Transformation en Z - LPSC

Signaux & Systèmes - M1 Physique - LPSC/UJF - F.Montanet 

Introduction au filtrage 

numérique 

Signaux & Systèmes - M1 Physique - 

LPSC/UJF - F.Montanet 

Caractérisation des filtres linéaires 

Réponse impulsionnelle : 

Réponse indicielle : 

Réponse fréquentielle : 

j2 

ft 

e π 

Filtre 

Filtre 

Filtre 

3 



Introduction 

Le filtrage a deux applications principales : 

1. séparation de signaux combinés (démultiplexage). 

2. restoration de signaux distordus 

Les filtres analogiques électroniques sont utilisés pour les 

mêmes taches, néanmoins, les filtres numériques atteignent 

des performances bien supérieures. 


Relations d’équivalence entre réponse impulsionnelle, 

réponse indicielle et réponse fréquentielle : 

Réponse impulsionelle Réponse fréquentielle 

Réponse indicielle 

TF 

intégration 20 Log 10( ) 

Réponse fréquentielle (dB) 

2 

4


Transformation en z 

Cours signaux et systèmes 

M1 physique 

Transformation en Z 

La transformation en z reprend le formalisme et les propriétés de la 

transformation de Laplace et les applique aux signaux discrets. 

Transformée en Z = Transformée de Laplace 

de la fonction échantillonnée avec z = e Ts ou T est la période d’échantillonnage. 

Transformation de Laplace Transformation en Z 

Exemple : 

e(t) 

1 

1/2 

t 

10 



Relations entre Laplace et TZ 

Transformée de Laplace de x[kT], signal échantillonné : 

Définition 

Quelques propriétés 

Linéarité 

Décalage temporel : 

Convolution : 

Multiplication par série 

exponentielle : 

Transformée en Z 

Somme de série... donc problèmes de convergence ! 

9 

11



Propriétés de la transformées en Z 

Retard : 

Cette propriété est particulièrement importante. Elle donne 

tout son intérêt à la TZ. En effet, la multiplication par z -1 

correspond à la translation en temps d'un échantillon au 

suivant : 

Avance : 

Échelon unitaire : 

Rampe unitaire : 

à démontrer 

Transformées en Z 

conditions initiales 

12 

14 



Propriétés de la transformées en Z 

Conditions initiales et finales : 

Convolution : 

Exponentielle : 

Sinus et Cosinus : 

Transformées en Z 

si ces limites existent 

13 

15



Systèmes différentiels et TZ 

x[n] 

Système 

y[n] 

La sortie y[n] et x[n] d’un système physique linéaire 

échantillonné sont reliés par une équation aux différences : 

y( n) 

+ a1y( 

n −1) 

+ ... + a My( 

n − M) 

= b0x( 

n) 

+ b1x( 

n −1) 

+ ... + b Nx( 

n − N) 

Causal : N ≥ M 

la sortie au temps nT dépend des valeurs des échantillons connu à ce moment 

c.a.d x[n], x[n-1], x[n-2]… et y[n-1], y[n-2], … et des caractéristiques du 

systèmes définies par les a k et b k (système linéaire causal) 

Fonction de transfert et Pôles 

dans le domaine Z 

Fonction de transfert en z, un rapport de polynômes en z avec M ≤ 

N pour un système physique. 

qui peut se mettre également sous la forme : 

Les zi sont les zéros et les pj sont les pôles du système. 

Les zéros et les pôles décrivent le système à un facteur d’amplitude près a0 (gain statique) et à un retard près z N - M avec N - M ≤ 0. 

En particulier, on appellera : 

• filtres MA (à Moyenne Adaptée) les filtres n’ayant que des zéros 

(et des pôles en z = 0) 

• filtres AR (Auto Régressifs) les filtres n’ayant que des pôles 

(et des zéros en z =0) 

! 

