Les Olympiades Suisses de Mathématiques - Schweizer Mathematik ...

Les Olympiades Suisses
de Mathématiques
Bulletin Annuel 2007

Contact
Olympiades Suisses de Mathématiques
Anna Devic
Avenue de Morges 88
1004 Lausanne
anna@imosuisse.ch
079 784 75 50
www.imosuisse.ch

Editorial
A travers cette brochure nous aimerions
présenter les activités en rapport
avec les Olympiades Suisses de Mathématiques
en 2007. La qualification aux
Olympiades Internationales de Mathématiques
a eu lieu pour la quatrième
fois de suite selon un système à trois
tours (tour préliminlaire, tour final, sélection
OIM). Nous aimerions continuer
dans ce même état d’esprit et nous nous
efforçons de proposer chaque année
aux élèves intéressés une opportunité
d’aborder les mathématiques dans une
atmosphère créative, entourés d’autres
jeunes partageant leurs centres d’intérêt.
Un développement important a été pour
nous la première participation de la
Suisse aux Olympiades Mathématiques
de l’Europe Centrale (voir page 24).
J’espère que la lecture de ce bulletin
vous donnera un aperçu enrichissant de
l’ensemble de ce concours.
Je profite de l’occasion pour remercier
au nom du comité tous les volontaires
qui nous ont apporté leur aide au
cours de l’année, en particulier Claudia
Appenzeller, Rahel Gimmel, Oliver Prosperi,
Christine Furter, Patrice Copin,
Nicla Bernasconi, Simon Hasenfratz,
ainsi que les autres memebres de notre
association Tu Nguyen, Andreas Bärtschi,
Rafael Guglielmetti, Dima Nikolenkov et
Elias Weber. Leur engagement a été un
ingrédient essentiel à la réalisation de la
dernière édition de l’OSM.
Daniel Sprecher
Contenu
4 Olympiades Suisses de Mathématiques
11 Sélection OIM
15 Olympiades Internationales de Mathématiques
24 Olympiades Mathématiques d’Europe Centrale
30 Organisation
36 Pyramide de sphères pour Bea Wollenmann
38 L‘OSM 2008

Qu’est-ce que l’OSM?
L‘OSM (Olympiades Suisses de Mathématiques)
est un concours pour les
gymnasiens âgés de moins de 20 ans.
Il s‘adresse à des élèves talentueux qui
cherchent des défis supplémentaires en
dehors de la matière scolaire. Aux séances
de préparation et lors du camp, les
participants abordent de nouveaux sujets
et s‘exercent à élaborer des preuves par
eux-mêmes. Ceci leur permet de découvrir
leurs limites d‘une manière peu connue
au gymnase. A l‘OSM, on décerne
des prix au niveau national et six se qualifient
pour les Olympiades Internationales
de Mathématiques (OIM) et six autres
pour les Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale (OMEC).
Pour les séances d‘entraînement et pour
les tests, nous posons des exercices
concernant l‘algèbre, la géométrie, la
combinatoire et la théorie des nombres.
Nous choisissons surtout des exercices
qui nécessitent peu de connaissances
mais plutôt de bonnes idées et une
grande habilité mathématique. Pour résoudre
un exercice il faut être créatif,
courageux et ouvert à toute sorte de solution.
Ce sont des capacités extrêmement
utiles en mathématiques et dans
beaucoup d‘autres branches.
Notre objectif principal est d‘arriver au
meilleur résultat possible lors de l‘OIM.
C‘est dans cette optique que nous avons
mis sur pied un concours national au
cours de ces dernières années. Il est
très important pour nous d‘encourager
les jeunes talents mathématiques. Nous
aimerions leur donner la possibilité
d‘exploiter leurs capacités et de les mesurer
au niveau national et international.
De plus, il s‘agit pour eux d‘une occasion
unique de rencontrer beaucoup d‘autres
jeunes avec qui partager le plaisir des
mathématiques.
Olympiades Suisses de Mathématiques

Olympiades Suisses de Mathématiques
Le déroulement
Le tour préliminaire: Le tour préliminaire
consiste en deux rencontres de
préparation qui ont lieu en parallèle à
Lausanne et à Zurich jusqu‘à mi-décembre.
Lors de ces rencontres, les participants
voient des introductions à quatre
sujets différents. On leur présente des
exemples intéressants et ils ont aussi
l‘occasion de résoudre des problèmes
par eux-mêmes. Mi-janvier il y a un examen
préliminaire et les 25 meilleurs participants
se qualifient pour le tour final.
Le tour final: Les 25 finalistes du tour final
participent à un week-end de mathématiques
où ils apprennent à mieux se
connaître et résolvent des exercices en
groupes. Une seconde réunion sert de
préparation au camp d‘une semaine qui
se déroule en mars. Celui-ci constitue
l‘apothéose de l‘OSM et il se termine par
l‘examen du tour final.
La journée OSM: Peu après le camp a
lieu la remise des médailles de l‘OSM
à l‘EPFZ. Les 25 finalistes reçoivent un
certificat et les douze meilleurs du tour
final se voient décerner des médailles.
La manifestation est complétée par un
exposé intéressant après que quelques
participants présentent leurs solutions
d‘exercices OSM devant l‘assemblée.
La sélection OIM: La sélection des six
membres de l’équipe suisse se fait parmi
ceux qui ont passé avec succès le cap
du tour final de l’OSM. Certains thèmes
sont alors approfondis afin d’optimiser
leur préparation pour l’OIM. Les examens
de sélection se déroulent dans
le style des examens de l‘OIM. Ils permettent
également de déterminer quelles
seront les six participants qui représenteront
la Suisse aux Olympiades Mathématiques
de l’Europe Centrale.

L‘OSM 2007
En 2007, un total de 150 élèves se sont
inscrits au tour préliminaire de l’OSM
et 96 d’entre eux se sont également
présentés au premier examen. Deux semaines
plus tard les 25 finalistes, ainsi
que les 4 participants liechtensteinois, se
sont réunis à Zurich pour la première fois
: le weekend de mathématiques débutait
plus tôt que d’habitude, le vendredi
matin. En dehors d’un nombre accru de
sujets mathématiques abordés, cela a
aussi laissé plus de temps aux participants
pour apprendre à se connaître.
A la fin du mois de février, nous nous
sommes de nouveau réunis pour un
jour afin d’aborder deux sujets difficiles :
théorie des nombres et combinatoire.
Comme l’hiver tardait à disparaître, le
camp OSM a eu lieu sous une couche
de neige fraîchement tombée en plein
mois de mars. Ceux qui voulaient profiter
de l’air frais de la montagne se sont
souvent retrouvés cibles des boules de
neiges qui traversaient les environs avec
grande régularité. Grâce à une cheminée
au feu de bois et une cuisine excellente,
ces quelques taquineries ont été
vite oubliées. Deux semaines après le
camp, lors de la journée OSM, c’était
le professeur Hanspeter Kraft qui nous
a diverti avec un exposé sur la vie de
Leonhard Euler.
Photo de groupe au camp OSM en mars 2007 à Rüschegg Heubach
Olympiades Suisses de Mathématiques

Olympiades Suisses de Mathématiques
OSM - Tour préliminaire
Lausanne, Zurich - le 13 janvier 2007
Durée: 3 heures
Chaque exercice vaut 7 points.
1. Soit un cube de longueur de côté 2a. En chaque sommet, au milieu de chaque arête
et de chaque face se trouve une ville. Deux villes sont reliées l’une à l’autre par un
chemin si leur distance vaut a. Existe-t-il un itinéraire qui passe exactement une fois
par chaque ville?
2. Combien de nombres à sept chiffres existe-t-il tels que le produit des chiffres vaille 45 3 ?
3. Soit ABC un triangle aigu et D, E et F les pieds des hauteurs passant par A, B,
respectivement C. Soit S l’intersection de la droite EF avec la droite perpendiculaire
à AC passant par D. Montrer que le triangle DES est isocèle.
4. Déterminer toutes les paires (a, b) de nombres naturels tels que
soient les deux des carrés.
a 2 + 3b et b 2 + 3a
5. Soit k un cercle et soient A, M, B, C et D cinq point distincts sur k dans cet ordre. On
a MA = MB. Les droites AC et MD se coupent en P et BD coupe MC en Q. La
droite P Q coupe k en X et en Y . Montrer que MX = MY .
Dimitri Wyss de Soleure a obtenu le score maximal de 35 points. Pour une
qualification directe 15 points étaient nécassaires.
Moyenne des points obtenus Bonne (96 candidats): chance!
Exercice: 1 2 3 4 5 Total
Points: 3.7 3.3 1.7 0.3 0.4 9.3
Les solutions des exercices se trouvent sur www.imosuisse.ch dans les archives.

