Lectures Lectures obligatoires obligatoires 1

L e c t u r e s 

o b l i g a t o i r e s 1 

1 Selon l’auteur du module, les lectures obligatoires respectent le droit d’auteur et ne contreviennent 

en aucun cas au copyright.

11. LECTURES OBLIGATOIRES 

*One relevant image must be inserted here.n° 1051792 

UNITE 1 : 

Les grandeurs physiques mesurables. 

- leur classification et leur mesure, 

- les différentes sources d’erreurs de mesure, 

- les grandeurs vectorielles, 

- les grandeurs scalaires, 

- les opérateurs vectoriels 

Les lectures obligatoires concernant l’unité 1 sont au nombre de quatre. Elles 

sont groupées à l’annexe 1. 

Lecture #1 

Références Complètes : 

RATIARISON Adolphe (2006). Grandeurs physiques – Mesures-Incertitudesopérations 

vectorielles. Madagascar. Université d’Antanarivo. 

Les deux premières parties de ce manuscrit sont tirées des sites suivantes : 

Résumé : 

http://www.bipm.fr/fr/si/si_brochure/chapter1/1-2.html 

http://www.cegep-ste-foy.qc.ca/freesite/index.php?id=3113 

http://www.ulb.ac.be/cours/psycho/content/cognum/calcul.html 

La valeur d'une grandeur physique est généralement exprimée sous la forme 

du produit d'un nombre par une unité. Pour une grandeur particulière, on peut utiliser 

de nombreuses unités différentes. Parmi ces unités, nous distinguons celles du 

Système International (SI) basé sur sept grandeurs de base. 

La mesure d’une grandeur physique peut se faire de façon directe comme la 

longueur avec le mètre, la tension avec un voltmètre, ou de faon indirecte comme 

par exemple une surface obtenue par le produit de la longueur par la largeur. 

En dernier lieu, les différentes opérations sur les vecteurs y sont détaillées.

Justification : 

- Tout physicien doit connaître le unités de mesures car on ne peut pas additionner 

deux grandeurs différentes sans les exprimer dans la même unité. 

- L’addition vectorielle entre non seulement dans la composition de forces mais elle 

est aussi d’une importance capitale la composition des mouvements que l’on verra 

ultérieurement. 

Lecture #2 


http://tanopah.jo.free.fr/seconde/Vct2.html 

Addition, opposé et soustraction de vecteurs. 

Résumé : 

Ce cours ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la 

composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. 

Elle est mise en ligne par la taverne de l'Irlandais. 

L’addition et la soustraction de deux vecteurs y sont bien détaillées. On y met 

en évidence les propriétés de l’addition vectorielle comme : la commutativité, 

l’associativité, l’existence de l’élément neutre sans oublier la relation de Chasles. 


Ceci complète la lecture n° 1. La règle du parallélogramme utilisée pour 

l’addition et la soustraction vectorielle y est bien expliquée.

Lecture #3 


http://formation.etud.u-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/ 

chapitre2/partie2/titre1res.htm 

Les vecteurs. Addition vectorielle 

Résumé : 

L'addition vectorielle est une loi de composition interne et possède les 

propriétés suivantes : 

• Associativité 

• Commutativité 

• Elément neutre 

• Elément symétrique 

Ainsi, on peut parler de soustraction de deux vecteurs et de la relation de 

Chasles. 

La multiplication d'un vecteur par un scalaire est une loi de composition 

externe vérifiant les propriétés : 

Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs : 

Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : 

Associativité : 

Elément neutre : 

De ces propriétés découlent : 

- la détermination de la position d’un point M sur une droite AB, 

- la combinaison linéaire de deux vecteurs. 


A partir de la combinaison linéaire de plusieurs vecteurs, on peut définir le 

barycentre de plusieurs points affectés des poids α i 

Lecture #4 

Références Complètes :

Résumé : 

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_vectorielle 

Géométrie vectorielle 

On y développe encore l’addition et la soustraction vectorielles, la 

multiplication d’un vecteur par un scalaire. On y trouve toutes propriétés du produit 

scalaire, du produit vectoriel, du produit mixte et du double produit vectoriel. 


La lecture de cet ouvrage mène les apprenants ou apprenantes à la connaissance 

bien approfondie des opérations vectorielles. 

Unité´2 : Cinématique du point matériel 

Mouvements à 1 D, 2D ou 3D 

Les lectures obligatoires concernant l’unité 2 sont au nombre de trois. Elles 


Lecture #5 


RATIARISON, A. (2006). Cinématique du point. Mouvement à 1D, 2D ou 3D. 

Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit 

Résumé : 

La généralité sur la cinématique du point concerne la définition des 

référentiels, le repérage d’un mobile dans l’espace, l’abscisse curviligne, les vecteurs 

vitesses et les vecteurs accélérations. 

Ce manuel étudie ensuite les mouvements rectilignes uniformes et 

uniformément variés. 

Quand aux mouvements curvilignes, on y souligne les composantes 

intrinsèques de l’accélération, les mouvements circulaire, cycloïdal et hélicoïdal. 

Pour terminer, les différents systèmes de coordonnées ainsi que les 

composantes des vecteurs vitesse et accélération dans ces systèmes de 

coordonnées. 

Justification :

Avant d’entamer la dynamique du point matériel, il faut bien posséder la 

cinématique du point. Pour cela on a besoin de connaître les éléments cités cidessus. 

Lecture #6 


Résumé : 

http://abcsite.free.fr/physique/meca/me_ch3.html 

Cinématique du point 

Cette lecture complète la précédente sur les calculs des composantes dues 

vecteurs vitesse et accélérations dans différents systèmes de coordonnées. On y 

trouve encore les coordonnées polaires et semi polaires. 

C’est dans cette lecture que nous rencontrons ce qu’on appelle hodographe. 

Les différents diagrammes y sont bien lisibles. 


Ce cours est facile à lire. Il peut très bien aider les apprenants ou 

apprenantes. 

Lecture #7 


http://www.chez.com/mecasite/Mecanique/cinematsol.htm 


Résumé : 

Cette lecture nous renforce la connaissance du mouvement plan, de la vitesse 

moyenne, l’accélération moyenne, la vitesse instantanée et l’accélération 

instantanée. Le mouvement de rotation uniforme et le mouvement circulaire 

uniformément varié y sont très développés. 


En complément des deux lectures précédentes, celle – ci complète le cours de la 

cinématique du point. 

UNITE 3 : Equilibre d’un solide sur un plan horizontal

Les lectures obligatoires concernant l’unité 3 sont au nombre de trois. Elles 


Lecture #8 

Référence Complète : 

RATIARISON, A. (2006). Equilibre d’un solide sur un plan – Faculté des Sciences- 

Université d’Antananarivo –MADAGASCAR, Cours inédit 

Résumé : 

Cette lecture s’occupe essentiellement de l’équilibre des solides sur un plan. 

Un solide sur un plan peut glisser ou tourner s’il n’est pas en équilibre. Pour 

introduire l’équilibre d’un solide, il faudrait parler de torseur qui n’est autre qu’un 

système de vecteurs libres. Ce système de vecteurs libres se réduit à la résultante 

générale des forces et du moment résultant de toutes les forces appliquées au 

système considéré. La condition d’équilibre est défini par un torseur nul c'est-à-dire 

résultante générale nulle et moment résultant nul. 


Dans le programme il a été défini qu’on parle seulement de résultante de forces nulle, 

mais pour élargir la connaissance des apprenants ou des apprenantes il faut aussi parler de 

moment résultant nul des forces appliquées au système considéré. 

UNITE 3 : 

Lecture #9 

Référence complète : 

Statique du solide tirée de « http://fr.wikipedia.org/wiki/Statique_du_solide »

Résumé : 

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. 

Statique du solide 

Les déplacements possibles, appelés aussi degrés de liberté, sont de deux 

natures: translations (3 directions principales) et rotations (autour de ces trois 

directions). Alors que les translations ne peuvent être provoquées que par des 

forces, les rotations sont générées par des moments de ces forces, ou autres 

couples de force. Quand l'équilibre d'un point ne nécessite l'établissement que de 3 

relations algébriques (équation vectorielle des forces à 3 dimensions), celui du solide 

demande alors la considération de 3 équations supplémentaires (équation vectorielle 

des moments). Le principe fondamental de la statique peut donc se compose alors: 

1. du théorème de la résultante (somme des forces nulle). 

2 du théorème du moment (somme des moments nulle). 


L'étude de l'équilibre d'un solide nécessite toujours la considération de ces 2 

théorèmes, même si certains cas simples, traités en mécanique du point, semblent 

être résolus avec une seule des 2 parties. En règle générale, il n'est pas possible de 

traiter séparément les deux aspects (forces et moments): il s'agit bien d'un problème 

complexe à 6 dimensions. 

UNITE 3 : 

Lecture #10 


http://www.acpoitiers.fr/cmrp/cpge/docs/Coursdemodelisationetdestatique.doc 

Statique de solide 

Résumé

L’action mécanique qui est toute cause susceptible de maintenir un corps au 

repos,de créer ou de modifier un mouvement, de déformer un corps, se manifeste 

sous deux formes : 

- le mouvement de translation dû à la résultante des forces appliquées 

au solide 

- le mouvement de rotation dû au moment résultant de ces forces 

Avant d’énoncer Le Principe Fondamental de la Statique (PFS), l’auteur parle 

de la modélisation des actions de contact : 


- le contact d’un fluide sur un solide, 

- le contact de deux solides. 

L’un des 

caractéristiques de dette lecture la classification des actions 

mécaniques appliquées à un solde : 

- l’action mécanique à distance ( pesanteur, électromagnétique, 

électrostatique,…) 

apprenantes. 

- l’action mécanique de contact (de pression, de contact,…) 

Cette lecture est donc très bénéfique pour les apprenants et pour les 

UNITE 4 : 

Lois de composition des mouvements 

Dynamique des points matériels- 

Travail, énergie et puissance mécaniques – 

Oscillateurs 

Lecture #11 


RATIARISON, A. (2006). Composition de mouvement, Dynamique du point 

matériel, Travail – Energie - Puissance, Oscillateurs– Faculté des Sciences- 

Université d’Antananarivo –MADAGASCAR, Cours inédit 

Les parties dynamiques et Oscillateurs ont été tirées de 

http://abcsite.free.fr/index.html 

Résumé

Cette unité commence par l’établissement des lois de composition des 

mouvements et l’énoncé des trois lois de Newton avec leurs applications pratiques. 

Elle continue de parler de la mise en évidence des forces d’inertie de Coriolis 

et d’entraînement. 

Elle met en évidence la définition du travail et le calcul du travail produit par 

les forces conservatives et celui produit par les forces non conservatives. 

Elle établit le théorème de l’énergie cinétique et le théorème de l’énergie 

mécanique. 

Elle termine par l’étude des oscillateurs harmoniques et amorties. 


Pour avoir une idée générale sur le mouvement absolu et le mouvement relatif, le 

cours commence par la généralisation des différentes vitesses et des accélérations Les trois 

lois de Newton et des théorèmes de l’énergie cinétique et mécanique sont à la base de la 

dynamique du point matériel. 

Lecture #12 


Papanicola Robert, http://www.sciences-indus-cpge.apinc.org/IMG/pdf/ 

CIN2_DERIVATION_VECTORIELLE.pdf 

Dérivation vectorielle 

Résumé 

Ce cours de dérivation vectorielle débouche sur la loi de composition des 

mouvements. Il complète donc le cours de Ratiarison Adolphe. Pour avoir la notion 

de la composition de trois rotation l’auteur fait entrer les trois angles d’Euler à savoir 

la précession, la nutation et la rotation propre. 


Les trois angles d’Euler ne sont pas au programme car dans la pratique ceci 

concerne la cinématique de solide. Il ne faut donc pas que l’apprenant consacre

eaucoup de temps là-dessus. La composition des rotations est bien développée 

dans le cours de Ratiarison. 

Lecture #13 



Dynamique du point matérielle 

Travail, énergie, puissance 

Oscillateurs 

Résumé 

C’est un cours complet sur la dynamique du point matériel. Ce cours fait suite 

au site http://abcsite.free.fr/physique/meca/me_ch3.html que nous avons déjà cité à la 

partie cinématique. 


Cours facile à lire. 

Lecture #14 

DIOUF, S. (2004). L’Evaluation des apprentissages. Sénégal. Université Cheikh Anta DIOP 

de Dakar. FASTEF (ex ENS) 

Résumé 

Ce texte dont la lecture est recommandée pour pouvoir répondre à l’évaluation formative 

optionnelle à caractère pédagogique, contient différentes parties dont 

La problématique de l’évaluation qui traite des différentes questions relatives à l’évaluation 

Les différentes formes d’évaluation où il est aussi question des rôles et des moments 

d’évaluation

Les stratégies de recueil d’information. Dans cette partie vous trouverez les questions à 

correction objective et les questions à correction subjective. 

On y trouve aussi les étapes de construction d’un sujet d’examen et les caractéristiques de 

l’évaluation 

Justification de cette lecture 

La lecture de ce texte permet aux apprenants de répondre correctement aux 

questions de l’évaluation formative optionnelle à caractère pédagogique. Tous les 

éléments de réponse à cette évaluation sont contenus dans ce texte.

L e c t u r e ( s ) # 1

MODULE : MECANIQUE 1 

LECTURE OBLIGATOIRE N° 1 

GRANDEURS PHYSIQUES ET UNITES SI 

ERREURS - INCERTITUDES 

ADDITION ET SOUSTRACTION DE VECTEURS 

http://www.bipm.fr/fr/si/si_brochure/chapter1/1-2.html 

http://www.cegep-ste-foy.qc.ca/freesite/index.php?id=3113 

http://www.ulb.ac.be/cours/psycho/content/cognum/calcul.html 

A. GRANDEURS PHYSIQUES ET SYSTEME SI. 

La valeur d'une grandeur est généralement exprimée sous la forme du produit d'un nombre par 

une unité. L'unité n'est qu'un exemple particulier de la grandeur concernée, utilisé comme référence. 

Le nombre est le rapport entre la valeur de la grandeur en question et l'unité. Pour une grandeur 

particulière, on peut utiliser de nombreuses unités différentes. Par exemple, la vitesse v d'une particule 

peut être exprimée sous la forme : v = 25 m/s = 90 km/h, 

Les unités mètre par seconde et kilomètre par heure étant des unités alternatives pour exprimer 

la même valeur de la grandeur « vitesse ». Cependant, comme il est important de disposer d'un 

ensemble d'unités bien définies, universellement reconnues et faciles à utiliser pour la multitude des 

mesures qui confortent l'assise de notre société, les unités choisies doivent être accessibles à tous, 

supposées constantes dans le temps et l'espace, et faciles à réaliser avec une exactitude élevée. 

Pour établir un système d'unités, comme le Système international d'unités, le SI, il est 

nécessaire tout d'abord d'établir un système de grandeurs et une série d'équations définissant les 

relations entre ces grandeurs. Ceci est nécessaire parce que les équations reliant les grandeurs entre 

elles déterminent celles reliant les unités entre elles, comme décrit dans la suite de ce document. Il est 

commode aussi de choisir les définitions d'un nombre restreint d'unités que nous appelons les unités 

de base, et de définir ensuite les unités des autres grandeurs comme produits de puissances des 

unités de base, que nous appelons les unités dérivées. De manière similaire, les grandeurs 

correspondantes sont décrites comme grandeurs de base et grandeurs dérivées, et les équations 

donnant les grandeurs dérivées en fonction des grandeurs de base sont utilisées pour exprimer les 

unités dérivées en fonction des unités de base (voir section 1.4). Il est donc logique que le choix des 

grandeurs et des équations reliant les grandeurs précède celui des unités. 

Du point de vue scientifique, la division des grandeurs en grandeurs de base et grandeurs 

dérivées est affaire de convention ; ce n'est pas fondamental pour la compréhension de la physique 

sous-jacente. Toutefois, pour ce qui concerne les unités, il est important que la définition de chaque 

unité de base soit effectuée avec un soin particulier, afin de satisfaire aux exigences mentionnées au 

premier paragraphe ci-dessus, puisqu'elles assurent le fondement du système d'unités tout entier. 

La définition des unités dérivées en fonction des unités de base découle des équations 

définissant les grandeurs dérivées en fonction des grandeurs de base. Ainsi l'établissement d'un 

système d'unités, qui constitue le sujet de cette brochure, est intimement lié aux équations algébriques 

reliant les grandeurs correspondantes.

Les grandeurs de base utilisées dans le SI sont la longueur, la masse, le temps, le courant 

électrique, la température thermodynamique, la quantité de matière et l'intensité lumineuse. Les 

grandeurs de base sont, par convention, considérées comme indépendantes. Les unités de base 

correspondantes du SI, choisies par la CGPM, sont le mètre, le kilogramme, la seconde, l'ampère, le 

kelvin, la mole et la candela. Les définitions de ces unités de base sont données dans la section 2.1.1 

au chapitre suivant. Les unités dérivées du SI sont ensuite formées des produits de puissances des 

unités de base, selon les relations algébriques qui définissent les grandeurs dérivées correspondantes 

en fonction des grandeurs de base (voir 1.4). 

À de rares occasions, on a le choix entre plusieurs formes de relations entre les grandeurs. Un 

exemple particulièrement important concerne la définition des grandeurs électromagnétiques. Les 

équations électromagnétiques rationalisées à quatre grandeurs, utilisées avec le SI, sont fondées sur la 

longueur, la masse, le temps et le courant électrique. Dans ces équations, la constante électrique 0 (la 

permittivité du vide) et la constante magnétique 0 (la perméabilité du vide) ont des dimensions et des 

valeurs qui vérifient l'équation 0 0 = 1/c 2 0 , où c 0 est la vitesse de la lumière dans le vide. La loi de 

Coulomb décrit la force électrostatique entre deux particules de charges q 1 et q 2 à une distance r sous 

la forme** : 

q1q 

2 

r 

F = 

3 

r 

et l'équation de la force magnétique s'exerçant entre deux éléments de fils électriques minces 

parcourus par des courants électriques, i 1 dl 1 et i 2 dl 2 , est exprimée sous la forme suivante : 

2 µ 

0 

i1dl1.(i 

2dl2.r) 

d F = 

3 

4! 

r 

où d 2 F est la différentielle seconde de la force F. Ces équations, sur lesquelles le SI est fondé, 

sont différentes de celles utilisées dans les systèmes CGS-UES, CGS-UEM et CGS de Gauss, dans 

lesquelles 0 et 0 sont des grandeurs sans dimension, choisies comme étant égales à un, et où les 

facteurs de rationalisation 4 sont omis. 

Par convention, les grandeurs physiques sont organisées selon un système de dimensions. 

Chacune des sept grandeurs de base du SI est supposée avoir sa propre dimension, représentée 

symboliquement par une seule lettre majuscule sans empattement en romain. Les symboles utilisés 

pour les grandeurs de base, et les symboles utilisés pour indiquer leur dimension, sont les suivants : 

Grandeurs de base et dimensions utilisées avec le SI 

Grandeur de base 

Symbole de la Symbole de la 

grandeur 

dimension 

Longueur l, x, r, etc. L 

Masse M M 

temps, durée T T 

courant électrique I, i l 

température 

thermodynamique 

T 

quantité de matière N N 

intensité lumineuse I v J 

Toutes les autres grandeurs sont des grandeurs dérivées, qui peuvent être exprimées en 

fonction des grandeurs de base à l'aide des équations de la physique. Les dimensions des grandeurs

dérivées sont écrites sous la forme de produits de puissances des dimensions des grandeurs de base 

au moyen des équations qui relient les grandeurs dérivées aux grandeurs de base. En général la 

dimension d'une grandeur Q s'écrit sous la forme d'un produit dimensionnel, 

dim Q = L M T l 

N J 

où les exposants , , , , , , et , qui sont en général de petits nombres entiers, positifs, 

négatifs ou nuls, sont appelés exposants dimensionnels. L'information fournie par la dimension d'une 

grandeur dérivée sur la relation entre cette grandeur et les grandeurs de base est la même que celle 

contenue dans l'unité SI pour la grandeur dérivée, elle-même obtenue comme produit de puissances 

des unités de base du SI. Certaines grandeurs dérivées Q sont définies par une équation aux 

grandeurs telle que tous les exposants dimensionnels entrant dans l'expression de la dimension de Q 

sont égaux à zéro. C'est vrai, en particulier, pour une grandeur définie comme le rapport entre deux 

grandeurs de même nature.* Ces grandeurs sont décrites comme étant sans dimension, ou de 

dimension un. L'unité cohérente dérivée de telles grandeurs est toujours le nombre un, 1, puisque c'est 

le rapport entre les unités de deux grandeurs de même nature, donc identiques. Il existe également des 

grandeurs qui ne peuvent pas être décrites au moyen des sept grandeurs de base du SI, mais dont la 

valeur est déterminée par comptage. Par exemple le nombre de molécules, la dégénérescence en 

mécanique quantique (le nombre d'états indépendants ayant la même énergie) et la fonction de 

partition en thermodynamique statistique (le nombre d'états thermiques accessibles). Ces grandeurs 

sont aussi habituellement considérées comme sans dimension, ou de dimension un, et ont pour unité 

le nombre un, 1. 

Les unités dérivées sont définies comme le produit de puissances des unités de base. Quand le 

produit des puissances ne comprend pas de facteur numérique autre que 1, les unités dérivées sont 

appelées unités dérivées cohérentes. Les unités de base et les unités dérivées cohérentes du SI 

forment un ensemble cohérent, désigné sous le nom d'ensemble cohérent des unités SI. Le mot 

cohérent est utilisé ici dans le sens suivant : lorsque l'on utilise des unités cohérentes, les équations 

reliant les valeurs numériques des grandeurs prennent exactement la même forme que les équations 

reliant les grandeurs proprement dites. Ainsi, si l'on utilise uniquement des unités d'un ensemble 

cohérent, on n'a jamais besoin de facteurs de conversion entre les unités. 

L'expression de l'unité cohérente d'une grandeur dérivée peut être obtenue à partir du produit 

dimensionnel de la grandeur en remplaçant le symbole de chaque dimension par le symbole de l'unité 

de base correspondante. 

Certaines unités dérivées cohérentes du SI ont reçu des noms spéciaux,* par souci de 

simplification (voir 2.2.2). Il est important de souligner que chaque grandeur physique n'a qu'une seule 

unité SI cohérente, même si cette unité peut être exprimée sous différentes formes au moyen de noms 

spéciaux ou de symboles particuliers. L'inverse, toutefois, n'est pas vrai ; la même unité SI peut, dans 

certains cas, être employée pour exprimer les valeurs de plusieurs grandeurs différentes (voir 2.2.2). 

La Conférence générale a, de plus, adopté une série de préfixes pour la formation des multiples 

et sous-multiples décimaux des unités SI cohérentes (voir 3.1, la liste des noms de préfixes et de leur 

symbole). Ces préfixes sont commodes pour exprimer les valeurs de grandeurs beaucoup plus 

grandes ou beaucoup plus petites que l'unité cohérente.† Suivant la Recommandation 1 (1969) du 

Comité international, ces préfixes sont désignés sous le nom de préfixes SI. (Ces préfixes sont aussi 

parfois utilisés avec des unités en dehors du SI, comme décrit dans le chapitre 4 de cette brochure). 

Cependant, quand un préfixe est utilisé avec une unité du SI, l'unité dérivée obtenue n'est plus

cohérente, car le préfixe introduit un facteur numérique différent de 1 dans l'expression de l'unité 

dérivée en fonction des unités de base. 

Par dérogation à la règle, le nom du kilogramme, l'unité de base pour la masse, comprend le 

préfixe kilo, pour des raisons historiques. Il est néanmoins considéré comme une unité de base du SI. 

Les multiples et sous-multiples du kilogramme sont formés en attachant des noms de préfixes au nom 

de l'unité « gramme » et des symboles de préfixes au symbole d'unité « g » (voir 3.2). Ainsi 10 –6 kg 

s'écrit milligramme, mg, et pas microkilogramme, !kg. 

L'ensemble des unités SI comprend l'ensemble des unités cohérentes et les multiples et sousmultiples 

de ces unités formés en les combinant aux préfixes SI. Il est désigné sous le nom d'ensemble 

complet des unités SI, ou simplement unités SI, ou unités du SI. Notons toutefois que les multiples et 

sous-multiples décimaux des unités du SI ne forment pas un ensemble cohérent.‡

I. LA MESURE 

I.1 Définition 

B. MESURE - ERREURS – INCERTITUDES. 

Une mesure est caractérisée par un nombre et une unité. Cette unité est une grandeur de 

référence appelée « étalon ». Pour mesurer une distance on peut prendre n’importe quel objet comme 

étalon. Cependant, pour des raisons pratiques, on utilise une unité internationale qu’est le mètre. Dans 

tout résultat il est donc essentiel d’indiquer quelle est l’unité de mesure utilisée : un résultat sans unités 

n’est pas un résultat. 

I.2 Mesure directe 

On appelle « mesure directe » un résultat qui est obtenu directement à partir d’un instrument de 

lecture. La mesure d’une longueur avec une règle, la mesure de la tension avec un voltmètre ou la 

mesure de la vitesse avec un tachymètre sont toutes des mesures directes. 

I.3 Mesure indirecte 

On appelle « mesure indirecte » un résultat obtenu par un calcul. Par exemple, si nous ne 

disposons pas de tachymètre pour mesurer directement la vitesse d’un véhicule, on peut alors mesurer 

la distance parcourue et le temps nécessaire pour parcourir cette distance et par la suite calculer la 

vitesse. L’aire d’une surface obtenue par le produit de la longueur de ses côtés serait aussi une mesure 

indirecte. 

II. ERREURS 

Lorsqu’on effectue la mesure de la largeur d’une feuille de papier, on sait que le résultat obtenu 

ne représente pas exactement la véritable largeur de cette feuille : on commet une certaine erreur sur 

ce résultat. 

L’erreur est la différence entre la valeur vraie d’une grandeur et la valeur de cette mesure. Étant 

donné que nous ne connaissons pas la valeur vraie d’une mesure, il nous est impossible de déterminer 

l’erreur commise. Nous pouvons cependant savoir quelle est l’erreur maximale qu’on peut commettre 

sur cette mesure : c’est ce que nous appelons l’incertitude. 

II.1 Chiffres significatifs 

En mesurant la largeur d’une feuille de papier, il serait illusoire de donner un résultat au centième 

de millimètre. L’écriture de notre résultat doit refléter la qualité de la mesure qu’on a effectuée. C’est 

pour cela qu’on doit exprimer le résultat avec un nombre de chiffres significatifs qui correspond à la 

précision de la mesure effectuée. 

On appelle chiffres significatifs tous les chiffres d’un nombre sauf les zéros servant uniquement à 

situer la virgule. Par exemple, le nombre 100,00 a 5 chiffres significatifs alors que 0,0001 n’en a qu’un 

seul. On voit que la mesure 5 mm est différente de 5,0 mm puisque la première mesure implique qu’on

a mesuré jusqu’au millimètre près, alors que la deuxième mesure implique qu’on a mesuré jusqu’au 

dixième de millimètre. 

II.2 Incertitude absolue 

L’incertitude absolue est l’erreur maximale qu’on peut commettre en effectuant une mesure. On 

utilise habituellement le symbole D pour la représenter (par exemple L ± !L). Pour des raisons de 

simplicité, on garde un seul chiffre significatif pour l’incertitude. Cependant, lorsque le premier chiffre 

est égal à un (1), on conserve aussi le second. 

Par exemple, on écrira L = (21,65 ± 0,05) cm ; M = (12,50 ± 0,10) g. 

II.3 Incertitude relative 

L’incertitude relative est obtenue en divisant l’incertitude absolue par la valeur de la mesure ("L / 

L). Habituellement, on l’exprime en pourcentage. Pour cela, il faut multiplier l’incertitude relative par 

cent. 

Par exemple, si L = (21,65 ± 0,05) cm, l’incertitude relative en pourcentage est : !L / L = 

0,05/21,65 = 0,002309 ´ 100 = 0,23 %. On conserve habituellement deux (2) chiffres significatifs pour 

l’incertitude relative. 

L’utilité de l’incertitude relative est de nous renseigner sur la précision d’une mesure. Une 

incertitude absolue de 2 m peut correspondre à une piètre mesure ou une excellente mesure : si L = 

(12 ± 2) m, l’incertitude relative est 17%, alors que si L = (24 550 ± 2) m, l’incertitude est de 0,0081 %. 

II.4 Méthode des extrêmes 

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer l’incertitude sur un résultat. Dans le cours NYA, 

seule la méthode des valeurs extrêmes est utilisée. 

Cette méthode consiste à calculer les valeurs minimale et maximale de notre résultat pour 

connaître quelle est l’incertitude. Elle comprend les étapes suivantes 

1. Calcul du résultat probable (A) avec nos mesures telles quelles. 

2. Calcul du résultat minimal (A min ) en tenant compte des incertitudes. 

3. Calcul du résultat maximal (A max ) en tenant compte des incertitudes. 

4. Calcul de l’écart entre la valeur maximale ("A + ) et la valeur probable. 

5. Calcul de l’écart entre la valeur minimale ("A – ) et la valeur probable. 

Si les écarts "A + et "A – ne sont pas identiques (ce qui se produit dans une fonction qui n’est pas 

linéaire), on conserve le plus grand des deux écarts. C’est ce résultat qui est l’incertitude absolue "A. 

Par la suite, on doit arrondir "A pour respecter la façon d’écrire l’incertitude absolue. Le résultat final A 

aura la même précision que l’incertitude "A. 

Exemple 1 : 

On a mesuré la longueur et la largeur d’une feuille et on a obtenu les valeurs suivantes :

a = (31,4 ± 0,2) cm et b = (12,25 ± 0,05) cm. 

On cherche à déterminer l’aire A de cette feuille avec son incertitude. 

1. Calcul du résultat probable (A) avec nos mesures telles quelles. 

A = a x b = 31,4 x 12,25 = 384,65 cm 2 

2. Calcul du résultat minimal (A min ) en tenant compte des incertitudes. 

À la limite inférieure, nos mesures sont 

a min = 31,2 cm et b min = 12,20 cm. 

