GSM-121 Équations et inéquations 1 MAT-2006-1

MAT-2006-2
Équations et inéquations 1
exercices supplémentaires
LES "vlimeux" de
PROBLÈMES ÉCRITS
(SOLUTIONS INCLUSES)
5 février 2005
par Jacques Marcotte, Asbestos
http://www.sitsatestrie.org page 1 MAT-2006-2
problèmes écrits

"Pas encore les maudits problèmes écrits !!!"
Bon! c'est parti...
J'ai entendu cette phrase des dizaines et des dizaines de fois. Ces
problèmes font peur et ils sont difficiles à comprendre pour plusieurs.
Nous allons essayer de démêler tout ça ensemble. Malheureusement, il
n'existe pas de solution miracle. On va tenter de débuter avec des
problèmes simples et on va compliquer l'histoire au fur et à mesure chemin
faisant.
Les problèmes écrits, je ne sais pas qui a inventé cette expression, mais elle est plutôt curieuse.
Finalement on voulait parler des problèmes dans lesquels on retrouve beaucoup de texte.
Dans ce texte que vous être entrain de lire, nous allons apprendre à résoudre des problèmes à
donnée textuelle à l'aide d'une équation à une seule inconnue.
Qu'est-ce qu'une équation?
dans une équation, on retrouve obligatoirement 2 items:
1. une variable (une lettre, une inconnue)
2. un signe égal
les expressions suivantes sont des équations:
2x - 2 = 43
x = 3
2x + 34 = 4x - 21
Je vous donne ici un exemple de problème que nous aurons à résoudre bientôt:
Dans un cinéma, nous comptons 220 personnes. Il y avait 3 fois plus de
femmes que d'enfants et il y avait 2 fois plus d'hommes que de femmes.
Combien y avait-il d'hommes, de femmes et d'enfants?
Nous allons tout d'abord apprendre à traduire un texte en donnée algébrique.
Je me nomme Hubert et j'ai 32 ans. Quel sera mon âge dans 8 ans?
http://www.sitsatestrie.org page 2 MAT-2006-2
problèmes écrits

éponse: __________________
Quelle opération arithmétique avons-nous effectué pour obtenir cette réponse?
réponse: __________________
Cette question est très facile, n'est-ce pas?
Dans 8 ans, Hubert aura 32 + 8 = 40 ans, nous avons effectué une addition (une somme).
Compliquons un peu les choses:
Je me nomme Hubert et mon âge, je ne vous le dis pas. Quel sera mon âge dans 12 ans?
réponse: on ne le sait pas
Et c'est tout à fait exact. En algèbre, la science des inconnues, il nous arrive tout le temps de
travailler avec des chiffres que nous ne connaissons pas. Cependant, si on nous donne quelques
indices, il nous sera possible de créer une équation, de la résoudre et de trouver le nombre
cherché. Comme dans le problème qui suit:
Je me nomme Hubert et mon âge, je ne vous le dis pas. Tentez de le deviner si je vous dis que
dans 12 ans, mon âge sera le double de l'âge que j'ai présentement?
Si je choisis A qui représente l'âge actuel de Hubert
je pourrai alors écrire l'équation suivante:
mon âge actuel plus 12 ans égale 2 fois mon âge actuel
A + 12 = 2 X A
ou mieux: A + 12 = 2A
voilà le genre de problème que nous aurons à résoudre dans les pages qui suivent:
ATTENTION:
-lorsqu'on vieillit, on additionne les années (on ne multiplie pas)
-lorsqu'on rajeunit, on recule dans le temps, on doit alors soustraire (on ne divise pas)
http://www.sitsatestrie.org page 3 MAT-2006-2
problèmes écrits

Il y a un minimum en dessous duquel on ne peut aller. Pour certains c’est du « par cœur » mais
comme le dirait Jean Chrétien : « que voulez-vous? « Il faut ce qu’il faut. Toute science exige
un minimum de vocabulaire alors voici le vôtre.
Un peu de vocabulaire
absolument essentiel:
les quelques mots qui suivent sont
super-extra importants, on les retrouve couramment
dans les problèmes et si vous ne connaissez pas le sens de
ces mots. vous serez tout simplement incapables de
résoudre ces problèmes
une somme correspond à une addition +
une différence correspond à une soustraction -
un produit correspond à une multiplication X
un quotient correspond à une division ⌯
Toujours du vocabulaire:
le double 2 fois
le triple 3 fois
le quadruple 4 fois
le quintuple 5 fois
le sextuple 6 fois
le septuple 7 fois
l'octuple 8 fois
Un nombre pair
un nombre pair est un nombre entier qui se
divise exactement (ou sans reste) par le
nombre 2
Un nombre impair
ce sont tous les entiers qui ne sont pas pairs
(je sais, je ne gagnerai pas de prix avec cette
définition)
http://www.sitsatestrie.org page 4 MAT-2006-2
problèmes écrits

Encore un peu plus de vocabulaire:
la moitié d'un nombre
les trois quarts d'un nombre
deux fois plus
Jean a en main X dollars, Claude en a 2 fois
moins
