De la bipolarité des concepts, des théories & des axiomatiques

De la bipolarité des concepts,
des théories & des axiomatiques
Denis Vernant
Pour Gerhard Heinzman,
amateur de précision & de rigueur.
« L’humanité a toujours pressenti qu’il devait
exister un domaine de questions où lesréponses
sont – apriori–groupées symétriquement selon
une configuration régulière et close ».
Wittgenstein, Carnets.
Notre objectif est ici purement méthodologique qui consiste à reprendre l’interrogation
principielle sur la détermination du sens d’un concept et d’une
théorie. Sont en jeu les modalités de définition du concept, d’élaboration de
la théorie et de structuration de sa présentation axiomatique. Dans les trois
cas, la réponse sera la même : la bipolarisation.
1 Bipolarité des concepts
Commençons par le premier niveau de détermination du sens dans le champ
théorique, celui de la définition des concepts 1 .
1.1 Concepts logiques
Nous aborderons la question de la bipolarité conceptuelle àpartirdela
logique. La raison en est double. D’abord, les concepts logiques s’avèrent
1 Méthodologiquement, nous distinguons notion, concept ; vocable et symbole. Par
exemple, la notion d’assertion, attestée en français depuis le XII e siècle mais peu usitée,
recouvre pour une part le sens d’affirmation avec laquelle elle reste souvent confondue. Par
contre, le concept d’assertion possède une signification précisément déterminée par une
théorie particulière. Comme on le verra, il convient de ne pas confondre le concept logique
d’assertion tel qu’il fut utilisé par Frege et Russell avec celui de la théorie pragmatique
contemporaine, cf. [9].Levocable est le terme de la langue naturelle qui nomme le concept.
Quant au symbole, formel, il ne prend sens que dans une axiomatique, tel le symbole A
dans notre axiomatique des actes véridictionnels, cf. infra. 2.2.3. (On distingue le symbole
de ses diverses occurrences inscriptionnelles concrètes).

668 Denis Vernant
fondamentaux en ce qu’ils interviennent dans pratiquement toutes les architectures
des théories particulières. Ensuite, c’est la logique propositionnelle
qui fournit un exemple éminent d’introduction du concept de bipolaritéavec
la définition de la proposition que Wittgenstein, se distinguant àlafoisde
Frege et de Russell, construisit initialement. En rappelant cette définition,
nous viserons à jeter les bases d’une approche bipolaire des concepts.
Considérons donc le concept central du premier des calculs standard, celui
des propositions. L’approche bipolaire s’applique à la proposition elle-même
ainsi qu’aux fonctions de vérité sur une proposition, simple ou complexe.
1.1.1. Bipolarité propositionnelle
Toute la réflexion inaugurale de Wittgenstein porte sur la nature de la proposition
2 .Sonsens consiste àreprésenter un état de choses, l’image d’un
fait du monde 3 . Son mode de représentation détermine un lieu logique qui
ouvre la possibilité alternative de la vérité oudelafaussetédufaitdécrit 4 .
Ainsi, la proposition simple (Elementarsatz ) p délimite à la fois l’image
représentée par p et en même temps tout ce qui lui est extérieur comme
n’ étant pas p :
« p » et « ¬p » sont comme une image et la partie de son plan infini qui lui est
extérieure (le lieu logique). Cet espace infini extérieur, je ne puis le produire qu’au
moyendecetteimage,enledélimitant par elle. [13, 9.11.14, p. 67] (Nous soulignons.)
Conformément à cette conception du sens de la proposition, Wittgenstein
proposa dans la période préparatoire au Tractatus une définition et une
notation bipolaires ab pour les propositions simples fondées sur l’idée selon
laquelle :
Toute proposition est essentiellement vraie-fausse. Une proposition a donc deux
pôles (correspondant au cas de sa vérité et au cas de sa fausseté). C’est ce que nous
appelons le sens d’une proposition. [13, p. 171] 5
Ainsi la nature d’une proposition s’exprime par le schéma bipolaire :
a-p-b, autrement dit : Vrai-p-Faux. Il faut comprendre ici que le Vrai et
2 On en trouve la trace dans les Carnets, 1914-1916, [13]. Ils sont composés de
notations préparatoires de 1914 à 1916 ainsi que des Notes sur la logique envoyées à
Russell en 1913 et des Notes de Norvège dictées à Moore en 1914.
3 Le fait correspondant, lorsqu’il existe, est la signification (Bedeutung) delaproposition,
le sens est son mode de représentation : « Qu’une proposition ait avec la réalité
une relation (au sens large) autre que celle de Bedeutung, c’estcequemontrelefaitque
l’on peut la comprendre sans connaître sa Bedeutung, c’est-à-dire sans savoir si elle est
vraie ou fausse. Exprimons cela en disant qu’elle a un sens (Sinn) », [13, p. 203].
4 Cf. par exemple, [13, 1.11.14] : « La proposition doit déterminer un lieu logique ».
Notre propos n’étant pas éxégétique, nous n’entrerons pas dans l’analyse détaillée de cette
conception bipolaire de la proposition. Notons simplement que Wittgenstein s’inspire ici
àlafoisdumodèle géométrique des coordonnées d’un point et des modèles mécaniques
de Maxwell (cf. [13, 15.11.14, p. 71]) etdeHertz(cf.[13, 6.12.14, p. 79]).
5 Voir aussi App. III, p. 224.