Durée : 4 heures
Chaque Durée : 4exercice heures vaut 7 points.
Chaque exercice vaut 7 points.
OSM Tour final 2007
OSM premier Tour examen - le final 23 mars 2007
premier examen - le 23 mars 2007
1. Déterminer toutes les solutions réelles positives du système d’équations suivant :
1. Déterminer a toutes = max{ les 1, solutions 1} réelles b = positives max{ 1, 1 du } système d’équations c = max{ 1, suivant 1}
:
b c c d d e d a = max{ 1 , 1 } e b = max{ 1 , 1 } f c = max{ max{ 1 , 1 }
b c c d d e e f f a a b d = max{ 1 , 1 } e = max{ 1 , 1 } f = max{ 1 , 1 }
e f f a a b
2. Soient a, b, c trois nombres entiers tels que a + b + c soit divisible par 13. Montrer que
2. Soient a, b, c trois nombresa entiers 2007 + b tels 2007 que + c 2007 a + + b + 2 · c2007abc
soit divisible par 13. Montrer que
est également divisible par a13.
2007 + b 2007 + c 2007 + 2 · 2007abc
est également divisible par 13.
3. On subdivise le plan en carrés d’unité et on colorie chaque carré en une couleur choisie
3. parmi On subdivise n de sorte le plan que en si carrés l’on couvre d’unité quatre et oncarrés coloriepar chaque un L-tetromino, carré en unealors couleur ils sont choisie de
couleurs parmi n de différentes sorte que(le siL-tetromino l’on couvre quatre peut être carrés retourné par undans L-tetromino, tous les sens). alors Trouver ils sont de la
plus couleurs petite différentes valeur de (le n L-tetromino pour laquelle peut une être telle retourné coloration dans est tous possible.
les sens). Trouver la
plus petite valeur de n pour laquelle une telle coloration est possible.
4. Soit ABC un triangle aigu avec AB > AC et l’orthoncentre H. Soit D le pied de la
4. hauteur Soit ABCpassant un triangle par A aigu sur BC. avecSoit AB E > l’image AC et l’orthoncentre de C par la symétrie H. Soitpar D rapport le pied de à D.
la
Les hauteur droites passant AE et par BH A sur se coupent BC. Soit au Epoint l’image S. Soit de CN par le milieu la symétrie de AE par et rapport M le milieu
à D.
de LesBH. droites Démontrer AE et BH que se MN coupent est perpendiculaire au point S. Soit à DS.
N le milieu de AE et M le milieu
de BH. Démontrer que MN est perpendiculaire à DS.
5. Déterminer toutes les fonctions f : R ≥0 → R ≥0 ayant les propriétés suivantes :
5. Déterminer (a) f(1) =
toutes
0,
les fonctions f : R ≥0 → R ≥0 ayant les propriétés suivantes :
(b) (a) f(x) f(1) = > 0, 0 pour tout x > 1,
(b) (c) Pour f(x) > tout 0 pour x, y ≥ tout 0 avec x > x 1, + y > 0 on a
(c) Pour tout x, y ≥ 0 avec x + y > 0 on a xy
f(xf(y))f(y) = f
.
x xy + y
f(xf(y))f(y) = f
.
x + y
Olympiades Suisses de Bonne Mathématiques
chance !
Bonne chance !

OSM Tour final 2007
deuxième examen - le 24 mars OSM Tour final 2007
OSM Tour final 2007
Olympiades Suisses de Mathématiques
deuxième examen - le 24 mars 2007
Durée : 4 heures deuxième examen - le 24 mars 2007
Chaque exercice vaut 7 points.
Durée : 4 heures
Chaque Durée : 4exercice heures vaut 7 points.
Chaque exercice vaut 7 points.
6. Trois cercles k 1 , k 2 , k 3 de rayon égal se coupent non-tangentiellement en un point P .
Soient A et B les centres des cercles k 1 et k 2 . Soit D resp. C le point d’intersection
6. différent Trois cercles de Pk 1
de , k 2
k, 3 kavec 3 de krayon 1 resp. égal k 2 . se Montrer coupent que non-tangentiellement ABCD est un parallélogramme.
en un point P .
6. Soient Trois cercles A et Bk 1 les , k 2 , centres k 3 de rayon des cercles égal sek 1 coupent et k 2 . Soit non-tangentiellement D resp. C le pointend’intersection
un P .
différent Soient Ade et PB de leskcentres 3 avec kdes 1 resp. cercles k 2 . Montrer k 1 et k 2 . que Soit ABCD D resp. estC unleparallélogramme.
point d’intersection
7. Soient différent a, de b, cPdes de nombres k nonnégatifs et soit m = a+b+c leur moyenne arithmétique.
3 avec k 1 resp. k 2 . Montrer que ABCD 3 est un parallélogramme.
Montrer que
7. Soient a, b, c
des nombres
a + b + √ nonnégatifs
c + b + c + √ et soit m = a+b+c
a + c + a + √ leurmoyenne arithmétique.
3
7. Montrer Soient a, que b, c des nombres nonnégatifs et soit m = a+b+c b ≤leur 3 moyenne m + m arithmétique.
+ √ 3 m.
Montrer que
a + b + √
c + b + c + √
a + c + a + √
b ≤ 3 m + m + √ m.
8. Soit M ⊂ {1, 2, 3, . . . , 2007} un ensemble ayant la propriété suivante : parmi trois
a + b + √
c + b + c + √
a + c + a + √
b ≤ 3 m + m + √ m.
nombres appartenant à M, on peut toujors en choisir deux tels que l’un divise l’autre.
8. Quelle Soit Mest ⊂ la{1, taille 2, 3, maximale . . . , 2007} de unl’ensemble M? ayant la propriété suivante : parmi trois
8. nombres Soit M ⊂ appartenant {1, 2, 3, . . . à, 2007} M, onun peut ensemble toujors en ayant choisir la propriété deux tels suivante que l’un divise : parmi l’autre. trois
Quelle nombres estappartenant la taille maximale à M, ondepeut l’ensemble toujors M? en choisir deux tels que l’un divise l’autre.
9. Trouves Quelle est tous la taille les couples maximale (a, b) de del’ensemble nombres naturels M? tels que
a 3 + 1
9. Trouves tous les couples (a, b) de nombres
2ab 2 naturels tels que
+ 1
9. Trouves tous les couples (a, b) de nombres
est un nombre entier.
a 3 +
naturels
1
tels que
2aba 3 2 + 11
est un nombre entier.
2ab 2 + 1
10. On est un subdivise nombreleentier.
plan en triangles équilatéraux de longueur de côté 1 et on considère
un triangle équilatéral de longueur de côté n dont les côtés sont sur la grille. On pose
10. un Oncaillou subdivise sur le tous plan lesensommets triangles deéquilatéraux grille de se trouvent longueursur de le côté bord 1 et eton à l’intérieur considère
10. du un Ontriangle. subdivise équilatéral Ale chaque plan en coup detriangles longueur du jeu équilatéraux on dechoisit côté nun dont de triangle longueur les côtés d’unité sont de côté dont sur 1la exactement et grille. on considère On deux pose
sommets un triangle caillousont sur équilatéral tous recouverts les sommets depar longueur unde caillou. la degrille côté Onn qui enlève dont se trouvent les alors côtés lessur sont deux lesur bord etla ongrille. etmet à l’intérieur un Onautre
pose
caillou du un triangle. caillou sur sur leA sommet tous chaque lesqui coup sommets était du jeu libre deon laauchoisit grille début qui un duse triangle coup. trouvent Pour d’unité sur quelles le dont bord valeurs exactement et à de l’intérieur n est-il deux
possible sommets du triangle. d’arriver sont A recouverts chaque à uncoup unique par duun jeucaillou. on choisit restant On un enlève triangle un nombre alorsd’unité lesfini deux dont deet coups exactement on met ? un autre deux
caillou sommets sursont le sommet recouverts qui par étaitunlibre caillou. au début On enlève du coup. alors Pour les quelles deux etvaleurs on metdeunn autre est-il
Le nombre possible caillou maximal sur d’arriver le sommet de points à unqui unique obtenus étaitcaillou libre au 52 restant début (sur 70). en duun Pour coup. nombre une Pour médaille fini quelles de coups d'or valeurs 46, ? pour de n une est-il
médaille possible d'argent d’arriver 36, pour à un une unique médaille caillou de bronze restant26 enpoints un nombre étaient fini nécessaires. de coups ?
Moyenne des points obtenus (25 candidats):
Bonne chance !
Exercice: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
Points: 4.4 3.0 2.8 Bonne 1.2 1.4 chance 6.7!
4.1 2.0 0.5 0.4 26.4
Les solutions des exercices se trouvent sur
Bonne
www.imosuisse.ch
chance !
dans les archives.

Les résultats de l‘OSM 2007
Dans le tableau se trouvent les gagnants de l‘OSM 2007. Nous les félicitons de
leur succès. Le nombre de points correspond à l‘examen du tour final (maximum
de points: 70).
Médaille Nom Ecole Points
Or Vladimir Serbinenko Collège St-Michel, Fribourg 52
Stefan Wager Gymnase de Nyon 46
Argent Bogdan Gheorghe Gymnase de La Cité, Lausanne 40
Dimitri Wyss Kantonsschule Solothurn 39
Mario Huber Liceo Cantonale di Locarno 38
Lucas Dahinden KS Zürcher Oberland, Wetzikon 36
Bronze Michael Liu Kantonsschule Baden 34
Georg Balmer Kollegium Spiritus Sanctus Brig 31
Priska Wermelinger Kantonsschule Willisau 30
Raphael Steiner Gymnasium Laufen 28
Eben Freeman Hohe Promenade, Zürich 26
Philipp Wirth Gymnasium St. Antonius Appenzell 26
Tobias Krähenmann KS Rychenberg, Winterthur 26
Les douze élèves suivants se sont également qualifiés pour le tour final:
Bernhard Brodowsky Kantonsschule Schaffhausen
Adrien de Gottrau Kollegium Heilig Kreuz
Hrvoje Dujmovic Kantonsschule Wettingen
Marina Ernst Kantonsschule Im Lee, Winterthur
Manuel Hälg Kantonsschule Sargans
Levy Jäger
Stiftsschule Einsiedeln
Daniel Kellenberger Kantonsschule Wettingen
Cyril Lagger Abbaye de Saint-Maurice
Joëlle Portmann Kantonsschule Zug
Lynn Richmond Hohe Promenade, Zürich
Iris Thurnherr MNG Rämibühl, Zürich
Pascal Wild Kantonsschule Wettingen
Olympiades Suisses de Mathématiques
10

11 Sélection OIM
Préparations à la sélection OIM
Deux semaines seulement après la journée OSM, nous nous retrouvions avec les
participants qui ont passé le tour final. Le but des rencontres du 12 et du 25 avril
à l’EPFZ était de les préparer aux quatre examens de sélection du mois de mai. Le
20 mai le suspense a finalement touché à sa fin avec la sélection de l’équipe des
Olymiades Internationales et celle des Olympiades de l’Europe Centrale.
Les candidats pour la sélection OIM (de g. à d.)
Michael Liu, Tobias Krähenmann, Lucas Dahinden, Dimitri Wyss, Lynn Richmond,
Raphael Steiner, Priska Wermelinger, Stefan Wager, Georg Balmer, Eben Freeman,
Vladimir Serbinenko, Cyril Lagger
Pas sur la photo: Bogdan Gheorghe, Mario Huber, Philipp Wirth

