Les Bases de Prolog IV - Colmerauer, Alain

4.4 Axiomatisations des interactions des sous-domaines avec les opérations
Les 4 propriétés retenues qui suivent concernent les interactions des contraintes de
sous-domaines et des opérations :
7 ∀x ⎛ 1 . . . ∀x n
⎜
⎝
x 1 = t 1 (x 1 , . . . , x n )
. . .
∧ x n = t n (x 1 , . . . , x n )
⎞
⎟
⎠ ≡
⎛
⎜
⎝
⎞
in{a 1 } x 1
⎟
. . . ⎠
∧ in{a n } x n
8 ∀x 1 . . . ∀x
⎛ n
x 0 = fx 1 . . . x n
∧ inA 0 x 0
∧ inA
⎜ 1 x 1
⎝ . . .
∧ inA n x n
⎞
⎟
⎠
≡
⎛
⎜
⎝
x 0 = fx 1 . . . x n
∧ inA ′ 0 x 0
∧ inA ′ 1 x 1
. . .
∧ inA ′ n x n
⎞
⎟
⎠
9 ∀x
⎛ 1 . . . ∀x n ⎞
x 1 = s 1 (x 2 )
∧ x 2 = s 2 (x 3 )
⎜
⎟
⎝ . . . ⎠ ⇒ inI x 1
∧ x n = s n (x 1 )
10 ∀x
⎛ 1 . . . ∀x n ∀y 1 . . . ∀y
⎞ n
y 1 = . x 1 y 2
∧ y 2 = . x 2 y 3
⎜
⎟
⎝ . . . ⎠ ⇒ inK y 1
∧ y n = . x n y 1
où les t i (x 1 , . . . , x n ) sont des termes construits avec un symbole d’opération et des variables
prises dans {x 1 , . . . , x n }, où les a i sont des arbres doublement rationnels vérifiant
l’équivalence 7, où les A i et A ′ i sont des sous-domaines privilégiés de catégorie (a) vérifiant
l’équivalence 8, où les s i (x j ) sont des termes construits avec un symbole d’opération et au
moins une occurrence de x j , où I est l’ensemble des arbres infinis et où K est l’ensemble
des arbres qui ne sont pas des listes. Rappelons que les listes sont construites à l’aide du
constructeur point.
La propriété 7 établit l’équivalence entre deux propriétés : « être contraint par les
opérations et les égalités à n’avoir qu’une seule valeur » et « appartenir à un sous-domaine
privilégié singletonique ».
»X ~ cc(2,2).
X = 2.
La propriété 8 permet de réduire les sous-domaines des variables intervenant dans une
opération et entre autres d’obtenir le sous-domaine vide, qui d’après la propriété 1 à la
page 23 va produire false.
»X = [Y|Z],
X ~ list,
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