Luc est quatre fois plus jeune que Steve (S)
Le double de mon âge
Le double de l’âge que j’aurai dans 7 ans si A
est mon âge actuel
La moitié de l’âge que j’avais il y a 12 ans
la somme de 3 et de la sixième partie de A
diviser par 2 ou multiplier par une demie
A ou 1 A
2 2
C’est multiplier par 3/4: 3A ou 3 A
4 4
c'est multiplier par 2: 2A
1 X ou X
2 2
1 S ou S
4 4
2A
2 ( A + 7 )
1 ( A – 12 ) ou ( A – 12 )
2 2
3 + A ou 3 + 1A
6 6
Quelques notions de base:
L’ âge actuel de Simon est A, il y a 3 ans (on dit aussi voilà 3 ans) il avait: A-3
Le double d'un nombre S 2S
Si mon âge actuel est M, dans 63 ans j'aurai: M + 63
le quadruple d'un nombre G 4G
Vingt de plus que ce que j'ai dans les poches (P) P+20
le double d'un nombre ajouté à son triple 2N + 3N
le septuple d'un nombre augmenté de 43 7N + 43
le triple d'un nombre T diminué de 45 3T - 45
j'ai 17 ans, dans X années j'aurai quel âge 17 + X
23 diminué du double d’un nombre P 23 – 2P
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ajouter
augmenter
hausser
Des mots clés:
La somme
ajouter 4 à 17
ajouter 31 à P
un nombre N ajouté à son double
augmenter 12 de 31
augmenter Y de 32
âge de Pierre augmenté de 3
hausser Y de 23
le prix P haussé de 10$
17 + 4
P + 31
N + 2N
12 + 31
Y + 32
P + 3
Y + 23
P + 10
de plus Jean a 23$ de plus que Jules (S) S + 23
dans 3 ans
Jean a 15 ans, dans 3 ans il aura :
Sébast a 12 ans dans A ans il aura :
15 + 3
12 + A
La soustraction
enlever
soustraire
extraire
ôter
retrancher
réduire
retrait
diminuer
enlever 20$ à mon salaire S
enlever 20$ de mon salaire S
un nombre P duquel j’enlève 34
soustraire 22 à 6
soustraire 23 de 43
soustraire le double d’un nombre S de 26
ôter 23 de 3
retrancher 4 d'un nombre T
réduire 43 de 2
réduire le prix P de 3$
diminuer 32 de 3
un nombre A diminué de 88
167 diminué de G
S - 20
S – 20
P - 34
6 - 22
43 – 23
26 – 2S
3 - 23
T - 4
43 - 2
P – 3$
32 - 3
A - 88
167 - G
de moins tu as 41 ans et j'ai H années de moins 41 - H
il y a 7 ans mon âge il y a 7 ans
A - 7
voilà 7 ans mon âge voilà 7 ans
A - 7
différence
j'ai x ans et j'ai 23 ans de différence avec
maman, l'âge de maman est
x + 23
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le double de ....
les trois-quarts de
Le produit
le double de 36
le double de l'âge A
2 X 36
2 A
les trois-quarts du montant M 3 M
4
fois plus Jean a R billes j'en ai 4 fois plus 4 R
le triple le triple de L 3 L
le quadruple le quadruple de H 4 H
le quintuple le quintuple de F 5 F
le sextuple Le sextuple de W 6 W
l'octuple L’octuple de D 8 D
Le Quotient
fois moins
la moitié
le tiers
le quart
le cinquième
le sixième
Jean a 21 ans, Luc en a 3 fois moins 21
3
La moitié de N N
2
Le tiers de T T
3
Le quart de 25 25
4
Le cinquième de R R
5
Le sixième de W W
6
Ne jamais jamais oublier : une variable (appelée aussi
inconnue) représente un nombre que nous ne connaissons pas.
À votre tour maintenant de vous délier les doigts:
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EXERCICE 1
La donnée textuelle
1) j'ai 12 ans, voilà 8 ans j'avais: ( le calcul, pas la réponse)
2) aujourd'hui j'ai B années, dans 3 ans j'aurai
3) j'ai P années, voilà 12 ans j'avais:
4) j'ai 23 ans, dans A années j'aurai:
5) mon âge est S, dans combien de temps aurai-je 72 ans?
6) j'ai 34 ans, dans combien d'années aurai-je M ans?
7) j'ai 78 ans, il y a R années j'avais quel âge?
8) Johnny a P dollars, Luc en a trois fois moins, combien Luc a-t-il?
9) un nombre B diminué de 10
10) soustraire 87 d'un nombre P
11) soustraire P de 87
l'expression
algébrique
Vous trouverez les réponses pas très loin dans les pages qui suivent.
Petit conseil d'ami: si vous avez commis des erreurs, il est très important de les comprendre
maintenant et de clarifier tout ça avant de passer à autre chose.
EXERCICE 2
La donnée textuelle
1 Le triple de 3,2
2) La demie de W
3) les trois quarts de mon épicerie (P) plus 8$ pour la livraison
4) je pèse P kilos et mon sac à dos en pèse 12, mon poids total est :
5) j’ai 16 ans, quel sera le double de mon âge dans A années?
6) j’ai S pièces de 25 cents, cela représente combien de cents? Combien
de dollars?
l'expression
algébrique
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7) je gagne D dollars par semaine, quel en est le quadruple?
8) Combien d’argent représente T billets de 10$ (en dollars et en cents)
9) si B représente mon âge il y a 3 ans, quel sera mon âge dans 6 ans?
10) si K est l’âge que j’aurai dans 7 ans, quel est mon âge?