De la bipolarité des concepts, des théories & des axiomatiques 669
le Faux sont les deux pôles constitutifs de la proposition elle-même et non
des facteurs externes d’évaluation. La proposition, quatenus propositio, est
polarisée et, dans le schéma bipolaire, le symbole de proposition p ne peut
être séparé de ses deux pôles a et b. Par elle-même, la proposition, comme
énoncédéclaratif complet, ouvre ce que nous appelons un espace de véridicité
doublement polarisé :
Proposition p
↗
↘
a Vrai
b Faux
ce que Wittgenstein note linéairement par a-p-b 6 .
Pour Wittgenstein, cette tension bipolaire détermine le sens sémantique
de toute proposition. Mais ce sens dépend en amont d’un réquisit syntaxique
: la bonne formation de cette proposition, le fait qu’elle puisse être
engendrée récursivement àpartirdesrègles de formation des formules du
calcul. On sait par exemple que si la formule p → q est bien formée, l’écriture
→ pq est mal formée (unsinnig) en ce qu’elle ne respecte pas les règles
syntaxiques de construction des formules 7 .
Dès lors, pour toute écriture, on se demandera si elle est syntaxiquement
bien formée. Si oui, c’est une proposition dont le sens, appréhendé sémantiquement
cette fois, se déploie selon la bipolarité duvraioudufaux.D’où
le schéma :
Mal formée
⊘
Bien formée
a Vrai
↗
Proposition p
↘
b Faux
1.1.2. Affirmation/négation
La proposition ainsi caractérisée, on peut opérer logiquement dessus en
introduisant des fonctions de vérité. Pour le premier Wittgenstein, ces
« fonctions-ab » sont des opérations 8 .Lapremière d’entre elles est la né-
6 Notre usage des flèches est conforme à l’esprit de l’analyse wittgensteinienne : « Les
propositions sont des flèches – elles ont un sens. Le sens d’une proposition est déterminé
par les deux pôles vrai et faux. », [13, p.176].
7 Pour un rappel du fonctionnement de la syntaxe logique du calcul des propositions,
cf. [8, chap. 1]. Bien entendu, nous modernisons ici le vocabulaire de Wittgenstein en
distinguant Bien formé/Mal formé etDouédesens/Dénué de sens. L’opposition entre
unsinnig et sinnlos apparaît dans les [13, p. 210 & 214].
8 Nous n’entrerons pas ici dans le détail – complexe – du fonctionnement calculatoire
de ces fonctions, cf. [13, p. 181-187 & p. 206-210].

670 Denis Vernant
gation symbolisée par ¬p. Mais il convient de ne pas confondre l’opération
et son symbole car il est manifeste que :
Le passage de p à ¬p n’est pas caractéristique de l’opération de négation. (La
meilleure preuve :lanégation conduit aussi de ¬p à p). [13, 17.4.15, p. 90]
Dès lors, la négation doit s’expliquer par la bipolarité foncière de la proposition
:
C’est la proposition elle-même qui séparecequiluiestcongruentdecequine
l’est pas. Par exemple : si la proposition et la congruence sont données, alors la
proposition est vraie quand l’état de choses lui est congruent ; ou bien la proposition
et la non-congruence étant données, alors la proposition est vraie quand l’état de
choses ne lui est pas congruent. [13, p. 61-62]
La proposition peut représenter sur un mode affirmatif et proposer sa
congruence avec l’état de choses, ou bien, à l’inverse, adopter un mode négatif
et proposer la non-congruence. D’où la bipolarité 9 :
Proposition
↗
↘
affirmative : p
négative : ¬p
1.1.3. Tautologie/antilogie
Posant la question de la possibilitédelavérité, les propositions simples dont
il est ici question sont des énoncés empiriques contingents qui ne relèvent pas
à proprement parler de la logique. Pour le premier Wittgenstein, comparativement,
les lois logiques ne sont que des pseudo-propositions (Scheinsätze)
dans la mesure où elles ne disent rien du monde et ne proposent pas l’image
d’un fait :
La tautologie n’a pas de relation de représentation avec la réalité (elle ne dit rien).
[13, 2.11.14, p. 60] 10
Si le sens de la proposition simple est dans sa possibilité bipolaire de représenter
un fait du monde, la tautologie est proprement dénuée de sens
(sinnlos). Les tautologies ne relèvent pas du monde, mais de la seule logique
et leur caractère tautologique se voit dans leur forme :
9 Nous introduisons ici notre symbole de la fonction d’affirmation, cf. [8, chap. 1,
§ 1.1.3.2]. Wittgenstein note la négation par b-a-p-b-a, cf.[13, p. 224]. En toute rigueur,
il devrait noter la fonction inverse d’affirmation a-a-p-b-b. Mais on lit simplement la
remarque suivante : « Mais a-a-p-b-b est le même symbole que a-p-b (ici la fonction-ab
disparaît automatiquement) car les nouveaux pôles sont alors reliés aux mêmes côtés de
p que les anciens », p. 185-186. Il est vrai que la fonction d’affirmation ne modifie en rien
les valeurs de vérité de la proposition et n’est pas marquée en langue. Il faudra attendre
les logiciens polonais pour symboliser comme fonctions unaires de propositions àlafois
l’affirmation et la négation, cf. [5, p. 166]. Malheureusement, Leśniewski utilise le vocable
assertium pour dénommer l’affirmation !
10 « Si je sais que cette rose est rouge ou ne l’est pas, je ne sais rien. »[13, p. 183].