16 

18 



Fonction de transfert et Pôles 

dans le domaine Z 

En prenant la TZ et en utilisant les propriétés de linéarité et de 

translation en temps, on obtient : 

Donc : 

Y( z) = H( z) X ( z) 

Pôles dans le domaine Z 

17 

19



On retrouve la transformée 

de Fourier discrète du 

signal x[k], et sa périodicité 

2πF e =2π/T 

0 

Relations entre TZ et Fourier 

Im(s)=ω 

Re(s)=r 

6πFe 

4πFe 

2πFe 

0 

-2πFe 

-4πFe 

-6πFe 

f = 1/2 

Im(s) 

Plan de Laplace 

Plan de Laplace Plan des Z 

0 

Im(z) 

f = 1/4 

1 

-1 

Re(s) 

f=0 

f=1 

Re(z) 

Im(z) 

1 

Plan des Z 

f croissante 

Im(z) 

1 

f = 0 

Re(z) 

f = 1 

f=0 

f=1 

Re(z) 

20 

22 



-a 

Le plan ou domaine z 

Interprétation géométrique de la TZ 

ρ 

0 

Plan Z 

ϕ 

1 

Re(z) 

f = 0 

f = 1 

Périodicité de X( f ) 

21 

23




Implémentation par convolution : 

Filtres à Réponse Impulsionnelle Finie 

RIF (ou FIR en anglais) 

Implémentation par récurrence : 

Filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie 

RII (ou IIR en anglais) 

Caractérisation dans le domaine fréquentiel 

Bande passante, bande atténuée, passe-haut, passe-bas, 

passe-bande, coupe-bande. 

Amplitudes 

Amplitudes 

bande 

passante 

Passe-bas 

bande de 

transition 

Passe-bande 

bande 

atténuée 

Fréquences 


Amplitudes 

Amplitudes 

Passe-haut 

Coupe-bande 



24 

27 




Implémentation d’un filtre numérique par récurrence : 

La sortie y[n] est calculée par combinaison linéaire 

des x[n], x[n-1], x[n-2]… 

et des y[n-1], y[n-2], … 

par une équation de récurrence 

et des coefficients de récurrence: 

y[ 

n] 

= a 

0 

x[ 

n] 

+ a x[ 

n 

1 

−1] 

+ a 

x[ 

n 

− 2] 

+ a 

x[ 

n 

− 3] 

+ … 

+ b y[ 

n −1] 

+ b y[ 

n − 2] 

+ b y[ 

n − 3] 

+ … 

1 

Inversion spectrale 

2 

2 

3 

3 

25 

29



Symétrie spectrale 

Changement de signe d’un échantillon sur deux 

⇒ multiplication par e j2πk/2 

⇒ convolution du spectre 

par δ(f-0.5) 

⇒ décalage du spectre 

de 0.5 

⇒ la partie négative 

du spectre 

prend la place 

de la partie positive. 

Classification des filtres 

Les filtres sont classifié selon leur fonction ou selon leur implémentation: 

Fonction 

Domaine temporel 

(lissage, suppression 

de niveau continu) 

Domaine Fréquentiel 

(séparation de 

fréquence) 

Spécifique 

(Déconvolution) 

Implémentation 

Moyenne mobile Pôle unique 

Fenêtres Tchebycheff 

RIF sur mesure Récursif 

30 

32 


Construction 

d’un passe-bande ou d’un coupe-bande 

Par convolution, RIF Par récursivité, RII Filtres Récursifs 

31



x[n] 

Filtre 

RIF 

y[ 

n] 

y[ 

n] 

H[ 

z] 

x[n] 

Fonction de transfert 

par la transformation en Z 

x[n-1] x[n-2] 

z -1 z -1 z -1 

a 0 a 1 a 2 a 3 

y[ 

n] 

H[ 

z] 

= 

x[n-3] 

Σ Σ Σ 

−1 

−2 

−3 

( a + a z + a z + a z ) 

0 

1 

y[ 

n] 

= = a 

x[ 

n] 

0 

2 

+ a z 

−1 

1 

+ a 

2 

3 

z 

−2 

x[ 

n] 

+ a 



z -1 z -1 z -1 

3 

z 

−3 

Filtre récursif RII d’ordre 1 

combinaison d’un RIF et d’un 

RII simple 

−1 

−2 

−3 

−1 

−2 

−3 

= ( a 0 + a1z 

+ a 2z 

+ a 3z 

) x[ 

n] 

