TD d'Analyse Spectrale 1 Spectre 2 La topologie d'un espace ...

FIMFA, Avril 2006
Rachel Ollivier
TD d’Analyse Spectrale
Par défaut, les algèbres sont supposées unifères et complexes.
1 Spectre
-I-
1. Soit x un élément d’une algèbre de Banach unifère A tel que Sp A x = {1}. A-t-on x = 1 ?
2. Tout compact (non vide) de C est-il le spectre d’un élément d’une algèbre de Banach
unifère ?
2 La topologie d’un espace compact est codée dans l’algèbre
des fonctions continues
Soient X, Y des espaces topologiques compacts. On suppose qu’il existe un isomorphisme
(continu) d’algèbres entre les espaces de fonctions complexes (C(X), .∞) et (C(Y ), .∞).
Montrer que X et Y sont homéomorphes. Donner une condition simple sur l’algèbre C(X)
pour que X soit connexe.
3 Calcul de spectre
Soit A l’algèbre des fonctions de classe C 1 sur l’intervalle [0, 1]. On munit A de la norme
donnée par f = sup{|f(t)|, t ∈ [0, 1]} + sup{|f ′ (t)|, t ∈ [0, 1]}. Montrer que A est une
algèbre de Banach (commutative). Indiquer le spectre et la transformation de Gel’fand de A.
4 Calcul de spectre
Soit A = ℓ1 (Z) l’espace de Banach des suites (an)n∈Z
de nombres complexes telles que
|an| < +∞, muni de la norme . 1 définie par (an)n∈Z1 =
|an|.
n∈Z
1. Soient a et b deux éléments de A. Montrer que a ∗ b ∈ A et a ∗ b1 ≤ a1b1 ,
où pour a = (an)n∈Z et b = (bn)n∈Z on a posé a ∗ b = (cn)n∈Z avec cn =
akbn−k.
Montrer que A munie de la multiplication (a, b) ↦→ a ∗ b est une algèbre de Banach
commutative et unifère.
2. Soit B le sous-espace de A formé des suites (an)n∈Z telles que an = 0 si n < 0. Montrer
que B est une sous-algèbre fermée de A. Soit u = (un)n∈Z la suite définie par u1 = 1 et
un = 0 si n = 1. Calculer le spectre de u dans A et dans B.
3. En déduire les spectres des algèbres de Banach commutatives A et B.
1
n∈Z
k∈Z

5 Une propriété du calcul fonctionnel holomorphe
Soient A une algèbre de Banach et a, b ∈ A. Montrer que pour toute fonction holomorphe au
voisinage de Sp ab ∪ {0}, on a af(ba) = f(ab)a.
6 Groupe topologique des inversibles d’une algèbre de Banach
et exponentielle
Soit A une algèbre de Banach unifère. On note G = A × le groupe des éléments inversibles
de A et G1 la composante connexe de 1 dans G. On rappelle que sur une algèbre de Banach,
l’exponentielle est définie par le calcul fonctionnel holomorphe ou avec sa formule en série, de
façon équivalente (car la convergence de la série est uniforme sur tout compact).
1. (a) Montrer que si H est un groupe topologique d’unité e, alors la composante connexe
He de e dans H est un sous-groupe distingué. Montrer que si H ′ est un sous-groupe
de H qui contient un voisinage ouvert V de e, alors H ′ contient He.
(b) Montrer que G1 est le sous-groupe de G engendré par {exp(a), a ∈ A}. (On pourra
utiliser le théorème d’inversion locale pour les applications C 1 sur les ouverts d’espaces
de Banach, qui se formule de la même façon que dans les espaces de dimension
finie).
2. Soit x ∈ G. On va montrer que x est de la forme exp(a) si et seulement s’il existe un
sous-groupe connexe commutatif de G contenant x.
(a) Montrer le sens facile.
(b) Montrer qu’il existe un voisinage U de 0 dans A, un voisinage V de 1 dans A
contenu dans la boule B(1, 1), tels que exp : U → V est un difféomorphisme de
réciproque
ln : x ∈ V ↦→ (−1) n+1
(x − 1)
n
n .
n≥1
(c) Soit H un sous-groupe commutatif connexe de G contenant x. Montrer qu’il existe
n ≥ 0, y1, . . . , yn ∈ H ∩ V , ε1, . . . , εn ∈ {1, −1} tels que
(d) Conclure.
x = y ε1
1
· · · yεn
n .
3. Pour C partie de A, on note C ′ le commutant de C, i.e. l’ensemble des éléments de A
qui commutent avec tous les éléments de C. On note donc C ′′ le bicommutant de C, i.e.
le commutant de C ′ . Montrer que C ′ est une sous algèbre unifère fermée de A, et que
pour C1 ⊂ C2, on a C ′ 2 ⊂ C′ 1 et C′′ 1
n ≥ 0,
⊂ C′′
2 . Montrer que C ⊂ C′′ . Montrer que pour tout
C (2n+1) = C ′ et C (2n+2) = C ′′ .
Montrer que le bicommutant d’une partie commutative est commutatif.
4. Montrer que si 0 est dans la composante connexe non bornée de C − SpA(x), alors x est
de la forme exp(a).
5. On suppose A commutative. Montrer que tout élément de G/G1 est d’ordre infini.
2