Sélection
Sélection
OIM
OIM
2007
2007
Sélection OIM 2007
Sélection OIM 2007
Zurich - 5/6 mai et Lausanne - 19/20 mai
Zurich - 5/6 mai et Lausanne - 19/20 mai
Zurich - 5/6 mai et Lausanne - 19/20 mai
Durée: 4.5 heures à chaque jour
Chaque Durée: 4.5 exercice heuresvaut à chaque
Zurich
7 points. jour
- 5/6 mai et Lausanne - 19/20 mai
Chaque Durée: 4.5 exercice heuresvaut à chaque 7 points. jour
Chaque Durée: 4.5 exercice heuresvaut à chaque 7 points. jour
Premier jour, le mai 2007
Premier Chaque exercice jour, vaut le75points.
mai 2007
Premier 1. Soit ABCD jour, un letrapèze 5 maiavec 2007 AB CD et AB > CD. Les points K et L se trouvent
1. sur SoitleABCD côté AB, un trapèze respectivement avec ABCD CD telset que AB AK/KB > CD. = LesDL/LC. points KLes etpoints L se trouvent
Premier P et Q
1. se sur Soit trouvent leABCD jour,
côté AB, sur un
le
le trapèze
5 mai
respectivement segment avec
2007
KLABtels CD CD que telset que AB AK/KB > CD. = LesDL/LC. points KLes etpoints L se trouvent P et Q
1. se sur Soit trouvent leABCD côté AB, sur unle trapèze respectivement segment avec KLABtels CD CD que telset que AB AK/KB > CD. = LesDL/LC. points KLes etpoints L se trouvent P et Q
se surtrouvent le côté AB, sur le respectivement segment ∠AP B KL = ∠BCD tels que tels que et AK/KB ∠CQD = DL/LC. ∠ABC. Les points P et Q
∠AP B = ∠BCD et ∠CQD = ∠ABC.
se trouvent sur le segment KL tels que
Montrer que les points ∠APP, B Q, = B∠BCD et C sont et sur le même ∠CQD cercle. = ∠ABC.
Montrer que les points P, Q, B et C sont sur le même cercle.
∠AP B = ∠BCD et ∠CQD = ∠ABC.
2. Déterminer Montrer queles lesdeux points plus P, Q, petits B etnombres C sont sur naturels le même quecercle.
l’on peut écrire sous la forme
2. 7m Déterminer
Montrer 2 − 11n que 2 les avec les
deux
points m etplus nP, des Q,
petits
Bnombres et
nombres
C sont naturels. sur
naturels
le même
que
cercle.
l’on peut écrire sous la forme
2. 7m Déterminer 2 − 11n 2 les avecdeux m etplus n des petits nombres nombres naturels. naturels que l’on peut écrire sous la forme
3. 2. On 7m Déterminer 2 appelle − 11n 2 les avecdeux mpersonnes etplus n des petits un nombres couple nombres naturels. d’amis naturels si elles quesel’on connaissent peut écrire entre sous elles la forme et on
3. les On
7m appelleun deux couple personnes d’inconnus un couple si ellesd’amis ne se connaissent si elles se connaissent pas (se connaître entre elles ou ne etpas
on
3. se les On 2 − 11n
connaître appelle 2 avec m et n des nombres naturels.
un deux necouple peut personnes d’inconnus être que unmutuel). couple si ellesd’amis Soient ne se connaissent si m, elles n des se nombres connaissent pas (se naturels. connaître entre Trouver elles ne etpas
on le
3. plus se les Onconnaître appelle petit nombre un deux necouple peut personnes naturel d’inconnus être que k un satisfaisant mutuel). couple si ellesd’amis Soient la nepropriété se connaissent si m, elles n des suivante se nombres connaissent pas : (se dans naturels. connaître chaque entre Trouver elles groupe ne etpas
on de le
kplus se lespersonnes connaître appelle petit nombre unil necouple existe peut naturel toujours d’inconnus être que k satisfaisant 2m mutuel). si personnes elles Soient la nepropriété seformant connaissent m, n des suivante m couples nombres pas : (se dans disjoints naturels. connaître chaque d’amis, Trouver groupe neou pas de le il
existe kplus sepersonnes connaître petit 2n personnes nombre il neexiste peut naturel formant toujours être que k satisfaisant n2m mutuel). couples personnes disjoints Soient la propriété formant m, d’inconnus. n des suivante m couples nombres : dans disjoints naturels. chaque d’amis, Trouver groupe de le il
existe kplus personnes petit 2n personnes nombre il existe naturel formant toujours k satisfaisant n2m couples personnes disjoints la propriété formant d’inconnus. suivante m couples : dans disjoints chaque d’amis, groupe oude
il
existe k personnes 2n personnes il existeformant toujoursn 2m couples personnes disjoints formant d’inconnus. m couples disjoints d’amis, ou il
Deuxième jour, le mai 2007
Deuxième existe 2njour, personnes le 6formant mai 2007 n couples disjoints d’inconnus.
Deuxième 4. Un couple jour, (r, s) de lenombres 6 mai naturels 2007 est appelé bon s’il existe un polynôme P avec des
4. coefficients Un couple (r, entiers s) de et nombres des nombres naturels entiers est appelé deux àbon deux s’ildistincts existe unapolynôme 1 , . . . , a r et Pbavec 1 , . . . des
Deuxième , b s
4. tels coefficients Un couple
jour,
que (r, entiers s) de
le
et nombres
6 mai
des nombres naturels
2007
entiers est appelé deux àbon deux s’ildistincts existe unapolynôme 1 , . . . , a r et Pbavec 1 , . . . des , b s
4. tels coefficients Un couple que (r, entiers s) de et nombres des nombres naturels entiers est appelé deux àbon deux s’ildistincts existe unapolynôme 1 , . . . , a r et Pbavec 1 , . . . des , b s
tels coefficients P que (a 1 ) = entiers P (a 2 ) et = des . . . = nombres P (a r ) = entiers 2 et deux àP deux (b 1 ) = distincts P (b 2 ) = a 1
.,.. .. = . , aP r
(b et s ) b= 1 , . 5. . . , b s
P (a 1 ) = P (a 2 ) = . . . = P (a r ) = 2 et P (b 1 ) = P (b 2 ) = . . . = P (b s ) = 5.
tels que
(a) P Montrer (a 1 ) = P que (a 2 ) pour = . . . tout = P bon (a r ) couple = 2 (r, ets) onP a(br, 1 ) s = ≤P 3. (b 2 ) = . . . = P (b s ) = 5.
(a) Montrer que pour tout bon couple (r, s) on a r, s ≤ 3.
(b) P Déterminer (a tous les bons couples.
(b)
(a)
Déterminer
Montrer 1 ) = P (a
que 2 ) = . . . = P (a
tous
pour
les
tout
bons
bon r ) = 2 et P (b
couples.
couple (r, s) on a r, 1 ) = P (b
s ≤ 3. 2 ) = . . . = P (b s ) = 5.
5. Soient (b) (a) Déterminer Montrer n > 1 et quem tous pour desles tout nombres bons bon couples. naturels. (r, Un s) on parlement a r, s ≤ 3. est composé de mn députés
5. qui Soient
(b) ont Déterminer
n formé > 1 et 2nm tous commissions des
les
nombres
bons selon couples.
naturels. règles Un suivantes parlement:
est composé de mn députés
5. qui Soient ontn formé > 1 et 2nmcommissions des nombres selon naturels. les règles Un suivantes parlement:
est composé de mn députés
5. qui Soient (i) ont Chaque n formé > 1 et 2nmcommissions des nombres est composée selon naturels. les de règles Un m députés. suivantes parlement:
est composé de mn députés
qui
(i) Chaque commission est composée de m députés.
(ii) ont Chaque formédéputé 2n commissions fait partieselon d’exactement les règlesdeux suivantes commissions. :
(ii)
(i)
Chaque
Chaque
député
commission
fait partie
est composée
d’exactement
de m députés.
deux commissions.
(iii) Deux commissions ont toujours au plus un membre commun.
(iii)
(ii) (i) Chaque
Deux commissions
député fait
ont
partie est composée
toujours
d’exactement de m députés.
au plus un
deux
membre
commissions.
commun.
Déterminer (iii) (ii) Chaque Deux commissions endéputé fonction faitde ont partie ntoujours la plus d’exactement grande au plusvaleur un deux membre possible commissions. commun. de m qui rend la construction
Déterminer
(iii) possible. Deux commissions
en fonction de
ont
n
toujours
la plus grande
au plus
valeur
un membre
possible
commun.
de m qui rend la construction
Déterminer possible. en fonction de n la plus grande valeur possible de m qui rend la construction
Déterminer possible. a, b, cen des fonction nombres deréels n la positifs plus grande tels que valeur a + possible b + c ≥de abc. mMontrer qui rendqu’au la construc-
moins
6. Soient
6. deux Soient
tion possible. des a, b, trois c des inégalités nombressuivantes réels positifs sont tels justes que:
a + b + c ≥ abc. Montrer qu’au moins
6. deux Soientdes a, b, trois c des inégalités nombres
2
a + 3 b + 6 suivantes réels positifs sont tels justes
c ≥ 6, 2
b + 3 c + 6 : a + b + c ≥ abc.
a ≥ 6, 2
2
c + 3 Montrer
a + 6 qu’au moins
6. deux Soientdes a, b, trois c des inégalités nombres
b ≥ 6.
a + 3 b + 6 suivantes réels positifs sont justes
c ≥ 6, 2
tels
b + 3 que
c + 6 : a + b + c
a ≥ 6, 2
≥ abc.
c + 3 Montrer
a + 6 qu’au moins
deux des trois inégalités 2
b ≥ 6.
a + 3 b + 6 suivantes
c ≥ 6, sont 2
b + justes 3
c + 6 :
a ≥ 6, 2
c + 3 a + 6 2
b ≥ 6.
a + 3 b + 6 c ≥ 6, 2
b + 3 c + 6 a ≥ 6, 2
c + 3 a + 6 b ≥ 6.
Sélection OIM
12