+ ( b1z 

+ b2z 

+ b3z 

) 

−1 

−2 

−3 

−1 

−2 

−3 

( 1− 

b z − b z − b z ) = ( a + a z + a z + a z ) x 

1 

x[n-1] x[n-2] 

a 0 a 1 a 2 a 3 

Σ Σ Σ 

2 

y[ 

n] 

a 0 + a z + a z + 

= = 

x[ 

n] 

1− 

b − b − 

−1 

1 

−1 

1z 

3 

x[n-3] 

−2 

2 

−2 

2z 

Σ Σ Σ 

b 3 b 2 b 1 

z -1 

0 1 

−3 

a 3z 

−3 

b3z 

2 

z -1 

3 

z -1 

[ n] 

y[n] 

y[n] 

y[ 

n] 

34 

36 



Filtre 

récursif 

RII simple 

x[n] 



y[ 

n] 

y[ 

n] 

Σ Σ Σ 

b 3 b 2 b 1 

H[ 

z] 

z -1 

z -1 

−1 

−2 

−3 

= x[ 

n] 

+ ( b1z 

+ b2z 

+ b3z 

) 

−1 

−2 

−3 

( 1− 

b z − b z − b z ) = x 

1 

y[ 

n] 

= = 

x[ 

n] 

1− 

b z 

2 

1 

−1 

3 

1 

− b z 

2 

−2 

[ n] 

− b 



3 

y[ 

n] 

Filtre récursif combinaison RIF et RII du second ordre. 

x[n] 

Σ Σ 

z -1 

z -1 

x[n-2] 

x[n-1] 

a 0 

a 1 

a 2 

y[ 

n] 

= b1y[ 

n −1] 

+ b2y[ 

n − 2] 

+ a x[ 

n] 

+ a1x[ 

n −1] 

+ a 2x[ 

n − 2] 

y[ 

n] 

a 0 + a z + a 

H[ 

z] 

= = 

x[ 

n] 

1− 

b − b 

−1 

1 

−1 

1z 

Σ 

0 

−2 

2z 

−2 

2z 

Σ 

b 1 

b 2 

z 

z -1 

z -1 

−3 

y[n-2] 

y[n-1] 

z -1 

y[n] 

y[n] 

35 

37



x[n] 

x[n] 

Filtre récursif combinaison 

RIF et RII du second ordre 

z -1 

z -1 

x[n-2] 

x[n-1] 

a 0 

a 1 

a 2 

Σ 

Σ 



Σ Σ 

Σ 

b 1 

b 2 

w[n] 

z -1 

z -1 

w[n-2] 

Σ 

Σ 

w[n-1] 

a 0 

a 1 

a 2 

b 1 

b 2 

Σ 

z -1 

z -1 

y[n-2] 

y[n-1] 

y[n] 

y[n] 

38 

40 



y[ 

n] 

w[ 

n] 

H[ 

z] 

= 

= 

= 

x[n] 

Σ 

Σ 



b 1 

b 2 

z -1 

z -1 

w[n-2] 

w[n-1] 

z -1 

z -1 

w[n-2] 

w[n-1] 



Filtre récursif combinaison RIF et RII du second ordre. 

−1 

−2 

( a 0 + a1z 

+ a 2z 

) w 

−1 

−2 

x[ 

n] 

+ ( b z + b z ) 

y[ 

n] 

x[ 

n] 

1 

x[n] 

a 0 + a z + a z 

= 

1− 

b − b 

2 

−1 

1 

−1 

1z 

[ n] 

w[ 

n] 

−2 

2 

−2 

2z 

Σ Σ 

Σ 

b 1 

b 2 

w[n] 

z -1 

z -1 

w[n-2] 

a 0 

a 1 

a 2 

w[n-1] 

a 0 

a 1 

a 2 

Σ 

Σ 

Σ 

y[n] 

39 

y[n] 

41


x[n] 



Filtre récursif d’ordre 4 utilisant en cascade deux combinaisons 

RIF et RII du second ordre. 

