Epreuve de Maths

Partie II : La fonction « inverse »
En appliquant la méthode d’Euler sur l’intervalle > 1, 2 @,
avec un pas h
1
N0
, on peut obtenir une
approximation de la fonction g définie sur l’intervalle > 1, 2 @ par gx ( )
1
.
x
L’objet de cette partie est de majorer l’erreur commise sur le calcul de g(2) par cette approximation.
La fonction g est aussi définie par le système :
g°­
®
¯°
x [ , ] , g’ x x
1. Montrer que le point Mn (xn , yn ), pour tout n de 1 à N 0 , a ici pour ordonnée :
yn 1
n 1
N0¦
( N
1
2
k)
k
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0 0
2. L’approximation (A) obtenue ici pour g(2) est donc :
On pose :
S
n
1
(A)
y 1 N
N0
n 1
¦ et In 2
k 0 ( n k)
µ
´
n
n
x dx.
N01
¦
1
0 2
k 0 ( N0k) En utilisant un encadrement de l’intégrale I n qui fasse intervenir S n , puis en calculant la valeur
de I n , établir que :
1 1 3
d Sn
d . 2
2n 2n 4n
En déduire une majoration de l’erreur obtenue sur g(2) par l’approximation (A).
Indiquer une valeur du pas telle que l’erreur obtenue sur g(2) soit inférieure ou égale à .
Partie III : La fonction exponentielle
En appliquant la méthode d’Euler on peut approcher la courbe représentative de la fonction
exponentielle sur l’intervalle > 0,1 @,
définie ici par le système :
On a donc : M ' ( 0)
1.
­
®
¯
M(0)
1
> @
x 0,1 , M'( x) M(
x)
La fonction dérivée de M n’est pas supposée connue dans ce cas : pour calculer la valeur approchée
y n 1 de M (xn+1 ), on remplace M’(xn ) par la valeur approchée n y de M (xn ) obtenue au rang n.
On suppose connu le nombre e M(1)
.