13 Sélection OIM
Troisième jour, le 19 mai 2007
7. Soit a 1 , a 2 , . . . , a 2007 une suite qui contient chaque nombre naturel de 1 à 2007 exactement
une fois. On répète plusieurs fois de suite l’opération suivante : Si le premier
terme de la suite est n, alors on inverse l’ordre des n premiers termes. Montrer que la
suite commence par 1 après avoir effectué cette opération un nombre fini de fois.
8. Soit ABCDE un pentagone convexe tel que
∠BAC = ∠CAD = ∠DAE et ∠ABC = ∠ACD = ∠ADE.
Les diagonales BD et CE se coupent en P . Montrer que la droite AP coupe le côté
CD en deux parties égales.
9. Déterminer tous les nombres naturels n pour lesquels il existe exactement un entier a
avec 0 < a < n! tel que
n! | a n + 1.
Quatrième jour, le 20 mai 2007
10. Soient n un nombre naturel et f la fonction définie par
f(n) = 1 n
n
k=1
n
k
.
Montrer qu’il existe une infinité de nombres naturels m tels que f(m) < f(m + 1) et
une infinité de m tels que f(m) > f(m + 1).
11. Trouver toutes les fonctions f : R + → R + telles que pour tout x, y > 0 on ait
f(x y ) = f(x) f(y) .
12. Dans le triangle ABC, soit J le centre du cercle exinscrit qui est tangent au côté BC
en A 1 et aux prolongements des côtés AC et AB en B 1 , respectivement C 1 . La droite
A 1 B 1 coupe la droite AB perpendiculairement en D. Soit E la projection de C 1 sur
la droite DJ. Déterminer la valeur des angles ∠BEA 1 et ∠AEB 1 .
Le nombre maximal de points obtenus était 58 (sur 84). Pour la qualification 34 points étaient
nécessaires.
Moyenne des points obtenus (15 candidats):
Exercice: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total
Points: 2.4 3.7 1.3 1.5 5.9 0.5 2.3 3.0 1.3 2.4 1.5 1.1 27.0
Les solutions des exercices se trouvent sur www.imosuisse.ch dans les archives.

Les résultats de la sélection OIM
L'équipe à l‘OIM à Hanoi (de g. à d.)
Eben Freeman, Raphael Steiner, Stefan Wager,
Vladimir Serbinenko, Dimitri Wyss, Lucas Dahinden
Rang Nom Localité Points
1. Vladimir Serbinenko Villarimboud FR 58
2. Stefan Wager Founex VD 50
3. Lucas Dahinden Wetzikon ZH 36
4. Dimitri Wyss Solothurn SO 36
5. Raphael Steiner Meltingen SO 35
6. Eben Freeman Männedorf ZH 34
Lors de la sélection aux Olympiades Mathématiques de l’Europe Centrale la limite
d’âge des participants est plus basse d’une année que pour l’OIM. Les participants
suivants se sont qualifiés pour l’OMEC:
Georg Balmer
Michael Liu
Cyril Lagger
Philipp Wirth
Lynn Richmond
Adrien de Gottrau
Sélection OIM
14

15
Olympiades Internationales
de Mathématiques
L‘OIM
A l‘OIM plus de 500 élèves venus
d‘environ 90 pays se retrouvent pour résoudre
les exercices du concours, mais
aussi pour vivre ensemble une aventure
formidable. L‘OIM a lieu chaque année
depuis 1959 dans un pays différent. L‘été
2008 l‘OIM aura lieu à Madrid et durera
presque deux semaines.
Les deux examens ont lieu pendant deux
jours consécutifs et durent chacun quatre
heures et demi. Chaque jour les participants
doivent résoudre trois nouveaux
problèmes. Au plus six élèves par pays
peuvent participer. Les meilleures équipes
viennent souvent de Chine ou des
États-Unis où il y a une longue tradition
des Olympiades nationales.
La moitié des participants gagne une
médaille. Le rapport entre médailles
d‘or, médailles d‘argent et médailles
de bronze est 1:2:3. La suisse participe
depuis 1991 quand Bea Wollenmann
a participé et gagné une medaille de
bronze. Depuis la Suisse a gagné 1 médaille
d‘or, 7 médailles d‘argent et 17
médailles de bronze. Cette année une
médaille de bronze supplémentaire s’est
ajoutée à la liste.
A l’OIM des jeunes venus des quatre coins du monde ont l’occasion de se rencontrer.

Par Anna Devic
Anna est leader de
l’équipe OIM et membre
du comité d’imosuisse
Un carnet de voyage
Le temps des examens de sélection où
nous fixions une feuille blanche chacun
dans sa bulle personnelle étant depuis
longtemps derrière moi, les Olympiades
se sont, au fil des années, de plus en
plus imposées dans mon esprit comme
une activité collective. Qu’il s’agisse des
séances de préparation, du camp ou
d’interminables soirées de corrections
d’examens, en tant qu’organisateur,
on est toujours entouré ; se retrouver
donc seule dans l’avion en partance
pour le Vietnam me remplissait donc
Partout dans le pays, des panneaux
pour nous souhaiter la bienvenue.
d’appréhension pour ma première année
en tant que leader. Saurai-je faire le
nécessaire pour défendre au mieux les
chances de notre équipe ? Utiliser à bon
escient la voix accordée à chaque pays
participant lors des réunions du jury ?
Déchiffrer dans les moindres détails les
compositions des membres moins appliqués
de la team ? Transmettre des ondes
positives aux participants pour qu’ils fassent
de leur mieux à l’examen ? Autant
de questions sans réponse qui trottaient
dans ma tête pendant que je regardais
le soleil se lever depuis les fenêtres de
l’avion.
19.07.07 A notre arrivée à Hanoi le comité
d’accueil est déjà en place et nous
remet à chacun un bouquet de fleur. Le
geste est touchant, tout en rendant le
maniement de nos valises quelque peu
difficile… Après une courte attente et un
premier contact avec la chaleur ambiante,
on monte dans des autocars climatisés
en direction de Ha Long Bay. Il
m’est difficile de rester éveillée pendant
le trajet, malgré les efforts combinés de
Daniel, immunisé contre le décalage horaire,
et des particularités du trafic vietnamien.
Quand on arrive à l’hôtel, un
cadre magnifique avec vue sublime sur
la baie, il est trois heures de l’après-midi.
Avec le shortlist tant convoité entre nos
mains, nous nous mettons rapidement
au travail. Le reste de la journée est une
Olympiades Internationales
de Mathématiques
16

17
Olympiades Internationales
de Mathématiques
course contre-la-montre pour regarder
le plus grand nombre d’exercices avant
que le décalage horaire ne prenne le
dessus. Après une brève sieste sur le tapis
de ma chambre, je m’avoue vaincue
et je vais au lit après 38 heures passées
sans dormir.
20.07.07 Nous recevons les solutions
des exercices à dix heures. Nous avons
jusqu’à la fin de la journée pour les étudier
en détail et pour porter un premier
jugement sur les exercices présélectionnés.
Les critères sont nombreux et variés
: il faut à la fois jauger la beauté
mathématique, anticiper les réactions de
notre équipe face à tel ou tel problème,
estimer les difficultés de coordination et
deviner quels exercices seront les favoris
du jury. Le temps qui nous est accordé
est limité, nous parvenons tout de même
à se faire une idée globale des options
proposées. Les choses sérieuses commenceront
demain.
Vue panoramique depuis la
captivité de notre hôtel
21.07.07 Première réunion du jury. Les
exercices faciles sont choisis en premier.
De manière peu surprenante, on choisit
un exercice de géométrie, ce qui est loin
de déplaire aux intérêts suisses (plus tard
l’équipe y récoltera 35 points), puis un
exercice d’algèbre qui, malgré sa simplicité,
demande une certaine maturité
mathématique pour être facilement abordable.
Je suis sceptique et mentalement
je prends des notes sur les sujets à
inclure dans notre prochain programme
de préparation… Le choix des exercices
difficiles est nettement plus délicat.
L’exercice d’algèbre le plus difficile divise
les esprits : malgré sa beauté mathématique
incontestable, des incertitudes sur
sa solvabilité persistent. Dans un premier
temps, il ne passe par ailleurs pas les
sélections : il faudra un rebondissement
le jour suivant pour que les votes soient
relancés et qu’il soit pris.
Ce jour est également le jour où nous
apprenons que les policiers à l’entrée de
l’hôtel sont là pour empêcher notre sortie,
que les ‘Swiss rolls’ sont des desserts
très populaires au Vietnam et qu’ils sont
soit rose, soit vert fluo, que la piscine
est le refuge idéal en cas d’internement
forcé dans un hôtel même s’il faut porter

un maillot de bain avant de se baigner et
que si l’on se couche trop tard, un tapis
‘Good morning’ nous accueille joyeusement
dans l’ascenseur.
22.07.07 Un des exercices difficiles
choisis le jour précédent est mis au pilori
et on recommence les votations. A la
deuxième tentative, l’exercice d’algèbre
redouté passe : on se retrouve avec deux
exercices d’algèbre, un de combinatoire
et un de géométrie. Un des exercices de
niveau moyen sera donc un exercice de
théorie des nombres, sauf que deux des
quatre candidats potentiels s’avèrent être
déjà publiés. Pour étoffer notre choix, je
propose de rajouter à la liste le lemme
de N6 : le jury se lance dans un débat
passionné sur la légitimité de la proposition,
la refuse, puis la situation se retourne
de nouveau – qui oserait dire que
les réunions de jury ont été sans rebondissements
cette année ? – et l’exercice
est finalement choisi pour le concours.
Une première victoire, un peu ternie plus
tard par le manque d’enthousiasme de
l’équipe face à ce problème.
Ce jour est également le jour où la musique
d’ascenseur commence à avoir
gain de cause sur notre système auditif,
où la piscine devient notre deuxième
maison, où un droitier me bat au billard
avec sa main gauche et où le serveur
du bar Saigon découvre enfin comment
préparer un bon gin tonic. Palpitant,
n’est-ce pas ?
Anna et Thomas en séance de
coordination
23.07.07 Cette journée restera dans
les annales comme la date de notre
remise en liberté. Sortir de l’hôtel. Voir
la mer. Sentir les odeurs. Acheter des
cartes postales. Toutes ces activités dont
on rêvait depuis des jours entiers, nous
pouvons enfin nous’y adonner sans contrainte
ou presque – le couvre-feu est à
9 heures, nous devons sortir par groupes
de cinq et nous n’avons pas le droit de
nous séparer mais qui oserait s’en plaindre
? Pour notre première sortie, nous
allons voir un arbre qui n’a aucune autre
particularité que de se trouver au bout
d’un cul-de-sac. C’est décidé, la prochaine
fois on prendra nos guides de
poche et une couche de vêtements de
moins si possible.
C’est également le jour où l’on finalise
le choix des exercices et où l’on effectue
les traductions dans les différentes
langues, mais cela passe quasiment
inaperçu dans la foule des leaders ar-
Olympiades Internationales
de Mathématiques
18