Σ Σ 

Σ 

b 1 

b 2 

z -1 

z -1 

a 0 

a 1 

a 2 

Σ 

Σ Σ 

Σ 

b 1 

b 2 

z -1 

z -1 

1 2 

y[ 

n] 

a 0 a1z 

a 2z 

H[ z] 

1 2 

x[ 

n] 

1 b1z 

b2z 

⎟ − − 

⎛ + + ⎞ 

= = ⎜ 

− − 

⎝ − − ⎠ 

Filtres à Moyenne Mobile 

(RIF) 

Signaux & Systèmes - M1 Physique - 

LPSC/UJF - F.Montanet 

2 

a 0 

a 1 

a 2 

Σ 

y[n] 

42 





Forme dite canonique directe: 

b10 b20 bn0 

Filtres à Moyenne Mobile 

Le filtrage à moyenne mobile est d’usage courrant 

et il est simple à concevoir et à utiliser. 

C’est un filtre bien adapté à la réduction de bruit 

de signaux encodé en temps. 

Il est en revanche très peu efficace dans le domaine 

fréquentiel notamment pour la séparation de fréquence. 

Il existe des variantes de ce type de filtre plus performantes 

dans le domaine fréquentiel, tels que les filtres à moyenne 

mobile Gaussiens, de Blackman et à passes multiples. 

43 

45



Implémentation par convolution 

Calcul de la moyenne mobile : 

Variante symétrique / k : 

Noyau pour la convolution 

(par exemple sur 5 points): 

y[ 

k] 

= 

1 

M 

∑ − M 1 

i= 

0 

1 

y[ 

k] 

= 

2M 

+ 1 

x[ 

k + i] 

M 

∑ 

i= 

−M 

x[ 

k + i] 

… , 0, 

0, 

1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0, 

0, 

… 

5 5 5 5 5 

100 'MOVING AVERAGE FILTER 

110 'This program filters 5000 samples with a 101 point moving 

120 'average filter, resulting in 4900 samples of filtered data. 

130 ' 

140 DIM X[4999] 'X[ ] holds the input signal 

150 DIM Y[4999] 'Y[ ] holds the output signal 

160 ' 

170 GOSUB XXXX 'Mythical subroutine to load X[ ] 

180 ' 

190 FOR I% = 50 TO 4949 'Loop for each point in the output signal 

200 Y[I%] = 0 'Zero, so it can be used as an accumulator 

210 FOR J% = -50 TO 50 'Calculate the summation 

220 Y[I%] = Y[I%] + X(I%+J%] 

230 NEXT J% 

240 Y[I%] = Y[I%]/101 'Complete the average by dividing 

250 NEXT I% 

260 ' 

270 END 

Réponse en fréquence 

Le noyau du filtre à moyenne mobile est une fonction créneau. 

Sa TF est une fonction sinc : 

H[ 

f ] 

sin[ πfM] 

= 

M sin[ πf 

] 

46 

48 



Filtrage de bruit blanc 

On peut montrer que le filtrage à moyenne mobile est la méthode optimale parmi 

tout les filtres linéaires pour la réduction de bruit tout en préservant au mieux 

les sauts du signal. 

11 points 

51 points 

Filtre à moyenne mobile multi-passes. 

47 

49


Filtre à moyenne mobile à fenêtre 

Gaussienne ou de Blackman 

Filtres à Fenêtres 

Cours DSP 

50 



Implémentation par récursivité 

Calcul de la moyenne mobile par récursion : 

y[ 

i] 

= y[ 

i −1] 

+ x[ 

i + M] 

− x[ 

i − M −1] 

100 'MOVING AVERAGE FILTER IMPLEMENTED BY RECURSION 

110 'This program filters 5000 samples with a 101 point moving 

120 'average filter, resulting in 4900 samples of filtered data. 

130 'A double precision accumulator is used to prevent round-off drift. 

