F(s) - LPSC

Système du 1 er ordre
1)Préparation (TD)
ANALYSES FREQUENTIELLES DES SYSTEMES
Travaux dirigés + Travaux pratiques
Un système du 1er ordre s'écrit de manière générale:
F(s)
X(s) K Y(s) K : gain statique,
1+
τs
τ : constante de temps.
Question 1: On met en entrée un échelon unitaire (X(s)=1/s). Retrouver à l'aide des transformées
inverses de Laplace, l'expression de y(t), réponse du système à cette entrée.
Question 2: Dans quels cas ce système peut-il être instable ?
Question 3: Tracer le squelette dans Bode pour K = 10 et τ = 1 (papier semi-logarithmique).
Question 4: Expression de la fonction de transfert en boucle fermée de ce système (retour
unitaire).
2)Travaux pratiques dans MatLab:
1) Modélisation dans Simulink : étudiez la réponse à un échelon
2) Avec Control System Toolbox :
a) Diagrammes de Bode, Nichols en boucle ouverte;
b) Diagramme de Bode du système en boucle fermée unitaire, discutez et comparez
aux résultats obtenus à partir de Nichols.
Système du 2 e ordre
1)Préparation (TD)
Question 1: Calculer la fonction de transfert en boucle fermée du système :
X(s)
+
F(s)
Y(s)
-
K 0
ou F(
s)
=
s(
1+
τ0
s)
Question 2:
a) Identifier votre résultat avec la fonction du 2nd K
ordre : T(
s)
=
2 2
1+
2z
τs
+ τ s
b) Que vaut le coefficient d'amortissement en fonction de 0 K et 0 τ ?
c) Que vaut la constante de temps en fonction de 0 K et 0 τ ?
d) Que vaut le coefficient de surtension en fonction de 0 K et 0 τ ?
2)Travaux pratiques dans MatLab:
Pour différentes valeurs de K0 et de τ0 à choisir astucieusement de façon à retrouver des
comportements soit amortis soit oscillatoires du système, réalisez :
1) Modélisation dans Simulink , étudiez la réponse à un échelon.
2) Avec Control System Toolbox :
a) Bode du système en boucle ouverte (F(s)) et en boucle fermée unitaire.
b) Nichols du système en boucle ouverte (F(s)). Nyquist en boucle fermée unitaire.
Etudier la stabilité, mesurer les marges de gain et les marges de phase.
1

Problème 1
Un ensemble amplificateur-moteur a été testé et l'on à déterminé expérimentalement la réponse
en fréquence du système. Cette réponse est donnée dans le diagramme de Bode donnée en
annexe 1. Une formalisation théorique a permis la détermination d'un modèle du type :
K
G(
s)
=
s(
1 + τ1s)(
1 + τ 2s)
1) Préparation (TD):
Retrouver à partir du diagramme de Bode (en annexe1) les valeurs de K, τ 1 et τ 2
2)Travaux pratiques dans MatLab:
1. Tracer le diagramme de Bode à partir des valeurs que vous avez trouvé (vérifiez avec le
modèle).
2. Etude du système en boucle fermée : tracé dans Nichols.
a. Bande passante à -6dB ?
b. Coefficient de surtension et fréquence de résonance ?
3. Gain à introduire en série pour obtenir un coefficient de surtension Q = 2
(20Log(2)=6dB).
( 1+
Ts)
4. Adjonction d'un système correcteur PD C(
s)
= P * avec P=100, T=0.03 et τ=0.001
1+
τs
5. Tracé dans Nichols, mesures des caractéristiques.
Problème 2
L'analyse harmonique expérimentale d'un système que l'on veut asservir a donné le diagramme
de Bode présentée en annexe 2, (courbe de la fonction de transfert en boucle ouverte). Une
formalisation théorique préalable a permis la détermination du modèle suivant :
K(
1+
τ1s)
G(
s)
=
2
s(
1+
τ2s)
1) Préparation (TD):
Retrouver les valeurs de K, τ 1 et τ 2 .
Tracer les squelettes du module et de la phase dans Bode.
Expliquer le rôle de K, τ 1 et τ 2 dans l'allure des courbes.
2)Travaux pratiques dans MatLab:
Idem problème n°1 mais avec le correcteur PID C ( s)
= P + Ds
+ I / s dont vous
déterminerez les paramètres d'après les prescriptions de Ziegler et Nichols (mesurez
les conditions au pompage limite Ku et Tu).
Problème 3
Idem problème n°2 mais avec le diagramme de l'annexe 3 et la fonction de transfert b.o.
K
G(
s)
=
( 1 + τ s)(
1 + τ s)(
1 + τ s)
1
2
3
2

Problème 4
Soit le circuit :
R1
i1
i i'=0
C1
i2 v1 C2
u
v2 R2
v
1) Tracer le schéma fonctionnel du système en utilisant le formalisme de Laplace, sachant que
ce schéma fonctionnel est du type suivant (identifier F1, F2, F3, F4 en fonction de R1, R2, C1,
C2) :
U(s)
+
On posera 1 = R1C1
-
F (s)
1
F 2 (s)
I1(s)
I2(s)
+
+
I(s)
τ , τ 2 = R 2C
2 , et 12 = R1C
2
τ .
F 3(s)
F 4(s)
V1(s)
+
V2(s)
2) En arrangeant le schéma bloc, mettre le schéma fonctionnel sous la forme :
U(s) +
V(s)
F(s)
-
+
V(s)
Montrer que l'on peut mettre la fonction de transfert en boucle fermée sous la
forme :
V(
s)
( 1 + τ1s)(
1 + τ1s)
, ,
H(
s)
= =
(trouver τ
, ,
1 et τ 2 ).
U(
s)
( 1 + τ1s)(
1 + τ2s)
3) On pose τ = . 1s,
τ = 0.
01s,
et τ = 0.
095s
. Tracer les squelettes de H(s) dans Bode.
1
0 2
12
4) Travaux pratiques dans MatLab:
• Simulation temporelle dans Simulink.
• Représentation fréquentielle (Bode, Nichols, Nyquist).
• Nouvelle expression de H(s) quand l'impédance de charge en sortie du circuit est non
infinie.
3

Problème 5
Soit le système mécanique suivant constitué d'un amortisseur (relié à un ressort) sur lequel on
applique une force F:
C P M
F
x y
M est la masse du cylindre C de l'amortisseur, k est la constante de raideur du ressort (masse du
ressort nulle), f est le coefficient de frottement visqueux entre le piston P et le cylindre C , x et y
sont les déplacements respectifs du piston et du cylindre à partir d'une position de repos.
Questions (TD)
• Ecrire les équations différentielles du système.
• Passer au formalisme de Laplace et trouver la fonction de transfert du système:
T ( s)
=
Y(
s)
X(
s)
Travaux pratiques dans MatLab:
• Modélisation dans Simulink : réponse temporelle
• Analyse fréquentielle : Bode, Nichols, Nyquist .
Problème 6
Soit le système mécanique suivant constitué de deux amortisseurs en série relié à un ressort.
Les masses des amortisseurs et du ressort sont négligées:
f1 f2
x y z
f1 et f2 sont les coefficients de frottement visqueux, k la constante de raideur du ressort, x y et z
sont les déplacements respectifs du premier piston, et des cylindres 1 et 2.
Questions (TD)
• Ecrire les équations différentielles du système.
• Passer au formalisme de Laplace et trouver la Transmittance:
T(
s)
=
Y(
s)
X(
s)
(on posera a
=
f
f
+ f
Travaux pratiques dans MatLab: Idem pb n°6
1
1
2
f 2
et b =
k
k
k
)
4