De la bipolarité des concepts, des théories & des axiomatiques 671
Les propositions de la logique, et elles seulement, ont la propriété de laisser s’exprimerleurvérité
ou leur fausseté dansleursigne.[13, p. 231] 11
Reste toutefois que tautologies et antilogies fonctionnent de façon bipolaire
« car elles sont, à tout le moins, de pôles opposés ». Onabien:
Pseudo-proposition
↗
↘
Tautologie
Antilogie
Ainsi la bipolarité Tautologie/Antilogie se détache sur le fond d’une opposition
antérieure entre propositions empiriques contingentes (susceptibles
d’être vraies ou fausses) et pseudo-propositions logiques (valides ou fausses
en tout cas). On retrouve donc àceniveaunotreschéma initial :
Douées de sens
Prop. contingentes
Dénuées de sens
Tautologies
↗
Prop. log.
↘
Antilogies
Du point de vue qui est le nôtre ici, la théorie des fonctions ab de Wittgenstein
présente un intérêt méthodologique majeur. Manifestement, elle résulte
de l’application au problème du sens de la proposition du précepte frégéen
selon lequel tout concept doit être déterminé 12 :
Une définition d’un concept (ou d’un prédicat possible) doit être complète ; elle doit
déterminer de façon non ambiguë, pour un objet quelconque, s’il tombe ou non sous
le concept (si le prédicat peut lui être attribué ounon).[2, II, § 56]
D’où l’insistance wittgensteinienne sur la détermination complète du sens :
La difficulté estenréalité que,même lorsque nous voulons exprimer un sens complètement
défini, nous risquons cependant de n’y pas parvenir. [13, p. 131] (nous
soulignons) 13
11 Wittgenstein fournit une règle pour lire par la seule notation-ab si une formule
est tautologique, cf. p. 227. Sans reprendre l’exemple proposé p. 231 (qui d’ailleurs est
erroné) considérons simplement la tautologie p ≡¬¬p. Onvoitimmédiatement que a-p-b
et a-b-a-p-b-a-b – qui traduit la double négation – ont les mêmes pôles extérieurs. (Il en
va de même pour la quadruple négation et tout nombre pair de négations).
12 Cf. Frege [2, I, § 33 & II, § 56-67]. Wittgenstein y fait explicitement référence dans
les [13, p. 190-191]. Sur ce point, cf. [3, p. 9-11].
13 Cf. aussi [13, 16.6.15, p. 122].

