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PROGRAMMES PERMANENTS
DES CONCOURS EXTERNES ET INTERNES DU CAPLP et
DES CAFEP ET CAER CORRESPONDANTS
Mathématiques – Sciences Physiques
PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES
Le programme des épreuves écrites des concours externe et interne d'accès au corps des professeurs de lycée
professionnel est défini par les titres A et B ci-dessous.
Le programme des épreuves orales des concours externe et interne porte sur le titre A augmenté des paragraphes
suivants du titre B.
I. Analyse : § 2. Fonctions d'une variable réelle-§ 3. Équations différentielles
II. Algèbre : §1. Nombres complexes.
III. Combinatoire. Statistiques. Probabilités : § 1. Combinatoire - § 2. Statistique descriptive - § 3. Probabilité
IV. Géométrie : §1. Géométrie du plan et de l'espace.
A) Programme des lycées professionnels
Ce programme comporte tous les programmes des classes de lycées professionnels en vigueur l'année du
concours.
B) Programme complémentaire
I. Analyse
1. Notions élémentaires sur les suites et les séries
a) Propriétés fondamentales du corps R des réels : majorants, minorants, borne supérieure, borne inférieure.
Toute partie non vide de R majorée admet une borne supérieure (admis).
Aucune construction de R n'est au programme.
b) Convergence d’une suite de nombres réels ; opérations sur les suites convergentes. Convergence d'une suite
monotone ; exemples de suites adjacentes.
Exemples d'études de suites définies par une relation de récurrence U n +1 = f (Un).
c) Définition de la convergence d'une série à termes réels. Convergence des séries géométriques.
Séries à termes positifs : comparaison de deux séries dans le cas où et Un ≤ Vn et où Un ~Vn. Comparaison à une
intégrale ; convergence de séries de Riemann. Comparaison à une série géométrique, règle de d' Alembert.
Comparaison à une série de Riemann.
Séries absolument convergentes. Convergence d'une série alternée dont la valeur absolue du terme général
décroît et tend vers 0.
2.Fonctions d'une variable réelle
Les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur un intervalle de R non réduit à un point.
a) Fonctions à valeurs réelles : continuité, dérivation.
1° Limite et continuité en un point. Opérations sur les limites. Limite d'une fonction monotone.
Propriété fondamentale des fonctions continues (admise) : l'image d'un intervalle (respectivement d'un segment)
est un intervalle (respectivement un segment).
Continuité de la fonction réciproque d'une fonction strictement monotone et continue sur un intervalle.
2° Dérivée en un point : dérivabilité sur un intervalle. Fonction dérivée. Opérations sur les fonctions dérivées.
Dérivée de la composée de deux fonctions, d'une fonction réciproque.
Définition des fonctions de classes C p , C α . Dérivée n-ième d'un produit (formule de Leibnitz).
3° Théorème de Rolle, formule des accroissements finis, inégalité des accroissements finis. Caractérisation des
fonctions constantes, monotones et strictement monotones.
4° Etude locale des fonctions. Comparaison des fonctions au voisinage d'un point : fonction négligeable devant
une autre, fonctions équivalentes (notation f ~ g). Comparaison des fonctions exponentielle, puissance et
logarithme au voisinage de +∞.
Développements limités, opérations sur les développements limités. Formule de Taylor Young. Développements
limités des fonctions usuelles.

5° Fonctions usuelles : fonctions circulaires, circulaires réciproques, logarithmes, exponentielles, puissances,
hyperboliques, hyperboliques réciproques.
b) Fonctions à valeurs réelles : intégration sur un segment.
Les seules connaissances exigibles portent sur l'intégration des fonctions continues par morceaux.
1° Linéarité de l'intégrale.
b
Si a≤b, ⏐∫ ( t)
dt ≤ ∫
a
b
f f ( t)
dt.
a
Additivité par rapport à l intervalle d'intégration. Somme de Riemann d'une fonction continue ; convergence de
ces sommes.
2° Primitives d'une fonction continue sur un intervalle.
Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral ; si f est une fonction continue sur un intervalle I et à un
point de I,
x
La fonction ∫ → x f ( t)
dt est l'unique primitive de f sur I s'annulant au point a ; inversement, pour toute
a
primitive F de f sur I et pour tout couple (a, b) de points I,
x
∫
a
f ( t)
dt = F(
a)
− F(
b)
Intégration par parties, changement de variable.
Exemples de calcul de primitives, notamment de fonctions rationnelles, de polynômes trigonométriques.
Formule de Taylor avec reste intégral.
3° Exemples de calcul de valeurs approchées d'une intégrale. Exemples de calcul d'aires planes, de volumes, de
masses.
c) Fonctions à valeurs dans C.
Extension à ces fonctions des notions et propriétés suivantes :
Dérivée en un point. Opérations sur les dérivées. Développements limités, formule de Taylor Young.
Fonction t →e it (t réel). Symbole e z (z complexe), règles de calcul.
Dérivation et intégration de t →e at t réel, a complexe).
Intégration, intégration par parties, formule de Taylor avec reste intégral.
d) Notions sur les intégrales impropres.
