Introduction `a la MECANIQUE QUANTIQUE Table des mati`eres

Introduction à la
MECANIQUE QUANTIQUE
TRAN Minh Tâm
Table des matières
Le rayonnement du corps noir 82
Le corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Nombre d’ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . 83
La loi de Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Planck et le rayonnement du corps noir . . . . . . . . . 86
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Applications intéressantes 89
Emissions spontanée, induite et absorption . . . . . . . . 89
Coefficients d’émissions et d’absorption . . . . . . . . . . 90
Le LASER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Le LASER à semiconducteur . . . . . . . . . . . . . . . 95

✬
Une deuxième application : le bruit de fond cosmique . . 100
La dualité onde - corpuscule 102
Les ondes de matière (de Broglie) . . . . . . . . . . . . . 102
Mise en évidence des ondes de matière . . . . . . . . . . 104
Interprétation probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Le principe d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Exemples à propos du principe d’incertitude . . . . . . . 108
Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Quelques grands noms de la Physique 113
✫
-2-
✩
✪

✬
✫
Le rayonnement du corps noir
Le rayonnement qu’émet un corps dépend de sa température : c’est ce que l’on
appelle le “rayonnement thermique”. Prenez un morceau de fonte ; à la température
ambiante, il est noir, si on le chauffe, il passe du rouge foncé au rouge vif, au jaune et
au blanc. A la température ambiante, la radiation qu’il émet a des longueurs d’ondes
qui ne sont pas dans le visible et c’est pour cette raison que nous le voyons noir. On
utilise du reste la relation qui existe entre la température d’un corps et le spectre
en fréquence de la lumière émise dans les pyromètres pour estimer la température
d’un corps.
En général, le spectre des longueurs d’onde émises par un corps dépend de sa composition.
On trouve cependant en Physique un type de corps chaud dont le spectre
d’émission a un caractère universel ; on l’appelle le corps noir.
Le corps noir
Ce corps est appelé ainsi car il ne réfléchit pas la lumière (c’est pour cela que nous
le voyons noir). S’il ne réfléchit pas la lumière, il doit absorber toutes les radiations
incidentes sur sa surface (absorbeur parfait) ; par conséquent, pour réaliser l’équilibre
énergétique, doit entièrement restituer l’énergie sous forme de rayonnement. C’est
donc également un émetteur parfait.
Réalisation. Tout corps revêtu d’une couche de pigment noir mat constitue un
corps noir pratiquement parfait. On remarque aussi que tous les corps noirs à la
même température émettent un spectre identique.
Une autre réalisation possible d’un corps noir consiste en une cavité reliée à
l’extérieur par un petit trou :
La lumière qui entre dans la cavité n’a qu’une très faible probabilité d’en ressortir
: elle est absorbée, le trou dans la cavité est ainsi un parfait absorbeur et a les
propriétés de la surface d’un corps noir.
Pour modéliser ce “corps noir”, nous prenons une cavité métallique cubique de côtés
a. Le rayonnement qui y est contenu et qui se réfléchit sur les faces du cube peut
être décomposé selon les 3 axes.
Comme les 3 axes sont perpendiculaires, que les faces opposées sont parallèles, les
3 composantes du rayonnement ne se mélangent pas et nous pouvons les traiter
séparément.
-82-
✩
✪

✬
✫
Le rayonnement du corps noir
(a)
z = a
Considérons la composante selon x. Sur les faces x = 0 et x = a, le champ électrique
E associé au rayonnement devra être nul parce que l’onde électromagnétique est une
onde transversale, que la direction de propagation est normale à ces faces et que sur
une surface métallique, le champ ne peut pas être tangentiel : le champ E devra
être nul sur les faces x = 0 et x = a. Les mêmes conditions se retrouvent pour les
directions y et z. L’onde stationnaire qui s’établit dans la boîte aura des noeuds sur
les faces x = 0 et x = a et cette condition impose des restrictions sur les longueurs
d’onde, donc sur les fréquences du rayonnement électromagnétique dans la boîte.
Démarche
Pour déterminer le spectre d’émission du corps noir, nous allons suivre les étapes
suivantes :
– Recherche du nombre d’ondes stationnaires présentes dans l’enceinte et dont la
fréquence est comprise entre f et f + df,
– Par des arguments d’équilibre, nous pouvons connaître la valeur moyenne de
l’énergie portée par le rayonnement et en déduire le spectre du rayonnement.
z
x = a
(b)
Nombre d’ondes stationnaires
Le champ électrique pour le cas d’une onde électromagnétique stationnaire à une
dimension peut s’écrire :
E(x, t) = Eo sin(2 π x / λ) · sin(2 π f t)
avec : λ : longueur d’onde , f : fréquence = c/λ
-83-
x
y
✩
✪

✬
✫
Le rayonnement du corps noir
La condition pour avoir des noeuds à x = 0 et x = a s’obtient facilement :
2 π
λ
· a = n π ⇒ λ = 2 a
n
⇒ λ =
2 a
n
⇒ f = cn
2 a
n = 1
x = 0 x = a
n = 3 n = 2
n = 1, 2, 3, ... entiers
n = 1, 2, 3, ... entiers
0 1 2 n
2a c f
2a c (f + df)
Nous pouvons représenter les valeurs permises de la fréquence sur un axe où nous
reportons un point pour chaque valeur entière de n : la valeur permise de la fréquence
est donnée par la distance d du point considéré, multipliée par c/2a. Inversément,
la distance d est égale à d = 2a
· f.
c
Pour trouver le nombre des fréquences comprises entre f et f + df, que nous notons
par N(f) df , il suffit de compter le nombre de points sur l’axe n. On trouve alors :
2 a
N(f) df = df . En fait, il faut encore multiplier le résultat précédent par 2
c
car pour chaque fréquence, il y a deux ondes électromagnétiques correspondant aux
deux états de polarisation de l’onde. Par conséquent :
N(f) df =
4 a
c df
Pour passer à trois dimensions, nous devons compter les “points” distribués uniformément
dans l’espace des (nx , ny , nz), chaque “point” correspondant à une
fréquence permise.
Le nombre d’ondes stationnaires de fréquences comprises entre f et f + df correspond
au nombre de “points” dans la coquille de rayon r = (2 a/c) f et d’épaisseur
-84-
✩
✪

✬
✫
n
z
Le rayonnement du corps noir
r = (2a/c).f
nx , ny , nz ≥ 0
n
dr = (2a/c)df
df = (2 a/c) df sous la condition nx , ny , nz ≥ 0 . Nous voyons tout de suite que
ce nombre, proportionnel au volume de la coquille, est de :
N(f) df = 2 × π 4a2
c2 f2 × a 8 π a3
df =
c c3 f 2 df =
V = a 3 étant le volume de la cavité.
La loi de Rayleigh-Jeans
x
n
y
8 π V
c 3
f 2 df
Maintenant que nous avons compté le nombre d’ondes stationnaires dans la cavité,
nous pouvons déterminer le spectre du rayonnement en recherchant l’énergie totale
moyenne portée par chaque onde stationnaire de fréquence f.
La Physique classique nous prédit que, pour un gaz de particules en équilibre
thermique à la température T, l’énergie cinétique moyenne d’une particule est de
〈E cin 〉 = kT / 2 par degré de liberté de la molécule (loi de l’équipartition de
l’énergie). Pour nos ondes stationnaires, il n’y a qu’un seul degré de liberté : l’amplitude
du champ électrique. Cependant, l’énergie totale d’une onde stationnaire est
le double de l’énergie cinétique (comme pour un oscillateur à ressort). Nous avons
donc : 〈E 〉 = kT
-85-
✩
✪

