La Transformée de Fourier - LPSC

Les Transformées du
Traitement du Signal
Cours signaux et systèmes
M1 physique
Transformées de Fourier
Cours signaux et systèmes
M1 physique
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Transformée de Fourier
Définition
Échantillonnage et périodisation
Signaux de durée limitée et signaux périodiques
Signaux échantillonnés de durée limitée
Signaux discrets
Transformée de Laplace
Définition
Relation avec la transformée de Fourier
Transformée en Z
Les transformées du TS
Définition
Relation avec la transformée de Fourier
Relation avec la transformée de Laplace
La Transformée de Fourier
Pour les signaux à énergie finie
vérifiant :
La transformée de Fourier donne le spectre en fréquence
de x(t) :
Le spectre X( f ) est une fonction à valeur complexe :
2
4

Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
La Transformée de Fourier
Le spectre X(f) est une fonction à valeur complexe :
Forme polaire du spectre X(f) :
Linéarité :
Parité :
Quelques propriétés de la TF
x(t)
Réelle et paire
Réelle et impaire
Imaginaire et paire
Imaginaire et impaire
Complexe et paire
Complexe et impaire
Réelle quelconque
Imaginaire quelconque
Partie réelle paire et partie
imaginaire impaire
Partie réelle impaire et
partie imaginaire paire
X( f )
Réelle et paire
Imaginaire et impaire
Imaginaire et pair
Réelle et paire
Complexe et paire
Complexe et impaire
Partie réelle paire et partie
imaginaire impaire
Partie imaginaire paire et
partie réelle impaire
Réelle
Imaginaire
5
7
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La Transformée de Fourier Inverse
TF -1
Inversibilité :
Similitude :
x(t) peut donc être interprété comme
une somme d’harmoniques pures
Quelques propriétés de la TF
6
8

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Translation :
Quelques propriétés de la TF
x
-T/2 T/2
x
T
t
t
ReX
ReX
f f
Quelques propriétés de la TF
Identité de Parseval :
f
ImX
ImX
Densité Spectrale d’Énergie
f
9
11
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Quelques propriétés de la TF
Translation en
fréquence
ou modulation :
x(t)
t
x(t) cos(2πf p)
t
|X|
|X mod |
TF et Convolution
Convolution continue
TF
Convolution discrète
TF
f
f
10
12

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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
A
Quelques signaux et leur TF
Séries de Fourier complexe
13
15
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Tout signal périodique (T) de puissance finie peut être décomposé
en une somme de sinus et de cosinus.
Continu / Fondamental / harmoniques
Signal créneau :
Séries de Fourier
Temporel : Fréquentiel :
A n =0
1(4/π)
1+ 3 (4/3π)
1+ 3+5 (4/5π)
1+ 3+ 5 + 7 (4/7π)
T=5τ Regraduons l ’axe des n
en fréquence ...
14
16

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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Transformée de Fourier des signaux
continus périodiques
Signal périodique ⇔ Spectre discret
Du périodique au non-périodique
17
19
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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Et la puissance d’un signal périodique ?
Identité de Parseval
Densité Spectrale de Puissance
Transformée de Fourier
des signaux continus
18
20

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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Module / Argument
Parties réelle & imaginaire
amplitude
amplitude
1
0.5
0
-0.5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Représentation de la TF
|X(ω)|
Arg(X(ω))
représentation des signaux en temps
-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
temps (sec)
représentation des signaux en fréquence
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
fréquence (Hz)
21
23
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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
amplitude
amplitude
1
0.5
0
-0.5
représentation des signaux en temps
-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
temps (sec)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
amplitude
amplitude
représentation des signaux en fréquence
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
fréquence (Hz)
1
0.5
0
-0.5
représentation des signaux en temps
-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
temps (sec)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
représentation des signaux en fréquence
0
0 5 10 15
fréquence (Hz)
20 25 30
22
24

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0.4
0.2
0
amplitude
amplitude
1
0.5
représentation des signaux en temps
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
temps (µsec)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
représentation des signaux en fréquence
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
fréquence (MHz)
[e]
-0.2
0 50
t (ms)
100
(dB)
50
40
30
20
10
DFT
PSD [e]
0
0 1 2 3 4 5
f (kHz)
25
27
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amplitude
Énergie (dB)
2
1
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
temps (µsec)
10
0
-10
-20
-30
représentation des signaux en temps
représentation des signaux en fréquence
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
fréquence (MHz)
et l'énergie d'un signal ?
Identité de Parseval :
Densité Spectrale d’Énergie
26
28

