Séries - Suites et séries de fonctions - Intégrales généralisées. 1 ...

Université Marne-la-Vallée
Préparation au CAPES
2008/2009
Analyse
Intégrales - Séries - Suites et séries de fonctions - Intégrales généralisées.
1 Intégrales
Exercice 1. Positivité de l’intégrale. Soit f une fonction réelle continue sur [a, b], a ≤ b, telle que
b
f(t) dt
=
b
|f|(t) dt.
Montrez que f est de signe constant sur [a, b].
a
Exercice 2. Convergence des sommes de Riemann. Soit f une fonction C2 sur [0, 1]. On note
Rn(f) := 1
n−1
f(k/n). Montrer que
n
k=0
1
Rn(f) = f(t) dt +
0
a
f(0) − f(1)
2n
+ o(1/n).
Exercice 3. Une somme de Riemann cachée. Calculer la limite de la suite un =
(2n)!
n!nn 1/n .
Exercice 4. Intégration et dérivation. Soit f une fonction C1 sur [a, b] (a ≤ b) telle que f(a) =
f(b) = 0. Montrer que
∀x ∈ [a, b], |f(x)| ≤ 1
b
|f
2
′ |(t) dt.
Exercice 5. Lemme de Lebesgue. Soit a ≤ b et f une fonction C 1 sur [a, b]. Montrez que
b
lim
n→∞
a
a
f(t) sin(nt) dt = 0.
Cette propriété reste vraie lorsque f est seulement supposée continue. Comment peut-on le démontrer ?
Exercice 6. Limite d’une suite d’intégrale. Soit f : [0, 1] → R une fonction continue strictement
croissante telle que f(0) = 0 et f(1) = 1. Montrer que
1
lim
n→+∞
0
f(t) n dt = 0.
Exercice 7. Une autre. . . Soit f : [a, b] → R une fonction positive et continue sur [a, b]. Montrer que
b
f(t) n 1/n dt
a
−−−−−→
n→+∞
sup f(t).
t∈[a,b]
Exercice 8. Intégration et dérivation. Soit f : [0, 1] → R une fonction C1 telle que f(0) = 0 et
0 ≤ f ′ 1
(t) ≤ 1, pour tout t ∈ [0, 1.] On introduit F (x) := f(t) dt.
1
1. Montrer que f 3 1
(t) dt ≤ 2 F (t)f(t) dt.
0
1
2. En déduire que f 3 1
(t) dt ≤ f(t) dt
0
0
0
2
.
1
x

Exercice 9. Intégrales de Wallis. Pour n ∈ N, on pose
π/2
(sin x) n dx.
In :=
0
1. Montrer que In → 0.
2. Calculer In+2 en fonction de In. En déduire une formule explicite de In pour tout n ∈ N.
3. Montrer que In ∼ In+1.
4. En calculant InIn+1, montrer que In ∼
π
2n .
Exercice 10. Un prolongement C 1 . Soit f : R → R une fonction C 2 telle que f(0) = 0. On définit
g : R → R par
g(0) := f ′ (0) et ∀x = 0, g(x) := f(x)
x .
Montrer en utilisant le théorème de dérivation sous le signe que g est C 1 sur R.
Exercice 11. Encore une limite d’intégrales. Soit f une fonction définie sur [0, 1], à valeurs strictement
positives et continue. Montrer que
lim
α→0 +
1
f(t) α 1/α
dt
0
1
= exp ln(f(t)) dt .
0
Exercice 12. Fonctions de Bessel. Soit n ≥ 0 et ϕ : R → R définie par
π
ϕ(x) = cos x sin(θ) − nθ dθ.
Montrer que ϕ est C 2 et qu’elle vérifie l’équation différentielle
0
x 2 ϕ ′′ (x) + xϕ ′ (x) + (x 2 − n 2 )ϕ(x) = 0.
Exercice 13. Calcul de l’intégrale gaussienne. On pose f(x) = 1
0
0
e −x2 (1+t 2 )
1+t 2
dt, pour tout x ≥ 0.
1. Montrer que la fonction f est de classe C1 sur R + .
2. Calculer f ′ .
3. On pose g(x) = x
0 e−u2 du. Montrer que la fonction f + g2 est constante sur R + .
4. Calculer f(0) + g2 (0). Montrer que f(x) → 0 quand x → +∞, et en déduire la formule
+∞
e −u2
√
π
du =
2 .
Exercice 14. Un exemple de polynômes orthogonaux : les polynômes de Legendre. Soit C
l’espace des fonctions continues sur [−1, 1]. Pour f, g ∈ C, on introduit :
1
〈f, g〉 := f(t)g(t) dt.
Pour n ≥ 0, on introduit la fonction
1. Montrer que Pn est un polynôme de degré n.
2. Montrer que pour n ≥ 1 et Q ∈ Rn−1[X],
−1
Pn(t) := [(t − 1) n (t + 1) n ] (n) .
〈Pn, Q〉 = 0.
En déduire que si n = m, 〈Pn, Pm〉 = 0.
3. Pour tout polynôme P , on note D(P ) l’ensemble (éventuellement vide) des racines réelles de P qui
sont dans [−1, 1] et qui ont un degré impair. Montrer que P s’écrit
P (X) = R(X)
(X − α)
α∈D(P )
où R est un polynôme ayant un signe constant sur [−1, 1].
4. Montrer que Pn a exactement n racines réelles distinctes, toutes dans [−1, 1].
2