✬
✫
Le rayonnement du corps noir
L’énergie par unité de volume pour des fréquences comprises entre f et f + df est le
spectre du rayonnement de la cavité. Le spectre s’obtient en multipliant le nombre
d’ondes stationnaires par l’énergie totale moyenne d’une de ces ondes. En utilisant
les arguments développés ci-dessus, Rayleigh et Jeans obtinrent le spectre suivant :
ψ(f) df = 8 πf2 kT
c 3
df
Loi de Rayleigh - Jeans
La figure suivante montre l’évolution de la loi de Rayleigh-Jeans en fonction de la
fréquence ; deux observations peuvent être faites :
-17 3
ψ(f) [ 10 Joule/m . Hz]
7
6
5
4
3
2
1
Loi de Rayleigh-Jeans
Expérience
T = 1500 K
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
14
f [10 Hz]
1. la loi de Rayleigh-Jeans diverge pour les grandes fréquences (catastrophe ultraviolette),
2. aux basses fréquences, elle reproduit bien l’expérience.
Planck et le rayonnement du corps noir
Examinons la forme de la loi de Rayleigh - Jeans :
ψ(f) df = 8 πf2 kT
c3 df
La divergence aux hautes fréquences vient de la dépendance quadratique en fonction
de f : cette dépendance ne renferme aucune hypothèse de Physique, mais est
simplement le résultat du dénombrement des ondes stationnaires dans une cavité.
-86-
✩
✪

✬
✫
Le rayonnement du corps noir
En observant que la loi de Rayleigh-Jeans reproduit bien les données à faible
fréquence, Max Planck pensa que pour ces faibles fréquences, l’énergie totale
moyenne des ondes stationnaires devrait bien être celle donnée par la loi
d’équipartition de l’énergie :
〈E 〉 f→0
−→ kT
Par contre, à de grandes fréquences, il devrait y avoir une “coupure” telle que
pour que le spectre ne soit pas divergent.
〈E 〉 f→∞
−→ 0
Planck réalisa qu’il pouvait obtenir les résultats précédents si
– les ondes stationnaires dans la cavité ne prenaient que des énergies discrètes
En = n · hf n = 0 , 1 , 2 ...
– ces ondes suivaient la distribution de Boltzmann : le nombre des ondes à l’énergie
Ei est de Ni = N0 exp (− Ei / kT) .
Le nombre total d’ondes stationnaires est alors de :
N = N0 + N0 e − hf/kT + N0 e − 2 hf/kT + N0 e − 3 hf/kT + ... = N0
L’énergie de ces N ondes stationnaires est alors de :
E = 0 ·N0 + hf ·N0 e − hf/kT + 2 hf ·N0 e − 2 hf/kT + ... = N0
L’énergie moyenne d’une de ces ondes stationnaires est de :
〈E 〉 = E
N
Un calcul simple donne directement :
Nous retrouvons bien :
= hf ·
〈E 〉 =
ni = 0
ni = 0
hf
e hf/kT − 1
hf

✬
✫
Le rayonnement du corps noir
hf >> kT c.à.d. pour de très hautes fréquences : 〈E 〉 0.
Le spectre s’obtient immédiatement :
ψ(f) df =
8 π h
c 3
f3 e hf/kT df Loi de Planck (1900)
− 1
Résumé
Nous avons considéré un système constitué d’éléments oscillant sinusoïdalement
en fonction du temps : les ondes stationnaires dans la cavité dont
le champ électrique varie sinusoïdalement avec le temps. Ces éléments
ne peuvent avoir comme énergie totale que des multiples entiers de leur
fréquence multipliés par la constante de Planck h = 6, 626068×10 − 34 J.s
Nous retrouvons les prédictions classiques à la limite des faibles fréquences : en
effet, si f → 0, les “niveaux d’énergie” sont si rapprochés que l’on peut considérer
que toutes les énergie sont permises : on revient ainsi à la prévision classique de
l’équipartition d’énergie d’un ensemble de particules en équilibre thermique.
A de grandes fréquences, les sauts d’énergie deviennent importants et la distribution
de Boltzmann permet d’obtenir la “coupure” mentionnée plus haut.
Classique E = 0
E = 4 . h f
E = 3 . h f
E = 2 . h f
E = 1 . h f
Planck
Pourquoi le rayonnement émis ne dépend-il pas du matériau utilisé ?
Il y a deux sortes de caractères discrets ici : le caractère discret des niveaux d’énergie des atomes,
qui est à l’origine du caractère discret des spectres d’émission atomiques, et qui dépend du matériau
considéré, et celui du rayonnement, qui consiste interpréter le rayonnement comme constitué de
photons chacun d’énergie hf, et qui, lui, ne dépend pas de la nature du matériau considéré.
Pour un couplage faible avec la matière, le rayonnement est décrit par la quantification des équations
de Maxwell. Il est modélisé par un ensemble d’oscillateurs harmoniques à niveaux discrets et
équidistants pour chaque mode. La loi de Planck décrit alors le rayonnement à l’équilibre thermique,
indépendamment des matériaux présents. C’est donc le rayonnement que l’on quantifie ici, et
la quantification des niveaux d’énergie du matériau constituant le corps noir n’intervient pas.
-88-
✩
✪

✬
✫
Applications intéressantes
Emissions spontanée, induite et absorption
Nous avons vu que pour un ensemble d’atomes ou de molécules ayant des états
quantiques d’énergie E1 et E2, le nombre de particules dans l’état d’énergie E1 et
dans l’état d’énergie E2 sont de le rapport
n(E2)
n(E1)
= e−(E2−E1)/kT
à l ′ équilibre thermique
Voyons les transitions possibles entre deux niveaux d’énergie :
• l’émission spontanée : l’atome (la molécule) est dans un état d’énergie
supérieure E2 et revient à l’état d’énergie basse E1 en émettant un photon de
fréquence f = (E2 − E1)/h. La période des niveaux excités ne sont, en général
pas très longues (de l’ordre de 10 −8 secondes), certaines déexcitations peuvent cependant
passer par des états métastables ayant des périodes de ∼ 10 −3 secondes.
• l’absorption : c’est un processus dans lequel le photon incident fait passer un
électron du niveau d’énergie basse au niveau d’énergie haute ; le photon disparaît :
il est absorbé.
• l’émission induite : c’est le phénomène dans lequel l’émission de la lumière est
“favorisée” par la présence de lumière.
E 2
E 1
E 2
E 1
E 2
E 1
Emission
spontanée
Absorption
Emission
induite
Image classique. Dans une image classique, l’émetteur est, par exemple,
un électron soumis à un mouvement oscillatoire imprimé par un champ
-89-
✩
✪