Définition de la convergence des intégrales
α
∫
a
+∞
f ( t)
dt ; extension aux intégrales ∫ f ( t)
dt
−∞
Convergence des intégrales de Riemann :
+∞ 1
dt dt
∫ et α
1 t ∫ où α est réel.
α
0 t
Intégrales de fonctions positives : comparaison dans les cas f ≤ g et f ~ g.
Intégrales absolument convergentes.
3. Equations différentielles
a) Définition sur un intervalle d'une solution d'une équation différentielle de la forme y ' = f(x, y) ; courbe
intégrale (aucun théorème d'existence n'est au programme).
b) Equation différentielle linéaire du premier ordre ay ' + by = c où a, b, c sont des fonctions numériques
continues sur un même intervalle. Recherche, sur un intervalle où a ne s'annule pas, de la solution satisfaisant à
une condition initiale donnée.
c) Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, dont le second membre est de la
forme e mt P(t) , P étant un polynôme et m un réel ou un complexe.
4. Notions sur les séries de Fourier
a) Coefficients et série de Fourier d'une fonction 2π - périodique continue par morceaux à valeurs complexes
(expression sous forme exponentielle, expression en cosinus et sinus).
b) Théorème de Dirichlet (admis) : convergence de
k n
∑
k n
+ =
= −
C ( f ) e
k
ikx
vers la demi somme des limites à droite et à
gauche de f au point x lorsque f est de classe C 1 par morceaux. Formule de Parseval (admise) : expression de

l'intégrale du carré du module sur une période à l'aide des coefficients de Fourier lorsque f est continue par
morceaux.
Exemples de développement en série de Fourier de fonctions d'une variable réelle.
Notions sur les fonctions de plusieurs variables réelles
Définition d'une application d'une partie de R p dans R n (se limiter à n ≤ 3, p ≤ 3).
Continuité en un point.
Dérivées partielles d'ordre un et supérieur à un. Théorème de Schwarz (admis).
II. Algèbre
1. Nombres complexes
a) Corps des nombres complexes ; module d'un nombre complexe. Argument d'un nombre complexe non nul ;
notation e iβ .
b) Formule de Moivre. Formules d' Euler. Résolution de l'équation z n = a. Applications trigonométriques de
nombres complexes. Lignes de niveau des fonctions z → | z - a | et z → Arg (z - a).
1
c) Transformations géométriques définies par z'= az+ b,
z'= z et z ' = ⋅
z
2. Polynômes et fractions rationnelles
a) Algèbre K [X] des polynômes à coefficients dans K (K est R ou C). Degré, division suivant les puissances
décroissantes.
Racines, ordre de multiplicité d'une racine. Polynômes irréductibles sur C ou R. Factorisation. (La construction
de l'algèbre des polynômes formels n'est pas au programme, les candidats n'auront pas à connaître la notion de
PGCD.
b) Fonctions rationnelles : pôles, zéros, ordre de multiplicité d'un pôle ou d'un zéro. Décomposition en éléments
simples dans C (X) et dans R (X) (admis).
3. Algèbre linéaire
a) Espaces vectoriels sur le corps K (K = R ou C).
1° Espaces vectoriels, applications linéaires, formes linéaires.
Exemples fondamentaux : espaces de vecteurs du plan et de l'espace, espace K n .
Composition des applications linéaires, isomorphismes, endomorphismes, automorphismes. Groupe linéaire GL
(E).
2° Combinaisons linéaires, sous-espace vectoriel, sous-espace vectoriel engendré par p vecteurs. Image et noyau
d'une application linéaire.
Espace vectoriel L (E, F).
b) Espaces vectoriels de dimension finie.
Dans un espace admettant une famille génératrice finie, définition des familles libres, des familles génératrices et
des bases. Exemple fondamental : base canonique de Kn. Dimension. Rang d'une famille de p vecteurs.
Sous-espaces vectoriels supplémentaires, projecteurs.
c) Matrices.
Espace vectoriel M p, q (K) des matrices à p lignes et q colonnes.
Isomorphisme entre L (K q , K p ) et Mp, q (K).
Produit matriciel, transposition. Algèbre M n (K) ; matrices inversibles ; groupe linéaire GLn (K).
Changement de base pour une application linéaire, matrice de passage.
d) Éléments propres.
Valeurs propres, vecteurs propres pour une application linéaire.
Diagonalisation en dimension 2 ou 3.
e) Déterminant d’une matrice.
Calcul du déterminant d’une matrice en dimension2 et en dimension 3.
f) Système d'équations linéaires.
Pratique de la méthode de Gauss pour la résolution de systèmes d'équations
III. Combinatoire - Statistiques - Probabilités
1. Combinatoire
a) Nombre des applications d'un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments ; nombre des injections ;
arrangements. Nombre des permutations d'un ensemble à n éléments.
b) Nombre des parties à p éléments d'un ensemble à n éléments, combinaison.
c) Formule du binôme.
2. Statistique descriptive

a) Analyse statistique d'une variable observée sur les individus d'une population. Exemples de variables
qualitatives et de variables quantitatives : effectifs, fréquences, histogrammes.