2 Séries Numériques
Exercice 15. Déterminer la nature des séries de termes généraux
(d) 1 + 1
2n
− 1 +
n + 1
2
n n + a
n!
(a) , (b) ean2 1 −
(2n − 1)! a
3
n
n
(a = 0), (c) e −√ n
(a > 0), (e) cos πn 2
n
ln
, (f)
n + 1
un
√ n
(−1) n n − √ n .
Exercice 16. Critère de Duhamel. Soit un une suite strictement positive. On suppose qu’il existe
a > 0 tel que
un+1
= 1 − a
1
+ o .
n n
Montrer que si a > 1, alors la série est convergente et si a < 1, alors elle est divergente.
Application : étudier les séries de termes généraux
n.n!
(a + 1)(a + 2) · · · (a + n) , (a > 0) et √ n! sin(1) · sin(1/ √ 2) · · · sin(1/ √ n).
Exercice 17. Séries positives à termes décroissants.
1. Soit un une suite décroissante et positive. Montrer que si la série un converge alors lim nun = 0.
La réciproque est elle vraie ?
2. Soit un une suite décroissante et positive. On pose vn = 2 n u2 n ; montrer que les séries un et vn
sont de même nature.
Application : donner la nature de la série de terme général
1
en fonction de α ≥ 0.
n ln(n) α
Exercice 18. Equivalent du reste d’une série convergente. Soit α > 1. On sait que la série 1
n α est
convergente. Montrez que, quand n → +∞, on a l’équivalent
+∞
k=n
1 1
∼
kα α − 1
1
.
nα−1 Exercice 19. Constante d’Euler. Montrer qu’il existe une constante γ > 0 tel que
Application : Donner la valeur de
+∞
k=1
n
k=1
(−1) k+1
.
k
1
= ln(n) + γ + o(1).
k
Exercice 20. Formule de Stirling. On pose, pour tout n ≥ 1, wn = n
ln(t) dt − ln(n).
n−1
1. Calculer n k=2 wk.
2. Montrer, en intégrant par partie, que wn = − 1
2n − xn avec xn = 1
n
2 1
(t − n + 1)
2 n−1
t
3. Montrer que la série de terme général xn est absolument convergente.
4. En utilisant l’exercice précédent, montrer qu’il existe une constante K > 0 telle que
n! ∼ K √
n
n n .
e
Exercice 21. Transformation d’Abel. Soit θ ∈ R ; déterminer la nature de la série de terme général
sin(nθ)
. On effectuera une transformation d’Abel.
n
3
2 dt.