✬
✫
Applications intéressantes
électromagnétique extérieur de même fréquence que la fréquence propre d’oscillation
de l’électron. Ce dernier peut ainsi augmenter son énergie au dépends de l’onde
électromagnétique (phénomène d’abosrption) ou perdre de l’énergie (émission induite),
les deux phénomènes différant d’un déphasage de π de l’onde excitatrice.
L’émission induite est en réalité un phénomène strictement quantique.
Coefficients d’émissions et d’absorption
Considérons toujours un atome ou une molécule à deux niveaux d’énergie E1 et E2.
• Le taux d’aborption est proportionnel au nombre d’atomes dans l’état E1, n(E1),
et à la densité de rayonnement ayant la fréquence f telle que hf = (E2 − E2) :
R absorp.
1→2 = B1→2 · ψ(f) · n(E1)
le terme B1→2 est un terme qui englobe la dépendance de la transition 1 → 2 en
fonction des propriétés des états 1 et 2.
• On peut de la même manière définir le taux démission induite :
R induit.
2→1 = B2→1 · ψ(f) · n(E2)
(de la même façon, B2→1 permet de tenir compte des propriétés des états de 1 et
2 et de la transition.)
• Pour l’émission spontanée, nous avons :
R spontan.
2→1
= A2→1 · n(E2)
Remarquez que le taux d’émissions spontanée est indépendant de la densité de
rayonnement ψ(f).
Si nous sommes à l’équilibre, le taux d’absorption est égal à la somme des taux
d’émissions spontanée et induite :
B1→2 · ψ(f) · n(E1) = n(E2) · [A2→1 + B2→1 · ψ(f)]
⇒ ψ(f) =
A2→1/B2→1
n(E1) B1→2
·
n(E2) B2→1
Le rapport entre les populations aux niveaux E1 et E2 est donné par la distribution
de Boltzmann :
n(E2)
n(E1)
= exp
− (E2
− E1)
kT
-90-
− 1
− hf/kT
= e
✩
✪

✬
d’où
✫
Applications intéressantes
ψ(f) =
B1→2
B2→1
A2→1/B2→1
· e hf/kT − 1
Dans un équilibre entre matière et rayonnement, la densité spectrale ψ(f) est donnée
par celle de Planck :
ψ(f) = 8πhf3
c3
1
ehf/kT
− 1
En identifiant : B1→2 = B2→1 = B et A2→1
Remarques :
B2→1
= 8πhf3
c 3
(Einstein 1917)
• Le développement ci-dessus ne nous permet pas de connaître les valeurs des coefficients,
mais nous donne leurs rapports.
• Il suffit de connaître un des coefficients pour les connaître tous.
• Pour les grandes longueurs d’ondes (petites fréquences), l’émission induite prend
de l’importance par rapport à l’émission spontanée :
A2→1
=
B2→1 · ψ(f) =
e hf/kT
− 1
en effet, Rspontan. 2→1
Rinduit. 2→1
→ 0 si hf/kT → 0.
Absorption de la lumière. Etudions maintenant l’absorption de l’énergie lumineuse
en relation avec les populations n(E1) et n(E2). Rappelons que le coefficient
− α x
d’absorption α peut être relié au flux lumineux par Φ(x) = Φ0 e (α > 0).
Φ 0
x
Φ(x)
Nous illuminons un échantillon d’épaisseur x avec une lumière à la fréquence f :
deux processus sont alors en concurrence : l’absorption et l’émission induite.
-91-
✩
✪

✬
✫
Applications intéressantes
⋆ Taux d’absorption d’énergie à la fréquence f : hf · n(E1) · B · ψ(f)
⋆ Taux d’émission d’énergie par émission induite : hf · n(E2) · B · ψ(f)
Par unité de temps, le taux de changement dans le spectre d’énergie lumineuse sera
donc :
d ψ(f)
dt = hf (n(E2) − n(E1)) B ψ(f)
Pour calculer le coefficient d’absorption, passons à la dérivée par rapport à x :
d
dt
1 d ψ(f)
·
ψ(f) dx
d dx
= ·
dx dt
= c · d
dx ⇒
= 1
c hf (n(E2) − n(E1)) B
On peut réécrire cette équation en termes de flux : en effet, les mêmes termes de
surface dans le flux se simplifient.
1 d Φ(f)
·
Φ(f) dx
= hf
c (n(E2) − n(E1)) B
C’est à dire : Φ(f, x) = Φ0(f) e −αx avec α = hf
c (n(E1) − n(E2)) B
Discussion.
• A l’équilibre, les distributions n(E) suivent la loi de Boltzmann et n(E1) > n(E2) :
le coefficient α est positif, on a bien une atténuation de la lumière. Si nous avons
un échantillon avec un petit nombre d’atomes (molécules) et que nous l’illuminons,
l’absorption au bout d’un moment tend à réduire n(E1) et augmenter n(E2). Mais
cette réduction de n(E1) diminue α et également le taux d’absorption : à la limite,
on ne peut avoir que l’égalité n(E1) = n(E2) pour un petit échantillon ; dans ce
cas, absorption et émission sont égales et l’échantillon est transparent.
• Si n(E2) > n(E1), le coefficient α est négatif et le flux Φ(f, x) augmente avec la
distance : on aura plus de lumière à la distance x qu’au départ et on aura réalisé
une amplification lumineuse par inversion de population.
Le LASER
Pour réaliser une inversion de population, on procède avec des éléments ayant
en général trois (ou plus) niveaux E1, E2, E3. Un “pompage optique” amène les
atome (molécules) au niveau E3 qui se déexcite rapidement en un niveau métasatble
E2. Le pompage arrive à égaliser les populations entre E3 et E1 et permet d’avoir
n(E2) > n(E1).
-92-
✩
✪

✬
✫
E 3
E 2
E 1
à l’équilibre
Applications intéressantes
Etat métastable
pompage
déexcitation
émission
Pour réaliser un LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation),
il faut remplir deux conditions :
1. Inverser les populations. L’émission sera ainsi plus importante que l’absorption.
Cette inversion n’existe pas à l’équilibre : de l’énergie doît être injectée sous
forme de lumière ou sous une autre forme.
2. L’élément constituant le laser (gaz, solide,...) doît être dans une cavité dans
laquelle des ondes stationnaires peuvent s’établir. L’émission induite augmente
peu à peu et la cavité sera remplie de rayonnement. C’est bien ce que l’on
recherche : augmenter le taux d’émission induite B · ψ(f) · n(E2) par rapport à
l’émission spontannée A · n(E2)
Propriétés de la lumière laser.
Dans une source de lumière ordinaire, il n’y a aucune “cohérence” entre les photons
émis par les différents atomes, chacun émettant de manière aléatoire : les ondes
électromagnétiques associées aux photons n’ont aucune cohérence de phase entre
elles.
Dans un laser, au contraire, les atomes rayonnent en phase avec la lumière induisant
l’émission. Dans l’image classique, l’électron oscille en phase avec le champ E de
la lumière incidente et émettent en phase. Le faisceau LASER est ainsi un faisceau
cohérent. L’intensité de la lumière (somme au carré des diverses amplitudes) sera
d’autant plus grande puisque la somme est constructive.
Le LASER à rubis comme exemple
Le rubis est un cristal de Al2O3 dans lequel un faible pourcentage (de 0,1 à 1%) de
Al +++ ont été remplacés par des Cr +++ . Toutes les propriétés du rubis sont dues
au Chrome, en particulier les ions Cr +++ ont une large bande d’absorption dans le
vert : le cristal étant absorbant dans le vert, il ne reste que le rose-rouge. La figure
-93-
✩
✪