19
Olympiades Internationales
de Mathématiques
borant désormais fièrement un chapeau
vietnamien.
24.07.07 Le matin on vote sur les schémas
de points puis on part à Hanoi pour
la cérémonie d’ouverture. On se sent honoré
en voyant la voiture de police qui
précède notre convoi, il ne s’agit pourtant
pas d’une extravagance mais d’une
nécessité : même en leur présence, le
voyage de 150 km prend trois heures à
être effectué. La cérémonie se déroule
sans accroc, ma team s’est improvisé un
uniforme en complétant les t-shirts avec
des pantalons couleurs sable. Cela fait
drôlement plaisir de les revoir ! Après
la cérémonie (et un retard causé par
la disparition mystérieuse d’un Observer),
nous nous remettons en route pour
l’isolement de Ha Long Bay.
25.07.07 Premier jour du concours. Au
vu du déroulement chaotique de la première
séance de réponse aux questions,
je me réjouis que mon équipe ne se
manifeste pas. Pendant qu’ils finissent
d’écrire le test, nous partons à la découverte
de la baie. On voit une grotte (estce
que cela serait en train de devenir une
tradition aux Olympiades ?), une suite
d’îles et un show aquatique où l’on a
une otarie et un faux dauphin au lieu du
crocodile promis. L’enfant qui sommeille
en nous est un peu déçu. Pour se consoler,
nous partons à la recherche d’autres
aventures et nous ratons presque le couvre-feu.
‘Presque’ y étant le mot-clé, on
nous laisse entrer sans problème et aucun
policier ne sort son bâton. Ouf.
26.07.07 Le concours continue. Cette
fois-ci, aucune excursion au programme,
nous passons la journée à corriger les
épreuves du premier jour. Au fil des
heures, les installations de sécurité disparaissent
petit à petit : à la place de
notre lieu d’isolement, les deputy leaders
vont découvrir un hôtel accueillant. Ils
C’est également le jour où je me fais une
bosse sur la tête, mais cette nouvelle a
été classifiée d’importance négligeable.
Dimitri s’est vite trouvé un travail.

arrivent pour le souper et on échange les
premières impressions : pour la Suisse,
la récolte de médailles paraît nettement
plus maigre que l’année précédente. La
coordination commence tôt le lendemain
matin, nous nous préparons donc
jusque tard dans la nuit pour défendre
aux mieux les chances de nos petits.
27.07.07 On découvre que l’alternance
entre séances de coordination, de correction
et de piscine accroît notre créativité.
Les coordinateurs sont globalement
d’accord avec nos propositions, nous
avons donc le temps de bien préparer
les questions du jour suivant, plus épineuses.
28.07.07 Lors de la coordination de
l’exercice 4, nous arrivons à faire admettre
à un coordinateur qu’omettre la
phrase ‘une symétrie par rapport à une
bissectrice envoie un côté de l’angle sur
Le Liechtenstein a aussi gagné
une médaille.
l’autre’ est une imperfection mineure et
on passe ainsi d’un schéma 0+ à un
schéma 7-. Victoire ! Le soir, dernière
réunion du jury. Le chaos est total, les
motions se superposent, des milliers de
chiffres se défilent sous nos yeux, et ce
n’est pas les photos qui les accompagnent
qui permettent d’y voir plus clair.
A la fin les cut-offs sont décidés : cette
année il aura fallu 29 points pour une
médaille d’or, 21 pour une médaille
d’argent et 14 pour une médaille de
bronze. Vladimir, avec 16 points, aura
ainsi une de bronze, tandis que Stefan,
Lucas et Eben rentreront avec une mention
honorable. Belle performance pour
un concours qui s’est distingué par sa
difficulté non négligeable.
La réunion du jury se termine tard, mais
il s’agit notre dernière soirée à Ha Long
Bay. Au lieu d’aller se coucher, nous faisons
donc un tour d’adieu : le bar avec
ses barmen toujours serviables, la terrasse
panoramique avec sa vue incroyable,
la piscine et ses chaises longues si
confortables… La nuit est courte et nos
valises sont encore à faire, mais nous
n’aurions pas pu faire autrement. Le
manque de sommeil est juste un effet
secondaire chronique de la participation
aux Olympiades…
29.07.07 Retour à Hanoi. L’après-midi
je renonce à la visite d’une fabrique de
soie pour récupérer des épreuves des
jours d’avant et pour être en forme le
soir. En effet c’est la première fois que je
Olympiades Internationales
de Mathématiques
20

21
Olympiades Internationales
de Mathématiques
Toute l’équipe suisse réunie après la cérémonie de clôture
vois l’équipe depuis que nous sommes
au Vietnam ! On se réunit tous dans un
restaurant local, on échange nos impressions,
on se décontracte, puis les plus
épuisés, moi y compris, vont se coucher.
Pour les autres, la nuit continue…
30.07.07 On découvre le Lac de l’Epée
Perdue, la tortue géante et la rue aux
chaussures, bref on suit le parcours standard
du touriste à Hanoi. On mange
aussi des glaces, puis on part à la cérémonie
de clôture. Quelques heures
plus tard on se félicite pour cette initiative
gastronomique car il n’y a plus de
places assises au banquet et manger
debout avec des baguettes dépasse un
peu nos capacités. Suite à cette fin en
demi-teinte, on retourne à l’hôtel pour
dire un au revoir rapide aux gens avec
qui on a passé deux semaines bien remplies.
Je me souviens encore de mon
année en tant que participante où nous
avons attendu le lever du soleil sans nous
coucher : cette fois-ci, l’âge et le manque
de sommeil ont raison de moi et je
m’éclipse rapidement.
31.07.07 C’est notre dernier jour à Hanoi.
C’est aussi le jour où l’on réalise
qu’on aimerait rester, découvrir le pays
un peu plus, prolonger l’aventure, mais
un comité d’accueil nous attend avec impatience
à la maison. On prend l’avion.
On se force à ne pas se retourner. On
y repense tout de même sans arrêt et
on sait qu’on reviendra dans une année
avec autant de questions en tête et les
bribes de réponses qui arriveront petit
à petit.
Mesdames et messieurs, les Olympiades
continuent !

Version: French
Premier jour
48e OIM 2007
Mercredi 25 juillet 2007
Hanoi - 25/26 juillet 2007
Problème 1.
Soit n nombres réels a 1 , a 2 , . . . , a n . Pour chaque i (1 ≤ i ≤ n) on définit
d i = max{a j : 1 ≤ j ≤ i} − min{a j : i ≤ j ≤ n}
et on pose
d = max{d i : 1 ≤ i ≤ n}.
(a) Montrer que pour tous nombres réels x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ x n ,
max{|x i − a i | : 1 ≤ i ≤ n} ≥ d 2 .
(∗)
(b) Montrer qu’il existe des nombres réels x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ x n tels que (∗) soit une
égalité.
Problème 2. On donne cinq points A, B, C, D et E tels que ABCD soit un parallélogramme
et BCED un quadrilatère convexe, inscriptible. Soit une droite passant
par A. On suppose que coupe l’intérieur du segment DC en F et coupe la droite BC
en G. Version: On suppose Frenchaussi que EF = EG = EC. Montrer que est la bissectrice de l’angle
DAB.
Deuxième jour
Problème 3. Dans une compétition mathématique certains participants sont des amis.
L’amitié est toujours réciproque. Un
Jeudi
groupe
26 juillet
de participants
2007
est appelé une clique si toute
paire d’entre eux est formée de deux amis. (En particulier, chaque groupe d’au plus un
participant constitue une clique.) Le nombre de participants dans une clique est appelé
sa taille.
On suppose que, dans cette compétition, la plus grande taille des cliques est paire.
Montrer que les participants peuvent être répartis dans deux pièces de telle sorte que la
plus grande taille des cliques contenues dans une de ces pièces soit égale à la plus grande
taille des cliques contenues dans l’autre.
Problème 4. Dans un triangle ABC la bissectrice de l’angle BCA recoupe le cercle
circonscrit en R, coupe la médiatrice de BC en P et la médiatrice de AC en Q. Le milieu
de BC est K et le milieu de AC est L. Montrer que
Temps
les triangles
accordé :
RP
4 heures
K et RQL
30 minutes
ont la
même aire.
Chaque problème vaut 7 points
Problème 5. Soit a et b deux entiers strictement positifs. Montrer que si 4ab−1 divise
(4a 2 − 1) 2 , alors a = b.
Problème 6.
Soit n un entier strictement positif. Dans l’espace on considère l’ensemble
S = (x, y, z) : x, y, z ∈ {0, 1, . . . , n}, x + y + z > 0 ,
constitué de (n + 1) 3 − 1 points. Trouver le plus petit nombre de plans dont la réunion
contient S mais ne contient pas (0, 0, 0).
Olympiades Internationales
de Mathématiques
22

23
Olympiades Internationales
de Mathématiques
Résultats de l’équipe de Suisse à l‘OIM
Vladimir Serbinenko, gagnant d’une médaille de bronze
avec ses coéquipiers Stefan Wager (à gauche) et Lucas
Dahinden
1 2 3 4 5 6 Total Distinction
Lucas Dahinden 3 1 0 7 0 1 12 HM
Eben Freeman 0 2 0 7 0 0 9 HM
Vladimir Serbinenko 7 0 1 7 1 0 16 Bronze
Raphael Steiner 0 0 0 5 0 0 5
Stefan Wager 3 1 0 7 1 0 12 HM
Dimitri Wyss 0 0 0 2 3 0 5
13 4 1 35 5 1 59
Comme Vladimir s’est placé dans la première moitié du tableau des participants
(sur un total de 520 candidats), il s’est vu récompensé par une médaille de bronze.
A la fin de sa dernière participation à l’OIM, il se trouve en possession d’une HM,
de deux médailles de bronze et d’une médaille d’or! Une mention honorable (HM)
récompense un exercice parfaitement résolu.