672 Denis Vernant
Le concept de bipolaritéestainsilaréponse à cette question de la détermination
complète du sens. Notre thèse est alors que cette réponse, appréhendée
méthodologiquement, vaut mutatis mutandis pour d’autres concepts et est
même applicable au niveau supérieur d’une théorie tout entière : la détermination
complète du sens d’un concept comme d’une théorie réside dans
sa bipolarité.
Nous allons le montrer – d’abord pour les concepts – en prenant pour
exemple la théorie pragmatique, ce qui nous permettra de ne pas sortir du
champ de l’analyse du langage et du discours.
1.2 Concepts pragmatiques
Si la sémantique (logique ou non) met en jeu des énoncés abstraits, la pragmatique
porte sur des énonciations assumées par un locuteur face àun
allocutaire dans une situation d’interlocution tributaire d’un contexte déterminé
par un problème àrésoudre, une difficulté à lever 14 . Dans ce cadre
théorique, pour conserver notre thématique initiale, nous allons nous focaliser
sur les actes de discours relevant du seul champ de la véridicité, ceux
mettant en jeu l’attitude du locuteur vis-à-vis de la vérité decequ’ildit 15 .
1.2.1. Assertion/Dénégation
Le premier acte véridictionnel – initialement dégagé par les logiciens 16 –est
l’assertion. Cet acte consiste pour le locuteur à s’engager sur la vérité dece
qu’il dit. Noté par le symbole frégéen ⊢, cet acte peut porter sur un contenu
propositionnel aussi bien affirmatif que négatif. D’où :
Assertion
↗
↘
⊢ p
⊢¬p
À ce premier niveau, on ne fait ici que retrouver la bipolarité logique de
l’objet propositionnel sur lequel porte l’assertion. Toutefois, une bipolarité
proprement pragmatique est ici impliquée dans la mesure où l’acte d’assertion
ne peut être conçu indépendamment de son pendant : la dénégation. Si
l’on peut asserter et s’engager sur la vérité d’un contenu propositionnel, on
doit pouvoir tout aussi bien rejeter, dénier ce même contenu. Sans revenir
sur la définition de ce concept de dénégation 17 , nous importe seulement ici
14 Cf. [7].
15 Pour une définition précise des actes véridictionnels, cf. [11, chap. VI & VIII].
16 Sur le traitement de l’assertion chez Russell et Frege, cf. [11, chap. I].
17 Nous procédons àsadéfinition logique, puis pragmatique dans [11, chap. II & VIII].

De la bipolarité des concepts, des théories & des axiomatiques 673
le fait que l’on ne peut penser et conceptualiser l’assertion sans la dénégation
et réciproquement. On a donc bien là une bipolarité spécifiquement
pragmatique portant sur le concept de pro-position qui décrit toute énonciation
déclarative exprimant un engagement véridictionnel du locuteur, que
cet engagement soit un assentiment ou un dissentiment, une acceptation ou
un refus 18 .Dès lors, nous retrouvons àceniveaunotreschéma bipolaire
initial 19 :
Pro-position
↗
↘
Assertion : ⊢ p
Dénégation : ⊣ p
Comme il existe aussi des énonciations déclaratives sur lesquelles les locuteurs
ne désirent pas, pour des raisons diverses, s’engager, mais qu’ils ne font
que considérer 20 , nous devons en amont faire le départ entre énonciations
simplement considérées et pro-positions.
D’où leschéma devenu canonique 21 :
Désengagement
Enonc. considérée
Engagement
Assertée
↗
Pro-position
↘
Déniée
2 Bipolarité desthéories
Outre la bipolarisation des concepts, s’impose à un niveau plus global la
bipolarisation des théories. De même que les concepts qui les composent,
les théories sont généralement présentées de façon statique et unipolaire. Il
convient donc d’examiner ce que peut signifier la bipolarité d’une théorie.
Considérée globalement et exhaustivement, une théorie ne saurait se composer
exclusivement des concepts « positifs » et des thèses qu’ils contribuent
àconstituer.Demême que les concepts doivent être appréhendés dans leur
dynamique bipolaire, les théories dans leur systématicité doivent se déployer
18 On aura garde de confondre cette bipolarité pragmatique avec une valorisation
axiologique sur le mode de la diarèse platonicienne. Pour une application au concept
praxéologique de coopération, cf. [12, § 2.1.1].
19 Bien entendu, ce schéma s’applique de même à une proposition négative.
20 Nous reprenons le concept russellien introduit dans les Principles of Mathematics.
Il correspond àl’Annahme meinongienne et frégéenne. cf. [11, chap. I].
21 Un tel schéma s’étend aisément aux états doxastiques de croyance (belief )etd’incroyance
(disbelief ) qui leur sont liés, cf. [11, chap. VII].

