Exercices de Travaux Dirigés Chapitre 4 : Espace ... - IUT d'Arles

IUT de l’Université de Provence, site d’Arles Année 2003-2004
Département informatique
Mathématiques
Deuxième année
Mathématiques pour l’imagerie numérique
Exercices de Travaux Dirigés
Chapitre 4 : Espace euclidien
Exercice 1. Démontrer qu’une famille de trois vecteurs de l’espace, non nuls, 2 à 2 orthogonaux, est
nécessairement libre.
Exercice 2. On considère la base B = (⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 ) de l’espace vectoriel E = R 3 . Soit ϕ la forme bilinéaire
symétrique définie par : ϕ(⃗e i , ⃗e j ) = a i,j , pour tous i et j.
⎛
(a) Si ⃗v = ⎝ x ⎞ ⎛ ⎞
y⎠ et ⃗v ′ = ⎝ x′
y ′ ⎠, calculer ϕ(⃗v, ⃗v ′ ).
z
z ′
(b) Donner une expression matricielle du résultat précédent.
⎛ ⎞ ⎛
Exercice 3. Dans l’espace vectoriel E = R 3 , pour ⃗v = ⎝ x y⎠ et ⃗v ′ = y ′ ⎠, on pose : ϕ(⃗v, ⃗v ′ ) =
z
xx ′ + yy ′ − zz ′ . Montrer que ϕ est une forme bilinéaire symétrique mais non positive.
⎝ x′
z ′ ⎞
Exercice 4. Développer les expressions suivantes :
(a) (⃗u + ⃗v) 2 (b) (⃗u − ⃗v) 2 (c) (⃗u + ⃗v) · (⃗u − ⃗v) (d) (⃗u + ⃗v) 2 − (⃗u − ⃗v) 2 (e) (⃗u + ⃗v + ⃗w) 2
Exercice 5. Démontrer que si ⃗u et ⃗v sont orthogonaux, ‖⃗u +⃗v‖ 2 = ‖⃗u‖ 2 + ‖⃗v‖ 2 . Quel est ce théorème ?
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
Exercice 6. Soient les vecteurs ⃗u = ⎝ 0 1⎠, ⃗v = ⎝ 1 0⎠ et ⃗w = ⎝ 1 1⎠.
1 1
0
(a) Calculer ⃗u · ⃗v, ⃗v · ⃗w, ⃗w · ⃗u, ‖⃗u‖, ‖⃗v‖ et ‖ ⃗w‖.
(b) Calculer l’angle que font ces vecteurs 2 à 2.
Exercice 7 (Orthonormalisation de Gram-Schmidt). Soit B = (⃗a 1 , ⃗a 2 , ⃗a 3 ) une base quelconque
de l’espace vectoriel E = R 3 .
(a) Montrer que l’on peut construire une base B ′ = (⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 ) orthonormée telle que :
(1) ⃗e 1 soit colinéaire à ⃗a 1 , (2) ⃗e 2 ne dépende que de ⃗a 1 et ⃗a 2 .
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
(b) Application à : ⃗a 1 = ⎝ 2 1⎠, ⃗a 2 = ⎝ 1 3 ⎠ et ⃗a 3 = ⎝ 3 0⎠.
0
−1
2
Exercice 8 (Identité de Lagrange). Démontrer que : (⃗u · ⃗v) 2 + ‖⃗u ∧ ⃗v‖ 2 = ‖⃗u‖ 2 ‖⃗v‖ 2 .

⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
Exercice 9. Soient les vecteurs ⃗u = ⎝ 3 1 ⎠, ⃗v = ⎝ 2 0⎠ et ⃗w = ⎝ 1 −1⎠.
−2 1
4
(a) Calculer (⃗u ∧ ⃗v) ∧ ⃗w et ⃗u ∧ (⃗v ∧ ⃗w).
(b) Quelle propriété peut-on en déduire pour le produit vectoriel ?
Exercice 10 (Double produit vectoriel).
(a) Démontrer que si ⃗u et ⃗v sont orthogonaux, ⃗u ∧ (⃗u ∧ ⃗v) = −⃗u 2 ⃗v.
(b) En déduire que si ⃗u et ⃗v sont deux vecteurs quelconques, ⃗u ∧ (⃗u ∧ ⃗v) = (⃗u · ⃗v)⃗u − ⃗u 2 ⃗v.
(c) Soient ⃗u, ⃗v et ⃗w trois vecteurs linéairement indépendants. Démontrer que : ⃗u = λ⃗v + µ ⃗w + ν(⃗v ∧ ⃗w).
(d) Déduire des questions précédentes que :
⃗u ∧ (⃗v ∧ ⃗w) = (⃗u · ⃗w)⃗v − (⃗u · ⃗v) ⃗w.
Exercice 11 (Division vectorielle). Soit l’équation vectorielle : ⃗x ∧ ⃗v = ⃗w, dans laquelle ⃗x est le
vecteur inconnnu.
(a) Quelle condition doivent vérifier ⃗v et ⃗w pour que l’équation ait des solutions ?
(b) Vérifier que ⃗x 0 = 1 ⃗v ∧ ⃗w est une solution particulière.
‖⃗v‖
2
(c) En déduire la forme de la solution générale.
⎛
(d) Application : ⃗v = ⎝ 2 ⎞ ⎛ ⎞
1
−1⎠ et ⃗w = ⎝4⎠.
1
2
Exercice 12. Démontrer que si (⃗u, ⃗v, ⃗w) = 0, alors les vecteurs ⃗u, ⃗v et ⃗w sont linéairement dépendants.
Exercice 13. On ⎛ considère ⎞ l’espace ⎛ ⎞ vectoriel ⎛ E ⎞= R 3 muni de la base canonique B = (⃗i, ⃗j, ⃗ k). Soient
1 4
1
les vecteurs ⃗u = ⎝−2⎠, ⃗v = ⎝ 2 ⎠ et ⃗w = ⎝2⎠.
1 −1
3
(a) Démontrer que B ′ = (⃗u, ⃗v, ⃗w) est une base directe.
(b) Exprimer ⃗i, ⃗j et ⃗ k en fonction de ⃗u, ⃗v et ⃗w.
Exercice 14. Soient les points A(a, 0, 0), B(0, b, 0) et C(0, 0, c) de l’espace.
(a) Faire un dessin du triangle ABC.
(b) Calculer son aire.
Exercice 15. Soient les points A(1, −2), B(2, 0) et C(3, −3) du plan.
(a) Faire un dessin du triangle ABC.
(b) Montrer qu’il est rectangle et isocèle
(c) Calculer son aire.
Exercice 16. Trouver le centre Ω(a, b) et le rayon R > 0 du cercle (C) passant par les points A(0, −1),
B(2, 3) et C(4, −3). Faire un dessin.