Exercices de Travaux Dirigés Chapitre 4 : Espace ... - IUT d'Arles

⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
Exercice 9. Soient les vecteurs ⃗u = ⎝ 3 1 ⎠, ⃗v = ⎝ 2 0⎠ et ⃗w = ⎝ 1 −1⎠.
−2 1
4
(a) Calculer (⃗u ∧ ⃗v) ∧ ⃗w et ⃗u ∧ (⃗v ∧ ⃗w).
(b) Quelle propriété peut-on en déduire pour le produit vectoriel ?
Exercice 10 (Double produit vectoriel).
(a) Démontrer que si ⃗u et ⃗v sont orthogonaux, ⃗u ∧ (⃗u ∧ ⃗v) = −⃗u 2 ⃗v.
(b) En déduire que si ⃗u et ⃗v sont deux vecteurs quelconques, ⃗u ∧ (⃗u ∧ ⃗v) = (⃗u · ⃗v)⃗u − ⃗u 2 ⃗v.
(c) Soient ⃗u, ⃗v et ⃗w trois vecteurs linéairement indépendants. Démontrer que : ⃗u = λ⃗v + µ ⃗w + ν(⃗v ∧ ⃗w).
(d) Déduire des questions précédentes que :
⃗u ∧ (⃗v ∧ ⃗w) = (⃗u · ⃗w)⃗v − (⃗u · ⃗v) ⃗w.
Exercice 11 (Division vectorielle). Soit l’équation vectorielle : ⃗x ∧ ⃗v = ⃗w, dans laquelle ⃗x est le
vecteur inconnnu.
(a) Quelle condition doivent vérifier ⃗v et ⃗w pour que l’équation ait des solutions ?
(b) Vérifier que ⃗x 0 = 1 ⃗v ∧ ⃗w est une solution particulière.
‖⃗v‖
2
(c) En déduire la forme de la solution générale.
⎛
(d) Application : ⃗v = ⎝ 2 ⎞ ⎛ ⎞
1
−1⎠ et ⃗w = ⎝4⎠.
1
2
Exercice 12. Démontrer que si (⃗u, ⃗v, ⃗w) = 0, alors les vecteurs ⃗u, ⃗v et ⃗w sont linéairement dépendants.
Exercice 13. On ⎛ considère ⎞ l’espace ⎛ ⎞ vectoriel ⎛ E ⎞= R 3 muni de la base canonique B = (⃗i, ⃗j, ⃗ k). Soient
1 4
1
les vecteurs ⃗u = ⎝−2⎠, ⃗v = ⎝ 2 ⎠ et ⃗w = ⎝2⎠.
1 −1
3
(a) Démontrer que B ′ = (⃗u, ⃗v, ⃗w) est une base directe.
(b) Exprimer ⃗i, ⃗j et ⃗ k en fonction de ⃗u, ⃗v et ⃗w.
Exercice 14. Soient les points A(a, 0, 0), B(0, b, 0) et C(0, 0, c) de l’espace.
(a) Faire un dessin du triangle ABC.
(b) Calculer son aire.
Exercice 15. Soient les points A(1, −2), B(2, 0) et C(3, −3) du plan.
(a) Faire un dessin du triangle ABC.
(b) Montrer qu’il est rectangle et isocèle
(c) Calculer son aire.
Exercice 16. Trouver le centre Ω(a, b) et le rayon R > 0 du cercle (C) passant par les points A(0, −1),
B(2, 3) et C(4, −3). Faire un dessin.