11) la somme du double d’un nombre G et de son triple
12) je retranche 35 au triple d’un nombre P
13) les deux tiers d’un nombre B plus 4
14) les deux tiers de la somme de B et de 4
EXERCICE 3
La donnée textuelle
1) les cinq huitièmes de R
2) les deux tiers de (b+3)
3) le quintuple de l’âge que j’avais il y a 22 ans sachant que W est mon
âge actuel
4) écrire 67 diminué du double de 23
5) écrire Q diminué du triple de S
6) 25 diminué du double d’un nombre H
7) si K est un nombre, soustraire 25 de ce nombre
8) le quart de mes impôts (I) moins 200$
9) je suis administrateur d’un garage, lorsque je fais réparer ma voiture je
ne paie que la moitié de la facture (F) plus 20 dollars de frais
10) les deux tiers de mon compte d’électricité (E) moins 30$
11) les quarante pour cents de mon compte d’épicerie (P)
l'expression
algébrique
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De quelle façon écrit-on des suites de nombres
les nombres qui se suivent ont un lien mathématique entre eux
des nombres consécutifs:
12 13 14 15 16 17........
des nombres consécutifs
x x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 ......
des nombres pairs consécutifs
22 24 26 28 30 32 ......
des nombres pairs consécutifs
x x+2 x+4 x+6 x+8 x+10 ......
des nombres impairs consécutifs
63 65 67 69 71 73 75 77.....
des nombres impairs consécutifs
x x+2 x+4 x+6 x+8 x+10 ......
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Solutions des Exercices 1, 2 et 3
EXERCICE 1
1. 12 – 8
2. b + 3
3. p – 12
4. 23 + A
5. 72 – S
6. M – 34
7. 78 – R
8. P ou 1 P
3 3
9. B – 10
10. P – 87
note: si les phrases avec le mot soustraire
vous embêtent, peut-être serait-il plus
facile de remplacer le mot soustraire par
le verbe ôter ou enlever
exemple: enlever 87 d'un nombre P
ôter 87 d'un nombre P
11. 87 - P
************************
EXERCICE 2
1. 3 X 3,2
2. 1 W ou W
2 2
3. 3 P + 8
4
4. P + 12
5. 2 ( 16 + A )
6. 25 S ou 0 ,25$
7. 4 D
8. 10T dollars ou 1000 cents
9. B + 3 + 6 ou B + 9
10. K – 7
11. 2G + 3G
12. 3P – 35
13. 2 B + 4
3
14. 2(B + 4)
3
************************
XERCICE 3
1. 5 R
8
2. 2 ( B + 3 )
3
3. 5 ( W – 22 )
4. 67 – ( 2 X 23)
5. Q – 3S
6. 25 – 2H
7. K - 25
8. 1 I - 200 ou I - 200
4 4
9. 1 F + 20 ou F + 20
2 2
10. 2 E - 30
3
11. 40 P
100
************************
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EXERCICE 4
exercice de traduction du français vers les mathématiques
français maths
1) dix retranché à 5 fois un nombre K
2) un nombre L augmenté de 42
3) un nombre G qui a été augmenté de 24 est ensuite divisé par 4
4) le triple d'un nombre H diminué de 45
5) le triple d'un nombre T est retranché de 45
6) on retranche 22 du quintuple d'un nombre W
7) le quart d'un nombre D ajouté à son quadruple
8) le triple de mon âge G dans 4 ans
9) un nombre S duquel j'enlève 32
10) je retranche 45 au double d'un nombre Q et je divise le nombre par 3
EXERCICE 5
remplir les cases vides de ce tableau
il y a 15 ans voilà 5 ans aujourd'hui dans 6 ans dans 19 ans
30 40 45 51 64
21
45
79
76
2
x
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EXERCICE 6
Observez bien les 4 premières lignes du tableau suivant et ensuite complétez les cases vides:
il y a 20 ans il y a 7 ans aujourd'hui dans 2 ans dans 10 ans
5 18 25 27 35
1 14 21 23 31
x-20 x-7 x x+2 x+10
x-22 x-9 x-2 x x+8
42
23
54
x
x
le quintuple de
son âge il y a 12
ans
EXERCICE 7
son âge il y a 7
ans
9
M
âge actuel de
Cinamon
20
10
x
son âge dans 2
ans
34
T
le double de son
âge dans 2 ans
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EXERCICE 4
1. 5K - 10
2. L + 42
3. G + 24
4
4. 3H - 45
5. 45 - 3T
6. 5W - 22
Solutions des Exercices 4, 5, 6 et 7
7. 1 D + 4D
4
8. 3 ( G + 4 )
9. S - 32
10. 2Q - 45
3
EXERCICE 5
il y a 15 ans voilà 5 ans aujourd'hui dans 6 ans dans 19 ans
30 40 45 51 64
6 16 21 27 40
35 45 50 56 69
45 55 60 66 79
55 65 70 76 89
2 12 17 23 36
x - 15 x - 5 x x + 6 x + 19
EXERCICE 6
il y a 20 ans il y a 7 ans aujourd'hui dans 2 ans dans 10 ans
5 18 25 27 35
1 14 21 23 31
x-20 x-7 x x+2 x+10
x-22 x-9 x-2 x x+8
22 35 42 44 52
10 23 30 32 40
32 45 52 54 62
x x + 13 x + 20 x + 22 x + 30
x - 30 x - 17 x - 10 x - 8 x
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EXERCICE 7
le quintuple de
son âge il y a 12
ans
son âge il y a 7
ans
âge actuel de
Cinamon
son âge dans 2
ans
le double de son
âge dans 2 ans
40 13 20 22 44
il n'était pas né 3 10 12 24
100 25 32 34 68
20 9 16 18 36
5 ( x - 12 ) x - 7 x x + 2 2 ( x + 2 )
5 ( M - 5 ) M M + 7 M + 9 2 ( M + 9 )
5 ( T - 14 ) T - 9 T - 2 T 2 T
Liens entre 2 nombres (ou plus)
Louis a 8$ de plus que Pierre
exprimons cette phrase en langage mathématique
Allons un petit effort.....Nous allons écrire:
Pierre: on ne sait pas alors il a X dollars
Louis: on ne sait pas non plus, alors il a X dollars aussi
ERREUR !!!!!
il ne faut jamais oublier que la variable X correspond à un certain nombre, si je dis que Pierre a X
dollars et je dis aussi que Louis a X dollars, je dis finalement que Pierre et Louis ont tous les deux
le même montant d'argent, ce qui est faux.
alors...... que dire?