140 ' 



170 DEFDBL ACC 'Define the variable ACC to be double precision 

180 ' 


200 ' 

210 ACC = 0 'Find Y[50] by averaging points X[0] to X[100] 

220 FOR I% = 0 TO 100 

230 ACC = ACC + X[I%] 

240 NEXT I% 

250 Y[50] = ACC/101 

260 ' 'Recursive moving average filter 

270 FOR I% = 51 TO 4949 

280 ACC = ACC + X[I%+50] - X[I%-51] 

290 Y[I%] = ACC/101 

300 NEXT I% 

310 ' 

320 END 

Nota bene: bien que cette implémentation soit récursive, ce filtre est à réponse 

impulsionnelle finie RIF 

Filtres à Fenêtre 

Les filtres à fenêtre (comprendre fenêtre fréquentielle) 

sont utilisés pour séparer différentes fréquences. 

Ils peuvent atteindre des niveaux de performances 

extrêmement poussés dans le domaine fréquentiel. 

Ils sont en revanche mal adaptés pour conserver la forme des 

signaux dans le domaine temporel, avec des effets 

d’overshoot et d’oscillation assez désastreux. 

Ils peuvent être facilement implémentés par le calcul de la 

convolution, mais cette méthode est coûteuse en temps de 

calcul. Il est en revanche possible de les réaliser très 

efficacement en utilisant la FFT. 

51 

53



Noyau de filtre 

idéal, 

fenêtre 

spectrale ou 

fonction sinc. 


tronqué 

On rajoute un 

filtre avec fenêtre 

de Hamming ou 

Blackman 


adouci et rendu 

fini par la fenêtre 

Hanning: 

Bartlett: 

Stratégie des filtres à fenêtre 

Autres fenêtres 

Ondulations, 

conséquence de 

la troncature 

⎧0. 5 + 0. 

5cos( 

2πk 

/ M) 

pour k ≤ M / 2 

w[ 

k] 

= ⎨ 

⎩0 

ailleurs 

⎧2k 

/ M pour - M/2 ≤ k < 0 

⎪ 

w[ k] 

= ⎨1 

− 2k 

/ M pour 0 ≤ k ≤ M / 2 ( fonction triangle) 

⎪ 

⎩0 

ailleurs 

Ondulations 

atténuées mais 

zone de transition 

élargie 

Hamming : atténuation 20% plus rapide que Blackman mais atténuation plus faible. 

Atténuation Largeur de transition Ondulations 

(/Hamming) de bande passante 

Blackman -74dB 0.02% 0.80 0.02% 

Hamming -53dB 0.2% 1 (ref) 0.2% 

Hanning -44dB 0.63% ~1 

Barlett -25dB 5.6% ~1 

Rectangle (ou sans fenêtre) -21dB 8.9% 0.25 

54 

56 



Hamming: 

Blackman: 

Fenêtre de Hamming et de Blackman 

( 1− 

α) 

⎧α + cos( 2πk 

/ M) 


w[ 

k] 

= ⎨ 

⎩0 

ailleurs 

avec α = 0.54 

⎧α + ( 1− 

α + β) 

cos( 2πk 

/ M) 

− βcos( 

4πk 

/ M) 


w[ 

k] 

= ⎨ 

⎩0 

ailleurs 

Synthèse de filtre à fenêtre 

La formule complète pour le noyau d’un filtre fenêtre de Blackman 

sin( 

2πfC 

( k − M / 2) 

) ⎛ 

⎛ 2πk 

⎞ ⎛ 4πk 

⎞⎞ 

h[ i] 

= K 

⎜0. 

42 − 0. 

5cos⎜ 

⎟ + 0. 

08cos⎜ 

⎟⎟ 

k − M / 2 ⎝ 

⎝ M ⎠ ⎝ M ⎠⎠ 

55 

57



Implémentation d’un 

filtre fenêtre de 

Hamming, filtrant 5000 

points avec un noyau de 

101 points de longueur 

(M=100) et produisant 

4900 échantillons filtrés. 

Hautes performances ! 


100 'LOW-PASS WINDOWED-SINC FILTER 

110 'This program filters 5000 samples with a 101 point windowed-sinc filter, 

120 'resulting in 4900 samples of filtered data. 

