Analyse en composantes principales

FIG. 4 – Projections des individus dans le premier plan factoriel.
265
Annexes
5.1 Annexe 1 : démonstration de la formule de l’inertie totale I g = tr(V M)
I g
= 1 n∑
(x i − g) t M(x i − g) = 1 n∑
y t i
n
n
i = 1 n∑
tr(y t i
n
i)
i=1
i=1
i=1
(28)
= tr( 1 n∑
y
n i y t iM) = tr( 1 n Y t Y M) (29)
i=1
= tr(V M) (30)
270
5.2 Annexe 2 : démonstration du théorème 3.1
Soit E k+1 un espace de dimension k + 1.
Comme dimE k+1 = k + 1 et dimF ⊥ k = p − k on a :
dim(E k+1 + F ⊥ k )
} {{ }
≤p
= dimE k+1 + dimFk
⊥ } {{ }
=p+1>p
d’où nécessairement dim(E k+1 ∩ F ⊥ k ) ≥ 1.
Soit v un vecteur de E k+1 ∩ F ⊥ k .
275 11
−dim(E k+1 ∩ F ⊥ k ) (31)