Ok je recommence
Pierre: on ne le sait pas alors il a X dollars
Louis: on ne sait pas non plus alors il a Y dollars
Ben là!!!!
C'est bien comme solution, mais petit problème à l'horizon. Avec nos connaissances actuelles
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( en 2 e sec) il n'est pas possible de trouver la valeur de 2 inconnues dans une même équation.
Alors il faut user d'imagination et n'utiliser qu'une seule variable. Je sais que Louis a 8 de plus
que Pierre alors je peux écrire:
Pierre, on ne sait pas, alors il a X dollars
Louis a 8$ de plus que Pierre, alors il a X + 8$
je viens d'établir un lien entre 2 valeurs mais à l'aide d'une seule variable, c'est ce que voulait
dire le titre en haut de cette rubrique.
Établir des liens entre 2 nombres (ou plus) et se débrouiller avec une seule variable, c'est ce que
nous allons explorer ici. Tout ce dont vous aurez besoin c'est d'un peu d'ingéniosité.
Allons-y avec quelques exemples:
exemple 1
Deux nombres consécutifs (des nombres qui se suivent) exemple 45 et 46
si A est le premier nombre alors:
celui qui le précède est A - 1
et celui qui le suit: A + 1
exemple 2
Deux nombres pairs consécutifs
si A est le premier nombre pair
alors le nombre pair supérieur est A + 2
et le nombre pair inférieur A - 2
exemple 3
Mon père est deux fois plus âgé que moi. Comment puis-je représenter cette situation avec une
seule inconnue?
je peux le faire de 2 façons différentes, elles sont toutes aussi bonnes l'une que l'autre.
Choisissez celle avec laquelle vous vous sentez le plus à l'aise
première façon:
si je décide que A est mon âge,
alors mon père aura 2A
deuxième façon
si je décide que A est l'âge de mon père,
alors j'aurai A ans
2
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exemple 4
la différence entre deux nombres est 12, donnez une expression représentant ces 2 nombres
ici aussi il existe deux solutions différentes. Je dois d'abord choisir une inconnue, disons que
c'est H
première solution
si je choisis que H est le plus grand nombre alors le petit sera représenté par H - 12
deuxième solution
si je décide que H est le petit nombre alors le grand sera H + 12
petite remarque: dans la question précédente, on retrouve le mot différence pourtant la 2e
solution comporte une addition!!! On ne peut se fier au mot différence, ce n'est pas une balise
tout à fait sûre. Il n'existe pas de recette miracle si ce n"est le mariage de la logique et de la
compréhension du texte.
EXERCICE 8
1. Pierre a 12 ans et Louis 19. Quel sera l'âge de chacun dans X années?
âge de Pierre:________________ âge de Louis: ______________
2. Si P est un nombre pair, quel est le nombre pair suivant?
1er nombre pair: ___________ le suivant:__________________
3. Si P est un nombre pair, quel est le nombre impair suivant?
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1er nombre pair: ___________ le suivant:__________________
4. Si P est un nombre impair, quel est le nombre pair suivant?
1er nombre : ___________ le suivant:__________________
5. Si P est un nombre impair, quel est le nombre impair suivant?
1er nombre : ___________ le suivant:__________________
6. Si j'ai D dollars en poche et que Jean en a 10 de plus, écris l'avoir de chacun:
mon avoir:_______________ celui de Jean:_____________
7. un nombre Y est le double d'un autre. Avec quelle expression puis-je représenter le plus petit
nombre ?____________
8. Jeanne et Danielle ont 26 et 28 ans respectivement. Quel était leurs âges il y a X années?
âge de Jeanne:_______________ âge de Danielle:_______________
9. la différence de 2 nombres est 19, quels sont ces 2 nombres si le petit est X ?
le petit:_______________ l'autre:_______________
10. Stef a N pièces de 5 ¢ dans son petit cochon, Paulo en a 7 fois autant:
le nombre de pièces de Stef___________________
le nombre de pièces de Paulo:___________________
le nombre de ¢ de Stef :_______________________
le nombre de ¢ de Paulo_______________________
11. dans S années, Johnny aura 25 ans, quel âge a-t-il aujourd'hui?