130 ' 



160 DIM H[100] 'H[ ] holds the filter kernel 

170 ' 

180 PI = 3.14159265 

190 FC = .14 'Set the cutoff frequency (between 0 and 0.5) 

200 M% = 100 'Set filter length (101 points) 

210 ' 


230 ' 

240 ' 'Calculate the low-pass filter kernel 

250 FOR I% = 0 TO 100 

260 IF (I%-M%/2) = 0 THEN H[I%] = 2*PI*FC 

270 IF (I%-M%/2) 0 THEN H[I%] = SIN(2*PI*FC * (I%-M%/2)) / (I%-M%/2) 

280 H[I%] = H[I%] * (0.54 - 0.46*COS(2*PI*I%/M%) ) 

290 NEXT I% 

300 ' 

310 SUM = 0 'Normalize the low-pass filter kernel for 

320 FOR I% = 0 TO 100 'unity gain at DC 

330 SUM = SUM + H[I%] 

340 NEXT I% 

350 ' 

360 FOR I% = 0 TO 100 

370 H[I%] = H[I%] / SUM 

380 NEXT I% 

390 ' 

400 FOR J% = 100 TO 4999 'Convolve the input signal & filter kernel 

410 Y[J%] = 0 

420 FOR I% = 0 TO 100 

430 Y[J%] = Y[J%] + X[J%-I%] * H[I%] 

440 NEXT I% 

450 NEXT J% 

460 ' 

470 END 


Obtenu en convoluant un filtre fenêtre par lui même. 

58 

60 



Implémentation d’un filtre fenêtre passe-bande. 

100 'BAND-PASS WINDOWED-SINC FILTER 

110 'This program calculates an 801 point band-pass filter kernel 

120 ' 

130 DIM A[800] 'A[ ] workspace for the lower cutoff 

140 DIM B[800] 'B[ ] workspace for the upper cutoff 

150 DIM H[800] 'H[ ] holds the final filter kernel 

160 ' 

170 PI = 3.1415926 

180 M% = 800 'Set filter kernel length (801 points) 

190 ' 

200 ' 'Calculate the first low-pass filter kernel via Eq. 16-4, 

210 FC = 0.196 'with a cutoff frequency of 0.196, store in A[ ] 

220 FOR I% = 0 TO 800 

230 IF (I%-M%/2) = 0 THEN A[I%] = 2*PI*FC 

240 IF (I%-M%/2) 0 THEN A[I%] = SIN(2*PI*FC * (I%-M%/2)) / (I%-M%/2) 

250 A[I%] = A[I%] * (0.42 - 0.5*COS(2*PI*I%/M%) + 0.08*COS(4*PI*I%/M%)) 

260 NEXT I% 

270 ' 

280 SUM = 0 'Normalize the first low-pass filter kernel for 


300 SUM = SUM + A[I%] 

310 NEXT I% 

320 ' 

330 FOR I% = 0 TO 800 

340 A[I%] = A[I%] / SUM 

350 NEXT I% 

360 ' 'Calculate the second low-pass filter kernel via Eq. 16-4, 

370 FC = 0.204 'with a cutoff frequency of 0.204, store in B[ ] 

380 FOR I% = 0 TO 800 

390 IF (I%-M%/2) = 0 THEN B[I%] = 2*PI*FC 

400 IF (I%-M%/2) 0 THEN B[I%] = SIN(2*PI*FC * (I%-M%/2)) / (I%-M%/2) 

410 B[I%] = B[I%] * (0.42 - 0.5*COS(2*PI*I%/M%) + 0.08*COS(4*PI*I%/M%)) 

420 NEXT I% 

430 ' 

440 SUM = 0 'Normalize the second low-pass filter kernel for 


460 SUM = SUM + B[I%] 

470 NEXT I% 

480 ' 

490 FOR I% = 0 TO 800 

500 B[I%] = B[I%] / SUM 

510 NEXT I% 

520 ' 

530 FOR I% = 0 TO 800 'Change the low-pass filter kernel in B[ ] into a high-pass 

540 B[I%] = - B[I%] 'filter kernel using spectral inversion (as in Fig. 14-5) 

550 NEXT I% 

560 B[400] = B[400] + 1 

570 ' 

580 ' 