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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Transformée de Fourier & Systèmes
Un SLTI va être caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t)
La transformée de Fourier de h(t) donne la réponse en fréquence du système H(f)
TF TF TF
L’inverse est aussi vrai
Fréquence d’échantillonnage Fe =1/Te La transformée de Fourier est discrète et donne un spectre périodique
Le spectre est représenté de 0 à Fe ou de -Fe /2 à Fe /2
Remarque : pour des signaux discrets, on pose T e = 1 = F e, (et n = t)
0
x e (t)
Transformée de Fourier
des signaux échantillonnés
NTe
t
TF
0
|X(f)|
1
Te
f
29
31
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Bande passante et largeur de bande
Bande passante
Caractérise un système
Module de la rép. en fréquence
Définie à −3 dB soit Gainmax /√2
ou Pmax /2.
Largeur de bande
Caractérise un signal
Densité Spectrale
Espace des fréquences utiles !
TF des signaux échantillonnés périodiques
Fréquence d’échantillonnage F e = 1/T e ,
Période du signal NT e , Fréquence du signal F = 1/NT e
La transformée de Fourier est discrète et donne un spectre périodique et discret
Le spectre est constitué de N raies, il est représenté de 0 à Fe ou de -Fe /2 à Fe /2
Remarque : pour des signaux discrets, on pose T e = 1 (et n = t)
x e (t)
0 NT e 2NTe
Transformée
de Fourier
X e (f)
0 1
NTe 1
T e
f
30
32

Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Échantillonnage idéal...
⇒ Transformée de Fourier...
... périodisation en fréquence.
Du continu au discret, on
échantillonne
Échantillonnage temporel ⇔ Périodisation en fréquence
Échantillonnage en fréquence ⇔ Périodisation temporelle
x e (t)
TF en Temps Discret
(TFTD)
0 NT t 0
1
f
Périodisation
T
x (t) Te
Transformée
de Fourier Discrète
(TFD)
X (f) e
Echantillonnage
en fréquence
0 NT 2NT
0
X(f)
1
NT
1
T
f
33
35
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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
x(t)
Périodisation
Transformée de
Fourier
(TF)
0 T t f
x T (t)
0 T 2T
Série de
de Fourier
0
X(f)
X e (f)
Et le numérique ?
Un signal numérique est fini (N points).
Pour faire sa TF, on le périodise implicitement
On rajoute éventuellement des zéros (Nz),
pour avoir une TF sur (N+Nz) points.
1
T
2
T
Echantillonnage
en fréquence
f
34
36

Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
TF complexe / réelle
Transformation de Fourier (TF)
Analyse :
X
TF complexe TF réelle
Synthèse :
Synthèse :
+∞
j ωt x()
t = ∫ X(
ω)
e dω
−∞
+∞
x()
t = ∫ Re X(
ω)
cos( ωt)
0
− ImX(
ω)
sin( ωt)
dt
+∞
1
− jωt
ω
π ∫ e dt
2 −∞
( ) = x()
t
Domaine en temps :
x(t) est complexe, continu et apériodique
t va de -∞ à+∞
Domaine fréquentiel :
X(ω) est complexe, continue et apériodique
ω va de -∞ à+∞
Fréquences positives de ω > 0
Fréquences négatives de ω < 0
X
1
( ) ∑ +∞
ω =
2π
n=
−∞
Analyse :
X
+∞
1
− jωt
ω e dt
( ) = ∫ x()
t
π
−∞
Domaine en temps :
x(t) est réel, continu et apériodique
t va de -∞ à+∞
Domaine fréquentiel :
X(ω) est complexe, continue et apériodique
ω va de 0 à +∞
TFDT complexe / réelle
Transformation de Fourier à Temps Discret (TFDT)
Synthèse :
Analyse :
TFDT complexe TFDT réelle
x[
n]
=
2π
∫ X(
ω)
e
0
jωn dω
x[
n]
e
− jωn
Domaine en temps :
x[n] est complexe, discret et apériodique
n va de -∞ à+∞
Domaine fréquentiel :
X(ω) est complexe, continue et périodique
ω parcours une seule période de 0 à 2π
Fréquences positives de ω = 0 à ω = π
Fréquences négatives de ω = π à ω = 2π
Synthèse :
Analyse :
x[
n]
X
π
= ∫
0
Re X
− Im X
1
( ) ∑ +∞
ω =
π n=
−∞
( ω)
cos( ωn)
( ω)
sin( ωn)
dω
x[
n]
e
− jωn
Domaine en temps :
x[n] est réel, discret et apériodique
n va de -∞ à+∞
Domaine fréquentiel :
X(ω) est complexe, continue et périodique
ω parcours une demi période de 0 à π
37
39
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Série de Fourier complexe / réelle
Séries de Fourier ou transformation en fréquences réduites
Synthèse :
x
Analyse :
() ∑ +∞
t =
k=
−∞
1
X[
k]
=
T
complexe réelle
T
X[
k]
e
∫ x()
t e
0
j2πkt
/ T
− j2πkt
/ T
Domaine en temps :
x(t) est complexe, continu et périodique
t parcours une période de 0 à T
Domaine fréquentiel :
X[k] est complexe, discret et apériodique
k va de -∞ à+∞
Fréquences positives de k > 0
Fréquences négatives de k < 0
1
X[
k]
=
N
∑ − N 1
n=
0
dt
Synthèse :
x()
t = ∑ Re X[
k]
cos(
2πkt
/ T)
k 0
− ImX[
k]
sin(
2πkt
/ T)
+∞
=
Analyse :
2
X[
k]
=
T
T
∫ x()
t e
0
− j2πkt
/ T
Domaine en temps :
x(t) est réel, continu et périodique
t parcours une période de 0 à T
Domaine fréquentiel :
X[k] est complexe, discret et apériodique
k va de 0 à +∞
NB: Avant synthèse, il faut diviser la valeur de ReX[0]
par deux.
TFD complexe / réelle
Transformation de Fourier Discrète (TFD)
Synthèse :
x[
n]
=
Analyse :
TFD complexe TFD réelle
∑ − N 1
k=
0
X[
k]
e
j2πkn
/ N
x[
n]
e
− j2πkn
/ N
Domaine en temps :
x[n] est complexe, discret et périodique
n parcours une période, de 0 à N-1
Domaine fréquentiel :
X[k] est complexe, discret et périodique
k parcours une période de 0 à N-1
Fréquences positives de k = 0 à k=N/2
Fréquences négatives de N/2 à N-1
Synthèse :
Analyse :
x[
n]
N / 2
= ∑
k=
0
2
X[
k]
=
N
dt
Re X[
k]
cos( 2πkn
/ N)
− Im X[
k]
sin( 2πkn
/ N)
∑ − N 1
n=
0
x[
n]
e
− j2πkn
/ N
Domaine en temps :
x[n] est réel, discret et périodique
n parcours une période, de 0 à N-1
Domaine fréquentiel :
X[k] est complexe, discret et périodique
k parcours une demi période de 0 à N/2
NB: Avant synthèse, il faut diviser les valeurs de ReX[0]
et ReX[N/2] par deux.
38
40

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x[
i]
avec:
Re X[
k]
Re X[
k]
= pour k ≠ 0 et
N / 2
Re X[
0]
Re X[
0]
=
N
Re X[
N / 2]
Re X[
N / 2]
=
N
et :
Im X[
k]
=
+
N / 2
∑
k=
0
N / 2
∑
k=
0
Re X[
k]
cos( 2πki
/ N)
Im X[
k]
sin( 2πki
/ N)
ImX[
k]
= −
N / 2
TFD réelle
TFD réelle : TFD réelle
inverse :
k ≠
N / 2
Re X[
k]
=
N−1
∑
i=
0
Im X[
k]
= −
x[
i]
cos( 2πki
/ N)
N−1
∑
i=
0
x[
i]
sin( 2πki
/ N)
• Asymétrique
• Cas particulier de k=0 et k=N/2
• Mathématiquement peu pratique
Transformation de Laplace
Cours signaux et systèmes
M1 physique
41
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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
TFD complexe :
X[
k]
=
=
=
−
1
N
N−1
∑
k=
0
N−1
∑
k=
0
N−1
∑
k=
0
N−1
∑
n=
0
x[
n]
e
TFD complexe
− j2πkn
/ N
TFD complexe inverse :
x[
n]
X[
k]
e
Re X[
k]
j2πkn
/ N
Im X[
k]
=
1
N
N−1
∑
n=
0
x[
n]
( cos(
2πkn
/ N)
+ jsin(
2πkn
/ N)
)
( sin(
2πkn
/ N)
− jcos(
2πkn
/ N)
)
( cos(
2πkn
/ N)
− jsin(
2πkn
/ N)
)
Transformation de Laplace
La définition mathématique rigoureuse
de la transformée de Laplace est la suivante:
42
44