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EXERCICE 9
À partir des phrases suivantes, bâtir l'équation correspondante:
1. un nombre augmenté de 8 égale 14
2. un nombre diminué de 32 donne 21
3. un nombre ajouté à son double donne 34
4. mon âge dans 7 ans donne 34
5. il y a 12 ans j'avais 8 ans
6. le triple d'un nombre augmenté de 32 donne 2
7. si j'ajoute 20$ à mon avoir j'obtiens 143$
8. le double d'un nombre diminué de 20 donne 110
9. les deux tiers d'un nombre diminués de 13 font 42
10. le double de l'âge que j'aurai dans 2 ans donne 48
11. le quadruple d'un nombre diminué de son quintuple donne -43
12. le double d'un nombre plus 14 donne -29
13. la somme des deux cinquièmes d'un nombre et de son triple donnent 54
14. j'ai payé 8,19$ en achetant D pamplemousses à 0,39$ chacun
15. un nombre N diminué de 43 et ensuite multiplié par 3 font 56
16. on multiplie un nombre par 8, on enlève 3 du produit. On divise ensuite le résultat
par 4 et nous obtenons 3 pour résultat final
17. on retranche 12 au quintuple d'un nombre pour obtenir 21
18. le triple d'un nombre moins 3 égale son double plus 21
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19. dans 24 ans Jacques aura le double de son âge actuel
20. le double de l'âge de Marco il y a 7 ans est égal au triple de son âge actuel moins
7 ans
21. il y a 12 ans, Jean avait le tiers de L'âge qu'il aura dans 12 ans
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Solutions des exercices 8 et 9
EXERCICE 8
1) âge de Pierre : 12 + X
âge de Louis: 19 + X
2) 1er nombre pair: P
le suivant: P + 2
3) 1er nombre pair: P
le suivant: P + 1
4) 1er nombre : P
le suivant P + 1
5) 1er nombre: P
le suivant P + 2
6) mon avoir : D
celui de Jean: D + 10
7) Y
2
8) âge de Jeanne: 26 - X
âge de Danielle: 28 - X
9) le petit: X
l'autre: X + 19
10) le nombre de pièces de Stef : N
le nombre de pièces de Paulo : 7N
le nombre de ¢ de Stef : 5N
le nombre de ¢ de Paulo : 35N
11) 25 - S
EXERCICE 9
1) x + 8 = 14
2) x - 32 = 21
3) x + 2x = 34
4) x + 7 = 34
5) x - 12 = 8
6) 3x + 32 = 2
7) x + 20 = 143
8) 2x - 20 = 110
9) 2x - 13 = 42
3
10) 2 ( x + 2 ) = 48
11) 4x - 5x = -43
12) 2x + 14 = -29
13) 2x + 3x = 54
5
14) 0,39D = 8,19
ou bien 39D = 819
15) 3 ( N - 43) = 56
16) 8x - 3 = 3
4
17) 5x - 12 = 21
18) 3x - 3 = 2x + 21
19) x + 24 = 2x
20) 2 ( x - 7 ) = 3x - 7
21) x - 12 = x + 12
3
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LES PROBLÈMES DE PARTAGE
Ce que j'appelle un problème de partage c'est quand il faut séparer un nombre ou une quantité
en 2 parties seulement.
ex. je partage 100$ entre 2 personnes
Si je partage 100$ entre 2 amis, si le premier a reçu 40$, combien aura le second?
facile, facile, je prend le total et je soustrais la part du premier donc 100$ - 40$
Pour établir l'hypothèse dans un problème de partage je fais comme ceci:
si je dois partager 100$ entre 2 personnes alors mon hypothèse sera;
la part du premier: x
et la part du second: 100 - x ( c'est à dire le total moins la part du premier)
à votre tour......
EXERCICE 10
Établissez l'hypothèse des énoncés suivants:
1) partage 70 billes entre 2 personnes, alors:
la part du premier est: _________ et celle du second:__________
2) Les âges de Jean et de Bartélémy totalisent 46 ans, alors:
l'âge de Jean est:_________ et celui de Bartélémy:_____________
3) si x est une partie de 45, quelle est l'autre partie?
4) on partage 50 cartes entre deux enfants, si le premier en obtient G, quelle est la part de
l'autre?
5) la somme de deux nombres est 54, quels sont ces deux nombres?
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6) j'ai 34 pièces de monnaie dans les poches, composé de pièces de 10¢ et de 25¢ seulement
le nombre de pièces de 10¢ :__________ le nombre de pièces de 25¢ :____________
EXERCICE 11
Trouves les valeurs demandées:
1) Luc a 628 pièces de monnaie ( composé de pièces de 10 cents et de pièces de 25 cents, en
tout il possède 152,05$, trouve le nombre de pièces de chaque sorte.
hypothèse:
soit x le nombre de pièces de 10 cents .........
2) Un cultivateur élève des poules et des lapins. Dans sa basse-cour il compte 73 têtes et 230
pattes. Calculez le nombre de lapins et le nombre de poules.
3) Partager 55 en 2 parties telles que le double de l'une fasse le triple de l'autre. Quelles
sont ces 2 parties?
4) Une certaine journée d'été le Zoo a reçu 1 115 visiteurs et la caisse à l'admission s'élevait
à 8 148$
Sachant que l'admission est 6$ pour un enfant et 12$ pour un adulte
pouvez nous nous dire combien il y avait d'enfants et d'adultes?
5) Au super marché j'ai acheté des pommes et des oranges, les pommes se vendent 17 cents
les oranges 28 cents chacune.
Au total j'ai payé 8,79$ pour 42 fruits. Combien ai-je acheté de pommes?
6) Partager 45 en deux parties de façon telle que la somme du double de la première partie et
du triple de la seconde donne 115, quelles sont ces 2 parties?
7) La somme de deux nombres est 456. Si on multiplie le plus petit par 3, on obtient un
produit qui dépasse de 183 le double du grand nombre. Quels sont ces 2 nombres?