✬
✫
Applications intéressantes
suivante montre les niveaux du Cr +++ .
L’inversion de population est réalisée par absorption de la lumière verte : les atomes
de Cr +++ sont “pompés optiquement” du niveau fondamental E1 au niveau E3. En
fait, ce n’est pas un seul niveau, mais toute une bande de largeur ∆E qui existe à
E3. Ce niveau a une durée de vie brève, de l’ordre de 10 − 8 sec. Des transitions non
radiatives spontanées amènent les atomes de Chrome au niveau métastable E2 qui
a une durée de vie de l’ordre de la milliseconde. Le résultat net du pompage optique
est l’inversion de population n(E2) > n(E1).
Ainsi, quand l’atome de Chrome fait une transition de E2 à E1, le photon de longueur
d’onde 694,3 nm (ou de 692,9 nm) induira (stimulera) d’autres transitions.
L’émission induite dépassera l’absorption, puisque n(E2) > n(E1). On obtient un
faisceau “monochromatique” et cohérent.
pompage à
λ = 550 nm
Miroir
Déexcitation
spontanée
E2 E1
E 3
Etats excités à
-8
courte durée de vie (10 s)
Deux états métastables de
durée de vie de ~ 1 ms
Doublet rouge
692.9 nm et
694.3 nm
émission induite
Miroir
semi-transparent
Dans la pratique, le laser à rubis est constitué d’un barreau cylindrique avec des faces
parallèles et réfléchissantes ; l’une des faces n’est que partiellement réfléchissante. Les
photons émis qui ne sont pas parallèles à l’axe du cylindre sont rapidement perdus
car ils s’échappent du cylindre. Ceux qui sont parallèles à l’axe sont réfléchis de
multiples fois et induisent d’autres transitions. Le nombre de photons augmente
rapidement et une partie s’échappe par le miroir semi-transparent.
-94-
✩
✪

✬
✫
Applications intéressantes
La lumière employée pour le “pompage optique” est produite par un tube à décharges
pulsées entourant le cristal ; on ne peut donc pas employer ce LASER de manière
continue. Du reste, la transition non radiative E3 → E2 échauffe le cristal !
Le LASER à semiconducteur
Evidemment, les lasers modernes que nous rencontrons tous les jours (“pointeur
laser”, lecteurs de CD et DVD, etc. ) utilisent une autre technique que l’ancien
Laser à rubis. Pour aborder ce sujet, nous devons faire une digression en Physique
du Solide.
Structure en “bandes” dans les métaux, isolants et semiconducteurs
Considérons les niveaux des l’atome de Cuivre dont la structure électronique est
1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 1 ou [Ar] 3d 10 4s 1 (figure de gauche ci-après).
Energie
4p
4s
3d
3p
3s
2p
2s
1s
Nbr. total
d’électrons
(29)
(28)
(18)
(12)
(10)
Les intervalles entre les niveaux ne sont pas respectées
(4)
(2)
Ar
Ne
Energie
Bande permise
Bande interdite
Bande permise
Bande interdite
Bande permise
Bande interdite
Bande permise
Quand nous approchons les atomes de Cuivre afin de former un cristal, les “fonctions
d’ondes” (nous allons revenir sur cette notion très prochainement) commencent
à se superposer. Quand nous avons un réseau de N atomes, chaque électron
ressent la présence des N noyaux du réseau (c.à.d. un potentiel périodique) et les
niveaux d’énergie individuels dans le réseau forment des “bandes d’énergie” ; les
bandes d’énergies adjacentes sont séparées par des sauts d’énergie (figure de droite
ci-dessus). Comme le nombre N est très grand (∼ 10 24 ), les niveaux individuels
dans une bande permise sont très proches les unes des autres. On utilisera le site
http ://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/qpotper.html
pour la simulation d’un électron dans un potentiel périodique à une dimension.
Remarquez que les bandes inférieures sont plus étroites que les supérieures; ceci est du au fait que
les électrons “internes” restent autour de leurs noyaux et ne ressentent que peu la présence des
autres noyaux.
-95-
✩
✪

✬
Isolants, métaux et semiconducteurs
✫
Applications intéressantes
Un corps est appelé isolant électrique quand aucun courant n’est décelable quand
on applique une différence de potentiel à ses bornes ; mais pour qu’il y ait courant, il
faut que l’énergie cinétique moyenne des électrons augmente. Cependant, comme le
montre la figure ci-après, la bande d’énergie la plus élevée occupée est entièrement
remplie, ce qui fait qu’aucun électron ne peut se mouvoir à moins de “sauter” à la
prochaine bande permise ; dans le diamant, par exemple, la bande interdite supéieure
est de 5,5 eV, ce qui est très élevé pour des températures ordinaires.
Isolant Métal Semiconducteur
Bande de
conduction
E g
Bande de
valence
Bande de
conduction
E g
Bande de
valence
Dans un métal, le niveau d’énergie occupé le plus élevé tombe à peu près au milieu
d’une bande permise : quand nous appliquons une différence de potentiel à un métal,
il y aura plein de niveaux d’énergie plus élevés sur lesquels les électrons peuvent aller.
Sur la figure ci-dessus, nous avons fixé le niveau d’énergie E = 0 à la valeur la plus
basse de la bande d’énergie perrmise à moitié occupée. L’énergie de Fermi EF est
l’énergie du plus haut niveau occupé au zéro absolu.
La structure des bandes d’énergie d’un semiconducteurs est analogue à celle des
isolants, à la différence près que la largeur de la bande interdite y est beaucoup moins
large : pour le Si, Eg = 1, 1 eV à comparer aux 5, 5 eV du diamant. La bande la
plus élevée entièrement remplie est appelée “bande de valence” pour des raisons qui
seront tout de suite évidentes et la bande au dessus d’elle “bande de conduction”.
La maille cristalline du Si ([Ne] 3s 2 3p 2 ) est du type de celle du diamant : chaque
atome de Si est lié aux 4 atomes les plus proches par des liaisons covalentes impliquant
2 ´lectrons (figure de gauche ci-après). La figure de droite montre une vue
“applatie” à deux dimensions de la structure cristalline du Si.
A chaque liaison covalence, chaque atome de Si contribue ainsi pour 1 électron pris
-96-
E F
E = 0
✩
✪

✬
✫
Applications intéressantes
+4 +4
+4
+4 +4 +4
+4 +4 +4
des niveaux 3p et 3s et ces électrons ont des énergies dans la bande de valence.
Pour que les électrons du Si participent à la conduction, il leur faut franchir le saut
d’énergie séparant la bande de valence de la bande de conduction Eg = 1, 1 eV.
Si nous remplaçons un atome de Si (valence = 4) par un atome de Phosphore
(valence = 5), le “cinquième” électron n’est que peu lié au noyau de P et a une
énergie situé dans la bande interdite du réseau de Si et proche du bas de la bande
de conduction, ce qui fait qu’il suffit d’une faible énergie (0, 045 eV

✬
✫
Applications intéressantes
peut combler cette vacance par un électron venant d’une liaison Si-Si proche et de
ce fait créer une vacance, un trou dans cette dernière liaison. De proche en proche,
le trou peut migrer dans le cristal. L’atome d’Al est un accepteur car il accepte un
électron d’une liaison proche. Ces électron ont une énergie tombant dans la bande
interdite, mais très proche du sommet de la bande de valence (0,067 eV) ce qui
fait que des électrons y sont facilement amenés laissant des trous dans la bande de
valence. Les semiconducteurs dopés avec des atomes accepteurs sont dits de type p
(“p” pour positif).
La jonction p-n
E F
V 0
Type n Type p
Diffusion de trous
Type n
E F
E
E F
zone de
charges d’espace
d 0
-98-
V(x)
Diffuson d’électrons
Type p
x
E F
Avant le
contact
Au contact
A l’équilibre
E F
✩
✪