L’aire A min qu’on obtient avec ces mesures est : 

A min = a min x b min = 31,2 x 12,20 = 380,64 cm 2 

3. Calcul du résultat maximal (A max ) en tenant compte des incertitudes. 

À la limite supérieure, nos mesures sont 

a max = 31,6 cm et b max = 12,30 cm. 

A max = a max x b max = 51,6 x 12,30 = 388,68 cm 2 

4. Calcul de l’écart entre la valeur maximale ("A + ) et la valeur probable. 

"A + = A max – A = 388,68 – 384,65 = 4,03 cm 2 

5. Calcul de l’écart entre la valeur minimale ("A – ) et la valeur probable. 

"A – = A – A min = 384,65 – 380,64 = 4,01 cm 2 

Comme on doit arrondir à un seul chiffre significatif, l’incertitude est "A = ± 4 cm 2 . 

Le résultat final doit avoir la même précision que l’incertitude (384,65 #385). 

A = 385 ± 4 cm 2 

Exemple 2 : 

Lorsque la même variable apparaît plus d’une fois dans le calcul, il faut s’assurer de lui donner 

toujours la même incertitude. Supposons que, dans l’exemple précédent où a est la longueur et b la 

largeur, on veuille déterminer le rapport R = largeur /(longueur +largeur). Le calcul de R max serait : 

où on remarque qu’on a utilisé b max aux deux endroits

et le calcul de R min serait : 

II.5 Incertitude sur une moyenne 

Lorsqu’on prend plusieurs mesures afin d’en faire la moyenne et que l’incertitude est la même sur 

toutes les mesures, l’incertitude sur la moyenne est la même que celle sur les mesures. 

II.6. Utilisation de la méthode des chiffres significatifs 

Il arrive que l’incertitude sur une mesure est inconnue. Dans ce cas, on utilise la méthode des 

chiffres significatifs. On présume que l’incertitude sur cette mesure est sur le dernier chiffre significatif 

qu’elle contient. 

Dans une opération de multiplication ou de division on garde autant de chiffres significatifs dans 

le résultat que le nombre qui en a le moins. Dans une opération d’addition ou de soustraction, le 

résultat aura la même précision que celui qui en a le moins. 

Par exemple, le poids d’un objet de 1,04 kg sur Mars où g Mars = 3,70 m/s 2 serait : P = mg Mars = 

3,70 x 1,04 = 3,85 N . Cette méthode présume que dans ce résultat ce sont les centièmes qui sont 

incertains. 

Cependant lorsque les incertitudes sont connues, il faut alors effectuer le calcul d’incertitude. 

Ainsi si g Mars = 3,70 ± 0,05 m/s 2 et m = 1,04 ± 0,05 kg. Le résultat serait P = 3,8 ± 0,2 N en se servant 

de la méthode des extrêmes. On se servira de la méthode des chiffres significatifs seulement si 

l’incertitude est inconnue. 

III. ÉGALITE PHYSIQUE 

Pour comparer deux mesures entre elles, on se sert de leur domaine d’incertitude. Si les deux 

mesures peuvent se rejoindre à l’intérieur de leurs domaines d’incertitude alors l’écart est non 

significatif. 

Par exemple, on veut comparer les deux résultats suivants : a 1 = 9,81 ± 0,05 m/s 2 et a 2 = 9,86 ± 

0,05 m/s 2 . 

Représentons-les sur une échelle : 

Étant donné qu’il y a au moins un point commun entre les deux domaines, il y a égalité physique.

C. ADDITION ET SOUSTRACTION DE VECTEURS 

I. ESPACE VECTORIEL 

I.1 Définitions 

• On appelle espace vectoriel E sur un corps commutatif K, un ensemble d’éléments, 

appelés vecteurs, qui satisfait aux propriétés suivantes : 

! E est muni d’une structure de groupe commutatif pour une loi de composition 

interne, l’addition vectorielle , notée + 

! Pour deux vecteurs U et V , éléments de E, on a, si ! et µ appartiennent à 

K : 

!(U 

+ V) = ! U + ! V 

(! + µ )U = ! U + µ U 

!( 

µ U) = (!µ)U 

1U 

= U 

• On appelle vecteur un élément d’un espace vectoriel. 

• De façon plus simple, et plus pratique, on appelle vecteur un bipoint ordonné (A,B), 

noté AB ou V , A s’appelle l’origine, et B l’extrémité. 

Un vecteur est déterminé si on connaît 

- son support (droite AB), 

- son sens (de A vers B) 

- son intensité (module AB du vecteur AB ). 

I.2 Base d’un espace vectoriel 

On appelle base d’un espace vectoriel un système de n vecteurs de E, linéairement 

indépendants, permettant d’exprimer linéairement tout vecteur de E : 

n 

U = ! 

i= 

1 

x i e i 

Les coefficients x i sont les composantes du vecteur U dans la base considérée. 

La base est orthonormée si, quels que soient i et j, on a : e .e 1 et e . e = 0 

II. ESPACE AFFINE 

i 

i 

= 

i j 

II.1 Définition 

On appelle espace affine " un ensemble de points, tel qu’ à tout bipoints ordonné (AB) de 

deux points A et B, on peut faire correspondre un vecteur AB , d’un espace vectoriel E. 

Si A, B, C désignent trois points de ", on a :

AB = ! BA 

AC = AB + BC 

Si O est un point quelconque de ", et V un vecteur appartenant à E, il existe un point A 

et un seul tel 

OA = V 

II.2 Espace métrique 

Si on a deux vecteurs 

/ 

/ 

/ 

/ 

OA = ! x 

i 

ei 

et OA = ! x 

i 

ei 

on a : AA = !( x " x 

i) 

e 

i 

i 

# 

$ 

! $ 

! 

% i 

i " % i " 

Dans un système de coordonnées , un vecteur est déterminé par ses composantes dans 

ce repère. 

La norme AA / 1 

/ 

est : = & / 

/ # & 

2 

$ 

2 

(( ' ) (( ' ) ! = $ ( 

/ 

AA x 

i 

x 

i 

ei. 

x 

i 

x 

i 

ei 

. ( x 

i 

' x 

i) 

On appelle composantes d’un vecteur par rapport à un système de coordonnées donné, 

les projections orthogonales de ce vecteur sur les 3 axes du repère. 

i 

i 

1 

2 

i 

x 3 

O 

x 1 

x 1 

x 3 

x 2 

x 2 

II. OPERATIONS SUR LES VECTEURS 

III.1 Addition et soustraction vectorielles 

L’addition de deux vecteurs 

U + V = W 

Relation de Chasles. 

U et V donne un vecteur W tel que 

On se donne un vecteur AB . Quels que soient les points B1,B1,B3,B4, la relation de 

Chasles s’écrit : 

AB = AB1 + B1B2 

+ B2B3 

+ B3B4 

+ B4B

Ce qui se traduit par le schéma suivant : 

B 

W 

U 

V 

A 

B 4 

V 

B 1 

B 2 

B 3 

Technique d’addition de 2 vecteurs 

Soient deux vecteurs U et V . 

On construit un parallélogramme de côtés U et V . Le vecteur somme est le diagonal 

de ce parallélogramme. Notons que l’addition vectorielle est commutative. 

U + V = V + U = W 

Le module du vecteur somme est : 

2 

2 2 2 

( U + V) = U + V + UV 

W = 

2 

V 

W # 

U 

2 

W = U + V + 2 U V cos! 

2 

On peut aussi additionner deux 

vecteurs par les composantes. 

Si on se donne un repère et deux 

a a 

vecteurs 

somme est 

1 

1 

1 

c 

2 

U b et V b . Le vecteur 

c 

W = U 

2 

2 

a 

+ V = b 

c 

1 

1 

1 

+ a 

+ b 

+ c 


2 

2 

( a + a ) + ( b + b ) + ( c ) 2 

W = 

+ 

1 2 1 2 1 

c 

2 

2 

2 

2

Technique de soustraction de 2 vecteurs 

W=U-V 

U 

-V 

V 

La soustraction de deux vecteurs 

U et V se fait comme suit : 

On construit le vecteur 

l’addition de 

vecteurs 

U et de - V . 

- V et on fait 

U - V = W 


a a 

U 

b 

c 

1 

1 

1 

et 

V b 

c 

2 

2 

2 

, les composantes 

de 

U - V = W sont : 

U 

- V 

= 

a 

b 

c 

1 

1 

1 

! a 

! b 

! c 

2 

2 

2 

III.2 Multiplication d’un vecteur par un scalaire. 

Soit V = x 

1 

e1 

+ x 

2 

e 

2 

+ x 

3 

e 

3 

un vecteur. Si on multiplie ce vecteur par un scalaire ! on a : 

! V = ! 

( x 

1 

e1 

+ x 

2 

e 

2 

+ x 

3 

e ) 

(! 

x ) e 1 

+ (! 

x 2 

) e 2 

+ (! 

x 3 

) e 3 

= 

Multiplier un vecteur par un scalaire revient donc à multiplier les composantes par ce 

scalaire : 

! V = 

= ! 

1 

3 

2 

2 

(! 

x ) + (! 

x ) + (! 

x ) 

2 2 

( x ) + ( x ) + ( x ) 

1 

1 

2 

2 

3 

2 

3 

2 

3V 

= ! V 

L’angle du vecteur ne change pas. 

Le module du vecteur est multiplié par 

ce nombre. Si ! est négatif, le vecteur ! V est 

de sens contraire à V 

V

L e c t u r e ( s ) # 2

Les vecteurs :2°) Addition, opposé et soustraction de vecteurs 


2°) Addition, opposé et soustraction de vecteurs. 

Avant d'entamer les hostilités avec l'addition vectorielle, revenons sur un vecteur et un de ses 

représentants. 

Ayant un point A et un vecteur , quelle est la démarche à suivre pour construire un point B tel que 

. C'est l'objet de l'animation suivante : 

Dans cette construction, on utilise le fait que si (ABDC) est un parallélogramme alors les vecteurs 

et 

sont égaux. 

Addition de deux vecteurs. 

L'addition de deux nombres réels est quelque chose de naturel : on rassemble les deux quantités qu'il 

s'agit d'additionner et on compte ! Pour les vecteurs, les choses sont un peu moins triviales. 

Soient deux vecteurs. Qu'est leur somme ? 

Première chose : c'est un vecteur qu'il s'agit donc de définir. 

Seconde chose : construisons un de ses représentants. C'est l'objet de l'animation suivante : 

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Si l'on résume, pour construire l'un des représentants d'origine A de , il faut : 

Construire le point B tel que . 

Construire le point C tel que . 

Un représentant du vecteur est alors le vecteur . 

Propriétés de cette addition vectorielle. 

Cette addition présente quelques propriétés similaires à celles de l'addition des nombres. Il est fort 

probable que vous ne les connaissiez pas. C'est donc le moment de les évoquer. 

La première de ces propriétés est la commutativité. 

Commutativité : . 

En effet, si l'on regarde sur une figure : 

Cette propriété peut vous sembler banale. Pourtant elle est primordiale. L'addition des nombres présente 

la même propriété. En effet 2 + 3 = 3 + 2 par exemple ! 

En effet, si l'on regarde sur une figure : 

La question que vous vous posez sans doute est : quel est l'intérêt d'une telle propriété ? Après tout c'est 

une chose qui semble naturelle ! 

L'addition des nombres présente une propriété similaire qu'on appelle également associativité. Par 

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exemple, on a que : 

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 

On pourrait se demander pourquoi on conserve, ici des parenthèses. Beaucoup les font sauter les 

estimant inutiles ! Ils écrivent 2 + 3 + 5, tout simplement ! 

Une chose à ne pas perdre de vue est que l'addition est une opération binaire. C'est-à-dire qu'on 

additionne deux termes. Et non trois comme l'écriture 2 + 3 + 5 l'indique ! 

S'ils peuvent faire sauter les parenthèses, c'est tout simplement à cause de cette associativité. Faire 2 + 3 

puis y ajouter 5 équivaut à ajouter 2 à 3 + 5. 

Cette associativité qui semble si modeste est en fait d'une importance cruciale ! Mais là débute une autre 

histoire. 

Et si faire 2 + 3 puis y ajouter 5 équivaut à ajouter 3 à 2 + 5, c'est aussi grâce à la commutativité. 

Elément neutre : 

On dit que le vecteur nul (que l'on note ) est l'élément neutre de l'addition vectorielle. 

A titre d'information 0 est l'élément neutre de l'addition des nombres... En effet pour tout réel x, x + 0 = 

0 + x = x. 


Revenons à la construction précédente. Nous avons vu que . 

Or et . Ainsi vient-il cette relation que l'on appelle relation de Chasles : 

Remarque : 

Comme toutes les égalités, la relation peut se lire dans les deux sens : 

de la gauche vers la droite pour décomposer le vecteur en une somme de vecteurs et . 

de la droite vers la gauche pour réduire la somme formée des vecteurs et en un seul vecteur 

. 

En résumé : 

Attention, erreur fréquente ! 

Un autre point important est la condition d'application de la relation de Chasles. 

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Dans les copies, on voit souvent des erreurs du style : 

Certains croient pouvoir appliquer ici la relation de Chasles. Horreur et erreur ! 

Pour appliquer la relation de Chasles, il faut que les deux vecteurs aient un point en commun qui soit 

l'extrémité de l'un et l'origine de l'autre. Dans le cas suivant, les conditions sont parfaitement remplies 

: 

La règle du parallélogramme. 

Nous avons déjà vu qu'une égalité vectorielle nous permet de caractériser un parallélogramme. Une autre 

faisant intervenir une somme le permet également. 

La preuve : 

Nous allons procéder par équivalence. 

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Bref, on a gagné ! 

Opposé d'un vecteur. 

L'opposé d'un nombre x est un nombre y qui ajouté à x donne 0. De la même manière, on définit 

l'opposé d'un vecteur. 

Cette une belle définition mathématique peut laisser perplexe. Développons donc notre propos... 

Intéressons-nous à l'opposé du vecteur . Il semble qu'il s'agisse du vecteur . Vérifions : 

Notre doute est donc devenu certitude. 

Si l'on compare les vecteurs et , on s'aperçoit qu'ils ont même direction et norme mais sont de 

sens contraire. 

Ainsi l'opposé du tout vecteur a-t-il même direction et même norme que mais il est de sens 

contraire. 

Un dernier mot sur l'opposé : on sait que l'opposé du vecteur est le vecteur . Mais quel l'opposé 

de l'opposé du vecteur ? C'est-à-dire quel est l'opposé du vecteur ? 

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C'est tout simplement le vecteur . 

Ainsi : 

Enfin, signalons que l'opposé du vecteur est le vecteur . A ne pas confondre avec le vecteur 

. 

Soustraction vectorielle. 

La soustraction de deux réels est en fait une addition. En effet, retrancher un nombre à un autre revient à 

y ajouter l'opposé. De la même manière , on définit la soustraction vectorielle. 

Remarque : 

Une chose à remarquer au sujet des vecteurs exprimés à partir de points : 

Dans le cas des "vecteurs à points", il est souvent judicieux d'éliminer les moins. 

Pour conclure ce second paragraphe, nous énoncerons une proposition qui traduit par une soustraction 

la relation de Chasles. 

La preuve : 

Tout se fera très vite ! 

Nous avons utilisé dans notre démonstration la relation de Chasles. 

Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par 

Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais. 

(c) AMLTI Mars 1998/Janvier 2003. Tous droits réservés. 

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L e c t u r e ( s ) # 3

Addition vectorielle 

http://h10.etud.u-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/chapi... 

Mathématiques pour la Physique et la Chimie Les Vecteurs Addition vectorielle 

Définition 

La somme de deux vecteurs libres et , notée , est un vecteur libre , obtenu 

par la "règle du parallélogramme". 

Propriétés 

L'addition vectorielle est une loi de composition interne et possède les propriétés suivantes : 

Associativité : 

Commutativité : 

Elément neutre : ( vecteur nul) 

Elément symétrique : ( vecteur opposé de ) 

Applications 

Différence de deux vecteurs 

Etant donné deux vecteurs et il existe un unique vecteur tel que : 

Relations de Chasles 

En représentant les vecteurs , et respectivement par , 

et alors l'addition vectorielle conduit à : 

or comme 

: 

on en déduit, quels que soient les points O, A et B 

(Relation de Chasles) 

Cas particulier : 

Les trois points O, A et B sont alignés sur une droite de vecteur unitaire . Si les mesures 

algébriques des vecteurs , et sont notées , et alors : 

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Addition vectorielle 

http://h10.etud.u-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/chapi... 

et nous obtenons la relation de Chasles pour les mesures algébriques : 

Mathématiques pour la Physique et la Chimie Les Vecteurs Addition vectorielle 

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L e c t u r e ( s ) # 4

Géométrie vectorielle - Wikipédia 


Géométrie 

vectorielle 

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réorganisant et en le clarifiant. 

L'utilisateur qui appose ce bandeau est invité à énoncer les points à améliorer en page de discussion. 

La géométrie vectorielle est la partie de la géométrie euclidienne faisant intervenir les vecteurs. 

Sommaire 

1 Notations des vecteurs 

2 Opérations sur les vecteurs dans le plan et l'espace 

2.1 Produit d'un vecteur par un scalaire 

2.2 Somme de deux vecteurs 

2.3 Produit scalaire de deux vecteurs 

2.3.1 Définition 

2.3.2 Propriétés 

3 Produit vectoriel de deux vecteurs dans l'espace 

4 Produit mixte 

4.1 Définition et propriétés 

4.2 Application du produit mixte 

5 Double produit vectoriel 

5.1 Voir aussi 

6 Voir aussi 

Notations des vecteurs 

À l'époque où l'imprimerie ne disposait pas encore des possibilités actuelles, il était malaisé de mettre des 

flèches au-dessus des lettres, les vecteurs étaient donc notés en caractère gras. Ceci est toujours adopté 

lorsque l'on veut faire ressortir le caractère général des vecteurs (c'est-à-dire s'abstraire du côté géométrique). 

Opérations sur les vecteurs dans le plan et l'espace 

Les vecteurs dont il sera question dans cet article sont ceux de l'espace \mathbb R^3 ou du plan \mathbb R^2. 

Comme souligné ci-dessus, certaines constructions géométriques sont spécifiques aux vecteurs. Ces 

constructions géométriques ayant des propriétés communes avec les opérations sur les nombres (addition, 

multiplication), on adopte une notation similaire. 

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Produit d'un vecteur par un scalaire 

Le terme « scalaire » désigne ici un nombre réel. Le produit d'un vecteur \vec{u} par un scalaire a est un 

vecteur noté 

a \cdot \vec{u} 

de même direction et sens que \vec{u}, mais dont la longueur vaut 

a \cdot ||\vec{u}||, si a > 0 

de même direction mais de sens contraire que \vec{u}, et dont la longueur vaut 

-a \cdot ||\vec{u}||, si a < 0. 

il s'agit d'un vecteur nul si a = 0 

Il s'agit d'une dilatation (si |a| >1) ou d'une contraction (si |a|



Dans les deux cas, on place les vecteurs bout-à-bout ; mais si l'origine d'un vecteur correspond à l'extrémité 

de l'autre, on utilise la méthode du triangle, si les origines sont confondues, on utilise la méthode du 

parallélogramme. 

somme de deux vecteurs 

Somme de deux vecteurs 

Si l'on a trois points A, B et C, alors on a la « relation de Chasles » : 

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} 

on déduit de cela que 

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0} 

ce qui permet de définir l'opposé d'un vecteur, et donc la soustraction : en posant la notation 

on a 

-\overrightarrow{AB} = -1 \cdot \overrightarrow{AB} 

\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA} 

L'opposé d'un vecteur est le vecteur de même direction, de même longueur, mais de sens opposé. 

On a : 

\vec{u} + \vec{0} = \vec{u} 

\vec{0} est l'élément neutre de l'addition des vecteurs. L'addition des vecteurs est commutative 

\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} 

Le produit d'un scalaire par un vecteur est distributif sur l'addition des vecteurs : 

a \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = a \cdot \vec{u} + a \cdot \vec{v}. 

Produit scalaire de deux vecteurs 

Définition 

Si \vec{u} et \vec{v} sont deux vecteurs faisant un angle !, on appelle produit scalaire, et on note \vec{u} 

\cdot \vec{v}, le nombre (réel) valant : 

\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\alpha). 

Le produit scalaire est nul si l'un des vecteurs est nul ou si l'angle entre eux est droit (c'est à dire si et 

! = "/2 rad = 90 ° ou ! = -"/2 rad = -90 °.), les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont dans ce cas orthogonaux, 

strictement positif si l'angle est aigu et strictement négatif si l'angle est obtus. 

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Cette opération a été introduite pour simplifier les calculs sur les projections orthogonales. En effet si v u est la 

longueur algébrique de la projection de \vec{v} sur une droite orientée selon \vec{u} (v u est positif si la 

projection est dans le même sens que \vec{u}, négatif s'il est dans le sens opposé), alors on a 

\vec{u} \cdot \vec{v} = v_u \cdot ||\vec{u}|| 

Ainsi, si la norme de \vec{u} vaut 1, alors la longueur algébrique de la projection orthogonale de \vec{v} sur 

la droite est \vec{u} \cdot \vec{v}. De la même manière, si u v est la longueur algébrique de la projection de 

\vec{u} sur une droite orientée selon \vec{v},alors on a 

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_v \cdot ||\vec{v}|| 

produit scalaire de deux vecteurs 

Propriétés 

Le produit scalaire est commutatif 

\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} 

Il est distributif sur l'addition des vecteurs 

\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})= \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} 

Le vecteur nul est l'élément absorbant du produit scalaire 

\vec{u} \cdot \vec{0} = \vec{0} \cdot \vec{u} = 0 

\vec{u} \cdot \vec{u} s'appelle le carré scalaire du vecteur \vec{u} et se note \vec{u} 2 ; ainsi : 

\vec {u}2 = \vec{u} \cdot \vec{u} 

Le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de sa norme 

\vec{u} 2 = \| \vec{u} \| 2 et donc \sqrt{{\vec{u}}^2} = \| \vec{u} \| 

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul 

\vec{u} \perp \vec{v} si et seulement si \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 

Dans le plan rapporté à une base orthonormale \left ( \vec i, \vec j \right ) 

\vec u \cdot \vec v=u_x\cdot v_x+u_y\cdot v_y 

Démonstration 

[ Dérouler ] 

Dans l'espace rapporté à une base orthonormale \left ( \vec i, \vec j, \vec k \right ) 

\vec u \cdot \vec v=u_x\cdot v_x+u_y\cdot v_y+u_z\cdot v_z 

Voir aussi ( pour une définition générale valable dans toutes les branches des mathématiques ) 

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Produit scalaire 

Produit vectoriel de deux vecteurs dans l'espace 

Notons tout d'abord que deux vecteurs non colinéaires 

Produit vectoriel 

\vec{u} et \vec{v} définissent un plan vectoriel ; un 


troisième vecteur \vec{w} est coplanaire aux deux 

précédents si et seulement s'il peut s'écrire comme une 

combinaison linéaire des deux premiers, c'est-à-dire s'il existe deux réels a et b tels que 

\vec{w} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{v} 

Trois vecteurs non coplanaires forment une base. La base (\vec{u},\vec{v}, \vec{w}) est dite directe si on 

peut l'imager avec la main droite, \vec{u} étant le pouce, \vec{v} étant l'index et \vec{w} étant le majeur. 

On définit le produit vectoriel des deux vecteurs \vec{u} et \vec{v}, noté \vec{u} \wedge \vec{v}, comme 

étant le vecteur : 

normal au plan vectoriel de base (\vec{u},\vec{v}) 

dont la norme vaut \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \sin(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) 

tel que (\vec{u},\vec{v}, ( \vec{u} \wedge \vec{v} )) forme une base directe. 

On étend la définition précédente au cas où \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires en posant : 

\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} 

Voir l'article détaillé Produit vectoriel. 

Produit mixte 

Définition et propriétés 

Etant donnés trois vecteurs \vec u\,, \vec v\, et \vec w\,, on appelle produit mixte de ces 3 vecteurs la 

quantité : 

\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w\,. 

On peut démontrer que l'on a : \left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = \left[\vec v, \vec w, \vec u\right] = 

\left[\vec w, \vec u, \vec v\right]\, et : 

\left[\vec v, \vec u, \vec w\right] = \left[\vec w, \vec v, \vec u\right] = \left[\vec u, \vec w, \vec v\right] = - 

\left[\vec u, \vec v, \vec w\right]\, 

et aussi : 

\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = \begin{vmatrix} u_x & u_y & u_z\\v_x & v_y & v_z\\w_x & w_y & 

w_z \end{vmatrix} 

autrement dit : \left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = (u_x v_y w_z + v_x w_y u_z + w_x u_y v_z) - (u_z v_y 

5 of 7 31/03/07 10:03



w_x + v_x w_z u_y + w_y u_x v_z)\, 

Remarque : Si deux des trois vecteurs sont égaux ou colinéaires, le produit mixte est nul. 

Application du produit mixte 

Si les vecteurs \vec u\,, \vec v\, et \vec w\, ont même origine, la valeur absolue du produit mixte 

\left[\vec u, \vec v, \vec w\right]\, est égale au volume du parallélépipède construit sur \vec u\,, \vec v\, 

et \vec w\,, ou encore à six fois le volume du tétraèdre construit sur ces mêmes vecteurs. 

Double produit vectoriel 

On peut combiner trois vecteurs \vec u\,, \vec v\, et \vec w\, par deux produits vectoriels successifs. 

C'est ce qu'on appelle un double produit vectoriel. 

Exemple : \vec u \wedge \left(\vec v \wedge \vec w\right) 

Attention : comme le produit vectoriel n'est ni associatif, ni commutatif, il est nécessaire d'utiliser comme ici 

des parenthèses et le résultat va dépendre à la fois de l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées et de 

l'ordre de présentation des 3 vecteurs. 

On peut démontrer (sans difficulté mais assez laborieusement) les 2 formules suivantes : 

\vec u \wedge \left(\vec v\wedge \vec w\right) = (\vec u\cdot\vec w)\ \vec v\ -\ (\vec u\cdot\vec v)\ \vec w 

et \left(\vec u \wedge \vec v\right)\wedge \vec w = (\vec u\cdot\vec w)\ \vec v\ -\ (\vec v\cdot\vec w)\ \vec u 

Voir aussi 

Produit scalaire généralisé 


Produit mixte généralisé 

Déterminant de deux vecteurs 

Déterminant 

Voir aussi 

Base (algèbre linéaire) 

Espace vectoriel 

Géométrie euclidienne 

Géométrie dans l'espace 

Géométrie analytique 

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Catégories : Article à recycler • Géométrie 

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L e c t u r e ( s ) # 5

ANNEXE 2 : 

Lectures appropriées 

de l’unité 2 

CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL 

(Mouvement à une dimension, à deux ou à 3 

dimensions) 

1

Groupe Francophone de Physique 

Consultant : Pr Sémou DIOUF 

Expert : Pr RATIARISON Adolphe 


UNITE 2 : CINEMATIQUE DU POINT 

A. GENERALITES SUR LA CINEMATIQUE DU POINT 

I. Référentiels 

II. Repérage d’un mobile dans l’espace 

III Abscisse curviligne 

IV Vecteur vitesse 

IV.1 Vitesse moyenne 

IV.2 Vitesse instantanée 

IV.3 Propriété du vecteur vitesse 

V Vecteur accélération 

V.1 Accélération moyenne 

V.2 Accélération instantanée 

V.3 Expression de l’accélération 

V.4 Propriété du vecteur accélération 

B. MOUVEMENT RECTILIGNE 

I. Définition d’un mouvement rectiligne 

II. Mouvement rectiligne uniforme 

II. Mouvement rectiligne uniformément varié 

III. Mouvement rectiligne sinusoïdal 

C. MOUVEMENT CURVILIGNE 

I. Les composantes intrinsèques du vecteur accélération 

II. Mouvement circulaire 

II.1 Cas général 

II.2 Mouvement circulaire uniforme 

III. Mouvement cycloïdal 

IV. Mouvement hélicoïdal 

D. DIFFERENTS SYSTEMES DE COORDONNEES 

I. Coordonnées cylindriques 

I.1 Les coordonnées cylindriques 

I.2 Les composantes du vecteur vitesse 

I.3 Les composantes du vecteur accélération 

II Coordonnées sphériques 

II.1 Les coordonnées sphériques 

II.2 Les composantes du vecteur vitesse 

II.3 Les composantes du vecteur accélération 

2

I. REFERENTIELS. 

A. GENERALITES SUR LA CINEMATIQUE DU POINT 

La cinématique est l'étude du mouvement indépendamment des causes qui les 

provoquent. Le problème le plus simple est celui de la cinématique du point. Lorsque on étudie 

le mouvement, il faut analyser sa trajectoire en fonction du temps. Il nous faut repérer l'endroit 

où se trouve le point à tout temps. Il nous est donc nécessaire d’avoir un référentiel R avec un 

système d'axes. 

Un référentiel est un ensemble de N points (N ! 4) non coplanaires immobiles les uns 

par rapport aux autres, par rapport auxquels on étudie le système. L'observateur et ses 

instruments de mesure sont supposés immobiles par rapport à R. Le choix de référentiel est 

arbitraire. On le choisit de façon en fonction du problème. Mais faites attention: souvent on 

vous demandera de passer d'un référentiel à un autre. 

Certains référentiels ont un nom: 

• Référentiel géocentrique (ou de Ptolémée): il est formé du centre de la terre et de 3 

étoiles considérées comme fixes; 

• Référentiel de Képler défini par le centre du soleil et de trois étoiles fixes; 

• Référentiel de Copernic défini par le centre de masse du système solaire et de trois 

étoiles fixes. 

Une fois que le référentiel a été décidé, nous définissons dans ce référentiel un système 

de coordonnées qui nous permet de définir notre point mobile et de tenir compte des 

propriétés spécifiques de notre problème. 

II. 

REPERAGE D’UN POINT MOBILE DANS L’ESPACE 

Le vecteur position 

On repérera un mobile M dans l’espace par ses coordonnées par rapport à un référentiel 

( O,e x 

,e y 

, e z 

) 

R . Le vecteur OM = r qui définit la position du mobile M à l’instant t s’appelle le 

rayon vecteur ou le vecteur position de M à la date t. 