674 Denis Vernant
dans la tension dynamique des thèses « positives » et « négatives » qu’elles
proposent. En fait, l’étape zététique du processus de théorisation se fonde
tout autant – sinon plus – sur ce que l’on veut rejeter que sur ce que l’on
veut accepter. Dès lors que l’on peut la concevoir comme une pro-position
systématique, une théorie doit articuler dynamiquement assertions et dénégations.
La détermination complète de son sens réside dans cette tension
bipolaire entre thèses assertées et contre-thèses déniées. Le géocentrisme n’a
pasdesensindépendamment de l’héliocentrisme et réciproquement. D’où le
schéma :
Thèses : ⊢ θ
↗
Théorie
↘
Contre-thèses : ⊣ θ
De telles considérations peuvent sembler fort vagues. Il est toutefois aisé
de leur assigner une précision logique en examinant leurs conséquences sur
la présentation formelle et axiomatique de la théorie en question.
2.1 Axiomatisation bipolaire d’une théorie
Sous forme axiomatisée, une théorie donnée se présente classiquement comme
un ensemble, aussi limité que possible, d’idées et de propositions primitives
auxquelles on adjoint des règles de définition explicite des idées dérivées, de
bonne formation des formules et de transformation déductive de certaines
de ces formules à partir des axiomes. L’axiomatique se résume alors à une
triple procédure effective, c’est-à-dire algorithmique, de définition des idées
dérivées, de formation des formules et de démonstration des théorèmes. La
cohérence, la simplicité et la productivité d’un tel système axiomatique sont
contrôlées par des métarègles 22 .
Àbienyréfléchir, une telle présentation axiomatique s’avère incomplète,
proprement « hémiplégique ». En effet, cette forme « classique » ne prend en
compte que les axiomes, c’est-à-dire les propositions primitives que, pour des
raisons diverses, l’on accepte. Mais c’est oublier que si une théorie possède
un pôle positif exprimant ce que l’on accepte et asserte, elle possède aussi
un pôle négatif composé de ce que l’on rejette et dénie. Ainsi, pour exprimer
cette tension bipolaire fondamentale, une axiomatique doit se construire de
façon bipolaire en dédoublant le choix de ses axiomes et de ses règles.
Marqué par Twardowski 23 ,Jan̷Lukasiewicz proposa au début des années
Trente une définition logique du concept de rejet (ou dénégation) et, avec
22 Sur la présentation axiomatique d’un système formel, cf. notre [8, chap. III].
23 Kazimierz Twardowski adopta la conception brentanienne selon laquelle le jugement
ne met pas en relation deux représentations, mais le rapport intentionnel de la conscience
à son objet. Juger est alors accepter ou refuser l’existence de l’objet présenté.

De la bipolarité des concepts, des théories & des axiomatiques 675
l’aidedesondiscipleJerzyS̷lupecki, élabora une axiomatisation bipolaire
de la syllogistique traditionnelle qui peut se résumer ainsi 24 :
Termes
primitifs Aab, Iab
définis Eab,Oab
Assertion
Rejet
Axiomes
AA1 ⊢ A(a = a) AR1 ⊣ (Acb ◦ Aab) → Iac
AA2 ⊢ I(a = a)
AA3 ⊢ (Abc ◦ Aab) → Aac
AA4 ⊢ (Abc ◦ Iba) → Iac
Règles
détachement
DA
DR
substitution
SA
SR
SRR (règle de rejet de S̷lupecki)
Aux classiques règles de détachement (le modus ponens) etdesubstitution,
l’on adjoint les règles correspondantes pour les contre-axiomes et
contre-théorèmes ainsi que la règle spécifique introduite par S̷lupecki pour
assurer la décidabilité dusystème 25 .
Une telle axiomatique permet d’engendrer àlafoisdesthéorèmes àpartir
des axiomes assertés et des « contre-théorèmes » à partir des axiomes déniés.
Ainsi déployé defaçon bipolaire, le champ déductif s’avère complet qui
couvre aussi bien tout ce que l’on accepte que tout ce que l’on refuse :
Bipolarité axiomatique
Axiomatique
↗
↘
Axiomes : ⊢ A
Contre-axiomes : ⊣ A
2.2 Théorie & axiomatique bipolaires pragmatiques
Une telle axiomatisation bipolaire vaut tout autant pour les axiomatisations
appliquées des théories particulières que pour celles des systèmes
24 Pour une présentation de la genèse du système ̷Lukasiewicz-S̷lupecki, cf. [10].
25 La règle DR spécifie que si le conséquent d’un conditionnel est dénié, on peut
détacher la dénégation de l’antécédent ; SR applique la classique règle de substitution
au cas d’une proposition déniée ; enfin SRR se trouve reprise dans notre axiomatique
bipolaire des actes véridictionnels comme la règle R5, cf. infra, § 2.2.3.