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Solutions des exercices 10 et 11
EXERCICE 10
1) la part du premier est x et celle du
second 70 - x
2) âge de Jean : x et l'âge de Bartélémy:
46 -x
3) 45 - x
4) 50 - G
5) le premier nombre: x et le second:
54 - x
6) nombre de pièces de 10¢ : x
le nombre de pièces de 25¢ : 34 - x
EXERCICE 11
1)
hypothèse:
soit x le nombre de pièces de 10 cents
et 628 - x le nombre de pièces de 25 cents
équation:
pour établir l'équation je vais calculer le
montant d'argent que représente toutes ces
pièces
10 x + 25 ( 628 - x ) = 15 205
10x + 15 700 - 25x = 15 205
10x - 25x = 15 205 - 15 700
-15x = - 495
x = 33
nous avons donc x pièces de 10 cents donc 33
et 628 - x pièces de 25 cents donc 603
2)
hypothèse:
soit x le nombre de poules
et 73 - x le nombre de lapins
équation: calculons le nombre de pattes
2x + 4 ( 73 - x ) = 230
2x + 292 - 4x = 230
2x - 4x = 230 - 292
-2x = -62
x = 31
nous avons x poules, c'est à dire 31 poules
et ( 73 - x) lapins donc 73 - 31 qui
donne 42 lapins
3)
hypothèse:
soit x la première partie et
soit 55 - x la 2e partie
équation:
2x = 3 ( 55 - x )
2x = 165 - 3x
2x + 3x = 165
5x = 165
x = 33
la première partie est x donc 33
et la seconde est 55 -x c'est à dire 55 - 33
qui donne 22
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4)
hypothèse
soit x le nombre d'enfants
et 1 115 - x le nombre d'adultes
équation
6x + 12 ( 1 115 - x ) = 8 148
6x + 13 380 - 12x = 8 148
6x - 12x = 8 148 - 13 380
- 6x = - 5 232
x = 872
il y avait donc 872 enfants et 1 115 - x
adultes donc 1 115 - 872 qui donne 243
adultes
5)
hypothèse:
soit x le nombre de pommes
et 42 - x le nombre d'oranges
équation:
17x + ( 42 - x ) 28 = 879
17x + 1176 - 28 x = 879
17x - 28x = 879 - 1 176
- 11x = - 297
x = 27
j'ai acheté 27 pommes
6)
hypothèse
soit x la première partie et
45 - x la seconde
équation
2x + 3( 45 - x) = 115
2x + 135 - 3x = 115
x = 20
donc les 2 parties sont 20 et 25
7)
hypothèse
soit x le petit nombre
et 456 - x le grand nombre
équation
3x - 183 = 2 ( 456 - x )
3x - 183 = 912 - 2x
5x = 1095
x = 219
les deux nombres sont 219 et 237
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EXERCICE 12
Problèmes à donnée textuelle
1. Un nombre est le triple d'un autre. Leur somme est 208.
Quels sont ces deux nombres?
2. En diminuant un nombre de 34 on obtient 45, quel est ce nombre
3. Quel est le nombre dont le triple plus 72 donne 147.
4. Quel est le nombre dont le double moins 21 donne 129 ?
5. Le double d'un nombre plus 25 égale le triple du même nombre augmenté de 8. quel est ce
nombre?
6. Si à un nombre inconnu j'ajoute 60, la somme obtenue égale 5 fois le nombre. Trouvez ce
dernier.
7. Trouvez 2 nombres dont la somme est 43 et la différence est 3.
8. Je soustrais le double d'un nombre de 348 et j'obtiens 156 comme reste, quel est ce
nombre?
9. Le double, le triple et le quadruple d'un nombre ont 45 pour somme, quel est ce nombre?
10. Quel est le nombre dont le double plus 6 égale le triple moins 19 ?
11. Un père a 4 fois l'âge de son fils, ensemble ils totalisent 75 ans, quel est l'âge de chacun?
12. Le triple d'un nombre diminué de 33 égale ce nombre augmenté de 17. Quel est ce
nombre?
13. Quel est le nombre tel qu'ajouté à son double donne 123 ?
14. Quel est le nombre tel que le double ajouté à son triple donne 215 ?
15. Le quart et le double de ce que je possède font 94,50$, combien ai-je?
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16. En ajoutant 125 à un nombre, on obtient 6 fois ce nombre, quel est-il?
17. Si d'un nombre on retranche 12 et qu'on multiplie le reste par 8, on obtient 64, quel est ce
nombre?
18. Quel est le nombre tel que son double plus 3 augmenté du triple moins 4 fasse 99?
19. Partager 83 en 2 parties sachant que l'une surpasse l'autre de 5. Quelles sont ces 2
parties?
20. Partager 50$ entre 2 personnes pour que l'une ait 16$ de plus que l'autre. Quel est
l'avoir de chacune?
21. Quel est le nombre qui augmenté de 86, donne une somme qui surpasse de 14 le quintuple
de ce nombre?
22. Le sixième de ce que j'ai dans mon porte-monnaie plus 6$ font 85$. Combien ai-je?
23. Si d'un nombre on retranche 6 et qu'on multiplie le reste par 8, on obtient 144. Quel est
ce nombre?
24. Si on retranche 356 à un nombre, le reste n'est plus que le tiers du nombre de départ.
Quel est ce nombre?
25. Trouver un nombre dont le tiers, augmenté du 1/7, donne 22 de moins que ce nombre.
26. Le quart d'un nombre augmenté du tiers de ce nombre et de 10, donne le nombre luimême.
Quel est ce nombre?
27. Quel est le nombre dont les 5/8 augmentés de 25 égalent la moitié diminuée de 20?
28. L'âge d'un enfant est le cinquième de l'âge de son père, ensemble ils ont 36 ans. Quel est
leur âge?
29. La somme des âges de 3 personnes est de 85 ans. Trouvez l'âge de chacune sachant que la
2e a le double de l'âge de la première et que la 3e a 15 ans de moins que la deuxième.
30. Trouver un nombre qui tel que multiplié par 8, puis le résultat augmenté de 21 donne 93.
31. Si on ajoute 153 à un nombre, on obtient une somme qui vaut 10 fois ce nombre. Quel est
ce nombre?
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32. Sylvain dit : " mon frère a 4 ans de moins que moi et j'ai 3 ans de moins que ma soeur et
nous avons 29 ans à nous trois, quel est mon âge? "
33. Luc a 8 pièces de 10 cents de moins que de pièce de 25 cents. Si son avoir se chiffre à
10,40$ , trouve le nombre de pièces de chaque sorte.