Exercice 22. Etude d’une suite récurrente. On considère la suite définie par u0 > 0 et
un+1 = une −un .
1. Montrez que la suite un est strictement positive et convergente. Quelle est sa limite ?
2. Trouvez α ∈ R tel que (u α n+1 − u α n) −−−−−→
n→+∞ 1.
3. Montrez que un ∼ 1
n .
Exercice 23. La série des inverses des nombres premiers diverge. On considère la suite des
nombres premiers : p1 < p2 < . . . < pn < . . . ; le but de l’exercice est de montrer que la série 1
diverge. Pour cela, nous allons raisonner par l’absurde et supposer que la série converge. Il existe no ≥ 1
tel que
+∞ 1
< 1
. (1)
2
pn
n=no+1
Dans la suite, les éléments de {p1, . . . , pno } seront appelés les petits nombres premiers et les autres seront
appelés les grands nombres premiers. Soit N ≥ 1 un entier qui sera fixé ultérieurement.On désigne par A1
le cardinal des entiers 1 ≤ n ≤ N admettant divisible par au moins un grand nombre premier, et A2 le
cardinal des entiers 1 ≤ n ≤ N n’admettant que des petits diviseurs premiers.
1. Montrer que A1 + A2 = N.
(on utilisera (1)).
3. Montrer que A2 ≤ 2no √
N.
2. Montrer que A1 < N
2
4. Aboutir à une contradiction en choisissant un bon N.
3 Suites et séries de fonctions
Exercice 24. Quelques exemples de suites de fonctions. Étudier la convergence des suites de
fonctions suivantes :
(1) fn : [0, 1[→ R : x ↦→ xn (2) fn : [0, 1] → R : x ↦→ xn (1 − x)
(3) fn : R∗ + → R : x ↦→ n x1/n − 1
(4) fn : R → R : x ↦→ nx
1+n2x2 (5) fn : R → R : x ↦→ nx3
1+nx2 (6) fn : R + → R : x ↦→ 1 + x
n n
Exercice 25. Propriétés stables par convergence simple. Soit fn : I → R une suite de fonctions
convergeant simplement vers f sur I ; montrer que si les fn sont croissantes (resp. convexes) (resp. k-
Lipschitz) alors f aussi.
Exercice 26. Convergence uniforme et composition. On considère une suite de fonctions (fn)n
convergeant uniformément vers f sur un intervalle I. Montrer que si g : R → R est une application
uniformément continue, alors la suite (g ◦ fn)n converge uniformément vers g ◦ f.
Exercice 27. Approximation polynômiale de √ x. Soit Pn la suite de fonctions polynômes définies
par P0 = 0,
Pn+1(x) = Pn(x) + 1
2
2 x − Pn(x) ;
montrer que cette suite converge uniformément sur [0, 1] vers la fonction x ↦→ √ x.
Exercice 28. Une preuve du Théorème de Weierstrass. Nous allons montrer que toute fonction
continue sur un segment est la limite uniforme d’une suite de polynômes.
1. Expliquer pourquoi on peut se limiter au cas du segment [0, 1].
2. Montrer que pour tout a ∈ [0, 1] la fonction ha : [0, 1] → R : x ↦→ x−a+|x−a| est la limite uniforme
d’une suite de polynômes sur [0, 1]. Indication : on utilisera l’exercice précédent.
3. En déduire que toute fonction continue affine par morceaux sur [0, 1] est limite uniforme d’une suite
de polynômes.
4. Conclure.
4
n
pn

Exercice 29. Théorème de Dini. Soit fn une suite de fonctions continues sur [0, 1] convergeant
simplement vers f. On suppose que f est continue et que la suite fn est croissante, c’est-à-dire que pour
tout x ∈ [0, 1], et tout n ∈ N, fn+1(x) ≥ fn(x) ; montrer que la convergence est uniforme.
Application : reprendre les exercices 24 (6) et 27.
Exercice 30. Etudes de séries de fonctions. Étudier la convergence des séries de fonctions fn :
(1) fn : [0, 1] → R : x ↦→ n 2 (x 2n − x 2n+1 ) (2) fn : R + → R : x ↦→ nx 2 e −x√ n
Exercice 31. Etude d’une série de fonctions. Etudier la convergence de la série de fonctions
ne −nx
et déterminer sa somme.
Exercice 32. Fonction ζ de Riemann. Montrer que la fonction donnée par ζ(s) :=
définie et C 1 sur ]1, +∞[. Montrer aussi que lorsque s → 1 + , ζ(s) ∼ 1
avec l’intégrale de f(t) := t −s ).
Exercice 33. Calcul de +∞
n=1
n
Sn(t) = up(t).
p=1
+∞
n=1
n
1
est bien
ns (on pourra faire une comparaison
s − 1
sin(nx)
n . Pour n ≥ 1 et x ∈]0, π[, on pose un(t) = t n−1 sin(nx) et
1. Montrer que pour tout 0 ≤ a < 1 la suite de fonctions Sn converge uniformément sur [−a, a] vers
une fonction S qu’on déterminera. Que se passe-t-il pour t = ±1 ?
1
2. Calculer S(t) dt.
1
3. Montrer que
4. En déduire la valeur de
0
0
Sn(t) dt −−−−−→
n→+∞
+∞
n=1
1
S(t) dt.
0
sin(nx)
.
n
Exercice 34. Caractérisation séquentielle de la convergence uniforme. Soit fn une suite de
fonctions continues sur un espace vectoriel normé E de dimension finie et f une fonction continue sur E.
Montrer que la suite fn converge uniformément vers f si et seulement si pour toute suite xn convergeant
vers x on a fn(xn) −−−−−→
n→+∞ f(x).
Exercice 35. Un théorème de point fixe. Soit (E, · ) un espace vectoriel normé de dimension fine
et B sa boule unité fermée. On considère f : B → B telle que f(x) − f(y) ≤ x − y.
1. On pose pour tout n ≥ 1, fn = (1 − 1/n)f. Montrer que fn admet un unique point fixe dans B ; on
le notera xn.
2. Montrer que la suite fn converge vers f uniformément sur B.
3. En utilisant la compacité de B et l’exercice précédent, montrer que f possède un point fixe.
4 Intégrales Généralisées
Exercice 36. Natures de diverses intégrales généralisées. Déterminer la nature des intégrales
suivantes
+∞
t
(1)
1
2 + 1
t3 +∞
t
dt, (2)
+ t + 3 0 et
1
+∞
1 − t
dt
dt, (3)
dt, (4)
− 1 0 t
2 ln t ,
1 +∞
+∞
1
cos t
sin t
(5) sin dt, (6)
dt, (7)
0 t
0 1 + t2 0 t(ln 2 1
tan t − t
dt, (8)
(t) + 1) 0 t 5
2 sin t dt,
+∞
e
(9)
−1/t √
1
− cos (1/t)
sin t
dt, (10)
t
et +∞
dt, (11) ln (cos (1/t)) dt,
− cos t
1
0
5
5