590 FOR I% = 0 TO 800 'Add the low-pass filter kernel in A[ ], to the high-pass 

600 H[I%] = A[I%] + B[I%] 'filter kernel in B[ ], to form a band-reject filter kernel 

610 NEXT I% 'stored in H[ ] (as in Fig. 14-8) 

620 ' 

630 FOR I% = 0 TO 800 'Change the band-reject filter kernel into a band-pass 

640 H[I%] = -H[I%] 'filter kernel by using spectral inversion 

650 NEXT I% 

660 H[400] = H[400] + 1 

670 ' 'The band-pass filter kernel now resides in H[ ] 

680 END 

Filtres à réponse arbitraire 

Cours signaux et systèmes 

M1 physique 

2004-2005 

F. Montanet UJF 

59



Filtres à Fenêtre 

Les filtres classiques sont passe-haut, passe-bas, passe-bande, 

coupe-bande. Il est possible de construire des filtres 

numériques ayant une réponse fréquentielle 

arbitrairement choisie. 

C’est un des domaines d’application ou les techniques DSP 

excellent. 

Les applications typiques de ce genre de filtre sont: 

la déconvolution, permettant de restaurer un signal 

ayant subit des distorsions de spectre connu, 

le filtrage optimal utilisé dans la séparation de signaux 

dont les spectres fréquentielles se recouvrent. 

Effet de la longueur du noyau 

M = 10 M = 30 

M = 100 M = 300 M = 1000 

62 

64 



Réponse 

impulsionnelle 

obtenue par TFD 

inverse (avec 

repliement) 

Noyau du filtre 

obtenue par 

troncature à M, 

décalage de M/2 

et multiplication 

par une fenêtre 

de Hamming. 

Stratégie du filtrage à réponse arbitraire 

Domaine Temporel Domaine Fréquentiel 

Troncature, 

décalage, 

fenêtrage 

TFD -1 

Exemple d’un signal à déconvoluer 

Réponse 

fréquentielle 

souhaitée. 

Réponse 


réalisée. 

Détection de rayons gamma par un scintillateur. 

Le dépôt d’énergie est quasi instantané, mais l’émission de lumière de 

scintillation par le cristal suit une loi de décroissance exponentielle. Le photodétecteur 

(photomultiplicateur) et l’électronique associée ont aussi une 

fonction de transfert qui n’est pas neutre. Le signal résultant de l’interaction 

d’un gamma à une forme bien caractéristique qui est la réponse impulsionelle 

du système. 

63 

65



Exemple d’un signal à déconvoluer 

Détection de rayons gamma par un scintillateur. 

Signal détecté 

correspondant à 

l’arrivée de plusieurs 

rayons gamma de 

même énergie. 

Signal après filtrage 

de déconvolution. 

Déconvolution à l’aveugle 

Cas délicat ou l’on ne connaît pas la réponse impulsionnelle du système. 

Exemple, restauration de vieux enregistrements: 

66 

68 



Obtention du noyau de déconvolution 

Domaine temporel : 

f ⊗ g = h 

Réponse 


du détecteur 

Réponse 


désirée 

Noyau du filtre 

obtenue par TFD 

inverse du 

spectre (f) 

TFD 

TFD 

TFD -1 

Filtrage optimal 

Domaine fréquentiel : 

G = H / F 

division 

Problème typique : sortir un signal d’un bruit blanc aléatoire. 

Réponse 


correspondante 

Réponse 


correspondante 

Réponse 


nécessaire 

obtenue par 

division des 

spectres (b) et (d) 

67 

69


Exemples de filtres optimaux : 


Moyenne mobile : 

Noyau = créneau. 

Optimise la réponse indicielle pour un niveau 

de réduction du bruit donné 

Filtrage miroir ou autocorrélation : 

Noyau = image symétrique du signal 

recherché. 

Optimise le rapport signal/bruit en 

amplitude au pic 

Filtre de Wiener 

Discrimination fréquentielle: 

2 

S[ 

f ] 

H[ 

f ] = 2 2 

S[ 

f ] + B[ 

f ] 

Optimise le rapport signal/bruit en 

puissance. 

70 


Exemples de filtres optimaux : 


Moyenne mobile : 

Autocorrélation : 

Wiener : 

71

Transformation en Z - LPSC

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