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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Transformation de Laplace
Analyse non plus seulement en terme de composantes fréquentielles,
mais en termes de sinusoïdes et d’exponentielles
TF:
TL:
Le plan complexe ou domaine s
Exponentielles
décroissantes
jω
s
Exponentielles
croissantes
σ
45
47
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Le plan complexe ou domaine s
jω
s
σ
NB: on trouve souvent la variable complexe notée p au lieu de s
dans les ouvrages francophones
46
Le plan complexe ou domaine s
jω
s
Fréquences
positives
σ
Fréquences
négatives
48

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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Le plan complexe ou domaine s
A
A’
Domaine s Signaux associés
B
B’
C
C’
Transformation de Laplace
Domaine temporel
Domaine Fréquentiel Domaine s
TF TL
49
51
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
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1 ère étape:
Signal dans le domaine temporel x(t)
2 ème étape:
Multiplication par e -σt
pour tout σ∈]−∞, ∞[
3 ème étape:
Calculer la TF de
chaque signal pondéré
par une exponentielle
4 ème étape:
Construire la TL dans le plan s
constituée d’une infinité de
spectres en fréquence juxtaposés
le long de l’axe σ
Analyse de Laplace
Relations entre Laplace et Fourier
-a
σ
ϕ
s=jω
50
52

Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
2) Impulsion de Dirac
aire sous la courbe = 1
Zéros et Pôles
Signaux Tests
53
55
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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
1) Échelon unitaire :
3) Rampe at
Signaux Tests
C’est également la fonction de transfert
d’un intégrateur pur.
Signaux Tests
54
56

Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
4) Exponentielle décroissante
Signaux Tests
Propriétés générales
57
59
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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Transformées Classiques
Propriétés générales
58
60

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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Théorèmes de la valeur initiale
et de la valeur finale
Théorème de la valeur finale :
Théorème de la valeur initiale :
Propriétés des systèmes linéaires
Superposition
décomposition et synthèse
décomposition synthèse
TF(réponse impulsionnelle) = fonction de
transfert
61
63
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Transformation de Laplace
& Systèmes Linéaires
Un système linéaire va être caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t)
La transformée de Fourier de h(t) donne la réponse en fréquence du système H(f)
On peut écrire (1) :
TF TF TF
Réponse impusionnelle
Convolution
L ’inverse est aussi vrai
Soit h(t) la réponse impulsionnelle du système invariant en
temps :
Par linéarité, (1) devient :
62
64

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Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Applications aux fonctions de transfert
des système linéaires
Entrée x(t) Sortie y(t)
H(s)
Système régit par une équation différentielle
de forme générale :
Vrai pour tout système linéaire invariant en temps.
De plus, pour un système physique
le degré du dénominateur est supérieur
à celui du numérateur : m 6 n
Fonction de transfert
La fonction de transfert, définie par la réponse impulsionnelle :
donc :
et la réponse temporelle du système s'obtient
donc par :
65
67
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Fonction de transfert
Cas de systèmes causals:
x(t) = 0 et y(t) = 0 et toutes les dérivées de x et de y pour t < 0
En prenant la TL de l'équation différentielle
on obtient:
Fonction de transfert
Cas de conditions initiales non-nulles :
on a des termes supplémentaires dus aux limites en 0+
dans les dérivations :
conditions initiales
même dénominateur que H(s)
P(s) est un polynôme
en s qui dépend des
conditions initiales
66
68

Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Applications aux fonctions de transfert
Equations différentielles linéaires
Considérons le système :
Entrée e(t) Sortie s(t)
Processus
dont le processus est régit par les équations différentielles suivantes:
d y
+ 5
dt
dy
+ 6y = e(t)
dt
Conditions initiales : dy
2
2
(0) = 2 et y(0) = 2
dt
A t = 0, on applique une entrée constante e(t) = 6. Que vaut y(t) ?
Application aux fonctions de
transfert
2
2
2s + 12s + 6 2s + 12s + 6
Y(s) =
=
2
s(s + 5s + 6) s(s + 3)(s + 2)
Décomposition en éléments simples :
2
2s + 12s + 6 a
Y(s) =
=
s(s + 3)(s + 2) s
+
b c
+
s + 3 s + 2
Pour trouver a, on multiplie les 2 membres de l’égalité par s et on fait s = 0
Pour trouver b, on multiplie les 2 membres de l’égalité par s + 3 et on fait s = -3
Pour trouver a, on multiplie les 2 membres de l’égalité par s + 2 et on fait s = -2
On trouve alors :
soit :
1 4 5
Y(s) = - +
s s + 3 s + 2
y
() t
= 1−
4e
− 3t
+
5e
−2t
69
71
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Application aux fonctions de
transfert
Appliquons les transformées de Laplace à :
2
d y dy
+ 5 + 6y
= e(t)
2
dt dt
On obtient :
s Y s 2s
2 5 sY s 2 6Y
s
2
− − + − + =
() ( () ) ( ) E(
s)
Conditions initiales :
e t = 6u(
t)
⇒ E s = 6
On en tire Y(s):
Y(s)=
() ( ) s
2s
2
s(s
+ 12s
+ 6
+ 5s
+ 6)
2
=
2s
2
+ 12s
+ 6
s(s+ 3)(s+
2)
Applications aux systèmes électriques
Soit u(t) la tension aux borne d'un composant, U(s) sa
TL, i(t) le courant qui le traverse et I(s) sa TL:
Résistance :
Capacité:
Inductance:
70
72

Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Signaux et systèmes - M1R Physique UJF F.Montanet
Applications aux systèmes électriques
R1
i(t)
x(t) R2
y(t)
C
i out =0
Zéros et Pôles
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Zéros et Pôles
Zéros Pôles
Zéros et Pôles
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Analyse de filtres dans le domaine s
Circuit Sallen-Key
Pôles en σ + jω
Transformation en z
Cours signaux et systèmes
M1 physique
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Analyse de filtres dans le domaine s
Relations entre Laplace et TZ
Transformée de Laplace de x[kT], signal échantillonné :
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Transformation en Z
La transformation en z reprend le formalisme et les propriétés de la
transformation de Laplace et les applique aux signaux discrets.
Transformée en Z = Transformée de Laplace
de la fonction échantillonnée avec z = e Ts ou T est la période d’échantillonnage.
Transformation de Laplace Transformation en Z
Exemple :
e(t)
1
1/2
t
Le plan ou domaine z
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Définition
Quelques propriétés
Linéarité
Décalage temporel :
Convolution :
Multiplication par série
exponentielle :
Transformée en Z
Somme de série... donc problèmes de convergence !
Propriétés de la transformées en Z
Retard :
Cette propriété est particulièrement importante. Elle donne
tout son intérêt à la TZ. En effet, la multiplication par z -1
correspond à la translation en temps d'un échantillon au
suivant :
Avance :
conditions initiales
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Propriétés de la transformées en Z
Conditions initiales et finales :
Convolution :
Exponentielle :
( )
Initiales : lim X z = lim x[ n]
z→0 n→0 n→∞ z→1 [ ( ) ( ) ]
Finales : lim xn [ ] = lim z−1X z
Soit
alors
n
∑
[ ] = [ − ] ⋅ [ ]
yn hn k xk
k = 0
( ) = ( ) ⋅ ( )
Y z H z X z
Transformées en Z
Sinus et Cosinus : TZ[
cos( at)
u(
t)
]
Signaux test élémentaires
(échelon unitaire, rampe,
paraboles, etc ...) :
TZ
−at
z
[ e u()
t ] = aT
TZ −
z − e
1
2!
1
n!
[ sin( at)
u(
t)
]
f
t
t
( z − cos( aT)
)
z
= 2
z − 2cos(
aT)
z + 1
zsin(
aT)
= 2
z − 2cos(
aT)
z + 1
() t L[
f () t ] Z[
f ( t)
]
u(
t)
tu(
t)
u(
t)
2
u(
t)
n
1
s
1
2
s
1
3
s
1
n+
s
1
z
z −1
Tz
2 ( z −1)
N2
() z
2 ( z −1)
Nn
() z
n ( z −1)
si ces limites existent
() z , N () z , N
() z
avec N2
3
polynômes en z
n
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Y(
z)
+ a Y(
z)
z
1
Transformées en Z
Échelon unitaire :
Rampe unitaire :
à démontrer
−1
+ ... + a
P
( )
z
TZ ⎡
⎣u() t ⎤
⎦ =
z −1
* −Ts −2Ts −3Ts
U s = 1+
e + e + e +
−T
comme e < 1, la série converge
⎛ 1 ⎞ 1 z
TZ ⎣
⎡u() t ⎦
⎤ = ⎜ ⎟ = =
⎝1−e ⎠ 1−z
z −1
Y(
z)
z
()
TZ ⎡
⎣tut⎤ ⎦ =
−M
= b
0
−Ts −1
Ts
z= e
Tz
( ) 2
z −1
Systèmes différentiels et TZ
La sortie y[n] et x[n] d’un système physique linéaire
échantillonné sont reliés par une équation aux différences :
y( n)
+ a1y(
n −1)
+ ... + a My(
n − M)
= b0x(
n)
+ b1x(
n −1)
+ ... + b Nx(
n − N)
y[
n]
=
M
∑
k=
0
a
k
x[n]
Système
y[n]
x[
n
− k]
+
N
∑
k=
1
b
k
y[
n
− k]
X(
z)
+ b X(
z)
z
1
Causal : N ≥ M
la sortie au temps nT dépend des valeurs des échantillons connu à ce
moment c.a.d x[n], x[n-1], x[n-2]… et y[n-1], y[n-2], … et des
caractéristiques du systèmes définies par les a k et b k (système linéaire
causal)
!
−1
+ ... + b
Q
X(
z)
z
−N
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88