+∞
sin t
(12) dt, (13)
1 t
+∞
cos(t 2 +∞
) dt, (14)
1
1
ln 1 +
sin t
dt.
t
Exercice 37. Calcul de quelques intégrales généralisées. Montrer que les intégrales suivantes sont
convergentes et donner leur valeur
+∞
(1)
0
t 2 e −t 1
dt, (2)
0
+∞
ln t
dt, (3)
(1 + t) 2
0
t dt
(1 + t2 .
) 2
π/2
Exercice 38. Un calcul d’intégrale. Montrer que l’intégrale I = ln (sin t) dt converge et donner
sa valeur. Indication : Pour calculer I, on effectuera le changement de variable u = t/2.
Exercice
39. Une intégrale généralisée dépendant d’un paramètre. On pose pour tout x ≥ 0,
+∞
sin(xt)
I(x) =
e
0 t
−t dt.
1. Montrer que l’intégrale I(x) est convergente pour tout x ≥ 0.
n
sin(xt)
2. Pour tout n ≥ 1, on pose In(x) =
e
t
−t dt. Montrer que les fonctions In sont de classe C1 .
3. Montrer que I est de classe C1 .
+∞
4. Calculer I(x) et en déduire l’existence et la valeur de
Exercice 40. La fonction Γ. Soit
1/n
+∞
Γ(x) :=
0
0
t x−1 e −t dt.
1. Montrer que le domaine de définition de Γ est ]0, +∞[.
2. Montrer que pour x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x) et que pour n ≥ 1,
3. Calculer Γ( 1
2 ).
4. Soit, pour n ∈ N ∗ et x ∈]0, +∞[,
Γ(n) = (n − 1)!
n
Γn(x) :=
Montrer que la fonction Γn est C1 sur ]0, +∞[.
+∞
5. Montrer que pour x > 0, l’intégrale L(x) :=
0
1
n
t x−1 e −t dt.
6. Montrer que la fonction Γ est C 1 sur ]0, +∞[ et que l’on a
Γ ′ +∞
(x) =
0
0
sin(t)
e
t
−λt dt, pour λ > 0.
ln(t) t x−1 e −t dt est absolument convergente.
ln(t) t x−1 e −t dt.
1
7. Montrer que Γ(x) ∼
0 + x .
8. Montrer que la fonction Γ ′ est croissante (et donc que la fonction Γ est convexe). En utilisant Γ(1)
et Γ(2), donner le tableau de variation de Γ (en particulier, montrer que lim Γ(x) = +∞).
x→+∞
Exercice 41. Equivalents d’intégrales. Montrer que
lorsque x → +∞.
x
1
e t2 /2 dt ∼ e x2 /2
x
et
6
+∞
x
e −t2 /2 dt ∼ e −x2 /2
x
,

Exercice 42. Un calcul de l’intégrale gaussienne. Soit fn la suite de fonctions définies sur R + par
1 −
fn(x) =
x2
n n si x ≤ √ 0
n
si x > √ n .
1. Montrer que la suite fn converge uniformément sur tout compact de R + vers la fonction f(x) = e−x2. 2. Pour tout n ≥ 0, on pose In = +∞
0
et montrer que I = lim
n→+∞ In.
3. Montrer que In = √ π/2
n sin 2n+1 (t) dt.
0
+∞
4. En utilisant les intégrales de Wallis, montrer que e −x2
dx =
fn(x) dx et I = +∞
f(x) dx. Jusifier l’existence de ces intégrales
0
7
0
√ π
2 .