676 Denis Vernant
formels logiques purs. Poursuivant sur notre thématique initiale, nous allons
prendre pour exemple d’une telle axiomatique appliquée celle de la
pragmatique véridictionnelle.
La pragmatique véridictionnelle résulte d’une théorisation des procédures
langagières par lesquelles un locuteur s’engage ou non sur la véritédecequ’il
dit. Sans entrer dans les détails, rappelons que nous avons proposédedistinguer
un acte de simple Considération du contenu propositionnel sans aucun
engagement du locuteur d’un acte contraire d’Estimation, d’engagement qui
peut être celui, positif, d’acceptation, d’Assertion, ou,négatif,derefus,de
Dénégation. L’ensemble des actes vériditionnels s’organise alors en :
OPÉRATEURS VÉRIDICTIONNELS
Considération
Estimation
Affirmatio Négation Assertion Dénégation
〈p〉
〈¬p〉
Aff. Nég. Aff. Nég.
⊢ p ⊢¬p ⊣ p ⊣¬p
Le recours à l’outil logique et à ses capacités d’axiomatisation permet
de préciser chacune des définitions de ces actes et surtout de spécifier leurs
relations logiques en assurant de plus la systématicité et l’exhaustivité de
l’analyse.
2.2.1. L’hexagone alternatif
Manifestement, les relations logiques entre actes véridictionnels fonctionnent
selon un jeu d’« opposition ». Pourformaliserunteljeu,nous
avons recouru à l’hexagone d’Augustin Sesmat qui complète le carré ditdes
« oppositions » d’Aristote en ajoutant aux traditionnelles positions A, E, I,
O, les sommets U et Y 26 .
Conformément à l’intuition pragmatique, nous avons interprété U comme
l’Estimation qui, en termes de disjonction exclusive, propose une alternative
entre A, l’Assertion et E, la Dénégation :U≡ (A w E). Quant à Y, le contradictoire
de U, il correspond àlasimpleConsidération et, sous la contrainte
d’incompatibilité entreAetE,estdéfinissable comme la conjonction de ¬A
et ¬E. D’où l’hexagone alternatif suivant :
26 Quoiqu’informelle, l’analyse de Sesmat s’avère remarquablement systématique, cf.
[6, § 117 & 128].

De la bipolarité des concepts, des théories & des axiomatiques 677
U
Estimation
A
Assertion
Dénégation
E
I
¬ Dénégation
¬ Assertion
O
Considération
Y
2.2.2. L’axiomatisation des actes véridictionnels
On peut formellement considérer les actes véridictionnels A, E, I, O, U, Y
comme des opérateurs propositionnels, par exemple, AP signifie l’assertion
de P et EQ la dénégation de Q, etc.(P et Q étant des métavariables de
propositions, simples ou complexes).
L’analyse du fonctionnement logique de ces actes passe par une axiomatique
qui définit rigoureusement leurs relations systématiques. Aussi avonsnous
construit une axiomatique qui, prenant pour idées primitives les opérations
d’assertion et de dénégation, se présente ainsi 27 :
Idées primitives
A
(assertion)
E
(dénégation)
Définitions
D1 IP = Df ¬A¬P (non assertion)
D2 OP = Df ¬E¬P (non dénégation)
D3 UP = Df (AP wEP ) (estimation)
D4 YP = Df ¬UP (considération)
Axiomes
AX0 ⊢ (AP →¬EP ) (Axiome alternatif)
AX1 ⊢ (AP → P ) (Axiome d’assertabilité)
AX2 ⊢{[(AP → Q) ◦ AP ] → AQ} (Axiome d’assertion)
27 En annexe de [11] nous présentons une axiomatisation de l’hexagone alternatif ainsi
que celle des opérateurs véridictionnels que nous présentons succinctement ici.

678 Denis Vernant
Règles de transformation :
Primitives :
R0 Substitution (notée Sub. P/Q)
R1 ⊢ P ⇒⊢AP
Dérivées :
R2 ⊢ (P → Q) ⇒ ⊢ (AP → AQ)
R3 [⊢A(P → Q), ⊢AP ] ⇒ ⊢AQ (Modus ponens)
R4 [⊢A(P → Q), ⊢EP ] ⇒ ⊢EQ (Modus tollens)
R3 ⊢ (P ≡ Q) ⇒⊢(AP ≡ AQ) (Règle d’extensionnalité)
Remarques :
– L’axiome alternatif permet la dérivation de toutes les relations composant
l’hexagone alternatif, cf. [11, Annexe, p. 235-240]. On prendra
garde au fait que désormais ⊢ estsymbolelogiquedethèse du système
et A de l’assertion pragmatique (idem resp. pour ⊣ et E).
–L’axiome d’assertabilité (qui formellement correspond à l’axiome de
nécessité) n’affirme rien d’autre qu’en assertant P , le locuteur s’engage
sur la vérité deP . Ce qui ne signifie en rien que P soit vrai, mais est
tenu pour vrai dans le monde discursif proposé par le locuteur. Pour
un traitement sémantique, cf. [11, chap. VI].
– Le choix de l’axiome AX2 correspond structurellement au « principe
d’assertion » de Russell. Son sens ici ne doit toutefois pas être confondu
avec celui du Modus ponens.
–L’écriture ⊢ P signifie dans cette axiomatique que la formule P est une
thèse du système et « ⇒ » est le métasymbole de dérivabilité.
Cette axiomatique mobilise toutes les ressources de la logique formelle
standard et en particulier ses règles usuelles de transformation 28 .
2.2.3. L’axiomatique bipolaire des actes véridictionnels
Telle que nous venons de la présenter, notre axiomatique garde une forme
classique en ce qu’elle ne fait figurer que les axiomes admis et, partant, les
théorèmes que l’on peut en déduire. Mais comme nous importe du point
devuedelathéorisation pragmatique autant ce que nous rejetons que ce
que nous acceptons, nous devons en proposer une présentation bipolaire qui
autorise aussi bien la démonstration de tout ce qu’elle rejette, les contrethéorèmes
quedecequ’elleadmet,lesthéorèmes. D’où lanécessité delui
adjoindre ceci :
28 Cette axiomatique est logiquement équivalente au système modal T de Robert Feys
qui se fonde sur l’axiome de nécessité (Lp → p) et l’axiome L(p → q) → (Lp → Lq)
correspondant dans notre axiomatique au théorème général 9, cf. [1, p. 217-252].