✬
✫
Applications intéressantes
Mettons en contact un semiconducteur dopé n et un semiconducteur dopé p. Les
électrons du côté n vont diffuser vers le côté p (au sens ordinaire de la diffusion sous l’effet
d’un gradient de concentration) où ils vont se combiner avec des atomes accepteurs et
compléter leur liaison tétravalent. Comme l’atome accepteur (Al) a un nombre de
protons de 13, cet apport d’un électron supplémentaire va donner un ion chargé
négativement et fixe dans le réseau. Les “trous” qui diffusent de la zone p vers la
zone n donneront un effet contraire : ils vont absorber un électron de conduction
des atomes donneurs (P) et ces derniers vont former un ion positif. La création des
charges fixes (charges d’espace) entraîne celle d’un champ électrique qui s’oppose à
la diffusion des électrons et des trous. La zone de charges d’espace d’où est exclue
tute charge libre, a une certaine largeur d0.
On peut augmenter ou diminuer le champ électrique E existant au travers de la zone
de charges d’espace en appliquant une tension extérieure “directe” ou “inverse”.
E Polarisation directe E Polarisation inverse
Inversion de population dans une jonction
Nous avons vu que pour obtenir un laser, il nous faut réaliser une inversion de
population (condition nécessaire). Avec une polarisation directe, on abaisse la limite
inférieure de la bande de conduction et élève la limite supérieure de la bande de
valence. Quand une telle différence de potentiel est appliquée, les électrons et les
trous peuvent diffuser vers le côté p et vers le côté n respectivement.
Type n
Sans polarisation
Type p
E F
Type n
Type p
Avec une polarisation directe
On obtient ainsi plus d’électron dans la bande de conduction aux énergies proches
-99-
d
E C
E V
✩
✪

✬
✫
Applications intéressantes
du bas de la bande de conduction EC que dans la bande de valence près de EV. Cette
région où l’inversion de population est réalisée le long de la jonction est appelée la
“région active”.
Quand un électron descend de la bande de conduction à la bande de valence, il
émet un photon qui, à son tour, peut stimuler un autre électron à descendre de
la bande de conduction à celle de valence, produisant l’émission d’un photon par
émission induite. Nous avons rappelé que l’inversion de population était une condition
nécessaire (mais non suffisante) pour la fabrication d’un laser. Pour le laser à
rubis, nous avions de miroirs à chaque extrémité. Dans le laser à semiconducteur, les
faces du semiconducteur sont clivées (coupées selon un plan cristallin) ce qui assure
une planéité parfaite des deux miroirs. La largeur de la région active est choisie pour
y permettre le développement d’une onde stationnaire.
Remarque importante. Les lasers à semiconducteur utilisent le semiconducteur GaAs
et non le Si ou le Ge, pour des raisons dont l’explication dépasserait le cadre de ce
cours. Les longueurs d’onde de ces lasers sont de l’ordre de 635 nm (rouge) pour
ceux que l’on utilise dans les lecteurs de DVD et les pointeurs lasers.
On applique une polarisation directe
à la jonction et on injecte des
porteurs de charge (électrons)
au travers de la jonction pour initier
l’inversion de population.
Surface
“clivée” =
mirroir
Courant
Une deuxième application : le bruit de fond cosmique
p
n
Electrode
Electrode
Une des découvertes à la base de la théorie cosmologique du Big Bang est celle
du rayonnement isotrope à 2,7 K par A. Penzias et R. Wilson en 1965. Ces deux
chercheurs des laboratoires Bell étudiaient les problèmes de bruit dans les systèmes
de communication par satellites lorsqu’ils découvrirent un “bruit” dans les longueurs
d’onde millimétriques. Une courte digression vers la cosmologie est nécessaire.
-100-
GaAs
GaAs
✩
✪

✬
✫
Applications intéressantes
L’expansion de l’Univers et le découplage entre rayonnement et matière
Environ 10 6 années après le Big Bang, la température de l’Univers était descendue à
quelques 10 3 K ; au dessus de cette température, la matière (protons, noyaux légers
et électrons) était en équilibre avec le rayonnement ; par équilibre, nous voulons dire
que le rayonnement dissociait les atomes et que la recombinaison s’accompagnait de
l’émission de rayonnement : H + photon ↔ proton + électron .
Dans son expansion, l’Univers se refroidit, ce qui implique que les collisions deviennent
moins nombreuses et que l’énergie n’est plus suffisante pour que la réaction
se produise : matière et rayonnement évolueront dès lors de manière séparée ; on dit
que matière et rayonnement se sont découplés.
Les photons ont continué à se “refroidir” pour donner le bruit de fond cosmique ob-
servé pour la première fois en 1965 par Penzias et Wilson. Depuis, diverses mesures,
en particulier par le satellite COBE (Cosmic Background Explorer) équipé du spec-
trophotomètre FIRAS (Far Infrared Absolute Spectrophotometer), ont perfectionné
les mesures et étudié l’isotropie de ce rayonnement à 2,7 K. Le spectre ci-dessous
est le résultat de FIRAS. Les erreurs sur les données ont été multipliées par 500 :
elles n’auraient pas été visibles autrement ! La courbe est celle de Planck.
Intensité [MJ.a/sr]
400
300
200
100
0
Données de FIRAS
les erreurs ont été multipliées par 500
f [ /cm] (c = 1)
Corps noir à 2,728 K
0 5 10 15 20
-101-
✩
✪

✬
✫
La dualité onde - corpuscule
Nous avons vu au cours ddu semestre précédent les aspects ondulatoires (interférences,
diffraction) de la lumière et, également, ses aspects corpusculaires (effet
photoélectrique, effet Compton). Nous allons revenir dans ce chapitre sur cette dualité,
mais nous allons tout d’abord nous intéresser à cette même dualité dans le cas
des particules.
Les ondes de matière (de Broglie)
En 1913, Niels Bohr proposa son modèle pour expliquer le spectre atomique de
l’hydrogène. Ce modèle repose sur les postulats suivants :
1. Un électron dans un atome se meut sur une orbite circulaire autour du noyau
sous l’influence de l’attraction coulombienne et obéit aux lois de la Mécanique
classique.
2. Sur l’infinité d’orbites permises en Mécanique classique, l’électron ne peut être
que sur les orbites dont le moment cinétique L est un multiple entier de , la
constante de Planck divisée par 2π.
3. Sur cette orbite, l’électron ne rayonne pas, bien qu’il soit en constante
accélération radiale : son énergie totale E demeure constante.
4. Un rayonnement électromagnétique est émis ou absorbé si l’électron passe d’une
orbite d’énergie totale Ei à une autre d’énergie totale Ef. La fréquence du
rayonnement émis (ou absorbé) est de f = |Ei − Ef|
.
Les considérations ci-dessus amenèrent Louis de Broglie (1892 - 1987) à avancer que
la dualité onde-corpuscule s’applique aussi à la matière (1923). Voici ce qu’il dit en
1929, lors de la réception de son prix Nobel de Physique (traduction de l’anglais) :
“... Quand je commençais à considérer les difficultés [de la Physique
contemporaine], j’étais marqué principalement par deux faits. D’un côté, la
Théorie quantique de la lumière ne peut pas être considérée comme satisfaisante,
puisqu’elle définit l’énergie d’un quantum de lumière par l’équation
E = hf contenant la fréquence f. Une théorie purement corpusculaire ne
contient rien qui nous permette de définir une fréquence; pour cette raison
seule, par conséquent, nous sommes obligés, dans le cas de la lumière,
d’introduire l’idée de corpuscule et celle d’une onde simultanément. D’un
autre côté, la détermination d’un mouvement stable des électrons dans les
atomes implique l’introduction de nombres entiers et, jusqu’ici, les seuls
phénomènes dans lesquels des nombres entiers apparaissent en Physique
sont ceux de l’interférence et ceux des modes de vibration. Ce fait me
-102-
h
✩
✪