On écrit : 

OM = r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t) k [1] 

Les fonctions du temps x(t), y(t) et z(t) s’appellent les équations horaires du 

mouvement. 

Trajectoire du mobile 

3

On appelle trajectoire le lieu géométrique des points occupés par un point matériel au 

cours du temps. Dans la figure ci-dessous, la courbe ( C ) est la trajectoire du mobile. Pour 

déterminer la trajectoire, il faut trouver la (ou les) relations (s) entre les coordonnées de M 

indépendamment du temps t, en d’autres termes, il faut éliminer t entre x, y, et z. 

Exemples : 

Exemple a 

On donne les équations horaires d’un mouvement d’un mobile sous la forme : 

# x = 2t 

+ 3 

" 

[2] 

! y = 4t 

+ 2 

Déterminer l’équation de la trajectoire du mobile pour t allant de zéro à l’infini. 

De la première équation on tire la valeur de t en fonction de x : t = x ! 3 , valeur qu’on 

2 

porte dans la deuxième équation. 

x ! 3 

y = 4 + 2 = 2x 

! 4 

2 

L’équation de la trajectoire est alors y = 2 x ! 4 . [3] 

C’est l’équation d’une droite, mais la trajectoire n’est pas la droite en totalité. C’est en fait 

une demi-droite correspondant à t ! 0. 

Cette trajectoire est représentée à la figure 1. 


120 

100 

80 

y 

60 

40 

20 

0 

-20 

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 

x 

Figure 1 

Dans ce cas la trajectoire est dite rectiligne 

Exemple b 

Les équations paramétriques d’un mobile sont: 

4

# x(t) = t + 1 

" 

[5] 

2 

! y(t) = t + 2t 

Trouver la trajectoire du mobile. 

De la 1 ère équation on tire t : t = x ! t . On porte cette valeur de t dans la deuxième 

2 

2 

équation : y = (x ! 1) 

+ 2(x 

! 1) 

= x ! 1 

L’équation de la trajectoire est la branche de parabole correspondant à t !0. 

y = x 2 ! 1 [6] 


3000 

2500 

2000 

y 

1500 

1000 

500 

0 

-500 

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 

x 

Figure 2. 

La trajectoire est dite curviligne. 

Exemple c. 

On donne les équations paramétriques d’un mobile M sous de la forme : 

# x(t) = 2cos t + 2 

" 

[7] 

! y(t) = 2sin t $ 1 

On isole sint et cost, on les élève au carré et on additionne membre à membre. 

cos t = x ! 2 et sin t = y + 1 

2 

2 

cos 

2 

t + sin 

2 

2 

t = 

& 

$ 

% 

& x ' 2 # & y + 1 # 

$ ! + $ ! 

% 2 " % 2 " 

2 

x ' 2 # 

! 

2 " 

2 

= 1 

2 

2 2 

( ! 2 ) + ( y + 1) = 2 

x [8] 

2 

& y + 1 # 

+ $ ! 

% 2 " 

5

La trajectoire est le cercle de centre (2,-1) et de rayon égal à 2. 

y 

O 

x 

Figure 3 

La trajectoire est circulaire. 

III. 

ABSCISSE CURVILIGNE 

Soit (C) la trajectoire d’un mobile M dans un repère R ( O,e x 

,e y 

, e z 

) 

. Pour définir 

l'abscisse curviligne s, nous choisissons un point A arbitraire sur la trajectoire 

ainsi qu'un sens positif. L'abscisse curviligne de M est la longueur de l'arc AM 

défini avec un sens, positif si AM est dans le sens positif et négatif si AM est dans 

le sens négatif. 

6

M 1 

A 

s 1 

M 2 

s 2 

O 

e 1 

e 3 

e 2 

Figure 4 

Abscisse curviligne s1 > 0 et s2 < 0. 

|s| a donc pour dimension une longueur. 

IV. 

VECTEUR VITESSE 

IV.1 Vitesse moyenne entre t et t + !t. 

Supposons que le mobile se trouve en M à la date t et en M / à la date t+"t. 

La vitesse moyenne durant la durée "t est notée : 

v 

moyenne 

/ 

! MM 

= [9] 

! t 

/ 

! MM indique un accroissement des coordonnées de M c'est-à-dire "x, "y, "z 

"t indique un accroissement suivant le temps t 

Dans le cas à une dimension , on a : 

v ! x 

= moyenne ! [10] 

t 

! x indique un accroissement des coordonnées de x 

7

z 

O 

M t 

M / t+ "t 

V R (M) 

y 

x 

Figure 5 

IV.2 Vitesse instantanée 

La vitesse instantanée est définie par : 

/ 

! MM dOM 

V(M) = lim = 

[11] 

! t " 0 ! t dt 

d 

Le symbole indique que l’on dérive par rapport au temps le vecteur OM . Plus 

dt 

généralement 

dy signifie qu’on dérive y par rapport à t. 

dt 

On a exprimé le vecteur OM comme suit : 

OM = r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 

( x(t)i + y(t)j z(t)k) 

dOM d 

V (M) = = 

+ 

[12] 

dt dt 

dOM d d d 

V (M) = = 

+ 

dt dt dt dt 

( x(t) ) i + ( y(t) ) j ( z(t) )k 

8

Les trois vecteurs unités de base ont des dérivées nulles car ils sont fixes par 

rapport au référentiel R. On reverra ceci lors de la composition des mouvements. 

dOM 

• • • 

V(M) = = x(t)i + y(t)j + z(t)k [13] 

dt 

En d’autre terme les composantes du vecteur vitesse sont les dérivées premières des 

composantes des coordonnées du mobile M. 

Notons que la vitesse 

de M dépend de R. 

dOM 

V (M) = dépend du référentiel R choisi, car les composantes 

dt 

Dans la suite on notera 

• 

• 

• 

Vx 

(t) = x(t), Vy 

(t) = y(t), Vz 

(t) = z(t) [14] 

On pourra déterminer la norme du vecteur vitesse V (M) 

à l’instant t : 

V = V(M) = V + V + V 

[15] 

2 

x 

Cette norme est exprimée en m/s. 

IV.3 Propriété du vecteur vitesse 

2 

y 

2 

z 

D’après la propriété de la dérivée, le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire (Fig. 5) 

Exemples : 

Exemple a. 

Reprenons l’exemple ci-dessus. Les équations horaires du mouvement du mobile sont : 

# x = 2t 

+ 3 

" 

! y = 4t 

+ 2 

Le vecteur vitesse a pour composantes : 

dOM 

• • 

V(M) 

= = x(t)i + y(t)j = 2 i + 4j 

dt 

La norme de la vitesse est 

2 2 

V = V(M) = 2 + 4 = 20 m / s 

Exemple b. 

Les équations paramétriques d’un mobile M sont de la forme : 

# x(t) = 2cos t + 2 

" 

! y(t) = 2sin t $ 1 

9

Le vecteur vitesse a pour composantes : 

dOM 

• • 

V(M) 

= = x(t)i + y(t)j = !2 sin ti + 2cos t j 

dt 

La norme de la vitesse est 

2 2 2 2 

V = V(M) = 2 sin t + 2 cos t = 2 2 

m / s 

On considère les positions du mobile aux instant t=0 et t=#/4. 

Les positions du mobile aux instants t=0 et t=#/4 sont : 

A t=0, x(0)=4, y(0)=-1 

A t=#/4, x(#/4)= 2 + 2 , et y(#/4)= 2 ! 1 

/ 

MM a pour composantes ( 2 ! 2, 

2) 

La vitesse moyenne du mobile M entre ces deux instants est 

2 

( 2) 

/ 

# MM 

2 

( 2 " 2) 

+ 

v = = 

# t 

! 

4 

La vitesse moyenne est donc différente de la vitesse instantanée, même si, dans notre 

cas, la vitesse instantanée est constante. 

V. VECTEUR ACCELERATION 

V.1 Accélération moyenne entre t et t + !t. 

L’accélération moyenne est définie comme étant le rapport de la variation de vitesse 

entre t et t+"t et la durée "t : 

! v 

a = [16] 

! t 

V.2 Accélération instantanée. 

L’accélération instantanée est la limite de l’accélération moyenne pour "t tendant vers 

zéro. 

a(M) 

! V dV(M) d OM 

0 ! t dt dt 

2 

= lim = = 

[17] 

! t " 

2 

V.3 Expression de l’accélération 

On a vu précédemment l’expression de la vitesse : 

dOM 

• • • 

V(M) = = x(t)i + y(t)j + z(t)k . 

dt 

De même le vecteur accélération a pour expression : 

2 

d OM 

•• •• •• 

a(M) = = x(t)i + y(t)j + z(t)k . [18] 

2 

dt 

On posera dans la suite : 

10

a 

x 

•• 

(t) = x(t) , a (t) = y(t), a (t) = z(t) [19] 

y 

La norme a(t) de l’accélération est : 

2 

x 

•• 

a (t) = a(M) = a + a + a 

[20] 

2 

y 

2 

z 

z 

•• 

Dans le système international (SI), cette norme s’exprime en m/s 2 . 

V.4 Propriété du vecteur accélération 

On montrera ultérieurement que le vecteur accélération peut être décomposé en deux 

vecteurs perpendiculaires : 

- vecteur tangent à la trajectoire 

- vecteur normal à la trajectoire 

On ainsi on parlera d’accélération tangentielle ( a t 

) et accélération normale ( a n 

). 

B. MOUVEMENT RECTILIGNE. 

I. DEFINITION D’UN MOUVEMENT RECTILIGNE. 

Un mouvement est rectiligne si la trajectoire décrite par le mobile est un segment de 

droite. 

Dans ce cas on peut décrire le mouvement par rapport à un seul axe, par exemple l’axe 

Ox de vecteur unitaire i . 

Le vecteur position s’écrit : 

O 

M 

x 

OM = r(t) = x(t)i [21] 

x(t) est l’abscisse du mobile M 

i 

Le vecteur vitesse est : 

11

dOM dx(t) 

• 

V(M) = = i = x(t)i [22], 

dt dt 

Figure 6 

• 

de valeur algébrique V(M) = x(t) 

[23] 

Il en est de même pour le vecteur accélération a(M) 

de valeur algébrique a(t) = x(t) 

[25] (Figure 6) 

•• 

2 

d OM 

dt 

= 

2 

•• 

= x(t) i 

[24], 

Remarque : Comme les éléments cinématiques se trouvent sur la droite trajectoire, nous 

confondons vecteurs et valeurs algébriques. 

II. 

MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME 

Un mouvement rectiligne est uniforme si son vecteur accélération est constamment nul : 

2 

d OM 

a (M) = = 0 

[26] 

dt 

2 

Par intégration on a : V (M) = V 0 

= Cte [27] 

Ou bien : V(M) =V 0 . 

Par intégration, on obtient l’abscisse du mobile qui est une fonction affine du temps : 

x=V 0 t + x 0 . [28] 

x 0 est l’abscisse à l’origine du temps (t = 0), x 0 peut être éventuellement nul. 

On associe à ces trois fonctions leur graphe en fonction du temps 

12

x 

V 

a 

x 0 

V 0 

O 

t 

O 

t 

O 

t 

Figure 7a 

Figure 7b 

Figure 7c 

La figure 7a nous donne le diagramme des espaces, la figure 7b, le diagramme des 

vitesses et la figure 7c, le diagramme de l’accélération. 

La pente de la droite de la figure 7a donne V 0 et son ordonnée donne l’abscisse x 0 à 

l’origine des temps. 

Le diagramme des vitesses est une droite parallèle à l’axe des temps, d’ordonnée à 

l’origine V 0 . 

Le diagramme des accélérations se réduit à l’axe des temps. 

III. 

MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE 

Un mouvement rectiligne est uniformément varié, s’il se fait avec une accélération 

constante : 

t : 

a (M) = a.i = Cte ou bien a=Cte [29] 

Par intégration, on obtient l’expression de la vitesse qui est une fonction affine du temps 

V(t)=at + V 0 [30] 

V 0 est la vitesse à l’origine des temps (t=0) du point matériel, 

V 0 peut être éventuellement nul. 

L’abscisse du point matériel est une fonction polynôme de degré 2 : 

1 2 

x = at + V t + x 

0 0 

[31] 

2 

x 0 est l’abscisse à l’origine des temps (t=0), x 0 pouvant être nul 

On associe à ces fonctions leurs graphes en fonction du temps : 

13

x 

V 

a 

x 0 V 0 

t 

t 

t 

Figure 

Figure 

Figure 

8c 

8a 

8b 

Le diagramme des espaces (Figure a) est une parabole de concavité tournée vers le haut 

ou vers le bas selon que l’accélération a est positive ou négative. 

L’ordonnée à l’origine de cette courbe donne x 0 , position du mobile à l’origine des temps. 

Le diagramme des vitesses (Figure 8b) est une droite dont la pente est égale à 

l’accélération est dont l’ordonnée à l’origine est la vitesse initiale (à t=0) V 0 du mobile. 

Le diagramme des accélérations est une droite parallèle à l’axe à l’axe des temps 

dont l’ordonnée à l’origine est l’accélération du mouvement a. 

REMARQUES : 

1°) 

• Le mouvement est accéléré si le produit scalaire V .a > 0 

• Le mouvement est décéléré ou retardé si le produit scalaire V .a < 0 

• La notion de retardé ou accéléré n’a pas de relation avec le signe de 

l’accélération a, mais elle est relié au signe du produit scalaire V . a . 

2°) On considère un mouvement uniformément varié d’accélération a, de vitesse initiale 

V 0 , d’abscisse initiale x 0 . Cherchons la relation qui lie les abscisses x 1 et x 2 du mobile , aux 

instant t 1 et t 2 , aux vitesses V 1 et V 2 aux même dates t 1 et t 2 . 

A l’instant t 1 , on a : 

1 2 

x 

1 

= at 

1 

+ V t 

0 1 

+ x 

0 

2 

[32] 

V 

1 

= at 

1 

+ V0 

[33] 

A l’instant t 21 , on a : 

1 2 

x 

2 

= at 

2 

+ V t 

0 2 

+ x 

0 

2 

[34] 

V = at + 

[35] 

2 2 

V0 

14

On tire t 1 et t 2 à partir des équations [33] et [35] : 

V1 

! V0 

t 

1 

= 

a 

[36] 

V2 

! V0 

t 

2 

= 

a 

[37] 

On soustrait membre à membre les équations [32] et [34] 

1 2 2 

x 

1 

! x 

2 

= a( t 

1 

! t 

2) + Vo (t 

1 

! t 

2 

) 

2 

& 1 

# 

x 

1 

' x 

2 

= (t 

1 

' t 

2 

) $ a( t 

1 

+ t 

2) + Vo 

! 

% 2 

" 

En remplaçant t 1 et t 2 par leur expression dans les équations [36] et [37] on a : 

2a x ! x 

2 

= V ! V [38] 

( ) 

2 

1 

2 

1 

2 

IV. 

MOUVEMENT RECTILIGNE SINUSOIDAL 

Considérons un cercle de rayon R et de 

centre O, rapporté au repère R (O,i,j) 

. 

Soit M un point mobile sur la 

circonférence du cercle. Le point M est 

repéré par l’angle $ = %.t, avec % constant 

(Nous verrons un peu plus loin que le 

mouvement du point M est circulaire 

uniforme). 

Le point M se projette orthogonalement 

en P sur l’axe Ox. 

Figure 9 

Les 

coordonnées de M et P dans le 

repère R (O,i,j) 

sont : 

R cos! 

t 

R cos! 

t 

OM = , OP = 

R sin ! t 

0 

Les composantes des vecteurs vitesse et accélération du point P sont respectivement : 

15

V(P) = 

" R! 

sin ! t 

0 

a(P) = 

" R! 

2 

cos! 

t 

0 

Lorsque le point M décrit le cercle le point M fait un va et vient sur l’axe des x. On dit que 

le point M effectue un mouvement rectiligne sinusoïdale sur le segment de droite défini par 

les points de coordonnées (-R,0) et (R,0). 

En comparant les premières composantes de OP et de a (P) 

on constate que la relation 

suivante : 

a x =-% 2 x P 

Plus généralement, un point M quelconque est en mouvement rectiligne sinusoïdal si son 

abscisse x est de la forme 

x=a sin(%t+&) [39] 

a s’appelle l’amplitude du mouvement, elle correspond à la moitié de la trajectoire 

% s’appelle la pulsation du mouvement 

2! 

" = 2 ! N = , T est la période du mouvement, N la fréquence 

T 

%t+& , la phase, & la phase à l’origine du temps 

D’après ce que nous venons de voir ci-dessus, la relation liant l’abscisse du point M et 

son accélération est M : 

2 

a(M) = "! OM 

[40] 

La courbe représentative d’une fonction sinusoïdale est de la forme : 

Figure 10 

16

Nous reprendrons de façon complète les mouvements sinusoïdaux dans le chapitre des 

oscillateurs. 

C. MOUVEMENT CURVILIGNE. 

I- LES COMPOSANTES INTRISEQUES DU VECTEUR ACCELERATION 

Dans cette partie, la trajectoire n’est plus une droite mais une courbe quelconque. Dans 

le paragraphe III de la partie A, nous avons déjà parlé d’abscisse curviligne qui n’est autre la 

mesure algébrique de l'arc AM , après avoir choisi un sens de parcours positif sur 

la trajectoire. 

M 

A 

s 

O 

e 1 

e 3 

e 2 

Figure 11 

Le vecteur vitesse, défini comme étant la dérivée du vecteur position s’écrit : 

/ 

! MM dOM 

V(M) = lim = est tangent à la trajectoire. 

! t " 0 ! t dt 

Le vecteur accélération est défini comme étant la dérivée du vecteur accélération s’écrit : 

17

a 

R 

' d $ ' dV $ dV d 

(M) V (M) % 

! 

! 

= % R " = " = ! + V 

[41] 

& dt # 

/ R 

dt 

& # 

dt dt 

/ R 

La vitesse est orienté suivant la tangente à la trajectoire et ! est le vecteur unitaire de la 

trajectoire. 

dV 

Le premier terme est l’accélération tangentielle : a T 

= ! . [42] dt 

Le second est l’accélération normale : 

En effet : 

d! 

a N 

= V 

dt 

2 d ! 

d 

! = 1 " 2! 

= 0 " ! est perpendiculaire a 

! 

dt 

dt 

d d! 

ds 

V = V = V 

dt ds dt 

! 2 

d! 

ds 

d! 

1 

= , R est le rayon de courbure de la trajectoire. 

ds R 

L’accélération normale est donc a N = R 

V 2 [43] 

On peut donc comprendre ces formules ci-dessus en approximant une courbe 

infinitésimale par un arc de cercle. C’est une approximation du second ordre. Sur ce cercle, le 

vecteur tangent évolue en fonction de l’angle d$. 

De cette figure,il vient : 

d" 

d" 

d! 

1 1 

= = . = 

ds ds R d! 

R 

[44] 

L’expression vectorielle de l’accélération est alors : 

a 

R 

d 

dV V 

2 

' $ 

(M) = % VR 

(M)" 

= ! + n [45] 

& dt # / R { dt 12 R 3 

a 

T 

a 

N 

n est le vecteur normal à la trajectoire. 

On définit le vecteur unitaire b , tel que 

trièdre de Frenet. 

b = " ! n .Le trièdre direct (! ,n, b) 

s’appelle le 

b s’appelle le vecteur unitaire de la binormale 

18

Figure 12 

II. 

MOUVEMENT CIRCULAIRE. 

y 

M 

R 

j 

O 

i 

$ 

A 

x 

Figure 13 

Un mouvement est dit circulaire lorsque la trajectoire du mobile est portée par un cercle. 

Dans ce cas on peut décrire le mouvement du mobile par rapport à un repère Oxy de 

vecteur de base 

i et j . 

• Soit par le vecteur position du mobile est alors : OM = x(t)i + y(t) j 

• Soit par son abscisse curviligne s(t) (Figure11) tel que s(t) représente la 

mesure algébrique de l’arc AM(t) 

• Soit par l’angle ( t) = ( Ox,OM(t) ) 

! , $(t) exprimé en radian (Figure13) 

19

II.1 Cas général 

Si R est le rayon du cercle, on peut écrire : 

$ x(t) = R cos% 

(t) 

! 

# y(t) = R sin %(t) 

[46] 

! 

" s(t) = R% 

(t) 

Le vecteur vitesse V est tangent à la trajectoire et ses coordonnées s’expriment sous la 

forme : 

• 

$ 

! Vx (t) = & R % sin %(t) 

# 

• 

[47] 

!" Vy 

(t) = R % cos% 

(t) 

A norme de la vitesse est telle que 

2 

• 

• 

& 

# & # 

V (t) = $ ( R ' sin '(t)! 

+ $ R ' cos' 

(t)! 

[48] 

% 

" % " 

2 

• 

Le terme !(t) 

qui est la dérivée par rapport au temps de la coordonnée !(t) 

de OM (t) 

est la vitesse angulaire du mouvement, elle s’exprime en rad./s et est désignée habituellement 

par %(t). 

Les coordonnées du vecteur accélération a s’exprime sous la forme : 

• 

•• 

$ 

2 

! a 

x 

(t) = & R( %) 

cos% 

(t) + R %(t)sin 

%(t) 

# 

• 

•• 

[49] 

2 

!" a 

y 

(t) = & R( %) 

sin %(t) 

+ R %(t)cos%(t) 

•• 

• 

Le terme ! (t) 

qui est la dérivée par rapport au temps de la vitesse angulaire ! (t) 

est 

l’accélération angulaire du mouvement et elle s’exprime en rad./s 2 . 

Les normes de a N et a T de l’accélération normale et de l’accélération tangentielle sont : 

dV(t) 

a T 

= [50] 

dt 

2 

( V(t) ) 

a N 

= 

R 

II.2 Mouvement circulaire uniforme. 

Dans ce cas, la vitesse angulaire est constante et nous le notons % sa valeur. 

Les relations écrites dans le cas général se transforme en : 

• 

•• 

!( t) = " t; !(t) 

= " et !(t) 

= 0 

[51] 

$ x(t) = R cos% 

t 

! 

# y(t) = R sin % t 

! 

" s(t) = R% 

t 

[52] 

20

# Vx 

(t) = % R$ 

sin $ t 

" 

! Vy 

(t) = R$ 

cos$ 

t 

[53] 

(" 

R! 

sin ! t) 2 + ( R! 

cos t ) 2 

V (t) = ! 

[54] 

! $ a 

# 

!" a 

x 

y 

(t) = ' R& 

(t) = ' R& 

2 

2 

cos% 

(t) 

sin %(t) 

[45] 

dV(t) 

a T 

= = 0 

[56] 

dt 

( V(t) ) 

a N 

= = ! R 

R 

2 

2 

2 

On remarque que a = "! [ R cos! 

ti + R sin ! t j] = "! OM , ce qui signifie que les vecteur 

accélération et position sont colinéaires et de sens opposé à cause du signe moins. 

L’accélération est donc dirigée vers le centre de courbure. On dit que l’accélérartion est 

centripète. 

à : 

On peut remarquer aussi que la produit scalaire de la vitesse et de l’accélération est égal 

V.a 

= Vx a 

x 

+ Vya 

y 

= (" 

R! 

sin ! t)( " R! 

cos! 

t) + (R! 

cos! 

t)( " R! 

sin ! t) 

2 2 

2 2 

V.a 

= Vx a 

x 

+ Vya 

y 

= (R ! sin ! t cos! 

t) + (" 

R ! cos! 

t sin ! t) 

= 0 [57] 

Le vecteur vitesse et le vecteur accélération sont donc, dans ce cas particulier, 

perpendiculaires. La représentation schématique est sur la figure 14. 

y 

M 

R 

j 

O 

a N 

i 

$ 

A 

x 

Figure 14 

21

III. MOUVEMENT CYCLOIDAL 

y 

j 

O 

i 

M 

$ 

A 

C 

x 

Figure 15 

Soit un point fixe M sur une roue de voiture de rayon R qui se déplace à la vitesse Vo 

constante ; le point M coincïde avec l’origine O à l’instant initial. 

V0 

t 

"( t) = = ! t 

R 

OM = OC(t) + CM(t) 

OC (t) V ti + R j = R! 

ti + R j 

= 0 

Car 

OA = V0 

t 

De plus AM= OA = V o t = R$(t) 

CM (t) = " R sin ! ti " R cos ! t j 

D’où OM (t) = R( ! t " sin ! t) i + R( 1 " cos! 

t)j 

C’est l’équation paramétrique d’une cycloïde 

M animé d’un mouvement cycloïdal si sa trajectoire est une cycloïde. 

Les équations paramétriques d’une cycloïde dans le cas général et dans un repère 

R(O,i, 

j, k) sont donc, avec $ = %t: 

22

$ x = R( % & sin %) 

! 

# y = R( 1 & cos% 

) 

[58] 

! 

" z = 0 

Le tracé d’une telle courbe est la suivante. 

Figure 15 

La trajectoire est périodique puisque y est inchangé lorsque $ = %t varie de 2#, x varie 

de 2#R. Sur le tableau suivant, on a rassemblé quelques valeurs caractéristiques de x et de y. 

%t 0 #/2 # 3#/2 2# 

X 0 R(#/2 -1) #R R(#/2 +1) 2#R 

y 0 R 2R R 0 

Les composantes cartésiennes de VR (M) et de a 

R 

(M) 

nous permettent de préciser 

la nature de la trajectoire dans le plan Oxy. 

V 

R! 

[ 1 " cos( ! t)] 

2 

R 

(M) R! 

sin( ! t) a 

R 

(M) = R! 

cos( ! 

= t) [59] 

R 

0 

R 

R! 

2 

sin( ! t) 

Notons qu’au point de rebroussement (% t = 2 # , etc…), la vitesse s’annule 

contrairement à l’accélération dont la valeur se réduit à celle de la composante normale. 

Exprimons les composantes de VR (M) et de a 

R 

(M) 

dans la base de Frenet. 

Comme V=2R%sin(%t / 2), on a : 

& ' t # 

2 & ' t # 

V 

R 

(M) = 2R' 

sin$ 

! eT 

et a 

T 

= ( R' 

cos$ 

! e 

% 2 " 

% 2 " 

0 

T 

. [60] 

23

Ainsi, nous obtenons la composante 

& ' t # 

2 & ' t # 

V 

R 

(M) = 2R' 

sin$ 

! eT 

et a 

T 

= ( R' 

cos$ 

! e 

% 2 " 

% 2 " 

a 

N 

et le rayon de courbure de la trajectoire : 

T 

[61] 

R = 

V 

a 

2 

N 

& ' t 

= 4R sin$ 

% 2 

# 

! 

" 

[62] 

IV MOUVEMENT HELICOIDAL 

Figure 16 

Un mouvement est hélicoïdal si et seulement si sa trajectoire est portée par une hélice. 

Soit l’hélice circulaire d’équation tracée dans le repère R (O,i, j, k) 

: 

$ x 

! 

# y 

! 

" 

= a cos% 

= a sin % 

z = b% 

[63] 

a une constante positive non nulle 

b une constante non nulle 

Si a=0 et b'0, l’hélice est une droite tournant autour de O. 

Si a '0 et b=0, l’hélice devient un cercle et le mouvement est circulaire. 

Si b >0 et a '0, l’hélice est dite droite 

24

Si b

D. DIFFERENTS SYSTEMES DE COORDONNEES 

I-COORDONNEES CYLINDRIQUES. 

I-1 Les coordonnées cylindriques. 

z 

k 

M 

k 

j 

O 

i 

) ( 

H 

x 

Figure 17 

e ) 

e ( 

M point 

materiel 

dont on veut 

definir 

la positon 

y 

Les coordonnées cartésiennes 

du point M sont (x,y,z). 

Le repère cartésien est : 

R ( O,i, j,k) 

Les coordonnées cylindriques 

du point M sont ((, ), z). 

Le repère cylindrique est : 

( M,e " 

,e , k) 

. 

R c ! 

OM = xi + yj + zk = " e" 

+ zk 

OM = "(cos! 

i + sin ! j) + zk 

OM xi + yj + zk = " e + zk = "(cos! 

i + sin ! j) + zk 

= 

" 

Les relations reliant les coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques sont : 

$ x 

! 

# y 

! 

" z 

= & cos% 

= & sin % 

= z 

[70] 

I-2 Les composantes de la vitesse en coordonnées cylindriques. 

V 

V 

R 

( 

(M) = & 

' 

d 

dt 

• 

R 

(M) = " e" 

% 

(" 

e" 

+ zk) 

# 

+ "! e 

• 

" 

• 

"! 

• 

$ 

/ R 

• • 

! 

+ z k 

• 

= " e" 

VR (M) = 

[71] 

Rc 

z 

de 

+ " 

dt 

• • 

" 

+ z k = " e" 

de" 

+ " 

d! 

d! 

• 

+ z k 

dt 

26

I-3 Les composantes de l’accélération en coordonnées cylindriques. 

a 

R 

( 

(M) = & 

' 

(M) a R 

•• 

= " e 

d 

dt 

" 

• 

( 

&" 

e 

' 

• de" 

+ " 

d! 

• 

" 

+ "! e! 

d! 

• • 

+ "! e 

dt 

• 

%% 

+ z k ## 

$ $ 

! 

•• 

/ R 

+ " ! e 

! 

•• 

= " e 

" 

• de! 

+ "! 

d! 

• de 

+ " 

dt 

• • 

" 

+ "! e! 

d! 

•• 

+ z k 

dt 

•• 

+ " ! e 

! 

• de 

+ "! 

dt 

! 

•• 

+ z k 

(M) a R 

•• • 2 

•• • • 

( % ( % 

= &") " !# 

e" 

+ &" !+ + 2"! 

# e 

' $ ' $ 

! 

•• 

+ z k 

a 

& 

% 

•• • 2 

& # 

$ () ( '! 

% " 

# 

" 

•• • • 

R 

(M) = $ ( '+ + 2(' 

! 

Rc 

•• 

z 

[72] 

II-COORDONNEES SPHERIQUES. 

