Analyse en composantes principales

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Le vecteur u maximisant cette quantité n’est autre que v 2 , le vecteur propre associé à la seconde plus
grande valeur propre λ 2 de R, pour lequel on a donc I ∆ ⊥ v2
= λ 2 .
Et ainsi de suite. On en déduit ainsi le théorème suivant.
Théorème 3.2. Le sous-espace F K de dimension K portant l’inertie maximale est engendré par les
K vecteurs propres associés aux K plus grandes valeurs propres de la matrice de corrélation R du
nuage des individus.
3.3 Notations
– Les axes ∆ vk sont appelés axes factoriels ou axes principaux.
– L’inertie expliquée par l’axe ∆ vk est la valeur propre λ k
– L’inertie expliquée par le sous-espace factoriel F K engendré par les axes factoriels est
I F ⊥
K
= λ 1 + . . . + λ K , (25)
et le pourcentage d’inertie expliqué par ce sous-espace est donc λ 1+...+λ K
p
.
– On appelle k-ième composante principale les coordonnées c k ∈ R n des n individus sur l’axe
factoriel ∆ vk , qui sont les projections des individus sur ces axes :
c k = Zv k . (26)
Les composantes principales peuvent être vue comme les nouvelles variables dans le sousespace
factoriel.
4 Interprétation des résultats d’une ACP
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4.1 Qualité de représentation sur les axes factoriels
Un des points les plus délicats de l’ACP est d’apprécier la perte d’information engendrée par la
réduction de la dimension. On a vu précédemment que la qualité de représentation du nuage dans le
sous-espace factoriel est exprimée par le pourcentage d’inertie expliquée λ 1+...+λ K
.
p
Cette mesure globale doit être complétée par d’autres considérations comme la représentation des individus
et des variables dans ce sous-espace factoriel. Il peut en effet arriver que les axes retenus, bien
que représentant une part importante de l’inertie globale du nuage, ne suffisent pas à expliquer correctement
certains individus ou variables : deux individus peuvent être proches en projection sur les axes
factoriels retenus tout en étant très éloignés en réalité, si leurs représentations sur ces axes ne sont pas
de bonne qualité.
La qualité de représentation d’un individu i sur un axe factoriel est mesuré par le cosinus carré
de l’angle entre l’axe factoriel et le vecteur z i . Plus le cosinus est grand, plus z i sera proche de l’axe
factoriel et donc sera bien représenté sur cet axe.
La qualité de représentation d’une variable j sur le k-ème axe factoriel est exprimée par le coefficient
de corrélation linéaire r(c k , z j ) entre la variable initiale z j et la nouvelle variable, composante
principale, c k . La valeur de cette corrélation sera également très importante pour interpréter les nouveaux
axes factoriels en fonction des variables initiales. Le calcul de cette corrélation, non développé
dans ce document, montre que
r(c k , z j ) = √ λ k v j k , (27)
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