La première équipe de Suisse à l‘OMEC (de g. à d.)
A l‘arrière plan: Markus Sprecher (Leader), Cyril Lagger, Philipp
Wirth, Georg Balmer, Reto Locher (Deputy Leader)
Au premier rang: Michael Liu, Adrien de Gottrau, Lynn Richmond
L‘OMEC
En plus de l’OIM, en 2007 la Suisse a
aussi pu participer à un deuxième concours
international pour la première
fois. Les organisateurs de l’ Austrian-
Polish Mathematics Competition ont
décidé d’inviter d’autres pays à la compétition,
créant ainsi les Olympiades
Mathématiques de l’Europe Centrale
(OMEC). Nous nous réjouissons de pouvoir
désormais envoyer chaque année
six participants supplémentaires à une
compétition internationale. En dehors
de la Suisse, cinq autres pays ont reçu
une invitation: la Croatie, la Pologne,
la Slovaquie, la Slovénie et la Tchéquie.
Les jeunes n’ayant pas participé à
l’OIM la même année et en mesure d’y
représenter leur pays l’année suivante
sont autorisés de s’y présenter. L’OMEC
est une bonne occasion pour eux de
gagner plus d’expérience au niveau international.
Une particularité de l’OMEC
est qu’en dehors du concours individuel,
un concours par équipes a également
lieu. Les exercices du concours par équipes
sont un peu plus difficiles que les exercices
du concours individuel.
Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale
24

25
Von Markus Sprecher
Markus est leader de
l’équipe OMEC et membre
du comité d’imosuisse
Zum ersten Mal MEMO
Unser Team traf sich am Mittwochabend,
dem 19. September am Hauptbahnhof
in Zürich. Zum Team gehörten die
sechs Teilnehmer, Reto Locher als Deputy
Leader und ich als Leader. Es stand eine
lange Zugfahrt vor uns. Am Beginn der
Fahrt wurden nochmals fleissig Aufgaben
gelöst, danach versuchten alle, so
gut es ging, ein wenig Schlaf zu bekommen.
Um 10 Uhr morgens kamen wir
in Wien Westbahnhof an. Nach einer
halben Stunde mit dem Bus erreichten
wir Eisenstadt, den Austragungsort der
MEMO. Dort angekommen, bekamen
wir unsere Zimmer zugewiesen. Die
Schüler und die Deputy Leader waren in
der Wirtschaftskammer untergebracht.
Jeder hatte ein grosses Zimmer für sich
alleine. Die Leader logierten im 4-Sterne
Hotel Ohr, welches etwa 100m von der
Wirtschaftskammer entfernt war. An diesem
Tag stand noch nichts auf dem Programm.
Wir nutzten den Nachmittag um
uns in Eisenstadt etwas umzusehen. Die
Stadt ist mit etwa 10’000 Einwohnern
sehr überschaubar. Sehr imposant ist der
grosse Schlosspark. Wir genossen den
sonnigen Herbsttag, waren allerdings
auch etwas aufgeregt wegen der kommenden
Tage.
Gegen Abend trafen auch die Teams aus
Tschechien und der Slowakei ein. Um
uns etwas kennenzulernen, führten wir
an diesem Abend einen Fussballmatch
durch.
Der Freitag war der letzte Tag vor den Prüfungen.
Die Leader und Deputy Leader
waren damit beschäftigt, die Prüfung zu
übersetzen. Die Schüler machten eine
Besichtigungstour durch Eisenstadt. Am
Samstag stand die Prüfung auf dem Programm.
Vier anspruchsvolle Aufgaben
galt es innerhalb von fünf Stunden zu
lösen.
Die Leader und Deputy-Leader warteten
gespannt auf den Ausgang der Prüfungen.
Nachdem die Prüfung vorbei war,
hatten wir die Gelegenheit, mit den
Schülern zu sprechen. Die Aufgaben
seien sehr schwierig gewesen. Am Nachmittag
galt es dann, den Einzelwettbewerb
hinter sich zu lassen und sich auf
den Teamwettbewerb, der am nächsten
Tag stattfand, zu konzentrieren. Beim
Teamwettbewerb hatte unser Team ein
besseres Gefühl. Es habe viel geholfen,
dass man die Aufgaben gemeinsam
habe lösen können.
Nachdem der ganze Prüfungsstress vorbei
war, galt es den Aufenthalt in Österreich
zu geniessen und noch ein paar
schöne Tage zu verbringen. Die Schüler
machten am Morgen einen Ausflug ins
Burgenland. Die Leader und Deputy-
Leader waren mit der Korrektur der Prüfung
beschäftigt. Am Nachmittag fuhren
wir mit dem Schiff nach Illmiz, wo wir
unsere Schüler wieder trafen. Auf der
Rückfahrt nach Mörbisch gab es feines

Essen vom Grill, zudem wurde auch für
musikalische Unterhaltung gesorgt.
Am Dienstag machten wir einen Ausflug
nach Wien, wo wir viele Sehenswürdigkeiten,
wie zum Beispiel das Hundertwasserhaus
oder den Stephansdom,
besichtigten. Am Abend fand die
Schlusszeremonie im Hotel Ohr statt.
Beim Einzelwettberb erreichte Michael
Liu eine Silbermedaille. Im Teamwettbewerb
fiel die Entscheidung sehr knapp
Das Hundertwasserhaus in Wien
aus. Die Schweiz platzierte sich auf dem
6. Platz. Der Abstand zum 3. Platz betrug
aber nur gerade zwei Punkte. Sieger dieser
MEMO war Polen, sie gewannen den
Teamwettbewerb und dominierten auch
den Einzelwettbewerb. Nachdem die
Medaillen verteilt waren, gab es nochmals
ein feines Essen. Dann galt es
Abschied zu nehmen und sich für die
Abreise vorzubereiten. Unser Team reiste
erst am Mittwochabend ab, so dass wir
nochmals einen ganzen Tag Zeit hatten,
um uns Wien genauer anzusehen.
In Erinnerung bleiben wird uns sicher
unser Aufenthalt im Prater, dem Wiener
Vergnügungspark. Sehr amüsant war vor
allem die Fahrt mit dem „Tütschäuteli“,
obwohl wir eigentlich alle schon etwas
zu alt dafür sind. Für den Abend beschlossen
wir ausgiebig essen zu gehen.
Wir gingen ins Restaurant zum goldenen
Richter, das bekannt für grosse Portionen
ist. Wir gönnten uns auch ein Dessert.
Ob „Mohr im Hemd“ oder „Kastanienreis
mit Schlagobers “, für alle war etwas
dabei (die Österreicher haben etwas seltsame
Bezeichnungen für ihre Desserts).
Nachdem wir uns satt gegessen hatten,
machten wir uns auf den Weg zum Bahnhof
und zurück in die Schweiz.
Alles in allem war die MEMO ein Erfolg
und für alle eine schöne Erfahrung. Das
Resultat zeigt, dass die kleine Schweiz mit
den anderen Nationen mithalten kann.
Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale
26

27
Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale
Feuille d’exercices du concours individuel
1ère MEMO, Eisenstadt, Autriche
Compétition individuelle, sépt. 22 2007
1. Soient a, b, c, d des nombres réels strictement positifs satisfaisant a + b + c + d = 4.
Montrer que
a 2 bc + b 2 cd + c 2 da + d 2 ab ≤ 4.
2. Un ensemble de boules contient n boules numérotées de 1 à n. Soient k > 1 de tels ensembles.
On colore les boules en noir et blanc de telle manière que
(a) les boules du même numéro sont de la même couleur,
(b) tout ensemble contenant k+1 boules avec les numéros a 1 , a 2 , . . ., a k+1 (pas nécessairement
tous différents) satisfaisant a 1 + a 2 + . . . + a k = a k+1 contient au moins une boule de
chaque couleur.
Trouver, en fonction de k, le plus grand nombre n pour lequel il existe une telle colorisation.
3. Soit k un cercle et k 1 , k 2 , k 3 , k 4 quatre cercles plus petits tels que leurs centres O 1 , O 2 , O 3 ,
O 4 sont sur k. Pour i = 1, 2, 3, 4 et k 5 = k 1 les cercles k i et k i+1 s’intersectent en A i et B i
tels que A i se trouve sur k. Les points O 1 , A 1 , O 2 , A 2 , O 3 , A 3 , O 4 , A 4 sont, dans cet ordre,
sur k et ils sont tous distincts. Prouver que B 1 B 2 B 3 B 4 est un rectangle.
4. Trouver tous les pairs (x, y) d’entiers strictement positifs tels que
x! + y! = x y .
Chaque problème vaut 8 points.
Les problèmes ne sont pas ordonnés par difficulté, mais par branches.
Temps disponible : 5 heures.
Toute question doit être posée dans les premières 45 minutes.