De la bipolarité des concepts, des théories & des axiomatiques 679
Contre-axiome
CAX1 ⊣ (¬AP →¬P ) (contre-axiome de négation)
Contre-règles de transformation
CR0 Substitution (notée CSub. P/Q)
CR1 [⊢A(P → Q), ⊣ AQ] ⇒⊣AP (Détachement)
CR2 [⊣ (α → Γ), ⊣ (β → Γ)] ⇒⊣[α → (β → Γ)]
Remarque : α et β représentent des propositions simples et Γ des propositions
élémentaires conditionnelles. CR2 est le contre-détachement de
S̷lupecki.
On dispose alors d’une axiomatique complète de la théorie pragmatique
des actes véridictionnels. Explicite, univoque, systématique et exhaustive,
cette axiomatique bipolaire autorise une évaluation précise de la théorie
de départ dans ses prémisses comme dans toutes ses conséquences, aussi
bien dans ce qu’elle admet que dans ce qu’elle refuse. Ainsi permet-elle la
détermination complète de son sens.
Pour donner un exemple de la fécondité d’une telle détermination théorique,
arrêtons-nous sur un cas précis de théorème et de contre-théorème
qu’elle permet de déduire.
D’un point de vue purement technique, l’enjeu est celui de l’itération
de l’opérateur d’assertion. Il est aisé dedémontrer dans notre axiomatique
l’implication de gauche à droite. On obtient en effet le théorème général 11
à partir de l’axiome 1 par simple substitution :
TG11 ⊢ (AAP → AP )
Par contre, on peut aussi démontrer le contre-théorème 1,
CTG11 ⊣ (AP → AAP ) 29 .
Est ainsi logiquement démontré qu’il n’y a pas équivalence entre l’assertion
et son redoublement. On sait qu’une telle équivalence n’est possible
que dans un système formel de puissance égale au système modal S4 etnon
dans un système aussi faible que T 30 .
Pareil résultat n’est donc en rien logiquement surprenant. Toutefois, il
possède un intérêt pragmatique manifeste en ce qu’il prend position sur
l’interprétation de l’itération de l’assertion.
D’un strict point de vue pragmatique, il convient en effet de ne pas
confondre l’assertion et son itération. Ap symbolise l’assertion de p par un
locuteur 31 . Le locuteur s’engage sur la vérité du contenu de la proposition p.
C’est par exemple le cas lorsqu’il énonce : « Il pleut ». Parcontre,AAp symbolise
l’opération seconde qui a pour effet rhétorique de renforcer le degré
29 Pour les démonstrations de TG11 et CTG1, cf. [11, Annexe, p. 244 & 247-8].
30 Cf. [4, p. 43-44]
31 Une formalisation plus sophistiquée est possible qui intègre le locuteur, on a alors
A ap, cf.[11, chap. VI].