II-1 Les coordonnées sphériques. 

z 

$ 

Le repère cartésien est toujours R ( O,i,j,k) 

. 

Les coordonnées cartésiennes sont (x,y,z) 

M 

Le repère sphérique est R $ & !# 

( 

% 

M,e ,e , e r ' " 

S 

. 

x 

i 

O 

) 

k 

u 

j 

H 

e r 

e ) 

e $ 

y 

Les coordonnées sphériques sont (r,),$). 

OM = xi + yj + zk 

OM = re 

r 

= r sin ! u + r cos! 

k 

( cos" 

i + sin " j) + r cos k 

OM = r sin ! 

! 

Figure 18 

$ x = r sin % cos& 

! 

# x = r sin % sin & 

! 

" z = r cos% 

I-2 Les composantes de la vitesse en coordonnées sphériques. 

[73] 

27

& d(re ) # • 

r 

VR (M) = $ ! = r e 

r 

+ 

dt 

% " 

/ R 

de 

r 

dt 

Projetons e 

r 

sur u et k . Il vient : 

e r 

= cos! 

k + sin ! u 

d e 

• 

• 

du 

r = "! sin ! k + ! cos ! u + sin ! 

dt 

dt 

r 

du du d! 

• 

Sachant que = = ! e! 

dt d! 

dt 

On a : 

et que 

e = " sin ! k + cos! 

u 

! 

d r 

! 

e 

dt 

• • 

" e" 

+ ! 

= sin " e 

! 

V 

R 

(M) 

• • • 

= r e 

r 

+ r " e" 

+ r ! sin " e 

V 

R 

(M) = 

• 

r 

• 

r ! 

• 

r " sin ! 

[73] 

R S 

I-2 Les composantes de l’accélération en coordonnées sphériques 

Nous dérivons le vecteur vitesse par rapport au temps. 

( dVR 

(M) % 

& # 

dt 

' $ 

• • 

r ! sin " e! 

/ R 

Notons que : 

•• 

= 

d 

dt 

( 

& r e 

' 

+ r ! sin " e 

• • • 

r 

+ r " e" 

+ r ! sin " e! 

• • 

! 

+ r !" cos" 

e! 

% 

# 

$ 

/ R 

• de 

+ r ! sin " 

dt 

= r e 

! 

•• 

r 

• 

de 

+ r 

dt 

• • 

r 

+ r " e" 

•• 

+ r " e 

" 

• 

de 

+ r " 

dt 

" 

+ 

du 

dt 

du d! 

d! 

dt 

• 

! = = ! e! 

! e 

! 

= cos! 

u " sin ! k donc 

de 

dt 

! 

• 

• 

du 

= "! sin ! u " ! cos! 

k + cos! 

dt 

de 

• • 

" 

; = #" e 

r 

+ ! cos" 

e! 

dt 

28

29 

! r 

e 

sin 

e 

cos 

u 

dt 

d 

d 

de 

dt 

de 

! 

# " 

! 

= #" 

= #" 

" 

" 

= 

• 

! 

• 

• 

" 

" 

Tout calcul fait, nous obtenons : 

! 

• 

• 

• 

• 

•• 

" 

• 

•• 

• 

• 

• 

• 

•• 

# 

$ 

% 

& 

' 

( 

" 

"! 

" + 

! 

" + 

" 

+ 

# 

# 

$ 

% 

& 

& 

' 

( 

" 

" 

! 

") 

"+ 

+ 

# 

# 

$ 

% 

& 

& 

' 

( 

# 

# 

$ 

% 

& 

& 

' 

( 

" 

+ ! 

" 

) 

= 

e 

cos 

r 

sin 

r 

sin 

r 

e 

cos 

sin 

r 

r 

r 

e 

sin 

r 

r 

(M) 

a 

r 

R 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

cos 

r 

sin 

r 

sin 

r 

cos 

sin 

r 

r 

r 

sin 

r 

r 

(M) 

a 

R S 

R 

! 

!" 

! + 

" 

! + 

! 

! 

! 

" 

!# 

!+ 

$ 

$ 

% 

& 

' 

' 

( 

) 

! 

+ " 

! 

# 

= 

• 

• 

• 

• 

•• 

• 

•• 

• 

• 

• 

• 

•• 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

[73]

L e c t u r e ( s ) # 7

1) Mouvement de translation 

Dans un mouvement de translation, tous les points appartenant au même solide 

ont même vitesse. 

2) Mouvement de rotation 

Les vitesses des points d'un solide en rotation varient en fonction du rayon. 

V = r % 

avec V = vitesse linéaire ( m/s ) 

r = rayon ( m ) 

% = vitesse angulaire ( rad/s ) 

3) Mouvement plan 

C'est une combinaison de mouvements de translation et de mouvements de rotation. 

Il se décrit entièrement dans un plan. 

Vitesse 

1) Vitesse moyenne 

La vitesse moyenne entre t et t0 est : 

2) Vitesse instantanée 

La vitesse instantanée d'un point est schématisée par un vecteur. Unités m/s 

43

accueil 

début de page 

Accélération 

L' accélération d'un point d'un solide est schématisée par un vecteur. Unités m/s! 

accueil 


Étude du mouvement de translation rectiligne 

1) Mouvement de translation rectiligne uniforme 

a) Équation du mouvement 

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2) Mouvement de translation rectiligne uniformément varié 


44

accueil 


Étude du mouvement de rotation 

1) Généralités 

a) Angle de rotation : L'angle de rotation du solide 1 dans son mouvement par 

rapport au solide 0 est noté $1/0 et est mesuré en radian ( rad ) 

b) Vitesse de rotation : La vitesse angulaire de rotation du solide 1 dans son mouvement par 

rapport au solide 0 est notée %1/0 ( ou $ ' 1/0 ) et est mesurée en radian par seconde ( rad / s ) 

c) Accélération angulaire : L'accélération angulaire du solide 1 dans son mouvement par 

rapport au solide 0 est notée $ '' 1/0 et est mesurée en radian par seconde " ( rad / s " ) 

2) Vitesse et accélération d'un point d'un solide en mouvement de rotation 

a) Vecteur vitesse 

45

accueil 


b) Vecteur accélération 

Dans le cas d'un mouvement de rotation, il existe deux accélérations : 

- L' accélération normale ( ou centripète ) 

- L 'accélération tangentielle 

46

Remarque : 

Si % est constant, le mouvement est dit : mouvement de rotation uniforme 

donc *T = R %' = 0 

mais *N = R %" est différent de 0, il existe donc encore une accélération. 

accueil 


3) Mouvement de rotation uniforme 


47

4) Mouvement de rotation uniformément varié 


48

L e c t u r e ( s ) # 6

ABCSITE mécanique dynamique 


MÉCANIQUE 

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CHAPITRE III: 

DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL 

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Suivante 

I - RAPPELS ET DÉFINITIONS : 

1- Définition : 

La dynamique est l'étude des causes qui provoquent les mouvements des 

corps solides, on suppose que le mobile est un point matériel et que toute sa 

masse est concentrée en ce point. 

2- La quantité de mouvement : 

Si on considère dans un repère galiléen, un point matériel de masse m 

animé du vecteur vitesse ; Alors sa quantité de mouvement est le vecteur 

définit par la relation: = m 

3- Le principe fondamental de la dynamique (P. F. D ) : 

Dans un repère galiléen, le P. F.D s'annonce sous la forme : 

" en l'absence de force, le vecteur est invariant, en présence d'une force , il 

évolue conformément à l'équation : " 

Lorsque la masse du point matériel est invariante au cours du mouvement, cette 

équation se simplifie et prend en introduisant le vecteur accélération , la forme 

suivante: 

4- Les lois de newton : 

Le principe fondamental de la dynamique peut être annoncé sous la forme de 

deux lois de Newton suivantes : 

· 1ère loi de Newton : un point matériel reste immobile ou conserve sa vitesse 

absolue constante dans un repère galiléen, lorsque la résultante des forces qui 

s'exercent sur lui est nulle : 

1 of 3 31/03/07 10:19



· 2ème loi de Newton : ou principe fondamental de la dynamique du point 

matériel : lorsqu'un point matériel est soumis à des forces dont la résultante est 

non nulle, alors le point matériel acquiert une accélération absolue donnée par 

l'expression suivante : 

En coordonnées cartésiennes, si on suppose que la masse du point matériel est 

invariante, la relation entraîne les trois équations différentes suivantes 

dans lesquelles F x , F y et F z sont les composantes cartésiennes de : 

II- NATURE DES FORCES : 

1- LES FORCES A DISTANCE : ce sont des forces dont la portée peut être 

étendue jusqu'à l'infini, parmi lesquelles on peut citer : 

a - Force d'attraction universelle : 

Si on considère deux particules électriquement neutres de masses m 1 

et m 2 

voisines l'une de l'autre, alors chacune exerce sur l'autre une force dite d'attraction 

universelle de Newton. 

Détente et application: 

Calculez votre poids sur Terre sur d'autres astres : 

(Pour les nombres décimaux, utilisez le point au lieu de la virgule) 

Saisissez votre masse sur la 

Terre : 

kg 

Choisissez l'astre 

2 of 3 31/03/07 10:19



Comparez votre poids sur cet astre et sur la Terre 

Sur la Terre 

N 

Sur cet astre 

N 

Votre poids sur cet astre est fois votre poids sur sur la Terre 

b - Force électrostatique : ( voir cours d'électricité) 

Considérons deux particules de charges électriques q 1 

et q 2 

, ces deux particules 

exercent l'une sur l'autre des forces d'interactions données par la loi de Coulomb : 

c -Force magnétique : 

On prend un repère (r ) un point M ( xyz), B est le champ magnétique et q la 

charge de la particule en mouvement 

2- LES FORCES DE CONTACT : 

Les forces de contact qui agissent entre solide, liquide etc. & ont un rayon 

d'action très faible (1Å = 10 -10 m) 

Exemples : 

· Les contraintes mécaniques. 

· Les forces de frottements. 

· Les forces de cohésion de la matière. 

· Les liaisons chimiques. 

· Les interactions nucléaires. 

Page Suivante 


ABCSITE © copyright 2002 

3 of 3 31/03/07 10:19

L e c t u r e ( s ) # 7

Cinématique du solide 


MECASITE 

les différents types de mouvement 

équiprojectivité 

champs de vitesses 

loi de composition des vitesses 

CIR 

égalité des vitesses 

quels outils utiliser ? 

3 types de mouvements peuvent être étudiés : 

Mouvement de translation 

translation rectiligne 

translation circulaire (grande roue de manège) 

Tous les points appartenant à un solide en mouvement de translation ont 

même vitesse 

1 of 2 31/03/07 10:23


090/03/Saturday 10h26 

MECASITE 

les différents types de mouvement 

équiprojectivité 

champs de vitesses 


CIR 

égalité des vitesses 

quels outils utiliser ? 

3 types de mouvements peuvent être étudiés : 

Mouvement de translation 

translation rectiligne 

translation circulaire (grande roue de manège) 

Tous les points appartenant à un solide en mouvement de translation ont même vitesse 

Mouvement de rotation 

La direction (le support) de la vitesse d'un point d'un solide en rotation est 

perpendiculaire au rayon 


Page 1 sur 4



Tous les points appartenant à un solide en mouvement de rotation n'ont pas la même 

vitesse. Si le solide 1 a un mouvement de rotation de centre 0, alors: 

Mouvement plan 

C'est une conbinaison des deux mouvements ci-dessus, s'il est décrit dans un plan. A 

un instant donné, il peut se traîter comme un mouvement de rotation (il faudra pour 

cela avoir trouvé le Centre Instantané de Rotation. 

Outils de résolution 

équiprojectivité : 

La projection orthogonale du vecteur vitesse du point A par rapport au référentiel 0 est 

égale à la projection orthogonale du vecteur vitesse du point B par rapport au 

référentiel 0 sur la droite (AB) 

champs des vitesses 


Page 2 sur 4




centre instantané de rotation (CIR) 

Dans un mouvement plan, le CIR (I) se trouve à l'intersection de deux directions de 

vitesses de deux points appartenant à la même pièce par rapport au même solide de 

référence. 

égalité des vitesses : 


Page 3 sur 4



si b 

à 3 et 4 et si la liaison est parfaite. 

Quels outils utiliser ? 

Le mouvement est : je connais : je cherche j'utilise : 

rotation 

rotation 

plan 

plan 

plan 

une vitesse et le centre 

de rotation 

une vitesse et le centre 

de rotation 

1 vitesse et 1 direction 

de vitesse 

1 vitesse et 1 direction 

de vitesses 

1 vitesse et 2 directions 

de vitesses 

une vitesse 

plusieurs vitesses 

une vitesse 

plusieurs vitesses 

2 vitesses 

l'équiprojectivité 

le champs des 

vitesses 

l'équiprojectivité 

le CIR et le champs 

des vitesses 

loi de composition des 

vitesses 


Page 4 sur 4

L e c t u r e ( s ) # 8

ANNEXE 3 : 

Lectures appropriées 

de l’unité 3: 

EQUILIBRE DES SOLIDES SUR UN PLAN 

1

Groupe Francophone de Physique 

Consultant : Pr Sémou DIOUF 

Expert : Pr RATIARISON Adolphe 

Lecture appropriée 1 


UNITE 3 : EQUILIBRE DES SOLIDES SUR UN PLAN 

I. MOMENT D’UN VECTEUR 

I.1 Rappel du produit vectoriel 

I.2 Moment d’un vecteur par rapport à un point 

!.3 Moment d’un vecteur glissant sur un axe 

I.4 Théorème de Varignon 

!.5 Moment d’un vecteur par rapport à deux points 

I.6 Moment d’un vecteur par rapport à un axe 

II. NOTION DE TORSEUR 


II.2 Eléments de réduction d’un torseur 

II.3 Torseurs équivalents 

II.4 Théorème des moments 

II.5 Torseurs élémentaires 

III. CENTRE DE GRAVITE 

III.1 Système discret 

III.2 Système continu 

IV. CONDITIONS D’EQUILIBRE 

IV.1 Cas géneral 

IV.2 Cas particulier : les forces sont parallèles 

V. STABILITE DES EQUILIBRES 

V.1 Equilibre stable 

V.2 Equilibre instable 

V.3 Equilibre indifférent 

V.4 Remarque 

EQUILIBRE DES SOLIDES SUR UN PLAN 

2

I. MOMENT D’UN VECTEUR 

I.1 Rappel du produit vectoriel 

Soient 2 vecteurs U et V de composantes respectives (U 1 , U 2 , U 3 ) et (V 1 , V 2 , V 3 ) dans un 

repère orthonormé direct ( 0, e 1 

,e 2 

, e 3 

). 

Le produit vectoriel de U et V est un vecteur W noté 

trièdre( U ,V, W) 

soit direct. Les composantes du vecteur W sont : 

W = U ! V tel que le 

W = U " V = 

U 

U 

U 

1 

2 

3 

" 

V 

V 

V 

1 

2 

3 

= 

U 

U 

2 

3 

1 

V 

V 

3 

1 

2 

! U 

! U 

3 

1 

2 

V 

V 

2 

U V ! U V 

3 

1 

Propriétés du produit vectoriel : 

• Le produit vectoriel est nul si et seulement si : 

- l’un des vecteurs est nul 

- les deux vecteurs sont parallèles 

• W est perpendiculaire au plan formé par U et V 

• La norme du produit vectoriel est W = U.Vsin(U, V) 

. La nome du produit 

vectoriel est égale à l’aire du parallélogramme avec U et V 

• U ! V = " V ! U 

W 

V 

U 

I.2. Moment d’un vecteur par rapport à un point. 

3

Soient AB un vecteur et O un point quelconque de l’espace. 

Le moment du vecteur AB par rapport au point O, noté (AB) ou bien M(O,AB) 

est le produit vectoriel de OA et de AB 

M O 

(AB) = M(O,AB) = OA ! AB 

Par définition du produit vectoriel, M O 

(AB) 

est perpendiculaire au plan (O,A,B) 

Son sens est tel que le trièdre ( OA, 

AB, M 

o 

(AB)) 

soit direct comme ( i , j, k) 

Son intensité est M O 

(AB) = OA . AB sin( OA, AB) = OH . AB 

H est le pied de la perpendiculaire issue de O à la droite d’action de AB . 

M O 

M O (AB) 

O 

(OA,AB) 

B 

A 

H 

Le produit vectoriel de deux vecteur est nul si et seulement si : 

- L’un des vecteurs est nul 

- Les deux vecteurs sont colinéaires 

En conséquence, si O se trouve sur la droite d’action du vecteur AB , alors M O 

(AB) = 0 

A 

B 

O 

I.3. Moment d’un vecteur glissant sur un axe 

4

Soient deux vecteurs 

module, et O un point de l’espace : 

AB et A' B' de même sens, de même support, de même 

AB = A' B' . 

M O (AB) 

M 

M 

O 

O 

O 

(A' B') = OA' ! 

= OA ! 

(A' B') = M 

A' B' 

A' B' 

= OA ! AB 

O 

H 

(AB) 

= 

A 

( OA + OA' ) 

+ A' 14243 B' ! AB 

0 

! 

B 

A' B' 

A’ 

B’ 

Le moment d’un vecteur glissant le long d’un axe par rapport à un point reste constant. 

En module, ce moment est égal au produit de OH et de AB . 

I.4. Théorème de Varignon. 

B 2 

A 1 

B 1 

A 2 

A i 

B i 

O 

A n 

B n 

On considère : 

5

- un système de vecteurs à support concourant en un point O de 

l’espace { A1 

B1, 

A 

2B2 

,A 

3B3 

,...,A i 

B i 

,...A n 

B n 

} 

- A un point quelconque de l’espace. 

On se propose de calculer le moment résultant de ce système de vecteurs par rapport à 

un point A. 

Le moment résultant de ce système de vecteurs est : 

n 

" 

i= 

1 

n 

! 

i= 

1 

n 

! 

i= 

1 

n 

! 

i= 

1 

n 

! 

i= 

1 

M (A B ) = AA ! A B + AA ! A B + .... + AA ! A 

M 

A 

A 

M 

M 

M 

A 

A 

i 

(A B ) = 

A 

i 

i 

i 

i 

i 

n 

! 

i= 

1 

1 

AA 

(A B ) = 

(A B ) = 

i 

i 

(A B ) = AO " 

i 

i 

n 

i 

1 

1 

" A B 

i 

i 

n 

!( AO + OA 

i) 

i= 

1 

! AO " A 

iBi 

+ ! 

i= 1 i= 

1 

n 

! 

i= 

1 

A B 

i 

i 

n 

2 

2 

2 

" A B 

OA 

i 

" A 

iBi 

144 

2443 

0 

Si R est la résultante générale du système de vecteurs 

n 

" 

i=1 

M 

A 

(A 

iBi 

) = AO ! R 

i 

i 

n 

n 

B 

n 

A , on écrit : 

Pour un système de vecteurs à support concourant, le moment résultant par rapport à un 

point quelconque de l’espace est égale au moment de la résultante générale = ! A B i i 

rapport à ce même point. 

I.5. Moment d’un vecteur par rapport à deux points. 

On considère un vecteur AB et deux points quelconque O et O’ de l’espace. 

Le moment du vecteur AB par rapport à O’ est : 

M 

M 

M 

O' 

O' 

O' 

(AB) = 

(AB) = 

O' A 

! AB 

( O'O ! OA) 

! AB 

(AB) = O'O ! AB + OA ! AB 

M 

O ' 

(AB) = M 

O 

(AB) + O'O ! AB 

B i i 

n 

R 

i= 

1 

par 

6

I.6. Moment d’un vecteur par rapport à un axe 

Soient : 

- (!) un axe, 

- O un point de (!), 

- u un vecteur unitaire de cet axe 

On appelle moment d’un vecteur AB par rapport à un axe (!), la projection orthogonale 

du moment de AB , par rapport à O, sur l’axe (!, u ). 

M 

(!) 

(AB) = M 

O 

(AB).u 

Le moment d’un vecteur par rapport à un axe est un scalaire alors que le moment d’un 

vecteur par rapport à un point est un vecteur. 

M O (AB) 

M ! (AB) 

O 

A 

B 

II-NOTION DE TORSEUR. 

II.1. Définition 

On appelle torseur [T] un système de vecteurs libres : 

[ T] = { V 

1,V2 

,V3 

,.....V i 

,....., V n 

} 

II.2. Eléments de réduction d’un torseur 

L’exemple typique de torseur est un système de forces. 

Un système de forces fait mouvoir un objet. Les mouvements possibles d’un objet soumis 

à un système de forces sont : 

• Un mouvement de translation dû à la résultante générale des forces 

• Un mouvement de rotation dû au moment résultant de ces forces 

• Un mouvement de translation et de rotation combinés. 

Ainsi, un torseur [T] se réduit à la résultante générale des forces R [T] 

et au moment 

résultant M O 

[T] 

en un point quelconque O de ces forces. On écrit : 

7

! $ R[T] 

[T] = # 

!" M 

O[T] 

II.3. Torseurs équivalents. 

sont : 

Soient deux torseurs [T 1 ] et [T 2 ] donnés en un point P, dont les éléments de réduction 

! $ R [T ] 

! $ 

1 1 

R[T2 

] 

[T1 

] = # et [T2 

] = # 

!" M 

P 

[T1 

] 

! " M 

P[T2 

] 

Les deux torseurs sont équivalents si et seulement si 

R[T1 ] = R[T2 

] et M 

P[T1 

] = M 

P[T2 

] 

! $ R[T1 

] = R[T2 

] 

[T1 

] & [T2 

] % # 

!" M 

P[T1 

] = M 

P[T2 

] 

II.4. Théorème des moments (moment de [ T ] en 2 points O et O / ) 

Soit [T] un torseur : 

{ A1B1, 

A 

2B 

,...., A i 

B i 

,...., A n 

B n 

} 

[ T] = 

2 

Le moment de [T] en O / est : 

O 

= / 

/ 

/ 

O A 

i 

A 

iBi 

%' O O OA 

i " $ 

( ! = ( + ! A 

iBi 

= O O ! A 

iBi 

+ 

i 

i 

& # 

( ( 

i 

i 

M / [T] 

OA ! A B 

/ 

M [T] = M 

O[T] 

+ O O ! R[T] 

O / 

II.5. Torseurs élémentaires 

a) Torseur nul. Le torseur nul est un torseur dont la résultante générale est nulle et 

le moment résultant nul. 

! $ 0 

[ 0] = # 

!" 0 

b) Couple. Un couple est un torseur dont la résultante générale est nulle et le 

moment résultant non nul. 

! $ R[C] = 0 

[C] = # 

!" M 

P[C] 

% 0 

i 

i 

i 

III. CENTRE DE GRAVITE D’UN SOLIDE 

III.1 Système discret 

8

On considère un système de points matériels M i de masse m i : 

{M 1 (m 1 ), M 21 (m 2 ),…., M i (m i ),…, M n (m n )} 

G est le centre de gravité de système de points si et seulement si : 

n 

! 

i= 

1 

m GM 

i 

i 

= 0 " m1 GM1 

+ m 

2 

GM 

2 

+ .... + mi 

GM 

i 

+ ... + m 

n 

GM 

n 

= 0 

En prenant un point O quelconque de l’espace, on a : 

n 

! mi 

GM 

i 

= 0 " ! m 

i= 1 i= 

1 

n 

i 

( OM 

i 

# OG) 

M est la masse totale du système. 

= 0 " OG = 

n 

! 

i= 

1 

m OM 

n 

! 

i= 

1 

i 

m 

i 

i 

= 

n 

! 

i= 

1 

m OM 

G est le centre de gravité du système de points M i de masse m i , si G est le point où 

semble être concentrée toute la masse du système. 

i 

M 

i 

III.2 Système continu 

z 

M 

dV 

O 

y 

x 

Soit un solide homogène de masse volumique ". Considérons un point M contenu dans un 

volume infinitésimal dv de masse "dv. 

G est le centre de gravité du solide si et seulement si : 

OG = 

!!! 

!!! 

OMdm 

= 

dm 

!!!" 

!!! 

OMdv 

" dv 

Les coordonnées x G , y G et z G sont données par : 

9

x G 

y G 

z G 

= 

= 

= 

!!! 

!!! 

!!! 

!!! 

!!! 

!!! 

" xdv 

" dv 

" ydv 

" dv 

" zdv 

" dv 

IV. CONDITIONS D’EQUILIBRE 

IV.1 Cas général 

En dynamique, la théorie de l’inertie (les deux lois de Newton) dit que : si la résultante 

des forces est nulle, 

- le corps matériel reste au repos, s’il était au repos 

- il est en mouvement uniforme, s’il était déjà en mouvement. 

Cette théorie de l’inertie reste aussi valable pour les objets en mouvement de rotation. 

Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour qu’un solide est en équilibre statique est 

que le torseur des efforts (forces extérieures) soit égal au torseur nul [0] : 

! $ R[T] = 0 

[T] = [ 0] 

% # 

!" M 

P[T] 

= 0 

IV.2 Cas particulier : les forces sont parallèles 

Soient { i 

, V i 

} 

A un système de vecteurs parallèles, 

e le vecteur unitaire commun à tous ces vecteurs liés 

S = ! V i 

, la résultante générale 

i 

Considérons un point O arbitraire de l’espace. On a : 

' $ 

M 

O 

(A 

i 

, V 

i 

) = ( OA 

i 

! Vi 

= %( 

Vi 

OA 

i " ! e 

i 

& i # 

" OA ! V = i 

SOK , K est le barycentre des A i i affectés des mesures algébriques V i 

i 

(centre de gravité { A i 

, V i 

}) 

Il vient : 

M 

O 

(A 

i 

, V 

i 

) = SOK ! e = OK ! e 

10

Le moment d’un système de vecteurs parallèles est le même que celui d’un vecteur ( K ,S) 

V 1 

A n 

A 2 

K A i V n 

A 1 

S 

V i 

V 2 

Quand deux ou plusieurs forces parallèles sont appliquées à un solide, elles peuvent 

être remplacées leur résultante générale placée au centre de gravité du solide. 

La somme des moments des forces en un point O quelconque de l’espace est égal au 

moment de la résultante générale appliquée au centre de gravité du solide. 

y 

F 1 

F 

F 2 

x 

Prenons un exemple simple 

pour illustrer cela. 

Soient 2 forces 

parallèles 

F 1 

et F 2 

appliquées à un 

tronçon de bois de poids 

négligeable par rapport à ces 

deux forces. 

z 

x 1 

x r 

x 2 

La force F 1 

est appliquée 

à l’abscisse x 1 ; la force F 

2 

est 

appliquée au point d’abscisse x 2 . 

La résultante générale de ces 

deux forces est appliquée au 

point d’abscisse x r . 

On a la relation 

x r 

F = F x + F 

! 

1 1 2x 

2 

11

V. STABILITE DES EQUILIBRES 

On distingue trois catégories de stabilité de l’équilibre d’un objet : 

V.1 Equilibre stable. 

Considérons un objet en équilibre. Avec une « faible impulsion », nous essayons de 

déséquilibrer cet objet. L’équilibre est stable si : 

- Le moment résultant des forces appliquées à ce système ou 

- La résultante générale des forces 

tendent à faire revenir cet objet à sa position initiale. 

Sur la figure ci-dessous, une bille est placée dans un récipient demi sphérique. Si on 

applique une petite impulsion sur la bille, elle se déplace mais elle va toujours revenir à sa 

position initiale 

De même pour la brique représentée ci-dessous, si on la soulève avec une force qui n’est 

pas tellement grande, elle va toujours revenir à sa position d’équilibre. 

G 

G 

V.2 Equilibre instable. 

12

Si on pousse avec une « faible impulsion » une règle en équilibre sur une de ses petites 

faces, le moment exercé par son poids par rapport au point A tend à faire tourner la règle et 

elle tombe. L’équilibre est instable. 

P 

P 

A 

A 

L’exemple suivant illustre aussi un équilibre instable. Une bille est en équilibre sur une 

demi sphère. Si la bille reçoit une petite impulsion, la bille est attirée par son poids pour 

s’écarter de la position d’équilibre précédente. 

V.3 Equilibre indifférent. 

13

Considérons une demi boule en équilibre sur une table horizontale. Si on lui applique une 

impulsion plus ou moins importante, la boule va effectuer un mouvement de rotation, mais elle 

va toujours revenir à sa position d’équilibre initiale après avoir effectuer quelques oscillations. 

Un tel équilibre s’appelle, équilibre indifférent. 

V.4 Remarque. 

La terminologie « faible impulsion » est relative. De même le terme équilibre est aussi 

relatif. Un équilibre peut être plus ou moins stable par rapport à un autre. L’exemple cidessous 

nous montre que si l’impulsion qu’on applique à la règle (a) produit une faible rotation 

(b) de telle sorte que le centre de gravité de l’objet se projette sur sa base, la règle retourne à 

sa position d’équilibre précédente. Mais si l’impulsion est un peu plus grande (c), le centre de 

gravité se projette en dehors de la base de la règle, cette dernière est instable. 

(a) (b) (c) 

Dans le cas ci-dessous on constate que l’équilibre est beaucoup plus stable si le centre de 

gravité du solide se trouve beaucoup plus bas. Avec une même force appliquée aux deux 

règles décrites sur la figure ci-dessous produisant un même inclinaison, la règle (b) est moins 

stable que la règle (a) car la projection de son centre de gravité peut sortir facilement de la 

base de la règle. 

14

Centre de gravité 

Centre de gravité 

Unité 3 

Lecture appropriée 2 

Statique du solide tirée de « http://fr.wikipedia.org/wiki/Statique_du_solide » 


Aller à : navigation, Rechercher 

La statique du solide est la branche de la statique étudiant l'équilibre des pièces dans un 

mécanisme. C'est un maillon essentiel dans le dimensionnement des systèmes mécaniques 

réels. 

Sommaire 

[masquer] 

• 1 Statique du point et statique du solide. 

• 2 Statique du solide dans les problèmes plans. 

o 2.1 Modélisation 

! 2.1.1 Degrés de liberté 

! 2.1.2 Efforts transmissibles 

! 2.1.3 Liaisons mécaniques 

! 2.1.4 Méthode graphique. 