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Fonction de transfert et Pôles
dans le domaine Z
En prenant la TZ et en utilisant les propriétés de linéarité et de translation en
temps, on obtient :
⎛ M ⎞ ⎛ M ⎞
−k −k
Y( z) ⎜1− bkz ⎟= X ( z) ⎜ akz ⎟
⎜ ∑ ⎟ ⎜∑ ⎟
⎝ k= 1 ⎠ ⎝ k=
0 ⎠
On défini la fonction de transfert H(z) qui ne dépend que des a k et b k et qui
résume les propriétés du systèmes :
Y( z) = H( z) X ( z)
Donc :
( )
( )
Y z
H( z)
= =
X z
1−
M
−k
∑ az k
k = 0
N
−k
∑bz
k
k = 1
Pôles dans le domaine Z
H ( z)
=
avec :
z = j /
z
2
1
= − j /
( z − z1)(
z − z2
)
( z − p )( z − p )
LC
LC
1
2
− R +
p1
=
2
R − 4L
/ C
2L
− R −
p2
=
2
R − 4L
/ C
2L
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Fonction de transfert et Pôles
dans le domaine Z
Fonction de transfert en z, un rapport de polynômes en z avec M ≤ N pour un
système physique.
M
−k
( ) ∑ az k
Y z k = 0
H( z)
= =
N
X ( z)
−k
1−∑
bz k
qui peut se mettre également sous la forme k = 1:
M
∏(
z−zi) P− M i=
1
H( z) = a0z N
∏(
z−pj) j=
1
Les zi sont les zéros et les pj sont les pôles du système.
Les zéros et les pôles décrivent le système à un facteur d’amplitude près a0 (gain
statique) et à un retard près zN-M avec N-M ≤ 0.
En particulier, on appellera
• filtres MA (à Moyenne Adaptée) les filtres n’ayant que des zéros (et des pôles en z = 0)
• filtres AR (Auto Régressifs) les filtres n’ayant que des pôles (et des zéros en z =0)
Relations entre TZ et Fourier
z = exp(j2pf) ⇒ on restreint z au cercle unité
X() z = x[]exp( k −j2 π f k) = X( f )
z = 1
+∞
∑
k=−∞
On retrouve la transformée
de Fourier discrète du signal
x[k], et sa périodicité
f=1/2
f=1/4
-1
Im(z)
1
f croissante
f=0
Re(z)
f=1
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k
s = r + j2π(
f + )
T
k = −∞,...,
0,...,
+∞
2πF e =2π/T
0
Im(s)=ω
, k entier
Re(s)=r
6πFe
4πFe
2πFe
0
-2πFe
-4πFe
-6πFe
Im(s)
Plan de Laplace
Plan de Laplace Plan des Z
0
Im(z)
1
Re(s)
f=0
f=1
Re(z)
Im(z)
Plan des Z
1
f=0
f=1
Re(z)
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Interprétation géométrique de la TZ
X() z
-a
1
=
z+ a
ρ
0
ϕ
Plan des Z
|a|