680 Denis Vernant
de puissance de l’assertion initiale. Dans la langue naturelle, cela s’exprime
par le fait que notre locuteur énonce cette fois : « J’affirme qu’il pleut ».
Pragmatiquement, les deux actes diffèrent manifestement, le premier étant
une simple assertion, vraie ou fausse, et le second un acte de nature métadiscursive
– précisément un expositif 32 – qui, en tant que tel, ne peut pas
ne pas être vrai dès lors qu’il est produit.
Si on admet cette distinction conceptuelle, l’on comprend que l’implication
puisse valoir de gauche à droite puisque si l’on affirme une proposition,
on ne peut pas ne pas l’asserter, l’engagement métadiscursif étant plus fort
que la simple assertion. Par contre, une simple assertion n’implique pas nécessairement
un engagement plus fort. Par où l’on voit que le fait de rejeter
l’implication de droite à gauche explicite toute une conceptualisation de
nature pragmatique.
Ainsi une présentation axiomatique bipolaire explicite le sens complet
d’une théorie donnée en permettant de déployer à la fois son versant positif
qui enchaîne déductivement les théorèmes à partir des axiomes et son versant
négatif composé delachaîne des contre-théorèmes obtenus àpartirdes
contre-axiomes.
3 Conclusion
Du point de vue méthodologique, un concept n’est précisément défini que
s’il est déterminé, c’est-à-dire s’il s’applique ou non àunquelconqueobjet.
À cette exigence frégéenne première, Wittgenstein en ajoute une autre qui
porte sur la complétude de la détermination du concept, à savoir celle de la
totalité des choix possibles. Clairement délimité, le concept ouvre un espace
véridictionnel comprenantcesurquoiilporteetcesurquoiilneporte
pas. Cette bipolarité essentielle assure la détermination complète de son
sens. Ce précepte wittgensteinien de bipolarisation, qui vaut au premier chef
pour les concepts, s’étend naturellement aux théories entières et, partant,
àleurprésentation axiomatique complète. Il fournit ainsi un précieux outil
d’analyse, de définition conceptuelle comme d’élaboration théorique et de
construction axiomatique.
Cela toutefois ne saurait constituer le dernier mot de l’examen complet
d’un problème particulier. Dans notre approche stratifiée des problèmes,
le niveau, abstrait, de l’analyse conceptuelle et de la théorisation logique
doit être complété par les niveaux dialogique et praxéologique 33 . Dans cette
perspective, l’axiomatisation des actes véridictionnels n’a d’autre objet que
de définir in abstracto les relations logiques entre ces actes et ne saurait
32 Pour une définition, cf. [11, chap. IV, § 2.1], oùnousprocédons à une analyse des
métadiscursifs en tant que type spécifique d’actes de discours.
33 Pour une application àlaquestiondelavérité, cf. [11].

De la bipolarité des concepts, des théories & des axiomatiques 681
en rien déterminer les fonctions dialogiques qu’ils prennent dans leur usage
effectif 34 ni leurs finalités praxéologiques.
De même, chez Wittgenstein, l’approche proprement conceptuelle ne saurait
s’appliquer àlavision synoptique par air de famille des appellations
des pratiques sociales 35 .
Il reste donc àétendre la question de la déterminabilité auniveaunon
plus des concepts et de leurs organisations théorique et axiomatique, mais
à celui des jeux dialogiques et des activités sociales.
Méthodologiquement, il convient de ne pas confondre les « domaines de
question ».
BIBLIOGRAPHIE
[1] Feys,R.:« Les logiques nouvelles des modalités », Revue néoscolastique de philosophie,
n ◦ 40, 1937, p. 517-553 ; n ◦ 41, 1938, p. 217-252.
[2] Frege, G. : Grundgesetze der Arithmetik, Darmstadt and Hildesheim, 1962.
[3] Griffin, J. : Wittgenstein Logical Atomism, Bristol, Thoemmes Press, 1997.
[4] Hugues, G.E. & Cresswell, M.J. : An Introduction to Modal Logic, Methuen, London,
1968.
[5] Miéville, D. : Un développement des systèmes logiques de Stanis̷law Leśniewski, Berne,
Peter Lang, 1984.
[6] Sesmat,A.:Logique, Paris, Hermann, 1951, T. 2.
[7] Vernant, D. : Du Discours à l’action, Paris, PUF, 1997.
[8] Vernant, D. : Introduction à la logique standard, Paris, Garnier-Flammarion, 2001.
[9] Vernant, D. : « The Limits of a Logical Treatment of Assertion », dansLogic, Thought
and Action, D. Vanderveken ed., Netherlands, Springer, 2005, chap. 13, p. 267-287.
[10] Vernant, D. : « La genèselogiqueduconceptdedénégation de Frege àS̷lupecki », La
Philosophie en Pologne, 1918-1939, R. Pouivet & M. Rebuschi eds., Paris, Vrin, 2006,
p. 151-178.
[11] Vernant, D. : Discours & Vérité, analyses logique, pragmatique, dialogique et praxéologique,
Paris, Vrin, 2009,
[12] Vernant, D. : « Dialogue & praxis, le cas Habermas », inLangage & politique, B.Geay
&B.Ambroiseéds., Paris, PUF, CURAPP, 2010.
[13] Wittgenstein, L. : Carnets, 1914-1916, trad. fr. G.G. Granger, Paris, Gallimard, 1971.
[14] Wittgenstein, L. : Investigations philosophiques, trad. fr. P. Klossowski, Paris, Gallimard,
1961.
Denis Vernant
Université Pierre-Mendès-France
Département de philosophie
Denis.Vernant@upmf-grenoble.fr
34 Les actes de discours n’entrent dans un dialogue effectif qu’au titre d’interactes
négociés par les interlocuteurs, cf. [11, chap. VIII & X].
35 Cf. Investigations philosophiques, [14, § 68, p. 148-149].