15

! 2.1.5 Moments et couples de forces. 

o 2.2 Etude de cas, résolutions 

! 2.2.1 Cas d'équilibre à 2 forces. 

! 2.2.2 Cas d'équilibre à 3 forces. 

! 2.2.3 Cas d'équilibre à 2 forces et un couple. 

• 3 Cas des liaisons mécaniques avec frottement 

• 4 Statique du solide dans les problèmes à 3 dimensions. 

o 4.1 Formalisme des torseurs 

! 4.1.1 Le torseur d'action mécanique 

! 4.1.2 Exemples d'actions mécaniques représentées par des torseurs. 

o 4.2 Résolution de problème de statique 3D. 

! 4.2.1 Application du principe fondamental de la statique. 

! 4.2.2 Résolution du système d'équations. 

• 5 Voir Aussi 

Statique du point et statique du solide. [modifier] 

Les simplifications de la mécanique du point reposent sur le fait que le point est invariant par 

rotation, et que toutes les forces sont appliquées au point matériel. Alors les forces suffisent 

modifier sa position. Pour les solides, constitués d'une infinité de points matériels, les 

déplacements possibles, appelés aussi degrés de liberté, sont de deux natures: translations (3 

directions principales) et rotations (autour de ces trois directions). Alors que les translations ne 

peuvent être provoquées que par des forces, les rotations sont générées par des moments de 

ces forces, ou autres couples de force. Quand l'équilibre d'un point ne nécessite 

l'établissement que de 3 relations algébriques (équation vectorielle des forces à 3 dimensions), 

celui du solide demande alors la considération de 3 équations supplémentaires (équation 

vectorielle des moments). Le principe fondamental de la statique peut donc se compose alors: 

1. du théorème de la résultante (somme des forces nulle). 

2. du théorème du moment (somme des moments nulle). 

L'étude de l'équilibre d'un solide nécessite toujours la considération de ces 2 théorèmes, 

même si certains cas simples, traités en mécanique du point, semblent être résolus avec une 

seule des 2 parties. En règle générale, il n'est pas possible de traiter séparément les deux 

aspects (forces et moments): il s'agit bien d'un problème complexe à 6 dimensions. 

D'autre part, la statique du solide, et plus généralement des mécanismes, prend en 

considération les efforts transmissibles dans une liaison mécanique. L'étude de ces liaisons 

16

donne a priori et sans équivoque certaines caractéristiques des forces et moments des actions 

entre solides. L'objectif étant la détermination complète de tous ces efforts inconnus. 

Statique du solide dans les problèmes plans. [modifier] 

Modélisation [modifier] 

Degrés de liberté [modifier] 

Dans de nombreux problèmes les forces impliquées sont coplanaires. C'est à dire qu'il existe 

un plan vectoriel (x,y) dans lequel on peut observer ces forces en vraie grandeur. Dans ce cas 

les solides étudiés sont aussi considérés prisonniers de ce plan: leurs degrés de liberté sont 

au nombre de 3: 

• translation suivant la direction x. 

• translation suivant la direction y. 

• rotation autour de la direction z. 

C'est par exemple le cas du système bielle-manivelle en vue de bout de manivelle, du train 

que la vache regarde passer, du mécanisme d'une montre, etc... 

Efforts transmissibles [modifier] 

Dans ce cadre, les seuls efforts à considérer sont: 

• les forces dans le plan (x,y) 

• les moments autour de z. Ce qui autorise une représentation scalaire du moment d'une 

force. 

17

L'objectif de la mécanique est la détermination de tous les efforts appliqués à un système, à 

partir de la connaissance d'une partie d'entre eux. En ce qui concerne les mécanismes, il s'agit 

en plus de connaître les charges subies dans toutes les liaisons. Le mécanicien n'a a priori 

aucune information sur la disposition réelle de ces efforts. Cependant, pour chaque liaison, 

dont on connait le comportement, certaines composantes (forces ou moments) sont nulles ou 

au contraire transmissibles. C'est ainsi qu'on peut dire que la réaction d'un support plan sur un 

pavé est une force obligatoirement perpendiculaire au contact s'il n'y a pas de frottement. 

Lorsque l'étude est terminée, on peut décrire chaque effort de liaison qui devient alors l'effort 

effectivement transmis. 

Liaisons mécaniques [modifier] 

Sous l'hypothèse de problème plan, les 10 liaisons mécaniques élémentaires étant affectées 

d'une suppression de degrés de liberté, ne sont plus que 3: 

• la liaison ponctuelle qui supprime une translation. 

• le pivot (ou articulation) qui supprime les deux translations. 

• la glissière qui ne laisse qu'une translation. 

Si elles sont parfaites, alors nous disposons d'informations supplémentaires sur les efforts 

transmissibles dans ces liaisons, à savoir: 

• ponctuelle: point d'application et droite d'action connus; intensité dépendant des autres 

efforts. 

• pivot: droite d'action passant nécessairement par le centre. Intensité et direction à 

déterminer. 

• glissière: direction connue (perpendiculaire à la translation autorisée). Intensité et point 

d'application à déterminer. 

Ces données sont à inscrire dans le bilan des forces extérieures à un solide. L'étude aboutira 

à l'identification de toutes les forces effectivement transmises (incluses dans l'ensemble des 

forces transmissibles) à savoir, pour chaque force, son point d'application, sa droite d'action, 

son sens et son intensité. 

Méthode graphique. [modifier] 

Pour ces problèmes la résolution par méthode graphique s'avère à la fois plus rapide, 

souvent bien plus simple, et finalement très précise (moins de 5% d'erreur par rapport à la 

résolution analytique). La résolution analytique de tels problèmes repose sur une exploitation 

de la géométrie et la manipulation d'outils mathématiques plus complexes; seulement, à partir 

de l'étude d'une seule position, on peut espérer écrire une loi générale sur l'ensemble des 

positions. Les logiciels de calcul donnent évidemment tous ces résultats instantanément; faut-il 

encore saisir le modèle: aujourd'hui avec les outils de CAO, le même modèle est utilisé pour la 

conception, les calculs, les mises en plan, le prototypage etc. 

Les paragraphes suivants sont écrits dans cette hypothèse de problème plan. 

18

Dans ce contexte, les efforts inconnus (ou connus) sont représentés par des vecteurs force 

appliquée en un point. Ce qui amène à considérer pour chaque cas: 

• un point d'application 

• une direction (donc une droite d'action) 

• une intensité (orientée sur la droite d'action) 

L'étude n'est terminée que si ces trois items (point, droite et vecteur) sont définis pour chaque 

force. Quelques rares cas ne demanderont pas une étude complète. 

Parfois le problème comprend un effort de type couple; alors la résolution est partiellement 

analytique. 

Moments et couples de forces. [modifier] 

Sous l'hypothèse de problème plan, l'expression du moment peut être modifiée. On ne 

considère plus les rotations autour d'un axe mais seulement dans la direction Z soit en fait 

autour d'un point (c'est à dire autour d'un axe de direction Z passant par le point considéré). 

Une seule composante étant non nulle, la représentation vectorielle devient scalaire. 

Le moment d'une force. 

L'équilibre d'un solide signifie qu'il ne bouge pas (dans un référentiel donné) soit: 

• aucune translation 

• aucune rotation autour de quelque point (ou pivôt) que ce soit. 

On peut alors considérer la capacité d'une force à faire tourner le solide autour d'un point 

donné. Cette grandeur est appelée moment de force. Il n'y a pas nécessité de pivot réel. Ce 

moment dépend de plusieurs facteurs : l'intensité de la force, les positions relatives de la force 

et du point. 

19

M(F)= +/- d.F (en N.m) où d bras de levier, est la distance (minimale) entre le point et la droite 

d'action de la force. le signe est apprécié suivant que la force tend à faire tourner dans le sens 

direct (x vers y) ou indirect (y vers x). Avec d'autres modèles tels que le torseur, le choix du 

signe ne se pose pas; il est directement déduit des calculs, et son sens est lié à l'orientation de 

l'espace (trièdre direct). 

Il est intéressant de voir à présent les cas de nullité du moment d'une force. De l'équation cidessus, 

on en déduit aisément deux : 

• La force est nulle. Sans intérêt puisqu'il n'y plus de force. 

• la distance d est nulle : ce qui signifie que le point de pivot se trouve sur la droite 

d'action. Cette propriété géométrique sera exploitée par la suite. 

Couple de forces. Couple. 

Si 2 forces opposées (donc de même intensité), s'appliquent sur un même corps suivant deux 

droites d'action distinctes (donc strictement parallèles) et distantes de d, on imagine sans mal 

que ces forces se compensent, cependant l'équilibre du corps semble ne pas être assuré. 

Cette disposition est appelée couple de forces. Pour vérifier cela, en appliquant la méthode 

vue ci-dessus, calculons la somme des moments de ces 2 forces, en différents points de 

l'espace. 

Dans tous les cas cette somme a une même valeur C = - d.F . On appelle couple cette valeur 

indépendante du point de pivot considéré. Derrière l'appellation couple, les forces 

disparaissent (puisque elles se compensent). En réalité, dans la nature, un couple (sans 

forces pour le générer) n'existe pas. L'intérêt du couple est cette résultante nulle. Chacun aura 

fait l'expérience de desserrer une roue de voiture avec une manivelle (force unique et moment 

de force par rapport à l'axe de la vis) qui ripe facilement, ou avec une croix (2 forces opposées 

qui forment un couple) assurant non seulement une plus grande intensité de desserrage mais 

aussi une meilleure stabilité de l'outil. Dans un moteur électrique, le bobinage est tel qu'il 

existe toujours deux "bouts de fil" symétriquement disposés par rapport à l'axe de rotation et 

parcourus par des courants induisant deux forces de Laplace opposées, soit un couple 

élémentaire. 

20

Plus généralement un couple est la somme non nulle de moments de forces dont la résultante 

s'annule. Pour la suite, chaque couple annoncé ne fera plus apparaître les forces qui le 

génèrent. 

Voir aussi couple (physique). 

Etude de cas, résolutions [modifier] 

Cas d'équilibre à 2 forces. [modifier] 

Ce cas élémentaire permet de montrer comment un problème de statique ne dissocie pas 

forces et moments. Non seulement l'étude permet la détermination de l'ensemble des forces, 

mais aussi les conditions géométriques de l'équilibre. Pour cette étude de cas, comme pour 

les suivantes, le principe fondamental de la statique nous donne les relations suivantes: 

• aucun mouvement de translation possible: somme des forces extérieures nulle. 

• aucun mouvement de rotation possible: somme des moments des forces extérieures 

nulle (moments calculés en un même point qui peut être choisi arbitrairement). 

Soit l'étude d'un pendule: la figure 1 ci-dessous donne une position quelconque. L'objectif est 

la détermination des conditions d'équilibre. le bilan des actions extérieures nous donne: 

• le poids appliqué au centre de gravité de valeur connue. 

• le pivot (ou articulation) parfait en A. la droite d'action passe par l'axe, mais est de 

direction inconnue. 

21

L'équation d'équilibre relative aux forces donne donc: 

Ce qui définit l'action dans 

le pivot de façon univoque, les deux forces formant alors un couple. La position proposée 

(figure 2) n'est donc pas une position d'équilibre. 

L'équation des moments, par exemple calculée au point A, nous donne: 

soit 

Ce qui revient à dire que A appartient à la droite d'action du poids. Nous aurions abouti à la 

même conclusion, peut être plus difficilement, en calculant les moments en n'importe quel 

point. En règle générale, le point de calcul des moments doit être choisi sur un critère de 

simplicité de calcul. Ici A ou G (centre de gravité) assurent l'annulation d'un des moments de 

force. 

De ce fait les seules positions d'équilibre sont celles ou le pendule est vertical, en dessous 

(position stable) ou au dessus de l'axe (position instable). 

En résumé: Pour qu'un solide soumis à deux forces soit en équilibre: 

• les deux forces sont opposées (équation vectorielle des forces) 

• même droite d'action pour les deux forces (équation du moment) 

Pour la résolution graphique d'un problème de statique ces conditions géométriques sont 

équivalentes à l'énoncé du principe fondamental de la statique. 

Cas d'équilibre à 3 forces. [modifier] 

C'est certainement le cas le plus fréquent dans les mécanismes peu hyperstatiques. 

Comme dans l'étude précédente, l'application simultanée des 2 théorèmes permet de 

déterminer à la fois les forces mais aussi leur disposition. 

Considérons le cas de la poussette maintenue dans une descente par le seul frein sur la roue 

avant, la roue arrière étant libre. Seul le poids de la poussette est connu. 

22

Modélisation du problème 

Un premier bilan des actions extérieures fait état de: 

• poids appliqué au centre de masse G. Donné. 

• l'action du sol sur la roue avant, appliquée au point A.Direction inconnue. 

• l'action du sol sur la roue arrière, appliquée au point B. Une étude préliminaire (équilibre 

de la roue arrière seule) montrerait (cas précédent d'un solide sousmis à 2 forces) que 

cette action est forcément perpendiculaire au sol (y compris avec la considération de 

frottement au contact du sol et à condition que le pivot de roue soit parfait). 

Il semble difficile d'établir la somme nulle des forces puisque deux d'entre elles sont 

inconnues. Toutefois on peut écrire: 

. Géométriquement cela se traduit par 

la construction d'un triangle fermé, dont un seul coté est pour l'instant parfaitement défini. 

Au moins deux droites d'action sont ici connues: celles de l'action en B et du poids. Elles 

concourent en un point qu'on notera K. Leurs moments respectifs en K sont donc nuls. Si on 

applique le théorème en ce point K, on obtient: 

soit 

d'où 

Nécessairement K appartient à la droite d'action en A. Ce qui revient à dire que les trois 

droites sont concourantes en K. On connait désormais la direction de la droite d'action en A. 

23

Revenons à la première équation; il est possible alors de construire le triangle. En traçant en 

premier le poids connu, on reporte à chaque extrémité une droite respectivement parallèle aux 

droites des deux autres actions. Le triangle se forme alors et le relevé des longueurs des cotés 

donne le résultat. Cette méthode impose même le sens des actions mécaniques. Il resterait à 

vérifier que l'action en A satisfait les lois de Coulomb sur le frottement pour valider l'équilibre. 

En résumé: pour un système soumis à 3 forces extérieures, dont 2 concourantes: 

• les vecteurs force forment un triangle fermé (équation des forces) 

• toutes les droites d'action sont concourantes. 

Si les deux droites connues n'avaient pas été concourantes, alors elles auraient été parallèles. 

Ce qui revient au cas du levier donné plus haut. Dans le cas de force parallèle un calcul est 

nécessaire (relatif à l'écriture des moments) pour déterminer une relation entre les intensités 

des forces. 

Cas d'équilibre à 2 forces et un couple. [modifier] 

Si un solide est soumis à deux forces (de point et droites d'actions distincts), et un couple de 

force (donc action de force résultante nulle), de l'équilibre selon le principe fondamental de la 

statique découlent les conséquences suivantes: 

• les deux forces sont opposées et constituent donc un couple de forces. 

• les deux couples de forces s'annullent. 

Par exemple, une dynamo actionnée par une manivelle: les bobinages induisent un couple 

dont l'intensité est en rapport avec le courant électrique généré. L'action sur la manivelle, qui 

dans le cas le plus favorable, est circonférentielle (tangente au cercle décrit par la main). 

Enfin, la manivelle est liée au bâti par un guidage suivant un liaison pivot dont la force 

transmissible est appliquée sur l'axe. De la première relation on déduit la direction de l'action 

du palier, qui tourne avec la main; de la deuxième on établit alors la relation entre l'action du 

pousseur et le couple d'origine électrique. 

Cas des liaisons mécaniques avec frottement [modifier] 

Le frottement a une influence sur le comportement statique des liaisons mécaniques. Certains 

modèles comme les lois de Coulomb décrivent se comportement. De ce fait, même si celà 

complique le problème, non seulement ça n'induit pas d'inconnue statique supplémentaire, 

mais dans certains cela en diminue le nombre. 

Enfin la considération du frottement est parfois obligatoire pour la résolution d'un problème, 

comme par exemple l'équilibre d'une échelle, ou le dimensionnement d'un embrayage. 

Statique du solide dans les problèmes à 3 dimensions. 

[modifier] 

24

C'est par exemple, le cas d'un arbre participant à un engrenage à denture hélicoïdale, un 

système de renvoie d'angle, ou pourquoi pas un pédalier de bicyclette quand on s'intéresse 

aux conséquences de pédales trop écartées. 

Formalisme des torseurs [modifier] 

Le torseur propose une écriture globale et unifiée des efforts (forces et moments) qui 

s'exercent sur un système (généralement un solide). De tels torseurs sont généralement 

nommés torseurs des efforts. Ce formalisme est certes lourd à manipuler à la main et 

gourmand en papier, mais il permet la résolution systématique de problèmes de mécanique 

statique et se prête bien à la modélisation et au traitement informatique. De part sa forme 

analytique, il donne autorise surtout une modélisation paramétrée d'un problème, ce qui donne 

accès par exemple à toutes les positions d'un mécanisme, contrairement à l'étude graphique 

plus rapide, mais qui doit être refaite pour chaque cas. 

Une force est parfaitement définie quand on connaît le vecteur force (appelée aussi résultante) 

et le point d'application (où son moment s'annule). La notion d'effort, en particulier les efforts 

de liaison, est bien plus large, et le torseur permet la description de tous les cas. 

Le torseur d'action mécanique [modifier] 

Le torseur d'effort, dans sa forme développée donne ces éléments de réduction à savoir: 

• la résultante sans précision de point d'application. C'est la somme vectorielle des 

actions élémentaires de contact ou à distance. 

• le moment par rapport à un point arbitrairement choisi. C'est la somme vectorielle des 

moments des forces élémentaires de contact ou à distance. Sauf cas particuliers, le 

moment du torseur n'est pas le moment de la résultante (par exemple le torseur couple 

possède une résultante nulle et un moment non nul). C'est sur cette nuance que 

reposent les principales difficultés de la modélisation d'efforts par les torseurs. 

Il faut considérer 3 niveaux d'écriture de torseur: 

• écriture globale: sans distinction de point; Le torseur est l'association de 2 

champs de vecteurs sur l'espace (tous les points). La relation de Varignon est donc 

"intégrée" à cette notation. On n'utilise cette notation qu'au moment du bilan des actions 

mécaniques ou dans le cadre d'explicitation de réaction. 

• éléments de réduction: force ou résultante et moment exprimé en un point 

(arbitrairement choisi) 

. On utilisera cette forme pour définir en préambule la 

disposition particulière des actions mécaniques. Il est possible d'effectuer la somme de 

torseurs à ce niveau. Les moments de tous les torseurs doivent alors être exprimés 

au même point. 

• composantes des éléments de réduction explicitées dans une même base, avec 

point particulier pour le moment. Présenté sous forme de matrice (souvent 3 lignes, 2 

25

colonnes), cet outil permet d'effectuer simultanément les sommes de forces et de 

moments (exprimés au même point). Ces composantes sont autant d'inconnues pour 

les équations à résoudre. 

(1->S) en M : 

Exemples d'actions mécaniques représentées par des torseurs. [modifier] 

• Force appliquée sur S au point A dans la direction x:(F->S) (même forme en tout point 

de la droite d'action): 

• Couple autour de la direction x:(C->S) en TOUT POINT M : 

• Liaison ponctuelle en A suivant Y:(1->S) en A : 

• Liaison pivot d'axe (B,x):(1->S) (même forme en tout point de l'axe) : 

• Torseur de cohésion à l'absice x d'une poutre (action du tronçon[x,L] sur le tronçon[0,x]) 

en G(x) : 

Ce torseur effort représente les efforts transmis à travers la section S(x) d'une poutre. Il est 

calculable en isolant la partie amont (tronçon[0,x]). Il est toujours défini au centre d'inertie G(x) 

de la section considérée S(x). Artifice de calcul utilisé en résistance des matériaux. Ainsi les 

efforts subis à l'intérieur de la pièce deviennent extérieur pour le tronçon isolé, permettant 

l'application du principe de la statique. 

26

Résolution de problème de statique 3D. [modifier] 

Avec le formalisme des torseurs, le principe fondamental de la statique (PFS) s'exprime de 

la manière suivante 

Soit 

Si un système matériel est en équilibre sous l'effet d'actions mécaniques modélisées 

par les torseurs ; ; …, alors la somme de ces 

torseurs est égale au torseur nul. 

Attention ! La réciproque (somme des torseurs nulle équilibre) est vraie pour 

les solides mais pas forcément pour les systèmes déformables. Dans beaucoup 

d'ouvrages, le principe fondamental de la statique est écrit à l'envers. 

Cette relation se généralise en dynamique, en définissant un torseur dynamique qui réunit, 

sur le même principe, l'accélération et le moment dynamique d'un solide dans un même objet 

mathématique. Les lois du mouvement de Newton permettent alors d'écrire les relations qui 

relient le torseur dynamique aux torseur des efforts extérieurs. 

Ecrite dans la forme la plus développée, l'équilibre du système donne 6 équations dont les 

inconnues sont les composantes de chaque torseurs d'actions extérieures. 

Application du principe fondamental de la statique. [modifier] 

La résolution d'un problème de statique ne diffère pas beaucoup des autres méthodes. 

1. Inventaire des actions extérieures: chaque action est définie par ses éléments de 

réduction avec toutes les propriétés particulières explicitement écrites (directions, point 

particulier...) 

2. Transports des moments: C'est l'étape la plus délicate surtout si le problème est 

complexe. Il faut choisir un point qui permette l'écriture la moins compliquée pour les 

moments. Ceci dit, n'importe quel point fait l'affaire. L'expérience est seule conseillère 

en la matière. Dans le cas d'un problème classique, on choisira le point de définition du 

torseur de liaison le plus complet, ou un point de concours d'axes de liaisons. 

3. Equations d'équilibre: les 6 équations alors données par le principe fondamental de la 

statique peuvent être posées. Il en résulte un système d'équations dont les inconnues 

sont: 

• certaines actions extérieures (celles qu'on veut déterminer). 

27

• les composantes transmissibles dans les liaisons . 

Théorème de la résultante (3 équations) 

Théorème du moment (3 équations) 

Rappel: tous les moments étant exprimés au même point. 

Résolution du système d'équations. [modifier] 

Un problème de statique disposera au mieux d'un nombre d’équations égales à 6 fois le 

nombre de pièces. Malheureusement, l'isolement d'un seul ensemble d'un mécanisme ne suffit 

généralement pas, le nombre d'inconnues de liaisons étant facilement supérieur à 6. Il faut 

donc choisir d'autres sous systèmes afin d'obtenir de nouvelles équations d'équilibre (au 

risque d'ajouter de nouvelles inconnues de liaison); il n'est pas rare d'avoir à résoudre un 

système à 18 voire 24 équations sur un mécanisme simple. Le graphe des efforts est un outil 

d'aide à la décision du choix des systèmes mécaniques à isoler pour obtenir le système le 

moins coûteux en calcul. 

Schéma bilan d'un problème de statique 

Sur l'exemple ci-contre, l'étude de l'équilibre de la manivelle permet d'établir la relation entre le 

couple extérieur et les actions de liaison (6 équations). Ensuite l'"isolement" de l'ensemble 

{bielle+oscillateur} permettra (peut-être) le rapprochement avec F (soit 12 équations). En 

réalité il faudra aussi isoler la bielle (18 équations en tout). De plus ce problème peut 

28

comporter plus d'inconnues que d'équations, et un premier travail consistera à éliminer des 

inconnues de liaison par des considérations de jeu dans les liaisons. L'étude statique des 

mécanismes relève donc de la compétence du constructeur en mécanique qui mêlant à la fois 

connaissances technologiques et physiques. 

Cependant dans de nombreux problèmes (isostatiques), on voit apparaître deux systèmes 

d'équations indépendants: 

• une partie concerne la relation entrée/sortie qui lie les actions motrice et réceptrice 

(souvent une seule équation). Cette partie concerne les efforts fournissant une 

puissance. 

• le reste peut s'appeler équations de liaisons qui renseignent sur les efforts 

(auparavant transmissibles et désormais effectifs) de guidage et qui s'expriment en 

fonction des efforts précédents. La puissance de ces interactions est nulle si les liaisons 

sont parfaites. 

Selon les besoins, il n'est pas nécessaire de résoudre l'ensemble des équations. La méthode 

dite des puissances virtuelles permet de séparer mathématiquement ces deux groupes 

d'inconnues. 

Dans le cas des systèmes hyperstatiques, le nombre d'équations demeure insuffisant. Alors, 

on a recours à l'élimination d'inconnue par des considérations de jeu dans les liaisons, ou 

alors à l'écriture de nouvelles équations en posant l'étude du comportement élastique de 

certaines pièces. 

Unité 3 

Lecture appropriée 3 tirée de 

http://www.ac-poitiers.fr/cmrp/cpge/docs/Coursdemodelisationetdestatique.doc 

La statique est la partie de la mécanique qui étudie l’équilibre d’un système matériel soumis à 

des actions mécaniques. 

1] ACTION MECANIQUE 

Une action mécanique est toute cause susceptible de maintenir un corps au repos, de créer 

ou de modifier un mouvement, de déformer un corps. 

1.1] notion de force 

29

Une force, notée 

1.2] notion de moment 

(E) 

(!) 

r 

F 1 

M 

r 

F 

(!) 

M 1 

r 

F 2 

r 

F est une action mécanique modèlisable par un vecteur lié. Elle est 

caractérisée par : 

- un point d’application : M 

r 

- une direction : ! ou ( M, x M 

) 

r 

x M 

M 

(!) 

- un sens : + x r M 

r 

- une norme : F en newton (N) 

r 

La résultante des forces F i 

appliquées à un système matériel (E) 

r r 

n r 

est : R(F ! E) = " F (a) 

i 

La force ne représente pas toutes les actions mécaniques 

appliquées sur un système matériel. 

r r 

F 1 

et F 2 

ont même direction, même norme mais un sens 

opposé et des points d’application différents. 

r r n r r r r 

On peut écrire : R(F ! E) = " F = F + F = 0 

r M 2 

x A 

M r 

i 

i 1 2 

i= 

1 

M x M 

M 

La résultante des forces est nulle et pourtant il existe bien 

une action mécanique sur (E) : c’est le moment résultant défini au point A par : 

r r n ! r 

M (F ! E) = # AM " F (b) 

A i i i 

i= 

1 

Pour notre exemple, le moment résultant est 

pas nul en un point quelconque A. 

1.3] moment d’une force en un point 

i= 

1 

i 

r r r r 

M (F ! E) = AM ! " F + AM ! 1 2 " F , qui n’est 

A i 1 2 

r 

r r 

Le moment au point A de la force F appliquée au point M, est le vecteur lié M 

A 

(F) défini 

par : 

r r ! r 

M 

A(F) = AM " F (c) unité : le newton mètre (Nm) 

Relation entre le moment d’une force appliquée en M exprimé en deux points différents A 

et B. 

On a : 

r r ! r r r ! r ! ! ! 

" , " et BM = BA+ AM 

M (F) = AM F 

A 

M 

B(F) = BM F 

r r r r r 

! ! ! ! 

d’où : M (F) = (BA + AM ) " F = BA " F + AM " F 

B 

30

donc : 

1.4] premier principe de la statique 

r r r r ! r 

M (F) = M (F) +BA " F (d) 

B 

Une action mécanique est entièrement caractérisée, d'un point de vue mécanique, par le 

torseur d'action mécanique suivant : 

r 

r r 

r 

" $ R(F E) F 

{ T (F E) } 

r r 

! & $ 

" 

! = # ' r 

M 

A %$ 

A(F ! E) ($ = $ 

& 

$ 

# ! ' (e) 

AM F 

A %$ ) ($ 

Le champ des actions mécaniques est bien un torseur car il respecte la loi de changement de 

r r r r ! r 

point de réduction d’un torseur : M 

B(F) = M 

A 

(F) + BA " F . 

Le torseur { T (E 1 ! E 2 )} 

est appelé torseur d’action mécanique de (E 1 ) sur (E 2 ). 

r 

" $ R(E1 ! E ) & 

2 

{ T (E 1 ! E 2 )} 

= # r 

$ 

' 

%$ M 

A 

(E1 ! E 

2) 

($ 

1.5] classification des actions mécaniques 

On en distingue deux sortes : 

- actions mécaniques à distance (de pesanteur, électromécanique, électrostatique…) 

- actions mécaniques de contact (de pression, de contact…) 

A 

A 

2] MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES A DISTANCE 

2.I] Champ de pesanteur 

r 

Le champ de pesanteur est un champ de force qui peut être 

z M 

considéré comme uniforme en tout point d'une région localisée 

(E) de l'espace. 

P 

r r r 

r 

dm La densité de ce champ est notée g avec g = ! g z 

r 

dP 

(g = 9,81 ms -2 à Paris au niveau du sol, z verticale 

r 

r 

ascendante). 

O y 

r r 

r 

x M 

On écrit : dP = g. dm avec dP force élémentaire (en N) qui agit 

sur 

M 

la masse élémentaire dm (en Kg). 

r r r 

En intégrant à la masse totale de (E), on obtient : P = M. g = ! Mgz 

D’où l’écriture du torseur de l’action de la gravité sur (E) : 

r 

$ " g. 

dm ( 

r 

$ + Mgz ( 

& 

P, 

( E) 

& & 

{ T ( g! E) } = % ! ) = % ! 

& 

r 

r ) 

AP g dm AP g dm 

" # . & " # . 

& 

'& 

P, 

E *& 

A ' P ,( ( ) 

E ) * 

A 

31

2.1.1] centre de gravité ou centre d'inertie 

On appelle centre de gravité ou centre d'inertie de l'ensemble matériel (E), le point G 

! ! 

vérifiant l'équation suivante : M. AG = # AP. 

dm , si A point quelconque est amené en G, on 

! r ! 

obtient : M. GG = 0 = # GP. 

dm . 

On a : 

P" 

( E) 

P" 

( E) 

r ! r ! r r r r 

M 

G(g ! E) = $ GP " g.dm = $ GP.dm " g = 0 " g = 0. 