Caractéristiques de position (moyenne, médiane, mode, quantile).
Caractéristiques de dispersion (variance, écart-type).
b) Analyse statistique élémentaire de deux variables observées sur les individus d'une population. Tableaux
d'effectifs, fréquences marginales, fréquences conditionnelles. Covariance et coefficient de corrélation linéaire.
Ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Droites de régression.
3. Probabilité
a) Probabilité sur les ensembles finis : vocabulaire des événements, probabilité, équiprobabilité.
Exemples simples de dénombrement. Probabilités conditionnelles, événements indépendants.
b) Variables aléatoires.
1° Définition d'une variable aléatoire à valeurs réelles. Evénements liés à une variable aléatoire.
2° Variables aléatoires réelles discrètes :
Loi de probabilité. Fonction de répartition F(x) = P(X ≤x) ; Moments : espérance, variance, écart - type ;
Lois discrètes usuelles : loi uniforme, de Bernoulli, binomiale, de Poisson.
3° Vecteurs aléatoires à valeurs dans R 2 discrets. Loi de probabilité d'un vecteur à valeurs dans R 2 . Lois
marginales.
Indépendance de deux variables aléatoires réelles ;
Linéarité de l'espérance mathématique. Espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires
indépendantes. Variance d'une somme de variables aléatoires, covariance.
4° Variables aléatoires à densité.
On dira qu'une variable aléatoire X à valeurs réelles admet une densité f si, quel que soit l'intervalle [a, b] de R,
b
∫
p ( a ≤ X ≤ b)
= f ( t)
dt , où f est une fonction à valeurs réelles positives ayant un nombre fini de points de
+∞
discontinuité et telle que ∫
−∞
a
f
( t)
dt
= 1
Moments : espérance, variance, écart-type.
Lois définies par une densité usuelle : loi uniforme, exponentielle, normale.
IV. Géométrie
1. Géométrie du plan et de l'espace
a) Calcul vectoriel.
Produit scalaire, lien avec la norme et la distance. Expression dans une base orthonormale. Relations métriques
dans le triangle.
Orthogonalité.
Produit vectoriel dans l'espace orienté.
Systèmes de coordonnées (cartésiennes, polaires, cylindriques, sphériques) ; changement de repère orthonormal.
Barycentre.
b) Configurations.
Droites et plans : direction, parallélisme, intersection, orthogonalité. Angle de deux droites, de deux plans, d'une
droite et d'un plan.
Distance d'un point à une droite (à un plan). Equations cartésiennes et représentations paramétriques des droites
et plans. Equation normale.
Cercles dans le plan : équation cartésienne.
Sphères : équations cartésiennes. Intersection sphère et plan.
Coniques : équation réduite et équation paramétrique d'une conique en repère orthonormal.
c) Applications affines.
Projections, affinités orthogonales ; conservation des barycentres par une application affine.
Isométries du plan ; réflexion, rotations, déplacements.
Exemples d'isométries de l'espace ; réflexions, rotations, vissages.
2. Géométrie différentielle des courbes planes
a) Fonction d'une variable réelle à valeurs dans R 2 : limite, continuité, dérivée en un point ; opération sur les
dérivées. Dérivée d'un produit scalaire, d'un produit vectoriel.
Fonction de classe C p . Définition des développements limités.

) Etude locale : point régulier ; tangente. Etude de la position locale d'une courbe par rapport à une droite ;
branches infinies.
Exemples de construction de courbes paramétrées.
PROGRAMME DE SCIENCES PHYSIQUES
Le programme des épreuves écrites des concours externe et interne comporte les domaines des sciences
physiques et chimiques auxquels il est fait appel dans les enseignements en vigueur durant l'année scolaire du
concours, en CAP, BEP, baccalauréat professionnel ainsi que dans la série STL physique du laboratoire et des
procédés industriels et chimie du laboratoire et des procédés industriels.
On attend notamment des candidats :
- qu'ils possèdent une culture scientifique comportant des références à l'histoire des sciences et des techniques,
- qu'ils sachent mettre en oeuvre, à un niveau post-baccalauréat (STS, DEUG, DUT) les principes et les lois de la
chimie et de la physique dans les domaines précisés dans le programme ci-dessus, à l'exception, pour les
programmes de baccalauréat professionnel, des unités spécifiques suivantes :
- C13 : Textiles
- C14 : Matériaux inorganiques de construction : ciments, plâtres, verres
- C15 : Céramiques
- O4 : Détecteurs et amplificateurs de lumière
Pour ces quatre unités spécifiques aucune exigence de niveau post-baccalauréat n'est demandée.
Précisions sur l'utilisation des calculatrices
Pour les épreuves d'admissibilité, les candidats sont autorisés à se servir d'une calculatrice conforme aux
spécifications définies par la note n o 99-186 du 16 novembre 1999.
Pour les épreuves d'admission, les calculatrices personnelles ne sont pas autorisées. Une calculatrice est mise à la
disposition de chacun des candidats sur le lieu des épreuves.
La présente note abroge et remplace la note du 23 juin 1995 publiée au BO n o 27 du 6 juillet 1995.
(BO n o 37 du 11 octobre 2001).