Résultats du concours individuel
Micheal Liu a obtenu une médaille d’argent.
1 2 3 4 Total Distinction
Georg Balmer 0 2 0 0 2
Adrien de Gottrau 1 0 2 0 3
Cyril Lagger 1 0 1 4 6
Michael Liu 0 0 8 5 13 Silber
Lynn Richmond 1 0 0 0 1
Philipp Wirth 1 0 2 1 4
4 2 13 10 29
Michael Liu a laissé plus de trois quarts de la concurrence derrière lui et s’est ainsi
vu récompensé par une médaille d’argent.
Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale
28

29
Olympiades Mathématiques
d’Europe Centrale
1ère MEMO, Eisenstadt, Autriche
Compétition d’équippe, sépt. 23 2007
Le concours par équipes
5. Soient a, b, c, d des nombres réels quelconques avec 1 2
≤ a, b, c, d ≤ 2 et abcd = 1. Trouver la
valeur maximale que l’expression
a + 1 b
b + 1 c
c + 1 d
d + 1 a
peut atteindre.
6. Soit P un ensemble de cinq points dans le plan tels qu’il n’y en a pas trois qui se trouvent
sur une droite. On dénote par a(P ) le nombre de triangles aigus formés par des points dans
P . Déterminer la valeur maximale de a(P ) pour tous les ensembles P possibles.
7. Nous appelons un tétraèdre MEMO-tétraèdre, si les longueurs de ses côtés sont des nombres
entiers, tous distincts, dont un est 2 et un autre est 3. Soit s(T ) la somme des longueurs des
côtés du MEMO-tétraèdre T .
(a) Trouver tous les entiers n tels qu’il existe un MEMO-tétraèdre T avec s(T ) = n.
(b) Combien de MEMO-tétraèdres non-congruents satisfaisant s(T ) = 2007 y a-t-il ?
Deux tétraèdres sont considérés non congruents si on ne peut pas transformer l’un en l’autre
sous l’application de réflexions par rapport à des plans, translations et/ou rotations.
(Il n’est pas nécessaire de montrer que ces tétraèdres ne sont pas dégénérés, c’est-à-dire qu’ils
ont un volume positif.)
8. Trouver tous les entiers k strictement positifs satisfaisant la condition suivante :
Il existe un entier a tel que (a + k) 3 − a 3 est divisible par 2007.
Chaque problème vaut 8 points.
Le Lesclassement problèmes ne(sur sont un pastotal ordonnés de 32 par difficulté, points possibles) mais par branches. :
Temps disponible : 5 heures.
Toute question doit être posée dans les premières 45 minutes.
Points
1. Pologne 28
2. Tchéquie 23
3. Autriche 21
Croatie 21
Slovaquie 21
6. Suisse 19
7. Slovénie 17

Les organisateurs de l’OSM
L’OSM et la participation de la Suisse
aux olympiades internationales de mathématiques
est organisée et réalisée par
l‘association imosuisse. Le comité et la
plupart des membres sont étudiants ou
doctorants à l’EPFL ou à l’EPFZ. Ils ont
participé à l‘OIM pendant leurs années
scolaires et transmettent maintenant leur
connaissances aux plus jeunes.
En août 2007, Lorenz Reichel s’est retiré
du comité. Il avait été leader de l’équipe
suisse à l’OIM de 2001 à 2006 et en
tant que membre fondateur et premier
président d’imosuisse, il a passablement
contribué au développement de
l’association. A la même date Markus
Sprecher a rejoint le comité. Sa tâche
principale est l’enseignement et la création
de nouveaux exercices.
Le comité de l’assotiation imosuisse juqu’en été 2007 (de g. à d.)
Julian Kellerhals, Reto Locher, Anna Devic, Daniel Sprecher, Thomas Huber,
Lorenz Reichel
Organisation
30

31 Organisation
AOSS Partenaires 2007
L’Association des Olympiades Scientifiques
Suisses est l’association-mère des
cinq olympiades scientifiques.
Biologie
Association des Olympiades
Scientifiques Suisses
Chimie
Informatique
Mathématique
Physique
Un poste de responsable en gestion
est financé par un contrat de prestation
avec le secrétariat d’Etat à la formation
et à la recherche. Elle s’occupe du
management, des relations publiques et
de l’administration.
Cette association est notre plateforme
pour :
• échange des expériences
• l’utilisation de synergies
• l‘optimisation des processus par une
comparaison (Benchmarking)
• la mise en oeuvre d‘opérations
nationales et internationales
• le contact avec des autorités
cantonales et fédérales
• sponsors communs
Nous remercions cordialement les organisations
et entreprises suivantes pour
leur soutien. Sans elles l‘OSM ne pourrait
pas exister.
Soutient académique
• Département de mathématique de
l'EPF Lausanne
• Département de mathématique de
l'ETH Zurich
• Fondation pour la promotion des
mathématiques en Suisse
• La Commission Romande de
Mathématique et la "Deutschschweizerische
Mathematikkommission" de
la Société Suisse des Professeurs de
Mathématique et Physique
Sponsor d‘argent (dès 4‘000 frs)
• Swiss Re
• Fondation Metrohm
• Les entreprises de la KGF (Kontaktgruppe
für Forschungsfragen) Ciba
Specialty Chemicals, Novartis,
F. Hoffmann-La Roche, Serono et
Syngenta.
• Fondation Ernst Göhner Zug
• Fondation charitable SYMPHASIS
• Le secrétariat d‘Etat pour la
formation et la recherche SFR
Sponsor de bronze (dès 1‘000 frs)
• Fondation Claude & Giuliana
• Fondation Hasler
• Fondation Jacobs

Les membres du comité de patronage
Nous remercions les membres du comité de patronage pour leur soutien sans
faille.
Regierungsrätin Regine Aeppli
Bildungsdirektorin des Kantons Zürich
Staatsrätin Isabelle Chassot
Erziehungsdirektorin des Kantons Freiburg,
Präsidentin der EDK
Prof. Dr. Peter Chen
Laboratorium für Organische Chemie,
Vizepräsident Forschung, ETH Zürich
Prof. Dr. Dres h.c. Rolf Dubs
Institut für Wirtschaftspädagogik,
Universität St. Gallen
Prof. Dr. Bernhard Erni
Department of Chemistry and Biochemistry,
Universität Bern
Prof. Dr. Richard R. Ernst
Labor für Physikalische Chemie, ETH Zürich,
Nobelpreis für Chemie
Regierungsrat Dr. Christoph Eymann
Erziehungsdirektor des Kantons Basel-Stadt
Prof. Dr. Laurent Excoffier
Geschäftsführer Departement Biologie,
Zoologisches Institut, Universität Bern
Nationalrätin Hildegard Fässler
Diplomierte Mathematikerin
Regierungsrat Klaus Fischer
Bildungs- und Kulturdirektor des Kantons
Solothurn
Prof. Dr. Peter Gehr
Geschäftsführender Direktor,
Institut für Anatomie, Universität Bern
Staatsrat Gabriele Gendotti
Dipartimento dell’educazione, della cultura
e dello sport, Tessin, Vizepräsident EDK
Prof. Dr. med. Felix Gutzwiller
Institut für Sozial- und Präventivmedizin,
Universität Zürich, Nationalrat
Prof. Dr. Juraj Hromkovic
Informationstechnologie und Ausbildung,
ETH Zürich
Regierungsrat Rainer Huber
Vorsteher des Departements Bildung, Kultur
und Sport
Prof. Dr. Max-Albert Knus
Department of Mathematics, ETH Zürich,
Präsident der Stiftung zur Förderung Mathematischer
Wissenschaften in der Schweiz
Prof. Dr. Jürg Kohlas
Department of Computer Science,
Universität Freiburg
Prof. Dr. Christian J. Leumann
Department of Chemistry & Biochemistry,
Universität Bern
Prof. Dr. Heini Murer
Prorektor Forschung, Universität Zürich
Prof. Dr. Wolfgang Nentwig
Zoologisches Institut, Universität Bern
Prof. Claude Nicollier
EPFL / ESA / NASA, Astronaut
Prof. Dr. Christine Riedtmann
Mathematisches Institut, Universität Bern
Staatsrat Claude Roch
Chef du Département de l’éducation, de la
culture et du sport du canton du Valais
Organisation
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33
Organisation
Finances
Voici un tableau récapitulatif des dépenses de l’association imosuisse en 2007.
Dépenses
en CHF
Transport national participants 4‘078.80
Transport national organisateurs 1‘259.05
Transport IMO 17‘135.00
Transport OMEC 1‘984.00
Tour préliminaire 130.70
Week-end de mathématiques 1‘499.70
Camp OSM 7‘521.80
Journée OSM 334.50
Autres rencontres de préparation 139.00
Participation OMEC 1’655.10
T-shirts 1’238.00
Bons cadeaux 360.00
Impression de matériel publicitaire 1‘081.85
Frais internet 338.40
Envoi documents 385.70
Matériel de bureau 50.00
Gestion de compte 1.50
Assemblée générale 313.55
Indemnités 2‘000.00
Frais divers 1’436.15
Dépenses totales 42‘952.80
Avec des recettes de sponsoring de 54’370 CHF, de cotisations de 65 CHF et
d’intérêts de 7.10 CHF, il en résulte un bénéfice de 11’489.30 CHF.