P #(E) 

P #(E) 

D’où le torseur de l’action de la gravité sur (E) peut s’écrire: { T ( E) } 

3] MODELISATION DES ACTIONS DE CONTACT 

3.1] contact d’un fluide sur un solide 

Surface (S) 

g! = 

G 

#" 

$ 

% 

r 

M 

r 

g z& 

' (f) 

0 ( 

! 

La force élémentaire de pression df exercée sur une 

facette de centre M, d’aire ds, de normale n r , par une 

fluide parfait f à la pression p M en M est égale à : 

! r 

df = " p 

M. ds.n 

avec p M en Pascal (P), ds en mètre 

carré (m 2 ) 

Pour une petite surface, on néglige la variation de 

pression due à la variation d’altitude, d’où p M = p = constante. C’est le cas du pneumatique et 

de l’hydraulique. 

r r 

En intégrant sur la surface S, on obtient : F = ! p. S. n 

D’où l’écriture du torseur de l’action du fluide sur la surface S: 

r 

% # p.S.n ) 

' 

{ T (f! 

S) } = & ! r 

' 

* 

' 

# " AP $ p.ds.n 

' 

A ( P , (S) + 

! ! 

Le centre C d’une surface S est défini par : S. AC = # AP.ds , si A point quelconque est 

! r 

amené en C, on obtient : S.CC = 0 = 

On a : 

Solide 

M 

r 

df 

dS 

r 

n M 

Fluide 

! 

# CP.ds . 

P " (E) 

P " (S) 

r ! r ! r r r r 

M C 

(f ! S) = " % CP # p. ds. n = " p % CP. ds. # n = 0 # n = 0 . 

P $ (E) 

P $ (E) 

32

D’où le torseur de l’action du fluide sur la surface S, réduit au centre C de la surface S, 

p. S.n 

T (f! S) = #" 

r 

$ r 

& 

' (g) 

% 0 ( 

peut s’écrire: { } 

3.2] contact entre deux solides 

c 

3.2.1] torseur d’action mécanique de contact 

r 

Tout contact réel entre deux corps à lieu suivant une 

f 

(S 

surface, aussi petite soit-elle. 

2 ) 

p( S1 ! S2 

) 

r 

ds 

fp( S1 ! S2 

) est appelée la densité surfacique de 

(S 1 ) P 

force de contact de S1 sur S2 au point P. 

Son unité : Pa (Pascal) 

1 Pa = 1 N/m 2 

1daN/mm 2 = 10 7 Pa = 10 MPa 

1 bar = 1 daN/cm 2 = 10 5 Pa = 0,1 MPa 

Le torseur de l’action mécanique de contact de S1 sur S2 s’écrit : 

r 

$ " f 

P(S1 ! S 

2 

)ds ( 

& P + (S) 

& 

{ T (S1! 

S 2) 

} = % ! r 

) 

& " AP # f 

P(S1 ! S 

2 

)ds& 

'& 

P+ 

( S) 

*& 

A 

r 

f 

p(S1 ! S 

2 

) 

(S 2 ) 

(S 1 ) 

3.2.2] lois de Coulomb 

r 

np( S1 ! S2 

) 

P 

r 

t ( p 

S S ) # 

1 

! 

2 

Si l’on projette 

r 

f (S 

! S ) sur la normale au plan tangent 

p 1 2 

# au point P à (S 1 ) et (S 2 ) puis sur le plan #, on définit : 

r 

n 

p 

(S1 ! S 

2 

) la densité surfacique normale, ou pression 

surfacique normale, au point P, des forces de contact de (S 1 ) 

sur (S 2 ). 

r 

t 

p 

(S1 ! S 

2 

) la densité surfacique tangentielle, ou 

pression surfacique tangentielle, au point P, des forces de 

contact de (S 1 ) sur (S 2 ). 

énoncé des lois de Coulomb 

r 

r 

premier cas, où il y a glissement entre les deux solides : V( P ! S2 / S1) 

" 0 

r 

r 

t ( p 

S S ) 

1 

! 

2 

est opposée à la vitesse de glissement V( P ! S 2 

/ S 1 

) . 

r r r 

Ou : t ( S S ) V ( p 

P S / S ) 

1 

! 

2 

" # 

2 1 

= 0 

33

r 

tp ( S ! S ). V( P " S / S ) < 

1 2 2 1 

0 

Le facteur de frottement f (il ne faut plus parler de coefficient de frottement) est défini tel 

r 

tp 

( S1 ! S2 

) 

que : f = r 

np( S1 ! S2 

) 

r r 

On définit l’angle $ égal à ( np, fp ) tel que : tan! = f . 

r 

Le cône de frottement a comme axe ( P, n p 

) et demi angle au sommet $. 

r 

r 

deuxième cas, où il y a non glissement entre les deux solides : V( P ! S2 / S1) 

= 0 

r 

$ 

f (S ! S ) se trouve à l’intérieur du cône de 

r 

f 

p(S1 ! S 

2 

) 

(S 1 ) 

P 

(S 2 ) 

# 

p 1 2 

frottement. 

r 

tp(S 

D’où : f " r 

n (S 

p 

1 

1 

! S 

2 

! S 

Voir les valeurs de f au paragraphe 3.2 .5. 

2 

) 

) 

3.2.3] liaisons sans frottement 

r 

r 

Dans ce cas, t ( p 

S S ) 

1 

! 

2 

= 0 , ou f = 0. 

La liaison entre deux solides (S 1 ) et (S 2 ) , peut être définie par un torseur d’actions 

mécaniques : 

r 

{ Ti (S S ) # 

i 

% (S1 "! 

S 

2 

) '% 

! 

2 1 } = $ r R l 

r r r 

( défini dans le repère R( O, x, y, z) 

i 

&% M 

0 

(S1 " l 

. 

! S 

2 

))% 

O 

On définit les éléments de réduction de ce torseur comme suit : 

r r r r 

li 

R(S 1 

!" 

S 

2 

) = X 

ix + Yi y + Z 

iz 

r r r r 

li 

M (S !" 

S ) = L x + M y + N z 

0 1 

2 

i i i 

Le torseur torseur d’actions mécaniques peut s’écrire ainsi : { Ti (S S ) 

2 

! 

1 } = 

O 

" X 

i 

$ 

# Yi 

%$ Z 

i 

L 

i & 

$ 

Mi 

' . 

Ni 

($ 

Tableau des formes des torseurs statiques des liaisons. 

Liaison 

Torseur 

statique 

Forme 

conservée 

Liaison 

Torseur 

statique 

Forme 

conservée 

34

Encastrement 

!# 

" 

$# 

X 

Y 

Z 

L 

M 

N 

r r r 

( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 

en tout point de 

l’espace 

Appui plan 

de normale r z 

!# 

" 

$# 

0 

0 

L 

M 

Z 0 r r r 

( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 


l’espace 

Pivot 

r 

d’axe (o,x) 

!# 

" 

$# 

X 

Y 

Z 

0 

M 

N 

r r r 

( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 

en tout point 

r 

de 

l’axe (o,x) 

Rotule ou 

sphérique 

de centre O 

!# 

" 

$# 

X 0 

Y 0 

Z 0 r r r 

( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 

au point O 

Glissière de 

direction r x 

!# 

0 

" Y 

Z 

$# 

L 

M 

N 

r r r 

( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 


l’espace 

Linéaire 

rectiligne 

de normale z r r 

et 

d’axe (o,x) 

!# 

" 

$# 

0 0 

0 M 

Z 0 r r r 

( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 

en tout point du 

r r 

plan (o,x,z) 

Hélicoïdale 

d’axe (o,x) 

!# 

" 

$# 

X 

Y 

Z 

L 

M 

N 

r r r 

r ( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 

L = ± X . p / 

2% 

en tout point 

r 

de 

l’axe (o,x) 

Linéaire 

annulaire 

r 

d’axe 

(o,x) 

!# 

" 

$# 

0 0 

Y 0 

%# 

& 

'# 

Z 0 r r r 

( o, x, y, z ) 

au point O 

Pivot glissant 

r 

d’axe (o,x) 

!# 

0 0 

" Y M 

Z N 

$# 

r r r 

( o, x, y, z) 

%# 

& 

'# 

en tout point 

r 

de 

l’axe (o,x) 

ponctuelle 


!# 

" 

$# 

0 0 

0 0 

%# 

& 

'# 

Z 0 r r r 

( o, x, y, z ) 


r 

l’axe (o,z) 

Sphérique à 

doigt 

r 

d’axe (o,x) 

!# 

" 

$# 

X L 

Y 0 & 

au point O libre 

Z 0 r r r '# 

( o, x, y, z ) 

%# 

!# 

" 

$# 

0 0 

0 0 

0 0 

%# 

& 

'# 

r r r 

( o, x, y, z) 


l’espace 

3.2.4] résistance au roulement 

La résistance au roulement peut se matérialiser par un déplacement & du point 

r 

d’application de la résultante F( R ! S) par rapport au point de contact I. Cela crée un couple 

r r r 

résistant au roulement : M 

r 

(S ! R) = #x " F (S ! R) . 

(R) 

(R) 

(S) 

C 

I 

r 

F(S ! R) 

Sans résistance au 

roulement 

rC 

F(S ! R) 

(S) 

& I 

Avec résistance au roulement 

35

3.2.5] tableau de valeur pour le facteur de frottement f et pour & 

Matériaux en contact f Matériaux en contact & en mm 

Acier sur acier 0,10 Acier trempé sur acier trempé 0,005 

Bronze sur bronze 0,20 à 0,01 

Fonte sur bronze 0,10 Fonte grise sur acier trempé 0,5 

Cuir sur métal 0,25 Fonte sur sol dur 1 

Bois sur bois 0,40 pneu sur sol dur 5 à 10 

Métaux sur bois 0,30 

Garniture de friction sur acier 0,30 

Pneu sur chaussée 0,60 

4] PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (P.F.S.) 

4.1] équilibre d’un ensemble matériel 

On dit que l’ensemble matériel (E) est en équilibre par rapport à repère R si, au cours 

du temps, chaque point de (E) conserve une position fixe par rapport au repère R. 

Un solide (S) est en équilibre par rapport à un repère R, si ses paramètres de position par 

rapport à ce repère sont constants. 

4.2] énoncé du P.F.S. 

Il existe au moins un repère Rg, appelé repère galiléen, tel que pour tout sous 

ensemble matériel (e) de l'ensemble matériel (E) en équilibre par rapport à ce repère, le 

torseur associé aux actions mécaniques extérieures à (e) soit nul. 

r 

z M 

r 

(E) { T (e! e) } = {} 0 , "( e) #( 

E) (h) e est tout ce qui 

O 

(e) 

est 

R g 

extérieur à e. 

r 

r O y 

x M 

Un repère lié à la terre constitue très souvent un repère 

M 

galiléen. (sauf pour des mouvements très longs et très rapides). 

On en déduit : 

Le théorème de la résultante statique 

Pour tout sous ensemble matériel (e) de l'ensemble matériel (E) en équilibre par 

rapport à un repère galiléen R g , la résultante générale du torseur associé aux 

actions mécaniques extérieures à (e) est nulle. 

r r 

R(e ! e) = 0 (i) 

36

Le théorème du moment statique 

Pour tout sous ensemble matériel (e) de l'ensemble matériel (E) en équilibre par 

rapport à un repère galiléen R g , le moment résultant du torseur associé aux actions 

mécaniques extérieures à (e) est nul en tout point. 

r 

r 

M 

A 

(e ! e) = 0, " A (j) 

Remarque : 

r 

T (e ! e) = 0 

{ } {} 

ne veut pas dire nécessairement équilibre. (exemple : un ensemble de 

solides dynamiquement équilibrés en mouvement de rotation uniforme) 

4.3] théorème des actions mutuelles 

r 

x M 

M 

r 

z M 

R g 

O 

(e 1 ) 

(E) 

(e 2 ) 

r 

y 

(e 1 ) et (e 2 ) sont deux sous ensembles matériel de 

l'ensemble matériel (E) en équilibre par rapport à un repère 

galiléen R g avec E = { e 1 , e 2 }. 

On peut écrire : 

r 

T (e ! e ) = 0 

{ } {} or e { e } 

1 1 

1 

= E, 

2 

r 

D’où : { T (E! e )} + { T (e ! e )} = {} 0 

1 2 1 

r 

{ T (e ! e )} = {} 0 or e { e } 

2 2 

2 

= E, 

1 

r 

D’où : { T (E! e 

2 

)} + { T (e1 ! e 

2 

)} = {} 0 (2) 

r 

(1)+(2) ' { T (E! e )} + { T (E! e )} + { T (e ! e )} + { T (e ! e )} = {} 0 

1 2 2 1 1 2 

r 

or { T (E! e )} + { T (E! e )} = { T (E! E) } = {} 0 (P.F.S.) 

1 2 

d’où : { T (e 

2 

e 

1) } { T (e1 e 

2 

)} 

! = " ! (k) 

(1) 

L’action mécanique du sous-ensemble matériel (e 1 ) sur les sous ensemble matériels 

(e 2 ) est opposée à l’action mécanique du sous ensemble matériel (e 2 ) sur le sous 

ensemble matériel (e 1 ). 

37

L e c t u r e ( s ) # 9

Statique du solide - Wikipédia 

http://fr.wikipedia.org/wiki/Statique_du_solide 

Statique du solide 


La statique du solide est la branche de la statique étudiant l'équilibre des pièces dans un mécanisme. C'est 

un maillon essentiel dans le dimensionnement des systèmes mécaniques réels. 

Sommaire 

1 Statique du point et statique du solide. 

2 Statique du solide dans les problèmes plans. 

2.1 Modélisation 

2.1.1 Degrés de liberté 

2.1.2 Efforts transmissibles 

2.1.3 Liaisons mécaniques 

2.1.4 Méthode graphique. 

2.1.5 Moments et couples de forces. 

2.2 Etude de cas, résolutions 

2.2.1 Cas d'équilibre à 2 forces. 

2.2.2 Cas d'équilibre à 3 forces. 

2.2.3 Cas d'équilibre à 2 forces et un couple. 

3 Cas des liaisons mécaniques avec frottement 

4 Statique du solide dans les problèmes à 3 dimensions. 

4.1 Formalisme des torseurs 

4.1.1 Le torseur d'action mécanique 

4.1.2 Exemples d'actions mécaniques représentées par des torseurs. 

4.2 Résolution de problème de statique 3D. 

4.2.1 Application du principe fondamental de la statique. 

4.2.2 Résolution du système d'équations. 

5 Voir Aussi 

Statique du point et statique du solide. 

Les simplifications de la mécanique du point reposent sur le fait que le point est invariant par rotation, et 

que toutes les forces sont appliquées au point matériel. Alors les forces suffisent modifier sa position. Pour 

les solides, constitués d'une infinité de points matériels, les déplacements possibles, appelés aussi degrés 

de liberté, sont de deux natures: translations (3 directions principales) et rotations (autour de ces trois 

directions). Alors que les translations ne peuvent être provoquées que par des forces, les rotations sont 

générées par des moments de ces forces, ou autres couples de force. Quand l'équilibre d'un point ne 

nécessite l'établissement que de 3 relations algébriques (équation vectorielle des forces à 3 dimensions), 

celui du solide demande alors la considération de 3 équations supplémentaires (équation vectorielle des 

moments). Le principe fondamental de la statique peut donc se compose alors: 

1. 

du théorème de la résultante (somme des forces nulle). 

1 of 11 31/03/07 10:37



2. 

du théorème du moment (somme des moments nulle). 

L'étude de l'équilibre d'un solide nécessite toujours la considération de ces 2 théorèmes, même si certains 

cas simples, traités en mécanique du point, semblent être résolus avec une seule des 2 parties. En règle 

générale, il n'est pas possible de traiter séparément les deux aspects (forces et moments): il s'agit bien d'un 

problème complexe à 6 dimensions. 

D'autre part, la statique du solide, et plus généralement des mécanismes, prend en considération les efforts 

transmissibles dans une liaison mécanique. L'étude de ces liaisons donne a priori et sans équivoque 

certaines caractéristiques des forces et moments des actions entre solides. L'objectif étant la détermination 

complète de tous ces efforts inconnus. 

Statique du solide dans les problèmes plans. 

Modélisation 

Degrés de liberté 

Dans de nombreux problèmes les forces impliquées sont coplanaires. C'est à dire qu'il existe un plan 

vectoriel (x,y) dans lequel on peut observer ces forces en vraie grandeur. Dans ce cas les solides étudiés 

sont aussi considérés prisonniers de ce plan: leurs degrés de liberté sont au nombre de 3: 

translation suivant la direction x. 

translation suivant la direction y. 

rotation autour de la direction z. 

C'est par exemple le cas du système bielle-manivelle en vue de bout de manivelle, du train que la vache 

regarde passer, du mécanisme d'une montre, etc. 

Efforts transmissibles 

Dans ce cadre, les seuls efforts à considérer sont: 

les forces dans le plan (x,y) 

les moments autour de z. Ce qui autorise une représentation scalaire du moment d'une force. 

L'objetif de la mécanique est la détermination de tous les efforts appliqués à un système, à partir de la 

connaissance d'une partie d'entre eux. En ce qui concerne les mécanismes, il s'agit en plus de connaître les 

charges subies dans toutes les liaisons. Le mécanicien n'a a priori aucune information sur la disposition 

réelle de ces efforts. Cependant, pour chaque liaison, dont on connait le comportement, certaines 

composantes (forces ou moments) sont nulles ou au contraire transmissibles. C'est ainsi qu'on peut dire 

que la réaction d'un support plan sur un pavé est une force obligatoirement perpendiculaire au contact s'il 

n'y a pas de frottement. Lorsque l'étude est terminée, on peut décrire chaque effort de liaison qui devient 

alors l'effort effectivement transmis. 

Liaisons mécaniques 

2 of 11 31/03/07 10:37



Sous l'hypothèse de problème plan, les 10 liaisons mécaniques élémentaires étant affectées d'une 

suppression de degrés de liberté, ne sont plus que 3: 

la liaison ponctuelle qui supprime une translation. 

le pivot (ou articulation) qui supprime les deux translations. 

la glissière qui ne laisse qu'une translation. 

Si elles sont parfaites, alors nous disposons d'informations supplémentaires sur les efforts transmissibles 

dans ces liaisons, à savoir: 

ponctuelle: point d'application et droite d'action connus; intensité dépendant des autres efforts. 

pivot: droite d'action passant nécessairement par le centre. Intensité et direction à déterminer. 

glissière: direction connue (perpendiculaire à la translation autorisée). Intensité et point d'application 

à déterminer. 

Ces données sont à inscrire dans le bilan des forces extérieures à un solide. L'étude aboutira à 

l'identification de toutes les forces effectivement transmises (incluses dans l'ensemble des forces 

transmissibles) à savoir, pour chaque force, son point d'application, sa droite d'action, son sens et son 

intensité. 

Méthode graphique. 

Pour ces problèmes la résolution par méthode graphique s'avère à la fois plus rapide, souvent bien plus 

simple, et finalement très précise (moins de 5% d'erreur par rapport à la résolution analytique). La 

résolution analytique de tels problèmes repose sur une exploitation de la géométrie et la manipulation 

d'outils mathématiques plus complexes; seulement, à partir de l'étude d'une seule position, on peut espérer 

écrire une loi générale sur l'ensemble des positions. Les logiciels de calcul donnent évidemment tous ces 

résultats instantanément; faut-il encore saisir le modèle: aujourd'hui avec les outils de CAO, le même 

modèle est utilisé pour la conception, les calculs, les mises en plan, le prototypage etc. 

Les paragraphes suivants sont écrits dans cette hypothèse de problème plan. 

Dans ce contexte, les efforts inconnus (ou connus) sont représentés par des vecteurs force appliquée en 

un point. Ce qui amène à considérer pour chaque cas: 

un point d'application 

une direction (donc une droite d'action) 

une intensité (orientée sur la droite d'action) 

L'étude n'est terminée que si ces trois items (point, droite et vecteur) sont définis pour chaque force. 

Quelques rares cas ne demanderont pas une étude complète. 

Parfois le problème comprend un effort de type couple; alors la résolution est partiellement analytique. 

Moments et couples de forces. 

Sous l'hypothèse de problème plan, l'expression du moment peut être modifiée. On ne considère plus les 

rotations autour d'un axe mais seulement dans la direction Z soit en fait autour d'un point (c'est à dire 

3 of 11 31/03/07 10:37



autour d'un axe de direction Z passant par le point considéré). Une seule composante étant non nulle, la 

représentation vectorielle devient scalaire. 

Le moment d'une force. 

L'équilibre d'un solide signifie qu'il ne bouge pas (dans un référentiel donné) soit: 

aucune translation 

aucune rotation autour de quelque point (ou pivôt) que ce soit. 

On peut alors considérer la capacité d'une force à faire tourner le solide autour d'un point donné. Cette 

grandeur est appelée moment de force. Il n'y a pas nécessité de pivot réel. Ce moment dépend de plusieurs 

facteurs : l'intensité de la force, les positions relatives de la force et du point. 

M(F)= +/- d.F (en N.m) où d bras de levier, est la distance (minimale) entre le point et la droite d'action de 

la force. le signe est apprécié suivant que la force tend à faire tourner dans le sens direct (x vers y) ou 

indirect (y vers x). Avec d'autres modèles tels que le torseur, le choix du signe ne se pose pas; il est 

directement déduit des calculs, et son sens est lié à l'orientation de l'espace (trièdre direct). 

Il est intéressant de voir à présent les cas de nullité du moment d'une force. De l'équation ci-dessus, on en 

déduit aisément deux : 

La force est nulle. Sans intérêt puisqu'il n'y plus de force. 

la distance d est nulle : ce qui signifie que le point de pivot se trouve sur la droite d'action. Cette 

propriété géométrique sera exploitée par la suite. 

Couple de forces. Couple. 

Si 2 forces opposées (donc de même intensité), s'appliquent sur un même corps suivant deux droites 

d'action distinctes (donc strictement parallèles) et distantes de d, on imagine sans mal que ces forces se 

compensent, cependant l'équilibre du corps semble ne pas être assuré. Cette disposition est appelée couple 

de forces. Pour vérifier cela, en appliquant la méthode vue ci-dessus, calculons la somme des moments de 

ces 2 forces, en différents points de l'espace. 

Dans tous les cas cette somme a une même valeur C = - d.F . On appelle couple cette valeur indépendante 

du point de pivot considéré. Derrière l'appellation couple, les forces disparaissent (puisque elles se 

compensent). En réalité, dans la nature, un couple (sans forces pour le générer) n'existe pas. L'intérêt du 

couple est cette résultante nulle. Chacun aura fait l'expérience de desserrer une roue de voiture avec une 

manivelle (force unique et moment de force par rapport à l'axe de la vis) qui ripe facilement, ou avec une 

croix (2 forces opposées qui forment un couple) assurant non seulement une plus grande intensité de 

desserrage mais aussi une meilleure stabilité de l'outil. Dans un moteur électrique, le bobinage est tel qu'il 

existe toujours deux "bouts de fil" symétriquement disposés par rapport à l'axe de rotation et parcourus par 

des courants induisant deux forces de Laplace opposées, soit un couple élémentaire. 

Plus généralement un couple est la somme non nulle de moments de forces dont la résultante s'annulle. 

Pour la suite, chaque couple annoncé ne fera plus apparaître les forces qui le génèrent. 

Voir aussi couple (physique). 

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Etude de cas, résolutions 

Cas d'équilibre à 2 forces. 

Ce cas élémentaire permet de montrer comment un problème de statique ne dissocie pas forces et moments. 

Non seulement l'étude permet la détermination de l'ensemble des forces, mais aussi les conditions 

géométriques de l'équilibre. Pour cette étude de cas, comme pour les suivantes, le principe fondamental de 

la statique nous donne les relations suivantes: 

aucun mouvement de translation possible: somme des forces extérieures nulle. 

aucun mouvement de rotation possible: somme des moments des forces extérieures nulle (moments 

calculés en un même point qui peut être choisi arbitrairement). 

Soit l'étude d'un pendule: la figure 1 ci-dessous donne une position quelconque. L'objectif est la 

détermination des conditions d'équilibre. le bilan des actions extérieures nous donne: 

le poids appliqué au centre de gravité de valeur connue. 

le pivot (ou articulation) parfait en A. la droite d'action passe par l'axe, mais est de direction 

inconnue. 

L'équation d'équilibre relative aux forces donne donc: \vec{A}+\vec{P}=\vec{0} Ce qui définit l'action 

dans le pivot de façon univoque, les deux forces formant alors un couple. La position proposée (figure 2) 

n'est donc pas une position d'équilibre. 

L'équation des moments, par exemple calculée au point A, nous donne: M(\vec{A})/_A + M(\vec{P})/_A 

= 0 soit M(\vec{P})/_A = 0 

Ce qui revient à dire que A appartient à la droite d'action du poids. Nous aurions abouti à la même 

conclusion, peut être plus difficilement, en calculant les moments en n'importe quel point. En règle 

générale, le point de calcul des moments doit être choisi sur un critère de simplicité de calcul. Ici A ou G 

(centre de gravité) assurent l'annulation d'un des moments de force. 

De ce fait les seules positions d'équilibre sont celles ou le pendule est vertical, en dessous (position stable) 

ou au dessus de l'axe (position instable). 

En résumé: Pour qu'un solide soumis à deux forces soit en équilibre: 

les deux forces sont opposées (équation vectorielle des forces) 

même droite d'action pour les deux forces (équation du moment) 

Pour la résolution graphique d'un problème de statique ces conditions géométriques sont équivalentes à 

l'énoncé du principe fondamental de la statique. 

Cas d'équilibre à 3 forces. 

C'est certainement le cas le plus fréquent dans les mécanismes peu hyperstatiques. 

Comme dans l'étude précédente, l'application simultannée des 2 théorèmes permet de déterminer à la fois 

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les forces mais aussi leur disposition. 

Considérons le cas de la poussette maintenue dans une descente par le seul frein sur la roue avant, la roue 

arrière étant libre. Seul le poids de la poussette est connu. 

Un premier bilan des 

actions extérieures 

fait état de: 



poids appliqué au centre de masse G. Donné. 

l'action du sol sur la roue avant, appliquée au point A.Direction inconnue. 

l'action du sol sur la roue arrière, appliquée au point B. Une étude préliminaire (équilibre de la roue 

arrière seule) montrerait (cas précédent d'un solide sousmis à 2 forces) que cette action est forcément 

perpendiculaire au sol (y compris avec la considération de frottement au contact du sol et à condition 

que le pivot de roue soit parfait). 

Il semble difficile d'établir la somme nulle des forces puisque deux d'entre elles sont inconnues. Toutefois 

on peut écrire: \vec{A}+ \vec{B}+ \vec{P} = \vec{0}. Géométriquement cela se traduit par la construction 

d'un triangle fermé, dont un seul coté est pour l'instant parfaitement défini. 

Au moins deux droites d'action sont ici connues: celles de l'action en B et du poids. Elle concourent en un 

point qu'on notera K. Leurs moments respectifs en K sont donc nuls. Si on applique le théorème en ce 

point K, on obtient: 

M(\vec{A})/_K + M(\vec{B})/_K + M(\vec{P})/_K = 0 

soit M(\vec{A})/_K + 0 + 0 = 0 d'où M(\vec{A})/_K = 0 

Nécessairement K appartient à la droite d'action en A. Ce qui revient à dire que les trois droites sont 

concourantes en K. On connait désormais la direction de la droite d'action en A. 

Revenons à la première équation; il est possible alors de construire le triangle. En traçant en premier le 

poids connu, on reporte à chaque extrémité une droite respectivement parallèle aux droites des deux autres 

actions. Le triangle se forme alors et le relevé des longueurs des cotés donne le résultat. Cette méthode 

impose même le sens des actions mécaniques. Il resterait à vérifier que l'action en A satisfait les lois de 

Coulomb sur le frottement pour valider l'équilibre. 

En résumé: pour un système soumis à 3 forces extérieures, dont 2 concourantes: 

les vecteurs force forment un triangle fermé (équation des forces) 

toutes les droites d'action sont concourantes. 

Si les deux droites connues n'avaient pas été concourantes, alors elles auraient été parallèles. Ce qui revient 

au cas du levier donné plus haut. Dans le cas de force parallèle un calcul est nécessaire (relatif à l'écriture 

des moments) pour déterminer une relation entre les intensités des forces. 

Cas d'équilibre à 2 forces et un couple. 

Si un solide est sousmis à deux forces (de point et droites d'actions distincts), et un couple de force (donc 

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action de force résultante nulle), de l'équilibre selon le principe fondamental de la statique découlent les 

conséquences suivantes: 

les deux forces sont opposées et constituent donc un couple de forces. 

les deux couples de forces s'annullent. 

Par exemple, une dynamo actionnée par une manivelle: les bobinages induisent un couple dont l'intensité 

est en rapport avec le courant électrique généré. L'action sur la manivelle, qui dans le cas le plus favorable, 

est circonférentielle (tangente au cercle décrit par la main). Enfin, la manivelle est liée au bâti par un 

guidage suivant un liaison pivot dont la force transmissible est appliquée sur l'axe. De la première relation 

on déduit la direction de l'action du palier, qui tourne avec la main; de la deuxième on établit alors la 

relation entre l'action du pousseur et le couple d'origine électrique. 

Cas des liaisons mécaniques avec frottement 

Le frottement a une influence sur le comportement statique des liaisons mécaniques. Certains modèles 

comme les lois de Coulomb décrivent se comportement. De ce fait, même si celà complique le problème, 

non seulement ça n'induit pas d'inconnue statique supplémentaire, mais dans certains cela en diminue le 

nombre. 

Enfin la considération du frottement est parfois obligatoire pour la résolution d'un problème, comme par 

exemple l'équilibre d'une échelle, ou le dimensionnement d'un embrayage. 

Statique du solide dans les problèmes à 3 dimensions. 

C'est par exemple, le cas d'un arbre participant à un engrenage à denture hélicoïdale, un système de renvoie 

d'angle, ou pourquoi pas un pédalier de bicyclette quand on s'intéresse aux conséquences de pédales trop 

écartées. 

