛ ω ⎞
1
1
1
In = 2 2n
. t
∫
≥ 2 2n
1 . t 2
2 n 4
2 n 4
n
T cos ⎜ ⎟.
dt
− ∫ T cos ⎜ ⎟.
dt = .
−
∫ ( 1−
s ) . ds = .
− ∫ ( 1−
s ) . ds ≥ . ∫ ( 1−
s)
. ds ,
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ ω 1
ω 0
ω 0
2
2
4
soit finalement : In ≥ .
ω.(
n + 1)
Cela permet donc d’obtenir :
T
−η
⎛ T ⎞
⎛ π.
η ⎞
∫ f ( t − v)
− f ( t)
. ϕ ( v).
dv + 2
2n
T n ∫ f ( t − v)
− f ( t)
. ϕn
( v).
dv ≤ M.
⎜ − η⎟.
ω.(
n + 1).
cos ⎜ ⎟ .
− η
2
⎝ 2 ⎠
⎝ T ⎠
Comme enfin la suite majorante tend vers 0 en +∞, on peut donc trouver : n0 ∈ , tel que :
T
−η
ε
∀ n ≥ n0, f ( t v)
f ( t)
. ( v).
dv 2
∫ T − − ϕn
+ ∫ f ( t − v)
− f ( t)
. ϕn
( v).
dv ≤ , et : |fn(t) – f(t)| ≤ ε.
−
η
2
2
La fonction |fn – f| est alors majorée sur [-T/2,+T/2] (donc sur , puisque T-périodique) par ε, donc elle
admet une borne supérieure sur qui vérifie : f − f ≤ ε .
sup n
R
Finalement, la suite (fn) est une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément sur
vers f.
Chapitre 07 – Suites et séries de fonctions – cours complet. - 12 -
ε ).