✬
✫
La dualité onde - corpuscule
suggéra que les électrons, aussi, ne pouvaient être considérés comme simplement
des corpuscules, mais qu’un aspect ondulatoire doit aussi leur être
attribué.”
De même qu’au photon est associée une onde qui régit sa propagation, de même, à
une particule de matière est associée une onde de matière dont l’intensité (son amplitude
au carré) donne une estimation de la présence de la particule. La proposition
de L. de Broglie restaure la grande symétrie entre matière et rayonnement.
De manière exactement similaire au cas du rayonnement, la fréquence de l’onde et
sa longueur d’onde sont reliées à son énergie totale et à sa quantité de mouvement :
Ordre de grandeur
E = hf et p = h/λ
Exemple 1 : Un électron est accéléré à 10 keV (10’000 Volts est la différence de
potentiel que l’électron traverse). A la fin de l’accélération, son énergie cinétique est
E cin = 1
2 mv2 = 10 keV ⇒ v = 5, 92 × 10 7 m/s
C’est déjà une vitesse d’environ 20 % de celle de la lumière. On peut, à la rigueur,
considérer que cet électron n’est pas relativiste.
La longueur d’onde de de Broglie correspondante est :
λ = h
mv =
6, 626 × 10 − 34 J · s
9, 109 × 10 − 34 kg · 5, 92 × 10 7 m/s = 1, 23 × 10− 11 m = 0, 0123 nm
Pour comparaison, l’énergie des RX ayant la même longueur d’onde serait de :
E = hf = hc
λ = 6, 626 × 10− 34 J · s · 3 × 10 8 m / s
1, 23 × 10 − 11 m · 1, 6 × − 19 J/eV
Ce sont donc des RX “durs” !
= 100 keV
Exemple 2 : Une balle de golf de 45 grammes est envoyée à la vitesse v = 30 m / s;
sa longueur d’onde de de Broglie est de λ = 4, 90 × 10 − 25 nm . Les longueurs
d’onde des objets macroscopiques sont si petites que les propriétés ondulatoires qui
leur sont associées nous échappent !
-103-
✩
✪

✬
✫
La dualité onde - corpuscule
Mise en évidence des ondes de matière
En 1926, Elsasser fait remarquer que la nature ondulatoire de la matière peut être
testée de la même manière que l’a été celle des RX. Cette idée a été confirmée la
même année par Davisson et Germer aux Etats Unis et par Thomson en Angleterre.
La figure suivante donne le montage expérimental utilisé par Davisson et Germer.
Appareillage de
Davisson et Germer
(1926)
Cristal cible
Filament
} Canon à électrons
Faisceau
incident
Détecteur
Faisceau
diffusé
Les électrons d’un filament chauffé sont accélérés dans un champ électrique et sortent
du “canon à électron” avec une énergie cinétique égale à la charge e multiplié par la
différence de potentiel V ; le faisceau est incident perpendiculairement sur un cristal
de Nickel. Le détecteur est placé à un angle θ et enregistre le courant d’électrons
diffusés pour diverses valeurs de la tension d’accélération V .
Il apparaît un pic à θ = 50 ◦ et V = 54 V.
L’existence d’un pic ne peut être expliquée que par l’interférence constructive
d’ondes diffusées sur un réseau cristallin ; d’autre part, l’interférence ne peut pas
être expliquée sur la base du mouvement des particules, mais par l’addition des
ondes ! C’est un phénomène que l’on connaît bien dans la diffraction des RX et que
l’on nomme “réflexion de Bragg”.
Conditions pour une interférence constructive
Sur la figure suivante, nous avons dessiné ce qui se passe sur les plans atomiques du
cristal cible de Nickel, ainsi qu’un agrandissement avec deux “rayons incidents” puis
réfléchis sur deux plans atomiques consécutifs. La différence de parcours des deux
rayons est de 2 ℓ = 2 d · cos(90 ◦ − ϕ) = 2 d sin ϕ .
θ
-104-
✩
✪

✬
✫
Faisceau
diffusé
d = 0,091 nm
Plans atomiques
θ = 50 o
La dualité onde - corpuscule
Faisceau
incident
ϕ = 65 o
Front d'onde
diffusé
d
l
o
90 - ϕ
l
Front d'onde
incident
Pour avoir une interférence constructive, il faut et suffit que cette différence de
chemin soit égal à un multiple entier de longueurs d’onde λ :
n λ = 2 d sin ϕ (Condition de Bragg)
Dans l’expérience de Davisson et Germer, la distance entre les plans atomiques a
été mesuré par diffraction des RX. On a trouvé d = 0, 091 nm . Comme θ = 50 ◦ ,
nous avons : ϕ = (180 ◦ − θ) / 2 = 65 ◦ . Pour n = 1, nous avons :
λ = 2 · 0, 091 × 10 − 9 · sin 65 ◦ m = 1, 65 × 10 − 10 m
La longueur d’onde de de Broglie pour des électrons dont l’énergie cinétique est de
54 eV est de :
p = √ 2 mE cin = 2 · 9, 1 × 10−31 · 54 · 1, 6 × 10− 19 = 3, 965 × 10 − 24 − 1
kg m s
d ′ où : λ = h
p =
6, 62 × 10− 34 J s
3, 965 × 10− 24 kg m s− 1 = 1, 65 × 10− 10 m
L’accord est impressionant et confirme l’hypothèse de de Broglie !
Remarque : nous avons supposé n = 1 et fait intervenir seulement les 2 premiers
plans atomiques, vu la faible énergie des électrons.
Remarque : nous n’avons pas encore défini ce que sont ces ondes de matière.
-105-
θ
ϕ
✩
✪

✬
✫
La dualité onde - corpuscule
Interprétation probabiliste
Avant d’arriver à l’équation de Schrödinger, discutons de la dualité ondescorpuscules
et du principe d’incertitude.
La dualité onde-corpscule
Nous avons vu au cours de Physique Générale I et II l’effet photoélectrique (1905) et
l’effet Compton. Ce dernier est caractérisé par la diffusion d’un RX sur un électron
libre de la matière. Les RX résultants de la diffusion sont analysés en fonction de
l’angle de diffusion et on pouvait connaître leur énergie par un simple calcul de
cinématique (relativiste) d’un choc entre deux particules.
Dans ce calcul, le RX (une onde électromagnétique!) était considéré comme une
particule dotée d’une quantité de mouvement p = hf
E = hf .
c
h
= et d’une énergie
λ
Nous avons aussi discuté de l’expérience de Young avec de la lumière, nous avons
conclu que la lumière a deux aspects : l’une corpusculaire, l’autre ondulatoire. L’aspect
ondulatoire prévaut dans la propagation, alors que lors d’une interaction avec
la matière donnant lieu à la détection (ou à l’émission) de l’onde, de l’énergie et de
la quantité de mouvement sont transférées via des photons. Nous ne pouvons pas
prédire l’endroit où un photon particulier issu de la source va être absorbé (c.à.d.
détecté), mais nous pouvons prédire la probabilité de détection en un point donné
de l’écran. Sur les franges brillantes de la figure d’interférence, la probabilité de
détection du photon sera grande, sur les franges obscures, elle sera nulle. Entre la
source et l’écran, des ondes de probabilité se propagent qui, par interférence, donnent
des “franges de probabilité” sur l’écran. Rappelons que les maxima d’intensité correspondent
au maxima du carré du module du vecteur champ électrique.
Pour les particules matérielles, plusieurs années après de Broglie, Max Born proposa
en 1936 d’unifier les deux aspects corpusculaire et ondulatoire en introduisant, en
plus de la longueur d’onde et la fréquence, une fonction, représentant l’onde de de
Broglie et que nous appelons fonction d’onde ψ. Pour une particule se déplaçant
sur l’axe x et dotée d’une certaine quantité de mouvement et d’une certaine énergie,
cette fonction d’onde peut s’écrire :
ψ(x, t) = ψ0 · sin 2π
x
λ
− f t
L’expression est en tous points analogue à celle du champ électrique dans le cas
-106-
✩
✪