Formalisme des torseurs 

Le torseur propose une écriture globale et unifiée des efforts (forces et moments) qui s'exercent sur un 

système (généralement un solide). De tels torseurs sont généralement nommés torseurs des efforts. Ce 

formalisme est certes lourd à manipuler à la main et gourmand en papier, mais il permet la résolution 

systématique de problèmes de mécanique statique et se prête bien à la modélisation et au traitement 

informatique. De part sa forme analytique, il donne autorise surtout une modélisation paramétrée d'un 

problème, ce qui donne accès par exemple à toutes les positions d'un mécanisme, contrairement à l'étude 

graphique plus rapide, mais qui doit être refaite pour chaque cas et qui est beaucoup moins précise. 

Une force est parfaitement définie quand on connaît le vecteur force (appelée aussi résultante) et le point 

d'application (où son moment s'annule). La notion d'effort, en particulier les efforts de liaison, est bien plus 

large, et le torseur permet la description de tous les cas. 

Le torseur d'action mécanique 

Le torseur d'effort, dans sa forme développée donne ces éléments de réduction à savoir: 

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la résultante sans précision de point d'application. C'est la somme vectorielle des actions élémentaires 

de contact ou à distance. 

le moment par rapport à un point arbitrairement choisi. C'est la somme vectorielle des moments des 

forces élémentaires de contact ou à distance. Sauf cas particuliers, le moment du torseur n'est pas le 

moment de la résultante (par exemple le torseur couple possède une résultante nulle et un moment 

non nul). C'est sur cette nuance que reposent les principales difficultés de la modélisation d'efforts 

par les torseurs. 

Il faut considérer 3 niveaux d'écriture de torseur: 

écriture globale: \{\mathcal{T}_{(1->S)}\} sans distinction de point; Le torseur est l'association de 

2 champs de vecteurs sur l'espace (tous les points). La relation de Varignon est donc "intégrée" à 

cette notation. On n'utilise cette notation qu'au moment du bilan des actions mécaniques ou dans le 

cadre d'explicitation de réaction. 

éléments de réduction: force ou résultante\overrightarrow{R_{1->S}} et moment exprimé en un 

point (arbitrairement choisi)\overrightarrow{m}_{A(1->S)}. On utilisera cette forme pour définir en 

préambule la disposition particulière des actions mécaniques. Il est possible d'effectuer la somme de 

torseurs à ce niveau. Les moments de tous les torseurs doivent alors être exprimés au même 

point. 

composantes des éléments de réduction explicitées dans une même base, avec point particulier 

pour le moment. Présenté sous forme de matrice (souvent 3 lignes, 2 colonnes), cet outil permet 

d'effectuer simultanément les sommes de forces et de moments (exprimés au même point). Ces 

composantes sont autant d'inconnues pour les équations à résoudre. 

(1->S) en M : \begin{Bmatrix} X_{1>S} & L_{1>S} \\ Y_{1>S} & M_{1>S} \\ Z_{1>S} & N_{1>S} 

\end{Bmatrix}(M,x,y,z) 

Exemples d'actions mécaniques représentées par des torseurs. 

Force appliquée sur S au point A dans la direction x:(F->S) (même forme en tout point de la droite 

d'action): \begin{Bmatrix} F & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{Bmatrix}(A,x,y,z) 

Couple autour de la direction x:(C->S) en TOUT POINT M : \begin{Bmatrix} 0 & C \\ 0 & 0 \\ 0 & 

0 \end{Bmatrix}(M,x,y,z) 

Liaison ponctuelle en A suivant Y:(1->S) en A : \begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ Y_{1>S} & 0 \\ 0 & 0 

\end{Bmatrix}(A,x,y,z) 

Liaison pivot d'axe (B,x):(1->S) (même forme en tout point de l'axe) : \begin{Bmatrix} X_{1>S} & 

0 \\ Y_{1>S} & M_{1>S} \\ Z_{1>S} & N_{1>S} \end{Bmatrix}(B,x,y,z) 

Torseur de cohésion à l'absice x d'une poutre (action du tronçon[x,L] sur le tronçon[0,x]) 

en G(x) : \begin{Bmatrix} N (normal) & Mt (torsion) \\ T_{y} (tranchant) & M_{fy}(flexion) \\ 

T_{z} (tranchant) & M_{fz}(flexion) \end{Bmatrix}(G(x),x,y,z) 

Ce torseur effort représente les efforts transmis à travers la section S(x) d'une poutre. Il est calculable en 

isolant la partie amont (tronçon[0,x]). Il est toujours défini au centre d'inertie G(x) de la section considérée 

S(x). Artifice de calcul utilisé en résistance des matériaux. Ainsi les efforts subis à l'intérieur de la pièce 

deviennent extérieur pour le tronçon isolé, permettant l'application du principe de la statique. 

Résolution de problème de statique 3D. 

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Avec le formalisme des torseurs, le principe fondamental de la statique (PFS) s'exprime de la manière 

suivante 

Soit 

Si un système matériel est en équilibre sous l'effet d'actions mécaniques modélisées par les torseurs 

\{\mathcal{T}_{(1->S)}\} ; \{\mathcal{T}_{(2->S)}\} ; \{\mathcal{T}_{(3->S)}\}…, alors la 

somme de ces torseurs est égale au torseur nul. 

\{\mathcal{T}_{(1->S)}\} + \{\mathcal{T}_{(2->S)}\} + \{\mathcal{T}_{(3->S)}\} + \ldots + 

\{\mathcal{T}_{(n->S)}\} = \{0\} 

Attention ! La réciproque (somme des torseurs nulle \rightarrow équilibre) est vraie 

pour les solides mais pas forcément pour les systèmes déformables. Dans beaucoup 

d'ouvrages, le principe fondamental de la statique est écrit à l'envers. 

Cette relation se généralise en dynamique, en définissant un torseur dynamique qui réunit, sur le même 

principe, l'accélération et le moment dynamique d'un solide dans un même objet mathématique. Les lois du 

mouvement de Newton permettent alors d'écrire les relations qui relient le torseur dynamique aux torseur 

des efforts extérieurs. 

Ecrite dans la forme la plus développée, l'équilibre du système donne 6 équations dont les inconnues sont 

les composantes de chaque torseurs d'actions extérieures. 

Application du principe fondamental de la statique. 

La résolution d'un problème de statique ne diffère pas beaucoup des autres méthodes. 

1. 

2. 

3. 

Inventaire des actions extérieures: chaque action est définie par ses éléments de réduction avec 

toutes les propriétés particulières explicitement écrites (directions, point particulier...) 

Transports des moments: C'est l'étape la plus délicate surtout si le problème est complexe. Il faut 

choisir un point qui permette l'écriture la moins compliquée pour les moments. Ceci dit, n'importe 

quel point fait l'affaire. L'expérience est seule conseillère en la matière. Dans le cas d'un problème 

classique, on choisira le point de définition du torseur de liaison le plus complet, ou un point de 

concours d'axes de liaisons. 

Equations d'équilibre: les 6 équations alors données par le principe fondamental de la statique 

peuvent être posées. Il en résulte un système d'équations dont les inconnues sont: 

certaines actions extérieures (celles qu'on veut déterminer). 

les composantes transmissibles dans les liaisons . 

Théorème de la résultante (3 équations) 

\overrightarrow{R_{1->S}} + \overrightarrow{R_{2->S}} + \overrightarrow{R_{3->S}} + \ldots 

+ \overrightarrow{R_{n->S}} = \overrightarrow{0} 

Théorème du moment (3 équations) 

\overrightarrow{m}_{A(1->S)} + \overrightarrow{m}_{A(2->S)} + 

\overrightarrow{m}_{A(3->S)} + \ldots + \overrightarrow{m}_{A(n->S)} = \overrightarrow{0} 

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Rappel: tous les moments étant exprimés au même point. 

Résolution du système d'équations. 

Un problème de statique disposera au mieux d'un nombre d'équations égale à 6 fois le nombre de pièces. 

Malheureusement, l'isolement d'un seul ensemble d'un mécanisme ne suffit généralement pas, le nombre 

d'inconnues de liaisons étant facilement supérieur à 6. Il faut donc choisir d'autres sous systèmes afin 

d'obtenir de nouvelles équations d'équilibre (au risque d'ajouter de nouvelles inconnues de liaison); il n'est 

pas rare d'avoir à résoudre un système à 18 voire 24 équations sur un mécanisme simple. Le graphe des 

efforts est un outil d'aide à la décision du choix des systèmes mécaniques à isoler pour obtenir le système 

le moins coûteux en calcul. 

Sur l'exemple ci-contre, l'étude de 


l'équilibre de la manivelle permet 


d'établir la relation entre le couple 

extérieur et les actions de liaison (6 

équations). Ensuite l'"isolement" de l'ensemble {bielle+oscillateur} permettra (peut-être) le rapprochement 

avec F (soit 12 équations). En réalité il faudra aussi isoler la bielle (18 équations en tout). De plus ce 

problème peut comporter plus d'inconnues que d'équations, et un premier travail consistera à éliminer des 

inconnues de liaison par des considérations de jeu dans les liaisons. L'étude statique des mécanismes relève 

donc de la compétence du constructeur en mécanique qui mêlant à la fois connaissances technologiques et 

physiques. 

Cependant dans de nombreux problèmes (isostatiques), on voit apparaître deux systèmes d'équations 

indépendants: 

une partie concerne la relation entrée/sortie qui lie les actions motrice et réceptrice (souvent une 

seule équation). Cette partie concerne les efforts fournissant une puissance. 

le reste peut s'appeler équations de liaisons qui renseignent sur les efforts (auparavant 

transmissibles et désormais effectifs) de guidage et qui s'expriment en fonction des efforts 

précédents. La puissance de ces interactions est nulle si les liaisons sont parfaites. 

Selon les besoins, il n'est pas nécessaire de résoudre l'ensemble des équations. La méthode dite des 

puissances virtuelles permet de séparer mathématiquement ces deux groupes d'inconnues. 

Dans le cas des sytèmes hyperstatiques, le nombre d'équations demeure insuffisant. Alors, on a recours à 

l'élimination d'inconnue par des considération de jeu dans les liaisons, ou alors à l'écriture de nouvelles 

équations en posant l'étude du comportement élastique de certaines pièces. 

Voir Aussi 

Statique 

Mécanique du solide 

Diagramme de forces 

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org/wiki/Statique_du_solide » 

Catégories : Statique • Mécanique du solide • Génie mécanique 

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L e c t u r e ( s ) # 1 0

TSI COURS DE MÉCANIQUE Cours 

La Rochelle DETERMINATION DES ACTIONS MECANIQUES 1 / 8 

La statique est la partie de la mécanique qui étudie l’équilibre d’un système matériel soumis 

à des actions mécaniques. 

1] ACTION MECANIQUE 

Une action mécanique est toute cause susceptible de maintenir un corps au repos, de créer 

ou de modifier un mouvement, de déformer un corps. 

1.1] notion de force 

Une force, notée 

1.2] notion de moment 

(E) 

(!) 

r 

F 1 

M 

M 1 

r 

F 

(!) 

r 

F 2 

r 

F est une action mécanique modèlisable par un vecteur lié. Elle est 

caractérisée par : 

- un point d’application : M 

r 

- une direction : ! ou ( M, x M 

) 

- un sens : + x r M 

r 

- une norme : F en newton (N) 

r 

La résultante des forces F i 

appliquées à un système matériel (E) 

r r 

n r 

est : R(F ! E) = " F (a) 

i 

La force ne représente pas toutes les actions mécaniques 

appliquées sur un système matériel. 

r r 

F 1 

et F 2 

ont même direction, même norme mais un sens opposé 

et des points d’application différents. 

r r n r r r r 

On peut écrire : R(F ! E) = " F = F + F = 0 

A i i i 

i= 

1 

Pour notre exemple, le moment résultant est 

nul en un point quelconque A. 

1.3] moment d’une force en un point 

Le moment au point A de la force 

M (F) = AM F 

A 

r 

x M 

M 

(!) 

r M 2 

A 

x M r 

i 

i 1 2 

M 

i= 

1 

x M 

M 

La résultante des forces est nulle et pourtant il existe bien une 

action mécanique sur (E) : c’est le moment résultant défini au point A par : 

r r n ! r 

M (F ! E) = # AM " F (b) 

i= 

1 

i 

r r r r 

M (F ! E) = AM ! " F + AM ! 1 2 " F , qui n’est pas 

A i 1 2 

r 

F appliquée au point M, est le vecteur lié 

r r ! r 

M 

A(F) = AM " F (c) unité : le newton mètre (Nm) 

M (F) = BM F 

B 

r r 

M 

A 

(F) défini par : 

Relation entre le moment d’une force appliquée en M exprimé en deux points différents A et B. 

On a : 

r r ! r r r ! r ! ! ! 

" , " et BM = BA+ AM 

MICHEL Laurent



r r ! ! r ! r ! r 

d’où : M (F) = (BA + AM ) " F = BA " F + AM " F 

B 

donc : 

1.4] premier principe de la statique 

r r r r ! r 

M (F) = M (F) +BA " F (d) 

B 

Une action mécanique est entièrement caractérisée, d'un point de vue mécanique, par le 

torseur d'action mécanique suivant : 

r 

r r 

r 

" $ R(F E) F 

{ T (F E) } 

r r 

! & $ 

" 

! = # ' r 

M 

A %$ 

A(F ! E) ($ = $ 

& 

$ 

# ! ' (e) 

AM F 

A %$ ) ($ 

Le champ des actions mécaniques est bien un torseur car il respecte la loi de changement 

r r r r ! r 

de point de réduction d’un torseur : M 

B(F) = M 

A 

(F) + BA " F . 

Le torseur { T (E 1 ! E 2 )} 

est appelé torseur d’action mécanique de (E 1 ) sur (E 2 ). 

r 

" $ R(E1 ! E ) & 

2 

{ T (E 1 ! E 2 )} 

= # r 

$ 

' 

%$ M 

A 

(E1 ! E 

2) 

($ 

1.5] classification des actions mécaniques 

On en distingue deux sortes : 

- actions mécaniques à distance (de pesanteur, électromécanique, électrostatique…) 

- actions mécaniques de contact (de pression, de contact…) 

2] MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES A DISTANCE 

2.I] Champ de pesanteur 

A 

A 

Le champ de pesanteur est un champ de force qui peut être 

considéré comme uniforme en tout point d'une région localisée de 

(E) l'espace. 

P 

r r r 

dm 

r 

La densité de ce champ est notée g avec g = ! g z 

dP 

(g = 9,81 ms -2 à Paris au niveau du sol, z r verticale ascendante). 

r 

r 

r 

r 

O y On écrit : dP = g. dm avec dP force élémentaire (en N) qui 

agit sur la masse élémentaire dm (en Kg). 

r r r 

En intégrant à la masse totale de (E), on obtient : P = M. g = ! Mgz 

D’où l’écriture du torseur de l’action de la gravité sur (E) : 

r 

$ " g. 

dm ( 

r 

$ + Mgz ( 

& 

P, 

( E) 

& & 

{ T ( g! E) } = % ! ) = ! 

& 

r % r ) 

AP g dm AP g dm 

" # . & " # . 

& 

'& 

P, 

E *& 

A ' P ,( ( ) 

E ) * 

r 

x M 

M 

r 

z M 

A 

MICHEL Laurent



2.1.1] centre de gravité ou centre d'inertie 

On appelle centre de gravité ou centre d'inertie de l'ensemble matériel (E), le point G 

! ! 

vérifiant l'équation suivante : M. AG = # AP. 

dm , si A point quelconque est amené en G, on 

! r ! 

obtient : M. GG = 0 = # GP. 

dm . 

On a : 

P" 

( E) 

P" 

( E) 

r ! r ! r r r r 

M 

G(g ! E) = $ GP " g.dm = $ GP.dm " g = 0 " g = 0. 

P #(E) 

P #(E) 

D’où le torseur de l’action de la gravité sur (E) peut s’écrire: { T ( E) } 

g! = 

G 

#" 

$ 

% 

r 

M 

r 

g z& 

' (f) 

0 ( 

3] MODELISATION DES ACTIONS DE CONTACT 

3.1] contact d’un fluide sur un solide 

Surface (S) 

! 

La force élémentaire de pression df exercée sur une 

facette de centre M, d’aire ds, de normale n r , par une fluide 

parfait f à la pression p M en M est égale à : 

! r 

df = " p 

M. ds.n 

avec p M en Pascal (P), ds en mètre carré 

(m 2 ) 

Pour une petite surface, on néglige la variation de 

pression due à la variation d’altitude, d’où p M = p = constante. C’est le cas du pneumatique et de 

l’hydraulique. 

r r 

En intégrant sur la surface S, on obtient : F = ! p. S. n 

D’où l’écriture du torseur de l’action du fluide sur la surface S: 

r 

% # p.S.n ) 

' 

{ T (f! 

S) } = & ! r 

' 

* 

' 

# " AP $ p.ds.n 

' 

A ( P , (S) + 

! ! 

Le centre C d’une surface S est défini par : S. AC = # AP.ds , si A point quelconque est 

! r 

amené en C, on obtient : S.CC = 0 = 

On a : 

Solide 

M 

r 

df 

dS 

r 

n M 

Fluide 

! 

# CP.ds . 

P " (E) 

P " (S) 

r ! r ! r r r r 

M C 

(f ! S) = " % CP # p. ds. n = " p % CP. ds. # n = 0 # n = 0 . 

P $ (E) 

P $ (E) 

D’où le torseur de l’action du fluide sur la surface S, réduit au centre C de la surface S, peut 

p. S.n 

T (f! S) = #" 

r 

$ r 

& 

' (g) 

% 0 ( 

s’écrire: { } 

c 

MICHEL Laurent



3.2] contact entre deux solides 

3.2.1] torseur d’action mécanique de contact 

r 

Tout contact réel entre deux corps à lieu suivant une 

f 

(S 2 ) 

p( S1 ! S2 

) 

surface, aussi petite soit-elle. 

r 

ds 

fp( S1 ! S2 

) est appelée la densité surfacique de force 

(S 1 ) P 

de contact de S1 sur S2 au point P. 

Son unité : Pa (Pascal) 

1 Pa = 1 N/m 2 

1daN/mm 2 = 10 7 Pa = 10 MPa 

1 bar = 1 daN/cm 2 = 10 5 Pa = 0,1 MPa 

Le torseur de l’action mécanique de contact de S1 sur S2 s’écrit : 

r 

$ " f 

P(S1 ! S 

2 

)ds ( 

& P + (S) 

& 

{ T (S1! 

S 2) 

} = % ! r 

) 

& " AP # f 

P(S1 ! S 

2 

)ds& 

'& 

P+ 

( S) 

*& 

A 

r 

f 

p(S1 ! S 

2 

) 

(S 2 ) 

(S 1 ) 

3.2.2] lois de Coulomb 

P 

r 

tp( S1 ! S2 

) 

r 

np( S1 ! S2 

) 

" 

Si l’on projette 

r 

f (S 

! S ) sur la normale au plan tangent " 

p 1 2 

au point P à (S 1 ) et (S 2 ) puis sur le plan ", on définit : 

r 

n 

p 

(S1 ! S 

2 

) la densité surfacique normale, ou pression 

surfacique normale, au point P, des forces de contact de (S 1 ) 

sur (S 2 ). 

r 

t 

p 

(S1 ! S 

2 

) la densité surfacique tangentielle, ou 

pression surfacique tangentielle, au point P, des forces de 

contact de (S 1 ) sur (S 2 ). 

énoncé des lois de Coulomb 

r 

r 

premier cas, où il y a glissement entre les deux solides : V( P ! S2 / S1) 

" 0 

r 

r 

t ( p 

S S ) 

1 

! 

2 

est opposée à la vitesse de glissement V( P ! S 2 

/ S 1 

) . 

r r r 

Ou : t ( S S ) V ( p 

P S / S ) 

1 

! 

2 

" # 

2 1 

= 0 

r 

r 

t ( S S ). V ( p 

P S / S ) 

1 

! 

2 

" 

2 1 

< 0 

Le facteur de frottement f (il ne faut plus parler de coefficient de frottement) est défini tel 

r 

tp 

( S1 ! S2 

) 

que : f = r 

n ( S ! S ) 

p 

1 2 

MICHEL Laurent



r r 

On définit l’angle # égal à ( np, fp ) tel que : tan! = f . 

r 

Le cône de frottement a comme axe ( P, n p 

) et demi angle au sommet #. 

r 

r 

deuxième cas, où il y a non glissement entre les deux solides : V( P ! S2 / S1) 

= 0 

r 

# 

f (S ! S ) se trouve à l’intérieur du cône de 

r 

f 

p(S1 ! S 

2 

) 

(S 1 ) 

P 

(S 2 ) 

" 

p 1 2 

frottement. 

r 

tp(S 

D’où : f " r 

n (S 

p 

1 

1 

! S 

2 

! S 

Voir les valeurs de f au paragraphe 3.2 .5. 

2 

) 

) 

3.2.3] liaisons sans frottement 

r 

r 

Dans ce cas, t ( p 

S S ) 

1 

! 

2 

= 0 , ou f = 0. 

La liaison entre deux solides (S 1 ) et (S 2 ) , peut être définie par un torseur d’actions 

mécaniques : 

r 

{ Ti (S S ) # 

i 

% (S1 "! 

S 

2 

) '% 

! 

2 1 } = $ r R l 

r r r 

( défini dans le repère R( O, x, y, z) 

i 

&% M 

0 

(S1 " l 

. 

! S 

2 

))% 

O 

On définit les éléments de réduction de ce torseur comme suit : 

r r r r 

li 

R(S 1 

!" 

S 

2 

) = X 

ix + Yi y + Z 

iz 

r r r r 

li 

M (S !" 

S ) = L x + M y + N z 

0 1 

2 

i i i 

Le torseur torseur d’actions mécaniques peut s’écrire ainsi : { Ti (S ! S ) 

2 1 } = 

O 

" X 

i 

$ 

# Yi 

%$ Z 

i 

L 

i & 

$ 

Mi 

' . 

Ni 

($ 

Tableau des formes des torseurs statiques des liaisons. 

Liaison 

Torseur 

statique 

Forme 

conservée 

Liaison 

Torseur 

statique 

Forme 

conservée 

MICHEL Laurent



Encastrement 

!# 

" 

$# 

X 

Y 

Z 

L 

M 

N 

r r r 

( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 


l’espace 

Appui plan 


!# 

" 

$# 

0 

0 

L 

M 

Z 0 r r r 

( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 


l’espace 

Pivot 

r 

d’axe (o,x) 

!# 

" 

$# 

X 

Y 

Z 

0 

M 

N 

r r r 

( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 

en tout point 

r 

de 

l’axe (o,x) 

Rotule ou 

sphérique 

de centre O 

!# 

" 

$# 

X 0 

Y 0 

Z 0 r r r 

( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 

au point O 

Glissière de 

direction r x 

!# 

0 

" Y 

Z 

$# 

L 

M 

N 

r r r 

( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 


l’espace 

Linéaire 

rectiligne 

de normale z r r 

et 

d’axe (o,x) 

!# 

" 

$# 

0 0 

0 M 

Z 0 r r r 

( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 

en tout point du 

r r 

plan (o,x,z) 

Hélicoïdale 

r 

d’axe (o,x) 

!# 

" 

$# 

X 

Y 

Z 

L 

M 

N 

r r r 

( o, x, y, z ) 

%# 

& 

'# 

L = ± X . p / 2! 

en tout point 

r 

de 

l’axe (o,x) 

Linéaire 

annulaire 

r 

d’axe 

(o,x) 

!# 

" 

$# 

0 0 

Y 0 

%# 

& 

'# 

Z 0 r r r 

( o, x, y, z ) 

au point O 

Pivot glissant 

r 

d’axe (o,x) 

!# 

0 0 

" Y M 

Z N 

$# 

r r r 

( o, x, y, z) 

%# 

& 

'# 

en tout point 

r 

de 

l’axe (o,x) 

ponctuelle 


!# 

" 

$# 

0 0 

0 0 

%# 

& 

'# 

Z 0 r r r 

( o, x, y, z ) 


r 

l’axe (o,z) 

Sphérique à 

doigt 

r 

d’axe (o,x) 

!# 

" 

$# 

X L 

Y 0 & 

au point O libre 

Z 0 r r r '# 

( o, x, y, z ) 

%# 

!# 

" 

$# 

0 0 

0 0 

0 0 

%# 

& 

'# 

r r r 

( o, x, y, z) 


l’espace 

3.2.4] résistance au roulement 

La résistance au roulement peut se matérialiser par un déplacement $ du point d’application 

r 

de la résultante F( R ! S) par rapport au point de contact I. Cela crée un couple résistant au 

r r r 

roulement : M 

r 

(S ! R) = #x " F (S ! R) . 

(R) 

(R) 

(S) 

C 

I 

r 

F(S ! R) 

Sans résistance au roulement 

C 

r 

F(S ! R) 

(S) 

$ I 

Avec résistance au roulement 

3.2.5] tableau de valeur pour le facteur de frottement f et pour $ 

MICHEL Laurent



Matériaux en contact f Matériaux en contact $ en mm 

Acier sur acier 0,10 Acier trempé sur acier trempé 0,005 

Bronze sur bronze 0,20 à 0,01 

Fonte sur bronze 0,10 Fonte grise sur acier trempé 0,5 

Cuir sur métal 0,25 Fonte sur sol dur 1 

Bois sur bois 0,40 pneu sur sol dur 5 à 10 

Métaux sur bois 0,30 

Garniture de friction sur acier 0,30 

Pneu sur chaussée 0,60 

4] PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (P.F.S.) 

4.1] équilibre d’un ensemble matériel 

On dit que l’ensemble matériel (E) est en équilibre par rapport à repère R si, au cours du 

temps, chaque point de (E) conserve une position fixe par rapport au repère R. 

Un solide (S) est en équilibre par rapport à un repère R, si ses paramètres de position par 

rapport à ce repère sont constants. 

4.2] énoncé du P.F.S. 

Il existe au moins un repère Rg, appelé repère galiléen, tel que pour tout sous ensemble 

matériel (e) de l'ensemble matériel (E) en équilibre par rapport à ce repère, le torseur 

associé aux actions mécaniques extérieures à (e) soit nul. 

r 

z M 

r 

(E) T (e! e) = 0 , "( e) #( 

E) (h) e est tout ce qui est 

r 

x M 

M 

R g 

O 

(e) 

r 

y 

{ } {} 

O 

extérieur à e. 

Un repère lié à la terre constitue très souvent un repère 

galiléen. (sauf pour des mouvements très longs et très rapides). 

On en déduit : 

Le théorème de la résultante statique 

MICHEL Laurent



Pour tout sous ensemble matériel (e) de l'ensemble matériel (E) en équilibre par rapport 

à un repère galiléen R g , la résultante générale du torseur associé aux actions 

mécaniques extérieures à (e) est nulle. 

r r 

R(e ! e) = 0 (i) 

Le théorème du moment statique 

Pour tout sous ensemble matériel (e) de l'ensemble matériel (E) en équilibre par rapport 

à un repère galiléen R g , le moment résultant du torseur associé aux actions 

mécaniques extérieures à (e) est nul en tout point. 

r 

r 

M 

A 

(e ! e) = 0, " A (j) 

Remarque : 

r 

T (e ! e) = 0 ne veut pas dire nécessairement équilibre. (exemple : un ensemble de 

{ } {} 

solides dynamiquement équilibrés en mouvement de rotation uniforme) 

4.3] théorème des actions mutuelles 

r 

x M 

M 

r 

z M 

R g 

O 

(e 1 ) 

(E) 

(e 2 ) 

r 

y 

(e 1 ) et (e 2 ) sont deux sous ensembles matériel de l'ensemble 

matériel (E) en équilibre par rapport à un repère galiléen R g 

avec E = { e 1 , e 2 }. 

On peut écrire : 

r 

T (e ! e ) = 0 

{ } {} or e { e } 

1 1 

1 

= E, 

2 

r 

D’où : { T (E! e )} + { T (e ! e )} = {} 0 

1 2 1 

r 

{ T (e ! e )} = {} 0 or e { e } 

2 2 

2 

= E, 

1 

r 

D’où : { T (E! e 

2 

)} + { T (e1 ! e 

2 

)} = {} 0 (2) 

r 

(1)+(2) % { T (E! e )} + { T (E! e )} + { T (e ! e )} + { T (e ! e )} = {} 0 

1 2 2 1 1 2 

r 

or { T (E! e 

1) } + { T (E! e 

2 

)} = { T (E! E) } = {} 0 (P.F.S.) 

d’où : { T (e e )} { T (e e ) 

2 1 1 2 } 

! = " ! (k) 

(1) 

L’action mécanique du sous-ensemble matériel (e 1 ) sur le sous ensemble matériel (e 2 ) 

est opposée à l’action mécanique du sous ensemble matériel (e 2 ) sur le sous ensemble 

matériel (e 1 ). 

MICHEL Laurent

L e c t u r e ( s ) # 1 1

GROUPE FRNCOPHONE DE PHYSIQUE 

Consultant : Sémou DIOUF 

Expert : Adolphe RATIARISON 

Ce cours contient trois parties : 

A. La dynamique du point matériel 

B. Le moment cinétique 

C. Travail – Energie - Puissance

A. DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL 


I-1 Rappels cinématiques : 

Rappelons tout d’abord les différentes notations que nous avons utilisées en cinématique. 

On se donne deux repères 

R O,i ,j , un repère fixe 

• 0 

( 0 0 

k 0 

) 

R O,i,j,k un repère en mouvement par rapport à R ( O,i ,j , ) 

• ( ) 

• M un mobile par rapport à R ( O,i,j,k) 

• ! 

R / R0 

le vecteur instantané de rotation du repère ( O,i,j,k) 

Les différentes vitesses sont : 

& dO M # 

V (M) = $ ! = V 

$ dt ! 

