TD d'Analyse Spectrale 1 Spectre 2 La topologie d'un espace ...

5 Une propriété du calcul fonctionnel holomorphe
Soient A une algèbre de Banach et a, b ∈ A. Montrer que pour toute fonction holomorphe au
voisinage de Sp ab ∪ {0}, on a af(ba) = f(ab)a.
6 Groupe topologique des inversibles d’une algèbre de Banach
et exponentielle
Soit A une algèbre de Banach unifère. On note G = A × le groupe des éléments inversibles
de A et G1 la composante connexe de 1 dans G. On rappelle que sur une algèbre de Banach,
l’exponentielle est définie par le calcul fonctionnel holomorphe ou avec sa formule en série, de
façon équivalente (car la convergence de la série est uniforme sur tout compact).
1. (a) Montrer que si H est un groupe topologique d’unité e, alors la composante connexe
He de e dans H est un sous-groupe distingué. Montrer que si H ′ est un sous-groupe
de H qui contient un voisinage ouvert V de e, alors H ′ contient He.
(b) Montrer que G1 est le sous-groupe de G engendré par {exp(a), a ∈ A}. (On pourra
utiliser le théorème d’inversion locale pour les applications C 1 sur les ouverts d’espaces
de Banach, qui se formule de la même façon que dans les espaces de dimension
finie).
2. Soit x ∈ G. On va montrer que x est de la forme exp(a) si et seulement s’il existe un
sous-groupe connexe commutatif de G contenant x.
(a) Montrer le sens facile.
(b) Montrer qu’il existe un voisinage U de 0 dans A, un voisinage V de 1 dans A
contenu dans la boule B(1, 1), tels que exp : U → V est un difféomorphisme de
réciproque
ln : x ∈ V ↦→ (−1) n+1
(x − 1)
n
n .
n≥1
(c) Soit H un sous-groupe commutatif connexe de G contenant x. Montrer qu’il existe
n ≥ 0, y1, . . . , yn ∈ H ∩ V , ε1, . . . , εn ∈ {1, −1} tels que
(d) Conclure.
x = y ε1
1
· · · yεn
n .
3. Pour C partie de A, on note C ′ le commutant de C, i.e. l’ensemble des éléments de A
qui commutent avec tous les éléments de C. On note donc C ′′ le bicommutant de C, i.e.
le commutant de C ′ . Montrer que C ′ est une sous algèbre unifère fermée de A, et que
pour C1 ⊂ C2, on a C ′ 2 ⊂ C′ 1 et C′′ 1
n ≥ 0,
⊂ C′′
2 . Montrer que C ⊂ C′′ . Montrer que pour tout
C (2n+1) = C ′ et C (2n+2) = C ′′ .
Montrer que le bicommutant d’une partie commutative est commutatif.
4. Montrer que si 0 est dans la composante connexe non bornée de C − SpA(x), alors x est
de la forme exp(a).
5. On suppose A commutative. Montrer que tout élément de G/G1 est d’ordre infini.
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