Le concept de soutien de l‘OSM
Nos partenaires privés sont séparés en trois catégories :
• Avec un montant jusqu’à 1‘000.- Frs, le donneur appartient à la catégorie
des donateurs. On le remercie pour son engagement dans le rapport annuel.
• A partir d‘un montant de 1‘000.- Frs, un donneur fait partie des
partenaires de bronze.
• Les partenaires d‘argent nous soutiennent avec un montant d‘au moins
4‘000.- Frs.
• Un partenair est considéré comme un partenair d‘or à partir d‘un montant de
12‘000 Frs.
Les partenaires d’or, d’argent et de bronze seront mentionnées, avec une visibilité
en fonction de leur statut, à travers le placement de leurs enseignes sur
les publications imprimées et sur notre site web (sans lien direct), ainsi que
lors de toutes nos manifestations publiques.
Soutien financier
Pour mettre sur pied l’OSM et pour assurer
la participation d’élèves suisses
aux concours internationaux, nous avons
besoin de soutien financier. Cette année
nous dépenses étaient particulièrement
élevées car l’OIM avait lieu sur un autre
continent et nous avons dû accompagner
une deuxième équipe à l’étranger.
Par chance nos demandes de sponsoring
ont rencontré beaucoup de succès
et nous avons même pu doubler nos
réserves (voir page précédente). Cela
faisait partie de nos objectifs depuis
de nombreuses années et nous permet
maintenant de se lancer plus librement
dans de nouveaux projets.
Un des projets concerne les polycopiés
et collections d’exercices que nous
avons assemblés au fil des années. Nous
aimerions en faire un livre que nous
pourrions ensuite mettre à la disposition
des élèves intéressés. Nous planifions
également d’organiser les Olympiades
Mathématiques de l’Europe Centrale en
Suisse une fois au cours des huit ans à
venir, ce qui nécessiterait la création d’un
fond pour les préparatifs.
Comme la participation à toutes les manifestations
est gratuite pour les élèves, en
2008 nous sommes de nouveau dépendants
de fonds tiers. Nous aimerions
remercier chaleureusement nos partenaires
(voir la dernière page de la brochure)
et nous espérons pouvoir compter
sur leur confiance à l’avenir également.
Organisation
34

35 Organisation
Sponsoriser l’AOSS
Beaucoup d‘entreprises désirent s’engager
globalement pour l’encouragement
de la relève scientifique et ne veulent
pas se restreindre à une discipline. Vous
pouvez soutenir quelques-unes ou la
totalité des olympiades scientifiques.
L’AOSS peut dans un tel cas tout coordonner.
Avec le soutien des associations, nos
sponsors permettent à 150 jeunes de
pouvoir aborder intensivement leur
matière préférée dans un camp de préparation.
Les 23 meilleurs ont l’occasion
de se mesurer dans des olympiades internationales
scientifiques au plus haut
niveau et de tisser des liens à travers
le monde. Cette participation est pour
tous les participants entièrement gratuite.
C’est pourquoi nous sommes reconnaissants
envers chaque marque de
soutien.
2005 en présence du Conseiller Fédéral
Pascal Couchepin. Voici une partie de
son discours :
«La Suisse a besoin de gens comme
vous. Elle a besoin de jeunes femmes
et de jeunes hommes qui
veulent réaliser leurs rêves. Nous
avons besoin de gens curieux et
intéressés qui s’engagent dans le
travail intellectuel et se mesurent
avec les meilleurs. La soif infinie de
savoir est le moteur de l’innovation.
Nous ne pouvons nous maintenir à
long terme au milieu de la concurrence
internationale et assurer
notre bien-être et notre qualité de
vie que grâce à une innovation
permanente.»
Le concept de sponsoring de l’AOSS
est basé sur le concept de sponsoring
de chaque association séparément (lire
l’encadré). Pour obtenir les mêmes qualifications
(sponsor d’or, d’argent et de
bronze) au niveau de l’AOSS, un montant
trois fois supérieur est nécessaire.
Swiss Scientific Olympiads Day
Cet évènement doit concourir à l’échange
interdisciplinaire. En même temps,
c’est aussi une possibilité de présenter
au public les bonnes performances de
toutes les olympiades réunies et de montrer
aux jeunes comme la science peut
être intéressante. Le 27 janvier 2006, un
hommage fut rendu aux participants de
CF Couchepin honore Markus Sprecher
(Mathématiques; à gauche) et Philipp
Krähenbühl (Informatique) pour leurs
médailles d‘argent aux Olympiades
Internationales de Sciences.

Pyramide de sphères 2006
pour Bea Wollenmann
Bea Wollenmann (à gauche) reçoit la pyramide
de sphères de Claudia Appenzeller-
Winterberger.
A l’occasion de la deuxième journée
des Olympiades Scientifiques Suisses,
Bea Wolleman a été récompensée par
une Pyramide de sphères. Ce prix est
remis chaque année à une personnalité
qui s’est investie pour la jeunesse et la
science en créant des projets favorisant
la création d’une relève scientifique de
qualité, en proposant notamment des
activités extrascolaires correspondante.
Nous nous réjouissons que la fondatrice
des Olympiades de Mathématiques a eu
droit à cette récompense et nous tenons à
la féliciter. Bea s’est engagée pendant de
nombreuses années en faveur des élèves
intéressés par les mathématiques et nous
la connaissons comme une enseignante
enthousiaste et une accompagnatrice
bien organisée. Cela transparaît également
du panégyrique de l’Association
des Olympiades Scientifiques Suisses se
trouvant à la page suivante.
Pyramide de sphères
36

37 Pyramide de sphères
Laudatio
Dr. Beatrice Wollenmann erhält die
Kugelpyramide des Verbands Schweizer
Wissenschafts-Olympiaden für ihre ausserordentliche
Fähigkeit, Visionen zu haben
und sie auch zu realisieren. Anfangs
90er Jahre erfuhr sie als Gymnasiastin
von der Internationalen Mathematik-
Olympiade (IMO) und war fasziniert von
den komplexen, spannenden Beweisführungen,
die verlangt wurden. Nie zuvor
hatte die Schweiz ein Team an der Internationalen
Mathematik-Olympiade
gestellt und der Wunsch, hier aktiv mitzumachen,
schien kaum erfüllbar. Dank
der Solidarität der deutschen Mathematik-Olympiade
erhielt sie Skripte und
Aufgaben zum Tüfteln und zugleich
einen Platz im Vorbereitungslager. In
der Schweiz und bei den Organisatoren
der IMO überwand sie alle administrativen
Hürden: 1991 reiste sie in
Begleitung eines Mathematik-Lehrers als
erste und offizielle Teilnehmerin aus der
Schweiz an die IMO und holte gleich
eine Bronzemedaille.
1992 nahm sie an der Universität Zürich
das Studium der Mathematik auf. Da sie
als Studentin nicht mehr an der Mathematik-Olympiade
teilnehmen konnte,
ging sie daran, anderen Mathematik begeisterten
Jugendlichen den Weg zu ebnen.
Sie löste mit Interessierten Olympiadenaufgaben
und begleitete sie an die
IMO. Um eine Medaillenchance an der
IMO zu haben, brauchen die Teilnehmenden
genügend Praxis und gute Skripte:
1994 fand bereits ein zweisprachiges
Vorbereitungscamp statt, bei dem die
gemeinsame Freude an der Mathematik
alle kulturellen Barrieren überwinden
half. Die Vorbereitungsanlässe und
-camps wurden zum Herzstück innerhalb
der jährlichen Vorbereitungsphasen auf
die jeweilige IMO hin. Intensiv wurde
auch an Unterlagen zu Problemlösungen
gearbeitet.
Beatrice Wollenmann führte die Mathematik-Olympiade
unterstützt von Wissenschaflern,
Sponsoren und Kolleginnen
und Kollegen bis ins Jahr 2000. Sie
legte mit ihrer Initiative, ihrem Engagement
und ihrer Begeisterungsfähigkeit
den Grundstein der Mathematik-Olympiade
in unserem Land, welche 2007 bereits
über 150 Jugendliche zum Mitdenken
angeregt hat. Sie gewann persönlich
namhafte Sponsoren und legte auch
auf diese Weise eine Basis, auf der sich
die Mathematik-Olympiade weiterentwickeln
konnte. Beatrice Wollenmann erlangte
nach dem Mathematikstudium ein
Doktorat und arbeitet heute im Bereich
Actuarial Pricing beim Rückversicherer
Converium Zürich.
Im Namen des Verbands Schweizer Wissenschafts-Olympiaden
danken wir Beatrice
Wollenmann herzlich für ihre Pionierarbeit
und wünschen ihr viele weitere
Projekte, in denen sie Visionen umsetzen
kann.
Daniel Wegmann
Präsident VSWO
Bern, den 3. Februar 2007
Claudia Appenzeller-Winterberger
Geschäftsführerin VSWO

Olympiades Suisses de Mathématiques
L‘OSM 2008
Nous avons pris la décision d’organiser le concours selon le même système que
l’année précédente. Il y a donc de nouveau un concours national composé de deux
tours, suivi de la sélections des équipes pour les deux concours internationaux,
l’OIM et l’OMEC.
Date
Sam, 24 novembre 2007
Sam, 8 décembre 2007
Sam, 12 janvier 2008
Sam, 2 février 2008
Ven, 22 – Dim, 24.2.2008
Sam, 9 – Dim, 16.3.2008
Sam, 29 mars 2008
Avril 2008
Mai 2008
Juin 2008
Evènement
1 er Rencontre de préparation à Lausanne et à Zurich
2 e Rencontre de préparation à Lausanne et à Zurich
Examen du tour préliminaire à Lausanne et à Zurich
Une journée de préparation
Week-end de mathématiques à Zurich
Camp OSM et examen du tour final
Journée OSM à l’EPFZ (Aula Semper)
Deux rencontre de préparation
Quatre examens de sélection pour l‘OIM et l‘OMEC
Rencontres de préparations avec les deux équipes
10 - 22 juillet 2008 49 e OIM à Madrid
4 - 10 septembre 2008 2 e MEMO à Olomouc, Tchéquie
L‘OSM 2008
38

Sites web
www.imosuisse.ch
Olympiades Suisses de Mathématiques
www.olympiads.ch
Association des Olympiades
Scientifiques Suisses
www.ibosuisse.ch
Olympiades Suisses de Biologie
www.icho.ch
Olympiades Suisses de Chimie
www.soi.ch
Olympiades Suisses d‘Informatique
www.swisspho.ch
Olympiades Suisses de Physique
Contact
Olympiades Suisses de Mathématiques
Anna Devic
Avenue de Morges 88
1004 Lausanne
anna@imosuisse.ch
079 784 75 50
Impressum
Concept: Daniel Sprecher,
Claudia Appenzeller, AOSS
Layout: Daniel Sprecher
Logo OSM: Alfons Gschwend
Texte (en allemand): Daniel Sprecher,
Thomas Huber
Traduction: Anna Devic
Photos: Organisateurs et participants
© imosuisse Zürich, Februar 2008

Fondation Ernst Göhner Zug
Fondation pour la
promotion des mathématiques
en Suisse
www.imosuisse.ch