✬
d’une onde lumineuse plane
✫
La dualité onde - corpuscule
E(x, t) = E0 · sin 2π
x
λ
− f t
Le module au carré de ψ(x, t) joue le même rôle que le module au carré de l’amplitude
du champ électrique : il donne la probabilité de trouver la particule entre x et x + dx
et à l’instant t. Si nous appelons cette probabilité P(x) dx, alors :
P(x) dx = |ψ | 2 dx
L’addition de deux ondes, E = E1 + E2 , a son analogue : ψ = ψ1 + ψ2 . C’est le
principe de superosition, à la base des phénomènes d’interférence et de diffraction
des ondes de matière.
Le principe d’incertitude
Nous venons de voir que |ψ | 2 dx donne le probabilité de trouver une particule
entre x et x + dx. Si nous parlons de probabilité, nous devons nous demander si
le déterminisme tel que nous l’avons vu en Mécanique classique reste valable. Par
déterminisme, nous entendons le fait que les équations du mouvement, une fois
connues les forces qui s’exercent sur le système ainsi que sa position et sa quantité
de mouvement initiales, nous permettent de calculer et de prédire la position et la
quantité de mouvement du système à tout instant. Nous reviendrons sur ce point
un peu plus tard.
En mécanique classique, nous pouvons prédire et mesurer exactement et simultanément
la position et la quantité de mouvement d’un objet.
On sait, par exemple, mesurer la distance Terre-Lune. On le fait en envoyant un
faisceau laser vers la Lune, faisceau qui s’y réfléchit. En mesurant le temps mis par
la lumière pour faire l’aller et le retour, on peut connaître la distance. Seulement, sous
l’impact des photons, la Lune doit reculer et, lorsque les photons partent de la Terre,
cette dernière recule également (conservation de la quantité de mouvement dans un
système isolé). Cependant, vu les énormes masse de la Terre et de la Lune, nous
pouvons négliger les reculs de ces dernières. Il en est ainsi des grandeurs “position”
et “quantité de mouvement” pour des objets “macroscopiques” (voir ci-après).
Qu’en est-il des objets “microscopiques”, des particules et des photons ? A cette question,
la Mécanique Quantique répond : NON, on ne peut pas mesurer simultanément
la position et la quantité de mouvement d’une particule avec une précision arbitrairement
élevée sur chacune des grandeurs ; on ne peut pas atteindre une précision
supérieure à celle donnée par la relation d’incertitude énoncée par Heisenberg :
-107-
✩
✪

✬
✫
La dualité onde - corpuscule
∆ px · ∆ x ≥
2
Dans cette relation, ∆ px et ∆ x sont les incertitudes sur les mesures de px et de x .
Exemples à propos du principe d’incertitude
Il est toujours difficile de comprendre tout de suite le prncipe d’incertitude. Nous
allons l’illustrer par quelques exemples.
Exemple 1 . Expérience de pensée (Gedankenexperiment) de Bohr.
Supposons quel’on projette de mesurer avec le maximum de précision la position d’un
électron et que l’on utilise pour cette mesure un microscope. Pour “voir” l’électron,
nous devons l’illuminer avec un faisceau lumineux et le repérer avec les photons
diffusés.
Là, immédiatement, nous voyons que nous ne pouvons pas tout maîtriser : en faisant
diffuser un photon, l’électron va subir un recul dans une direction qui nous est a
priori inconnue.
Supposons que l’électron soit “vu” si le photon est diffusé dans l’objectif du microscope.
Ce dernier a une ouverture angulaire de θmax .
Domaine angulaire
du photon diffusé
Electron
Source de
lumière
θ max
∆x
y
p selon x de
l'électron de recul
-(h / λ) sin θ
-108-
θ
x
p selon x du
photon diffusé
(h / λ) sin θ
Photon
diffusé
Photon incident
p = h / λ
✩
✪

✬
✫
La dualité onde - corpuscule
A cause de l’ouverture du microscope, l’incertitude sur la détermination de la quantité
de mouvement du photon diffusé est de
∆ px = 2 · h
λ
sin θmax
∆ px est également l’incertitude sur la détermination de la quantité de mouvement
selon x de l’électron.
Qu’en est-il de la localisation selon x de l’électron ? Rappelons que pour les instruments
d’optique, l’image d’un point est une figure de diffraction causée par l’ouverture
(circulaire) de l’objectif. Nous pouvons définir l’incertitude sur la mesure de la
position comme étant égale à la largeur à la base du pic principal de diffraction
∆ x
λ
sin θmax
L’image de diffraction résulte de l’accumulation d’un grand nombre de photons :
nous ne pouvons pas dire d’où est parti chacun des photons, mais considérer que la
majorité d’entre eux sont dans ∆ x. Nous avons donc :
∆ px · ∆ x = 2 · h
λ sin θmax ·
λ
sin θmax
= 2h ≥
2
On ne peut pas réduire simultanément l’incertitude sur les mesures de px
et de x comme on le souhaite.
On peut envisager de réduire la longueur d’onde de la lumière afin de diminuer
l’incertitude ∆ x, mais on augmente ainsi la quantié de mouvement du photon, donc
l’incertitude sur ∆ px, et vive versa. On peut aussi réduire l’ouverture angulaire θmax,
ce qui augmente la précision sur la mesure de px, mais dégrade la mesure de x.
Remarque. Nous avons écrit pour la composante selon x de la quantité de mouvement
du photon diffusé : px = h
sin θ . En fait, il fallait remplacer λ par la longueur
λ
d’onde du photon diffusé λ ′ = λ + h
(1 − cos θ) . Mais le raisonnement est
mo c
entièrement valable et les longueurs d’onde se simplifient de toute façon.
Remarque . Le fait même de faire la mesure perturbe l’état de l’électron ! Si nous
ne lui envoyons pas de la lumière, nous ne le voyons pas et nous ne savons pas où il
est. Si nous l’éclairons, le photon entre en collision avec lui et le met dans un état
final que nous ne maîtrisons pas.
-109-
✩
✪