7 Les extensions de corps de R
Soit A une algèbre de Banach unifère réelle.
1. Montrer qu’il existe une algèbre de Banach complexe AC dans laquelle A s’injecte comme
algèbre réelle.
2. Montrer que pour tout x ∈ A, il existe deux nombres réels a et b tels que (x − a) 2 + b 2
ne soit pas inversible dans A.
On suppose maintenant que A est un corps. Pour une algèbre de Banach A sur
C, cela implique que A C. Nous allons donner un analogue de ce résultat pour une
algèbre réelle.
3. Montrer que si l’application a ↦→ a1 n’est pas surjective de R sur A alors il existe un
élément i ∈ A tel que i 2 = −1. Montrer que si x ∈ A satisfait ix = xi alors il existe
a, b ∈ R tels que x = a + ib .
4. Notons α : A → A l’application x ↦→ −ixi. Montrer que α est un automorphisme de
l’algèbre A et que α ◦ α est l’identité de A.
Posons C = {x ∈ A, ix = xi} et D = {x ∈ A, ix = −xi}. Montrer que C ⊕ D = A.
Soit y ∈ D − {0}. Montrer que D = yC.
5. Montrer que A est isomorphe (en tant qu’algèbre de Banach) à R, C ou au corps des
quaternions H.
Rappel : le corps des quaternions est l’algèbre H = R 4 munie de sa structure d’espace
vectoriel classique et d’un produit défini par les formules suivantes (où 1, i, j, k désignent
les vecteurs de la base canonique)
11 = 1, 1i = i = i1, 1j = j = j1, 1k = k = k1,
i 2 = j 2 = k 2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j.
Pour q = x01 + x1i + x2j + x3k ∈ H, on pose ¯q = x01 − x1i − x2j − x3k. On a alors
q¯q = ¯qq = x 2 0 + . . . + x2 3 .
On définit alors q = √ q¯q. Notons que pq = ¯p¯q, d’où l’on déduit que . est une norme
d’algèbre sur H. De plus, tout élément non nul q = x01 + x1i + x2j + x3k admet
¯q
q¯q =
1
x2 0 + . . . + x2 .(x01 − x1i − x2j − x3k)
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pour inverse. On a donc un corps (non commutatif). Dans ce corps, l’équation x 2 = −1
a une infinité de solutions.
6. Montrer que tout sur-corps de R qui est de dimension finie est isomorphe (en tant que
R-algèbre) à R, C ou au corps des quaternions H.
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