34. Trouves deux nombres pairs consécutifs dont la somme est 294
35. Trouves trois nombres consécutifs dont la somme est 216
36. En multipliant un nombre par -5 ou en lui ajoutant -25, on obtient le même résultat, quel
est ce nombre?
37. Une mère a 51 ans et son fils 15 ans. Il y a combien d'années l'âge de la mère était-il le
quadruple de celui de son fils?
38. En augmentant un certain nombre de 450 ou en le multipliant par 6, on obtient le même
résultat, trouvez ce nombre.
39. la différence de deux nombres est 60 et leur somme 94, quels sont ces nombres?
40. Deux candidats seulement étaient en lice aux élections de 2003 à la mairie de Danville.
deux mille trois cent vingt et une personnes se sont prévalues de leur droit de vote.
Louis-André Thivierge a remporté avec une majorité de 367 votes. Combien de personnes
ont voté pour Marie-Louise Vincent.
41. L'âge du père est 3 fois celui de son fils. Il y a 4 ans M. Dauphin était 4 fois aussi âgé que
son fils. Quel est l'âge actuel de chacun?
42 L'âge d'un père est 4 fois celui de son fils. Quel est l'âge du père sachant que dans 4 ans
il ne sera plus que le triple de celui de son fils.
43 Un père a 42 ans et son fils 10 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le
triple de celui de son fils?
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1. Hypothèse:
soit le premier nombre : x
soit le 2e nombre : 3x
Équation:
x + 3x = 208
4x = 208
x = 208
4
x = 52
Solutions de l'exercice 12
le premier nombre est x donc 52
et le second nombre est 3x donc 3 fois 52 qui donne 156
2. Hypothèse:
x = le nombre cherché
Équation:
x - 34 = 45
x = 45 + 34
x = 79
3. Hypothèse:
x = le nombre cherché
Équation:
3x + 72 = 147
3x = 147 - 72
3x = 75
x = 75
3
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x = 25
4. Hypothèse:
x= le nombre cherché
Équation:
2x - 21 = 129
2x = 129 + 21
2x = 150
x = 150
2
x = 75
5. Hypothèse:
x = le nombre cherché
Équation:
2x + 25 = 3x + 8
2x - 3x = 8 - 25
-x = -17
x = 17
6. Hypothèse:
x = le nombre cherché
Équation:
x + 60 = 5x
x - 5x = -60
-4x = -60
x = 15
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7. note: ici le problème comporte 2 indices:
a) la somme des 2 nombres est 43 et
b) leur différence est 3
je vais utiliser un indice pour l'hypothèse et l'autre pour l'équation
Hypothèse:
soit x le premier nombre et
x + 3 le second
Équation:
le 1er nombre + le 2e nombre égale 43
x + x + 3 = 43
2x + 3 = 43
2x = 43 - 3
2x = 40
x = 20
il faut retourner dans l'hypothèse
le premier nombre est x , alors le premier nombre est 20
le second est x + 3, alors 23
8. hypothèse:
soit x le nombre cherché
Équation:
348 - 2x = 156
-2x = 156 - 348
-2x = - 192
x = -192
-2
x = 96
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9. Hypothèse:
soit x le nombre cherché
Équation:
2x + 3x + 4x = 45
9x = 45
10. Hypothèse:
soit x le nombre cherché
Équation:
2x + 6 = 3x - 19
2x - 3x = -19 -6
-x = -25
x = 25
x = 45
9
x = 5
11. ici encore nous avons 2 indices
a) un père a 4 fois l'âge du fils et
b) ensemble ils ont 75 ans
nous allons utiliser un indice pour l'hypothèse et l'autre pour l'équation
hypothèse:
soit x l'âge du fils et 4x l'âge du père
Équation:
x + 4x = 75
5x = 75
X = 75
5
X = 15
Le fils a donc 15 ans et le père 60.
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voici une autre façon (aussi bonne) de résoudre ce problème:
nous aurions pu aussi utiliser le 2e indice pour l'hypothèse et le second pour l'équation, la
solution serait alors devenue:
Hypothèse:
soit l'âge du père : x
et l'âge du fils : 75 - x
Équation:
x = 4 ( 75 - x )
x = 300 - 4x
x + 4x = 300
5x = 300
x = 60
en retournant dans l'hypothèse on se rend compte que le père a 60 ans et le fils 15 ans.
12. Hypothèse:
soit x le nombre cherché
Équation:
3x - 33 = x + 17
3x - x = 17 + 33
2x = 50
x = 25
13. Quel est le nombre tel qu'ajouté à son double donne 123 ?
Hypothèse:
soit x le nombre cherché
Équation:
x + 2x = 123
3x = 123
x = 41
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14. Hypothèse:
soit x le nombre cherché
Équation:
2x + 3x = 215
5x = 215
x = 43
15. Hypothèse:
soit x le montant d'argent que je possède
Équation:
1 x + 2x = 94,50
4
9 x = 94,50
4
x = 42 $
16. Hypothèse:
soit x le nombre cherché
Équation:
x + 125 = 6x
x - 6x = -125
-5x = -125
x = 21
17. Hypothèse:
soit x le nombre cherché
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Équation:
8 ( x - 12 ) = 64
8x - 96 = 64
8x = 64 + 96
8x = 160
x = 20
18. hypothèse:
soit x le nombre cherché
Équation:
2x + 3 + 3x -4 = 99
19. Hypothèse:
1ère partie: x
2e partie: x + 5
5x = 99 - 3 + 4
5x = 100
x = 20
Équation:
x + x + 5 = 83
2x = 83 - 5
2x = 78
x = 39
20. Hypothèse:
l'avoir de la 1ère personne: x
l'avoir de la 2e personne: x + 16
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Équation:
x + x + 16 = 50
2x = 50 - 1 6
x = 17
donc la 1ère personne a 17 $ et l'autre a 33$
21. hypothèse: soit N le nombre cherché
équation:
N + 86 - 14 = 5N
Attention: ici l'erreur que je vois tout le temps c'est le signe qui accompagne le nombre
14
N + 72 = 5N
N - 5N = -72
-4N = -72
N = 18
22. hypothèse: soit P le nombre cherché
Équation:
p + 6 = 85
6
p = 79
6
p = 474
23. Hypothèse: soit D le nombre cherché
Équation:
( D - 6 ) 8 = 144
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8D - 48 = 144
8D = 192
D = 24
24. Hypothèse: soit f le nombre cherché
Équation:
f - 356 = 1 f
3
f - 1 f = 356
3
2f = 356
3
f = 534
25. hypothèse: soit P le nombre cherché
Équation:
1P + 1P = P - 22
3 7
1P + 1P - P = - 22
3 7
-11P = - 22
21
P = 42
26. Hypothèse: soit W le nombre cherché
Équation:
1W + 1W + 10 = W
4 3
1W + 1W -W = -10
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4 3
3W + 4W - 12 W = -10
12
-5W = -10
12
W = 24
27. hypothèse: soit S le nombre cherché
équation:
5S + 25 = 1S - 20
8 2
5S - 1S = -20 - 25
8 2
1S = -45
8
28. hypothèse: soit A l'âge de l'enfant et 5A l'âge du père
équation:
A + 5A = 36
6A = 36
A = 6
Le fils a donc 6 ans et son père 30
29. hypothèse:
soit Z l'âge de la 1ère personne
et 2Z l'âge de la 2e personne
et 2Z - 15 l'âge de la 3e personne
équation:
Z + 2Z + 2Z - 15 = 85
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5Z = 100
Z = 20
la 1ère personne a Z années : elle a donc 20 ans
le 2e personne a 2Z années : donc 40 ans
et la 3e a ( 2Z - 15 ) c'est à dire 25 ans
30. hypothèse: soit G le nombre cherché
équation:
8G + 21 = 93
8G = 93 - 21
8G = 72
G = 9
31. hypothèse: soit Q le nombre recherché
équation:
Q + 153 = 10 Q
Q - 10Q = -153
-9 Q = -153
Q = 17
32. hypothèse:
soit R mon âge
et R - 4 l'âge de mon frère
et R + 3 l'âge de ma soeur
équation:
R + R - 4 + R + 3 = 29
3 R - 1 = 29
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3 R = 30
R = 10
j'ai 10 ans, mon frère 6 ans et ma soeur a 13 ans
33. hypothèse:
soit A le nombre de pièces de 10 cents
et A + 8 le nombre de pièces de 25 cents
équation:
10 A + 25 ( A + 8 ) = 1040
10 A + 25 A + 200 = 1040
35 A = 1040 - 200
35 A = 840
A = 24
j'ai donc A pièces de 10 cents c'est à dire 24
et j'ai A +8 pièces de 25 cents, c'est à dire 32
34. hypothèse:
soit A le premier nombre pair et A + 2 le nombre pair suivant
équation:
A + A + 2 = 294
2A + 2 = 294
2A = 292
A = 146
le premier nombre est A donc 146
le 2e nombre est A + 2 donc 146 + 2 qui donne 148
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35. Hypothèse:
le premier nombre A
le second A + 1
le dernier A + 2
Équation:
A + A+1 + A+2 = 216
3A + 3 = 216
3A = 213
A = 71
les 3 nombres cherchés sont : 71, 72 et 73
36. hypothèse:
soit x le nombre cherché
équation:
-5 x = x - 25
-6x = -25
x = 25/6
37. hypothèse:
soit x le nombre d'années
équation
51 - x = 4 ( 15 - x )
51 - x = 60 - 4x
-x + 4x = 60 -51
3x = 9
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x = 3
38. hypothèse
soit x le nombre cherché
équation
x + 450 = 6x
x - 6x = -450
-5x = -450
x = 90
39.hypothèse
soit x le petit nombre
et x + 60 le grand nombre
équation
x + x + 60 = 94
2x + 60 = 94
2x = 34
x = 17
le petit nombre est x donc 17 et
le grand nombre est x + 60 donc 17 + 60 qui donne 77
40. hypothèse
soit x le nombre de votes de Marie-Louise Vincent et
soit x + 367 le nombre de votes de Louis-André Thivierge
équation
x + x + 367 = 2321
2x = 2321 - 367
x = 1954
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41. hypothèse:
soit l'âge du fils x
et l'âge du père 3x
équation:
3x - 4 = 4 ( x - 4 )
3x - 4 = 4x - 16
3x - 4x = -16 + 4
-x = -12
x = 12
le fils a 12 ans et le père 36
42 hypothèse:
soit l'âge du fils x
et l'âge du père 4x
équation:
4x + 4 = 3 ( x + 4 )
4x + 4 = 3x + 12
4x - 3x = 12 - 4
x = 8
le fils a 8 ans et le père a 32 ans
43. hypothèse
soit x le nombre d'années recherché
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les vlimeux....

équation:
42 + x = 3 ( 10 + x )
42 + x = 30 + 3x
x - 3x = 30 - 42
- 2x = -12
x = 6
donc dans 6 ans l'âge du père sera le triple de celui du fils
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les vlimeux....