✬
Exemple 2 .
✫
La dualité onde - corpuscule
La vitesse d’une balle de fusil et celle d’un neutron ultra-froid sont de 300 m · s −1 .
On les a mesurées à une précision de 10 −4 . Cherchons la limite intrinsèque d’une
détermination de leur position.
– Pour un neutron dont la masse est 1, 6748 10 −27 kg,
la quantité de mouvement est de p = m · v = 502, 44 10 −27 kg · m · s −1 ,
et l’incertitude sur p est de ∆ p = m ∆ v = 5, 0244 10 −29 kg · m · s −1 .
A cette incertitude sur p correspond une incertitude sur la position supérieure ou
égale à :
∆ x ≥
2 ·
1
=
5, 0244 10−29 6, 6 10 −34 J · s
2 · 2 π · 5, 0244 10 −29 kg · m · s −1
∆ x ≥ 1, 05 10 −6 m
– Pour une balle de fusil d’une masse m = 50 g , ∆ x ≥ 3 10 −32 m
Pour des objets macroscopiques, le principe d’incertitude ne met pratiquement aucune
limite à la précision de la mesure : dans l’exemple de la balle, la limite ultime
sur la détermination de la position est 10 −17 plus petite que les dimensions d’un
noyau atomique !
Exemple 3 .
Dans cet exemple, nous voulons mesurer la position selon y d’un faisceau parallèle
et large d’électrons en le faisant passer par une fente de largeur ∆ y. Initialement,
on sait avec une certitude absolue que la composante de la quantité de mouvement
selon y est nulle ; on peut le savoir précisément car on ne connaît rien de la position
y des électrons.
Faisceau d'électrons
∆y
p y
θ
y
p
-110-
x
p x
✩
✪

✬
✫
La dualité onde - corpuscule
En passant par la fente, l’onde associée à un électron est diffractée et l’angle θ
jusqu’au premier minimum de diffraction est
sin θ = λ
∆ y
avec ∆ y = largeur de la fente
La figure de diffraction donne ici la distribution des probabilités de trouver cet
électron sur l’écran. Evidemment, comme on l’a vu avec le photon, un électron
arrive n’importe où sur l’écran, à l’exception des endroits des minima. En effectuant
la même mesure sur un grand nombre d’électrons, on obtient la figure de diffraction.
Après le passage à travers la fente, on ne peut plus dire que la composante selon y
de la quantité de mouvement de l’électron est nulle : l’électron peut être n’importe
où entre − θ et +θ (avec une grande probabilité pour θ = 0 ). Donc :
∆ py p sin θ = p · λ
∆ y
(voir figure)
Avec la relation de de Broglie p = h
, nous avons :
λ
∆ py = h
∆ y
⇒ ∆ py · ∆ y = h
en accord avec la limite imposée par la relation d’incertitude de Heisenberg.
Conclusions
Trois importants concepts ont été décrits dans ce chapitre :
1. La quantification de l’énergie introduite en 1900 par Max Planck. La
portée de cette idée ne fut pas reconnue immédiatement par son auteur, ni
par ses contemporains. Ce n’est qu’en 1905 qu’Einstein l’appliqua à l’effet
photoélectrique et suggéra que cette quantification est une propriété fondamentale
de la lumière et non pas une propriété mystérieuse des “oscillateurs”
de la cavité et du rayonnement qui s’y trouve.
2. Les aspects ondulatoire et corpusculaire de la matière et du rayonnement. L’aspect
corpusculaire apparaît dans l’émission ou l’absorption, alors que l’aspect
ondulatoire domine dans la propagation.
La prédiction, c.à.d. la proposition sur ce qui peut être observé, est faite sur la
base de l’aspect ondulatoire. Les phénomènes sont ainsi décrits par des fonctions
d’ondes, solutions d’équations d’ondes.
– Pour le rayonnement, la fonction d’onde est le champ électrique E(x, t) ,
solution de l’équation d’onde ∂2E = µ0ɛ0
∂x2 -111-
∂ 2 E
∂t 2 avec c =
1
√ .
µ0ɛ0
✩
✪

✬
✫
La dualité onde - corpuscule
– Nous étudierons au prochain paragraphe la fonction d’onde ψ(x, t) des
particules.
– Le carré de l’amplitude de la fonction d’onde donne la probabilité (par unité
de volume ou par unité de longueur, de surface) de trouver la particule si on
la recherche.
3. Le principe d’incertitude. Ce principe nous montre que la “mesure” perturbe
gravement l’état du système.
Ainsi, dans l’expérience d’interférence des fentes de Young avec la lumière, si
nous voulons savoir par quelle fente le photon est passé, cette mesure de la “position”
perturbe tellement la quantité de mouvement que la figure d’interférence
disparaît ! Nous pouvons observer l’aspect ondulatoire ou l’aspect corpusculaire,
mais le principe d’incertitude nous empêche de les observer simultanément.
-112-
✩
✪

✬
✫
Quelques grands noms de la Physique
La période allant de 1900 à la seconde guerre mondiale fut extrêmement féconde pour
la Physique et a permis de jeter les bases de la Physique et de la Science actuelles.
Parmi les géants de cette période, nous citons ici quelques uns de ces personnages
qui ont une relation avec ce cours.
Max Planck 1858 - 1947
Physicien allemand, une grande partie de sa carrière s’est déroulée à Berlin. La
constante qui porte son nom révolutionna la Physique et amena à la Physique Quantique.
Arthur Compton 1892 - 1962
Physicien américain, il suggéra le premier le nom de photon au quantum de lumière.
Sa découverte et son explication de l’effet Compton lui a valu le prix Nobel en 1927.
Niels Bohr 1885 - 1962
Physicien danois, il reçut le prix Nobel de Physique en 1922 pour son explication du
spectre de l’Hydrogène. Pendant une visite aux USA en 1939, il apporta la nouvelle
que la fission de l’Uranium a été observée par Otto Hahn (1879 - 1968, prix Nobel de
Chimie en 1944) et Fritz Strassmann (1902 - 1980). Il fonda “l’Ecole de Copenhague”
qui laissera son nom à une interprétation de la Mécanique Quantique.
Louis de Broglie 1892 - 1987
Physicien français, il était initialement un littéraire ; fasciné par les travaux de son
frère Maurice, physicien, il s’intéressa aux sciences. Son travail de thèse reçut les
louanges de Langevin et lui valut, ce qui était une première, le prix Nobel, décerné
en 1929.
Clinton Davisson 1881 - 1958
Physicien américain, il partagea le prix Nobel en 1937 avec G. P. Thomson pour
leur travaux sur la diffraction des particules. Germer était l’assistant de Davisson
au Bell Telephone Laboratory.
Werner Heisenberg 1901 - 1976
Physicien allemand, il a effectué sa thèse sous la direction de Sommerfeld. Il fut
directeur des recherches sur la bombe atomique allemande durant la deuxième guerre
mondiale. Ses travaux sur la Physique quantique lui valut le prix Nobel de Physique
en 1932.
-113-
✩
✪

✬
✫
Quelques grands noms de la Physique
Erwin Schödinger 1887 - 1961
Physicien autrichien, il succéda à Planck à la chaire de Physique théorique de l’Université
de Berlin en 1928, quelques années après avoir publié une série d’articles
qui jetèrent les fondements de la Mécanique ondulatoire. Il reçut le prix Nobel de
Physique en 1933 avec P. M. A. Dirac. En 1940, il quitta l’Europe occupée par les
Nazi pour s’installer en Irlande.
Max Born 1882 - 1970
Physicien allemand, il commença sa carrière à l’Université de Berlin où il a remplacé
Planck dans ses charges d’enseignement. Il reçut le prix Nobel de Physique en 1954
pour son interprétation du carré de l’amplitude de la fonction d’onde | ψ | 2 .
-114-
✩
✪