% " 

0 

• 

R 

a 

/ R0 

0 0 0 

k 0 

R par rapport à R ( O,i ,j , ) 

0 0 0 

k 0 

0 

la vitesse absolue, vitesse du point M par rapport à R ( O,i ,j , ) 

& dOM # 

V (M) $ ! = V 

dt 

% " 

• 

R 

r 

/ R 

0 0 0 

k 0 

= , la vitesse relative, vitesse du point M par rapport à R ( O,i,j,k) 

( dO O % 

& # 

0 

, la vitesse d’entraînement, vitesse qu’aurait M s’il 

0 

• V 

R 

(M ) R) = 

+ " 

R / R0 

! OM = Ve 

& dt # 

' $ / R0 

était fixe dans R ( O,i,j,k) 

Et la loi de composition de vitesses est : 

Va = Vr + 

Ve 

Concernant les accélérations, nous avons : 

& d O M # 

a = 

$ dt ! 

% " 

2 

R 

(M) $ 0 

= ! 

0 

a 

2 

a , accélération absolue, accélération du point M par 

rapport au repère R ( O,i ,j , ). 

0 0 0 

k 0 

/ R0

& 2 

d OM # 

a 

R 

(M) = $ ! = 

$ 2 

dt ! 

% " 

/ R 

au repère mobile R ( O,i,j,k) 

a 

r 

, accélération relative, accélération du point M par rapport 

a 

c 

& dOM # 

2 ' $ ! ’ accélération complémentaire ou accélération de Coriolis 

$ dt ! 

% " 

= ( 

R / R0 

/ R 

/ R0 

(" 

R / R 0) ! OM + " R / R 0 

!{" 

R / R 

! OM} a e 

( 

2 

d O % d 

a 

R 

(M R) & 00 

# 

0 

) = 

+ 

= 

2 

dt 

0 

' $ dt 

, 

accélération d’entraînement, accélération qu’aurait M s’il était fixe dans R ( O,i,j,k) 

. 

La loi de composition des accélérations donne : 

a = a + a + 

G 

r 

C 

a 

e 

I.2- Définition : 

La dynamique est l'étude des causes qui provoquent les mouvements des corps solides, on suppose que 

le mobile est un point matériel et que toute sa masse est concentrée en ce point. 

I.3- Les trois lois de Newton 

a°) La première loi de Newton 

Lorsque la résultante générale des forces appliquée à un point matériel ou à un solide est 

nulle, deux cas peuvent se présenter : 

• Le point matériel ou le solide reste au repos, s’il était au repos ; 

• Le point matériel ou le solide est en mouvement uniforme s’il était déjà en 

mouvement. 

b°) La deuxième loi de Newton 

Selon Newton : « Les changements de mouvement sont proportionnels à la force motrice 

( Fdt ),, et se fait dans la ligne droite dans laquelle cette force est imprimée à l’objet » 

Dans le formalisme vectoriel, cette loi s’exprime par : 

& dp # 

$ ! 

dt 

% " 

/ R0 

= F

F est la résultante des forces appliquées au système 

p = mv (M) est la quantité de mouvement du mobile dans un référentiel fixe R 0 

Ro 

v Ro 

(M) , la vitesse du mobile dans le référentiel fixe R 0 

v Ro 

(M) est donc la vitesse absolue du mobile 

m la masse du mobile. 

Lorsque la masse m est constante, nous parlons de « Principe Fondamental de la 

Dynamique (PFD)», dans ce cas on écrit : 

F = ma 

R0 

(M) 

a R0 

(M) est l’accélération du mobile dans le référentiel fixe R 0 

c°) Troisième loi de Newton 

Selon Newton : « A toute action, il y a toujours une réaction égale qui lui est opposée ; 

autrement dit, les actions mutuelles de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales et 

opposées » 

La figure suivante illustre la 3 ème loi de Newton.

Le système est décomposé en deux partie, la partie otée est remplacée par la force 

qu’elle exerçait sur la première. Ainsi on a deux poids retenus par une corde passant par deux 

poulie. 

Décomposons ce système en deux sous=-systèmes séparés équivalents, en remplaçant 

l’effet de l’autre sous-système par les forces 

ressorts. 

1! 2 

2! 

1 

La troisième loi di : F + F = 0 

F 

et 

F 

1 ! 2 

2! 

1 

représentées ci-dessus par des 

d°) Ecriture de la loi fondamental de la dynamique en coordonnées cartésiennes 

En coordonnées cartésiennes, si on suppose que la masse du point matériel est invariante, cette 

relation entraîne les trois équations différentes suivantes dans lesquelles F x , F y et F z sont les 

composantes cartésiennes de : 


II.1- LES FORCES A DISTANCE : ce sont des forces dont la portée peut être étendue jusqu'à l'infini, 

parmi lesquelles on peut citer : 


Si on considère deux particules électriquement neutres de masses m 1 et m 2 voisines l'une de l'autre, 

alors chacune exerce sur l'autre une force dite d'attraction universelle de Newton.

- Force électrostatique : ( voir cours d'électricité) 

Considérons deux particules de charges électriques q 1 et q 2 , ces deux particules exercent l'une sur 

l'autre des forces d'interactions données par la loi de Coulomb : 

1 

q 

q 

1 2 

F12 

= 

2 

4!" 

0 r 

r 

r 

! 

0 

est appelée permittivité du vide. 

1 

4!" 

0 

= 9. 

10 

9 

Nm 

2 

/ C 

r la distance entre les charges 


2 

Dans un repère (R 0 ) un point M ( x, y, z) de charge q est en mouvement avec la vitesse V Ro 

(M) 

dans un 

champ magnétique B . Le point M est le siège d’une force magnétique 

F 

m 

d’expression : 

F 

m 

= 

qV 

Ro 

(M) 

II.2- LES FORCES DE CONTACT : 

Les forces de contact qui agissent entre solide, liquide etc…ont un rayon d'action très faible (1Å = 10 - 

10 m) 

Exemples : 






II.3- LES FORCES D'INERTIE D'ENTRAÎNEMENT ET DE CORIOLIS: 

Dans un repère galiléen (R 0 ), le principe fondamental de la dynamique s’écrit : F = ma (M) 

F est la résultante des forces extérieures appliquées au point M en mouvement. 

Si on prend un repère relatif (R) on ne peut pas écrire le P.F.D. comme étant : F = ma (M) = ma 

Nous avons défini les différentes composantes de l’accélération dans le chapitre traitant les lois de 

composition des mouvements : 

R0 

R 

r

. 

L'accéléromètre : ( force d'inertie d'entraînement). 

Il permet de mesurer l'accélération linéaire des systèmes tels que trains, automobiles ou avions. 

Supposons que le repère mobile est (R) lié à la tige qui se déplace avec une vitesse angulaire ! 

constante par rapport au repère fixe (R 0 ) et que la masse m lié au ressort peut se mouvoir sans 

frottement. 

- Si (R) est à l'arrêt par rapport au repère(R 0 ), le poids de la masse m est compensé par la réaction de la 

tige, la longueur du ressort est 

- Si (R) est animé d'un mouvement de rotation par rapport à (R 0 ) à la vitesse angulaire constante : la

masse m prend une nouvelle position dans (R) : 

Conclusion: 

Ces forces d'inerties apparaissent comme des forces réelles dans les mouvements relatifs accélérés, et 

permettent de simplifier les problèmes de dynamique en les ramenant à des problèmes de statique. 

Par contre, ces forces n'ont aucune existence réelle dans les mouvements absolus. 

II.4- LES FORCES INTÉRIEURES ET LES FORCES EXTÉRIEURES : 

- Pour un point matériel, toutes les forces appliquées à ce point sont dites extérieures. 

- Pour un système matériel, il faut distinguer : 

· Les forces extérieures provenant d'actions extérieures au système. 

· Les forces intérieures dues aux interactions mutuelles :

B.MOMENT CINETIQUE 

I. DEFINITION. 

On appelle moment cinétique d’un point matériel M, par rapport à un référentiel galiléen R 0 , en un 

point O de R 0 , le moment de la quantité de mouvement. 

Si m est la masse du mobile et V R 0 

(M) 

son vecteur vitesse, la quantité de mouvement du mobile 

dans le repère R 0 est : 

p 

0 

(M) = mV 

R R0 

(M) 

Le moment cinétique du mobile en O est alors : 

" 

R0 ( O,M) = OM ! mVR 

0 

(M) 

II. 

THEOREME DU MOMENT CINETIQUE 

Si on dérive le moment cinétique en O par rapport au temps, dérivation effectuée dans le repère R 0 , 

nous avons : 

( 

& 

d) 

& 

' 

R0 

D’où : 

' 

% 

d( 

% 

& 

R0 

(O, M) % 

# 

dt # 

$ 

(O, M) $ 

" 

dt " 

# 

/ R 0 

/ R 0 

( % 

& 

dOM 

= # 

' 

dt 

$ 

/ R0 

= ! M(O, F 

i 

) 

" p 

R0 

( % 

& 

dp 

R0 

(M) 

(M) + OM " # 

& # 

' 

dt 

$ 

/ R0 

= OM " ! F 

Signalons que, comme pour la loi fondamentale, la dérivée du moment cinétique par rapport au 

temps est relative au référentiel galiléen. Cette loi, qui est une conséquence de la loi fondamentale 

s’énonce comme suit : 

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique d’un point matériel, en un point fixe O d’un 

référentiel galiléen, est égale à la somme des moments des forces qui s’exercent sur ce point. 

Ce théorème est commode lorsque le moment des forces est nul. On obtient alors immédiatement 

une constante vectorielle du mouvement : 

! 

R 0 

(O,M) = 

Cte

III. REMARQUE 

Nous avons supposé que le point O étant fixe par rapport à R 0 . Etudions le cas où le moment 

cinétique est calculé en un point O’ mobile dans R 0 . 

" 

R0 ( O',M) = O' M ! mVR 

0 

(M) 

& 

$ 

d( 

$ 

% 

( 

& 

d* 

& 

' 

R0 

R0 

(O', M) # 

! 

dt ! 

" 

(O',M) % 

# 

dt # 

$ 

/ R 0 

/ R 0 

& / 

dO M # 

= $ ! 

$ dt ! 

% " 

/ R0 

= & ( VR 

0 

(M) ) V 

' 

' mV 

R0 

R0 

& dV (M) # 

/ 

R0 

(M) + O M ' m$ 

! 

$ dt ! 

/ R0 

14444 

% 

24444 

" 

3 

somme des moments des forces 

/ 

(O )#% 

" mV 

$ 

R0 

(M) + ! M(O 

i 

/ 

, F ) 

i 

( 

& 

d) 

& 

' 

R0 

(O', M) % 

# 

dt # 

$ 

/ R 0 

+ V 

R0 

/ 

(O ) " mV 

R0 

(M) = ! M(O 

i 

/ 

, F ) 

i 

Lorsque le point où l’on applique le théorème du moment cinétique est mobile, il faut ajouter à la 

dérivée du moment cinétique le terme complémentaire 

/ 

V 

0 

(O ) ! mV 

R R0 

(M) 

Le premier terme de l’équation précédente est appelé moment dynamique.

TRAVAIL-ENERGIE 

I-TRAVAIL. 

I.1 Travail élémentaire 

On appelle travail élémentaire effectué par une force , dont le point d'application M se déplace d'une 

longueur élémentaire (rectiligne ou curviligne) avec une vitesse dans le référentiel R, le produit 

scalaire : 

Remarques : 

- le travail est fonction du référentiel choisi. 

- Il n'y a pas obligatoirement de corrélation entre la force et la cause qui provoque le déplacement. 

I.2 Travail fini 

Cas général 

- Le travail effectué par la force , dont le point d'application M se déplace entre le point de départ " 1 " 

et le point d'arrivée " 2 ", est : 

- La force peut être fonction des coordonnées (u 1 , u 2 , u 3 ) de son point d'application M, de la 

vitesse 

et du temps. 

Dans ce cas le travail dépend des positions extrêmes " 1 " et " 2 " du chemin suivi pour aller de " 

1 " à " 2 " et de la loi du mouvement entre ces deux points. 

- Si le vecteur force ne dépend que de la position de son point d'application M, c'est-à-dire des 

seules coordonnées u 1 , u 2 et u 3 , on dit que M se déplace dans un champ de vecteurs forces (ou 

encore dans un champ de forces). 

Dans ce cas le travail n'est plus fonction de la loi du mouvement mais seulement des extrémités " 

1 " et " 2 " et du trajet suivi par M entre ces deux points. 

Cas d'une force conservative : 

- On dit qu'une force (u 1 , u 2 , u 3 ) est conservative si le travail de cette force ne dépend pas du chemin 

suivi entre " 1 " et " 2 ". 

- Le long d'une courbe fermée quelconque le travail effectué par la force , dont est nul :

- Une force conservative dérive d'une énergie potentielle Ep (u 1 , u 2 , u 3 ) telle que : 

" 

- Le travail d'une force conservative dépend uniquement du point de départ " 1 " et du point d'arrivée " 2 

". 

II. ENERGIE : 

II.1 Énergie potentielle d'interaction 

Définition 

L'énergie potentielle associée à la force conservative , est définie par : 

Propriétés 

- L'énergie potentielle d'interaction dépend du référentiel choisi. 

- Elle est définie à une constante arbitraire près. Seules les différences d'énergie potentielle ont une 

signification physique. 

II.2 Énergie cinétique 

Relativement au référentiel R, l'énergie cinétique d'un point matériel M de masse m et de quantité de 

mouvement à l'instant t a pour expression : 

II.3 Énergie mécanique totale 

On appelle énergie mécanique totale E m d'une particule M la somme de l'énergie potentielle et de 

l'énergie cinétique. 

E m = E c + E p 

III- THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE 

III.1 Cas général 

- Le travail de toutes les forces " réelles " (conservatives et non conservatives) appliquées au point 

matériel M, dans le référentiel galiléen R, entre la position initiale " 1 " et la position finale " 2 " est égal à 

la variation de l'énergie cinétique de M.

- Dans un référentiel non galiléen R', il suffit d'ajouter à # , la somme des forces d'inertie # ' 

III.2 Cas des forces conservatives 

Si les forces en présence sont conservatives, il y a conservation de l'énergie mécanique totale. 

E c + E p = E m = cte

L e c t u r e ( s ) # 1 2

Sciences Industrielles Dérivation vectorielle Papanicola Robert 

Lycée Jacques Amyot 

I - 

DERIVATION VECTORIELLE 

A. Dérivée d'un vecteur mobile par rapport à un repère: 

""""""! 

Soit V (u) 

la base B 

un vecteur quelconque définit dans 

0 

""""""! 

# 

# 

# 

V ( u) 

% x( 

u). 

i0 $ y( 

u). 

j0$ 

z( 

u). 

k0 

Le vecteur OP """"" 

! 

est un représentant du vecteur 

""""""! 

V (u) . 

Le point P décrit la trajectoire de P dans le repère 

R 0 

Le point P à pour coordonnées x(u), y(u), z(u). 

""""""! 

On appelle dérivée du vecteur V (u) par rapport à u relativement à la base B0 le vecteur noté: 

""""""! 

# 

# 

# 

+ d ( d x( 

u) 

d y( 

u) 

d z( 

u) 

) V ( u) 

& 

% . i0 

$ . j0 

$ . k0 

. 

* du ' 0 

du du du 

Si les fonctions x(u), y(u), z(u) admettent des dérivées d'ordre n il est possible de définir le 

vecteur dérivé d'ordre n 

n """"""! n # n # n 

+ d ( d x( 

u) 

d y( 

u) 

d z( 

u) 

# 

) V ( u) 

& % . i0 

$ . j0 

$ . k 

n 

n 

n 

n 0 

* du ' du du du 

0 

1. Propriétés 

V 

""""""! 

V """""" ! 

0 

Soient ( u 1 

) et ( u 2 

) deux vecteurs définis par leurs composantes dans la base B 

Soient . 

1, u- 

et . 

2, u- 

deux fonctions scalaires de u dérivables 

On montre 

""""""! """"""! 

+ 4 

1( 

) d2 

V1 

( u) 

$ V2( 

u) 

""""""! 

"""""" ! 

/& 

+ ( + ( 

d V1 

( u) 

& ) 

d V2 

( u) 

) 

3 

0 

& % ) $ & 

) du & ) du & ) du & 

* ' R * ' 

0 

R 

) 

& 

0 

* 

' 

R 

0 

""""""! 

""""""! 

""""""! 

""""""! 

+ 

( + ( 

d( 

1( 

u) 

V1 

( u) 

2( 

u) 

V2 

( u) 

d V1 

( u) 

d 

1( 

u) 

""""""! 

+ ( 

d V2 

( u) 

d 

2( 

u) 

"" !" 

) 

. 5 $ . 5 

& 

1( 

u) 

) & 

. 

V1 

( u) 

2( 

u) 

) & 

. 

% . 5 

$ 5 $ . 5 

$ 5V2 

( u) 

) 

du 

& ) du & du 

) du & du 

* 

' R * ' 

0 

R 

* ' 

0 

R0 

Dérivée du produit scalaire 

""""""! """"""! 

""""""! 

""""""! 

+ 

( + ( 

+ ( 

) 

d( V1 

( u) 

5 V2( 

u) 

d V1 

( u) 

""""""! """"""! 

& 

d V2 

( u) 

% ) & 5 V2 

( u) 

$ V1 

( u) 

5 ) & 

) du & ) du & 

) du & 

* 

' R * ' 

0 

R 

* ' 

0 

R0 

Dérivée du produit Vectoriel 

""""""! """"""! 

""""""! 

""""""! 

+ 

( + ( 

+ ( 

) 

d( V1 

( u) 

6 V2 

( u) 

d V1 

( u) 

""""""! """"""! 

& 

d V2 

( u) 

% ) & 6 V2( 

u) 

$ V1 

( u) 

6 ) & 

) du & ) du & 

) du & 

* 

' * ' 

* ' 

R0 

R0 

R0 

28/10/03 Cinématique du solide page 1/9

Soit 



""""""! 2 

2. Cas particuliers 

""""""! 

a) Dérivée d'un vecteur V (u) de module constant 

""""""! 

V (u) 

un vecteur fonction de u mis dont le module est constant 

""""""! 

""""""! 

V ( u) 

% Cte % V ( u) 

5 V ( u) 

on a donc 

""""""! """"""! 

+ 

( + 

) 

d( 

V ( u) 

5 V ( u) 

) 

& % 07) 

d 

) du & ) 

* 

' R * 

0 

donc : 

""""""! 

+ ( 

) 

d V ( u) 

"""""" ! 

& 5 V ( u) 

% 0 

) du & 

* ' 

R0 

""""""! 

( 

V ( u) 

& 

du & 

' 

R0 

""""""! 

5 V ( u) 

$ 

""""""! 

""""""! 

+ ( 

( ) 

( ) ) 

V u 

V u 5 & 

) du & 

* ' 

or les deux vecteurs n'étant pas nuls on en déduit que les deux vecteurs sont 

perpendiculaires. 

Le vecteur dérivé d'un vecteur unitaire est donc un vecteur orthogonal à ce vecteur. 

B. Vecteur vitesse de rotation d'un repère en mouvement par rapport à un autre repère. 

x0 

1. dérivation d'une base dans une autre: vecteur rotation. 

Soient B 0 et B 1 deux bases orthonormées 

z0 

z1 

directes 

k 

O 

i 

j 

x1 

On cherche à exprimer 

R 

k1 

i1 

Q1 

#( 

) 

d i 

& 

) du & 

* ' 

R 

j1 

# 

+ ( 

) 

d j1 

, & 

) du & 

* ' 

y0 

R 

R0 

% 0 

Les vecteurs unitaires de B 0 sont notées: , , 

# 

k 0 

,.L'origine est notée O 

Les vecteurs unitaires de B 1 sont notées: i1 , , 

y1 # 

,.L'origine est notée Q1 

k1 

# 

# 

j1 

# 

Les vecteurs unitaires i1 , , k1 , et l'origine Q1 

sont des fonctions de u. 

+ ( 

) 

d k1 

& 

) du & 

* ' 

# 

+ 

1 

, 

# 

+ ( 

) 

d i1 & est un vecteur que l'on peut exprimer dans n'importe quelle base. 

) du & 

* ' 

Dans la base B 0 les composantes de 

est aussi possible de l'exprimer dans la base B 1 , ainsi ; 

R 

R 

# 

+ ( 

d i 

# 

) 1 & sont les dérivées par rapport à u de i1 dans B0. Il 

) du & 

* ' 

28/10/03 Cinématique du solide page 2/9 

# 

i0 

# 

# 

j0 

# 

j1



# 

+ ( 

) 

d i1 

& 

) du & 

* ' 

R0 

# 

+ ( 

) 

d j1 

& 

) du & 

* ' 

# 

+ ( 

) 

d k1 

& 

) du & 

* ' 

R0 

R0 

# 

% a( 

u) 

5 i $ b( 

u) 

5 j $ c( 

u) 

5 k 

1 

# 

# ! 

% d( 

u) 

5 i $ e( 

u) 

5 j $ f ( u) 

5 k 

1 

# 

% g( 

u) 

5 i $ h( 

u) 

5 j $ l( 

u) 

5 k 

1 

# 

Les vecteurs : , , ,étant unitaires on a: 

i1 

# 

1 

1 

# 

# 

j1 

# 

# 

# 

# 2 # 

+ ( 

1 

1 

1 ) 

d i 

# 

+ ( 

i % 7i 

& 

15 

% 0 donc i et ) 

d i1 

& 

1 

) du & 

) du & 

* ' R 

* ' 

0 

de même 

# 

# 2 # 

+ ( 

1 

1 

1 ) 

d j 

j % 7 j 5 & 

11 

) du & 

* ' R0 

% 0 par suite e = 0 

et 

# 

# 2 # 

+ ( 

1 

1 

1 ) 

d k 

k % 7k 

& 

15 

) du & 

* ' 

% 0 par suite l = 0 

# 

R 

0 

1 

k1 

les vecteurs : , , ,sont orthogonaux deux à deux 

i1 

# 

j1 

# 

# 

# 

# # 

+ ( + ( 

1 

1 

1 

. 

1 

0 ) 

d i 

# # 

& 5 ) 

d j 

i j % 7 j & 

1$ 

i1 

5 % 0 

) du & ) du & 

* ' * ' 

R 

0 

# 

# 

# # 

+ ( + ( 

1 

1 

1 

. 

1 

0 ) 

d i 

# # 

& 5 ) 

d k 

i k % 7 k & 

1$ 

i1 

5 % 0 

) du & ) du & 

* ' * ' 

R 

0 

k1 

# 

1 

# 

1 

R 

R 

0 

0 

R 

0 

sont orthogonaux donc : a = 0 

on a donc b = -d 

on a donc c = -g 

# 

# 

# # 

+ ( + ( 

. 0 ) 

d j 

# # 

1 & ) 

d k1 

j 

& 

1 

k1 

% 7 5 k1$ 

j15 

) du & ) du & 

* ' R * ' 

0 

R0 

% 0 on a donc f = -h 

on pose habituellement 

b = -d = r 

- c = g = q 

f = -h = p 

on appelle Vecteur rotation de B 1 /B 0 le vecteur noté 

"""""! """""! # # # 

R 9 

/ 

% 1/ 0 

% 8 

1$ 

8 

1$ 

8 

1 R 

p i q j r k 

0 

1 

9 

d'où les expressions de 

#( 

) 

d i 

& 

) du & 

* ' 

R 

# 

+ ( + ( 

) 

d j1 

& ) 

d k1 

, & en fonction de """"" 

9 ! 

1/ 0 

) du & ) du & 

* ' * ' 

# 

+ 

1 

, 

R 

R 




# 

+ ( 

) 

d i1 

& 

) du & 

* ' 

+ 

) 

d j 

) du 

* 

# 

1 

# 

+ 

) 

d k1 

) du 

* 

R0 

( 

& 

& 

' 

( 

& 

& 

' 

R0 

R0 

# 

1 

# 

1 

# 

1 

# 

% r 5 j " q 5 k 

1 

# 

% q 5 i " p 5 j 

1 

# 

% " r 5 i $ p 5 k 

1 

on constate que 

# 

+ ( 

) 

d i1 

& 

) du & 

* ' 

+ 

) 

d j 

) du 

* 

# 

1 

# 

+ 

) 

d k1 

) du 

* 

R0 

( 

& 

& 

' 

( 

& 

& 

' 

R0 

R0 

% 

"""""! 

9 

1/ 0 

"""""! 

% 9 

% 9 

1/ 0 

"""""! 

1/ 0 

# 

6 i 

1 

# 

6 j 

1 

# 

6 k 

1 

+ 

2. Détermination du vecteur rotation 

a) cas général 

( 

# 

# 

# """""! # # 2 """""! # """""! # """""! # """""! # 

) 

d i1 

+ ( 

4 1 

4 1 

i & 

16 % i1 

6 9 6 % 5 9 " 2 15 

9 / 5 

1 

9 " 2 15 

9 

1/0 

i1 

i1 

1/ 0 

i 1/0 

i = 1/ 0 

i 1/ 0 / 5 i1 

) du & 

* ' 

d’où 

# 

# 

+ ( 

) 

d i1 

i & 

) du & 

* ' 

R0 

) 

* 

# # 

16 = q 5 j1 

$ r 5 k1 

+ 

R0 

( 

# 

# 

# # 

) 

d k1 

k 6 & 

1 

% p 5 i1 

$ q 5 j1 

) du & 

* ' 

R0 

, 

& 

' 

+ 

( 

# 

# 

# # 

) 

d j1 

j 6 & 

1 

% p 5 i1 

+ r 5 k1 

) du & 

* ' 

on à donc en additionnant les trois relations membre à membre 

4 # 

# 

# 1 

"""""! 2 + ( + ( + ( 

1 

# 

/ 

2 ) 

d i 

# 

# 

1 & ) 

d j1 

$ 6 & $ 6 ) 

d k1 

9 % 6 

& 

1/ 0 

i 

1 

j1 

k1 

/ 

2 2 ) du & ) du & ) du & / 

3 * ' R * ' * ' 

0 

R0 

R0 

0 

R0 

3 

b) Cas particulier d'un repère ayant une direction fixe par rapport au repère de 

référence: 

0 

et 

3 

0 

y0 

j0 

o 

y1 

i0 

j1 

q1 

i1 

: 

x0 

x1 

Rotation plane de deux bases une par rapport 

à l'autre. 

; est un fonction de u 

on a 

# 

# 

# 

i 

1 

% cos( ; ( u)) 

5i0 

$ sin( ; ( u)) 

5 j0 

en simplifiant la notation 

# 

# 

# 

i 

1 

% cos; 

5i0 

$ sin; 

5 j0 

et 

# 

# 

# 

j 

1 

% " sin; 

5i0 

$ cos; 

5 j0 




# 

+ ( 

d i1 d 

d ! 

) & 

; 

# 

; 

% " 5sin; 

5i0 

$ 5 cos; 

5 j0 

) du & du 

du 

* ' 0 

! 

+ dj ( 

# 

1 

d; 

d; 

) & % " 5 cos; 

5i0 

$ " 5sin; 

5 j 

* du ' du 

du 

0 

# 

# # 

+ ( ! 

k 1 % 

1 

k 0 

donc ) 

d k 

& % 0 

) du & 

* ' 

"""""! 

9 

9 

1/ 0 

"""""! 

1/ 0 

0 

4 # 

# 

# 1 

2 + ( + ( + ( 

1 

# 

/ 

2 ) 

d i 

# 

# 

1 & ) 

d j1 

$ 6 & $ 6 ) 

d k1 

% i 6 

& 

1 

j1 

k1 

/ 

2 2 ) du & ) du & ) du & / 

3 * ' R * ' * ' 

0 

R0 

R0 

0 

1 4 

# 

# 

4 

1 4 d; 

# 

d; 

# 

1 

% 22cos; 

5i0 

$ sin; 

5 j0 

/ 6 2" 

5sin; 

5i0 

$ 5 cos; 

5 j0 

/ 

2 33 

0 3 du 

du 0 

# 

0 

# 

# 

4 

1 4 d; 

# 

d; 

# 

11 

$ 2" 

sin; 

5i0 

$ cos; 

5 j0 

/ 6 2" 

5 cos; 

5i0 

$ " 5sin; 

5 j0 

// 

3 

0 3 du 

du 00 

"""""! 

1 

# 

4 d; 

2 d; 

2 d; 

2 d; 

2 1 

91/ 0 

% 2 5 cos ; $ 5sin 

; $ 5 cos ; $ 5sin 

; / 5 k0 

2 3 du du du du 0 

Le vecteur rotation d'une base par rapport en une autre en rotation plane est porté par l'axe 

"""""! 

d; 

# 

autour duquel s'effectue la rotation : 91/ 0 

% 5 k0 

du 

C. Dérivation composée d'un vecteur mobile par rapport à deux repères: 

""""""! 

V (u) , un vecteur fonction de la variable u, 

on connaît l'expressions de ce vecteur dans la 

base R1 

""""""! 

# # 

# 

V ( u) 

% x( 

u). 

i1 $ y( 

u) 

j1 

$ z( 

u). 

k1 

"""""" ! 

+ 

( 

( ) 

On recherche une relation entre ) 

d V u 

& 

) du & 

* ' 1 

"""""" ! 

+ ( 

) 

d V ( u) 

& 

) du & 

* ' 0 

on sait par définition que 

""""""! 

# 

# 

# 

+ d ( d x( 

u) 

d y( 

u) 

dz( 

u) 

) 

V ( u) 

& 

% . i1 

$ . j1 

$ . k1 

* du ' du du du 

0 

1 

de même (d'après les propriétés) 

"" !" 

+ ( ! ! ! 

( ) + , ( ). 

1 

$ ( ). 

1 

$ ( ). 

1-( 

) 

d V u 

& 

d x u i y u j z u k 

% ) 

& 

) du & 

* ' * du 

' 

0 

et 

x0 

k 

O 

i 

z0 

x1 

j 

k1 

i1 

Q1 

z1 

j1 

y1 

V(u) 

y0 




"" !" 

+ ( 

! 

! 

! 

( ) ( ) + ( 

1 

( ) + ( 

1 

( ) + ( 

) 

d V u 

& 

dx u ! di dy u ! dj dz u ! dk1 

% . i1 

$ x( 

u). 

) & $ . j1 

$ y( 

u). 

) & $ . k1 

$ z( 

u). 

) & 

) du & du * du ' du 

0 

* du ' do 

0 

* ' 

* du ' 0 

0 

A partir de la relation précédente et de la définition du vecteur rotation 

""""" ! 

+ ( 

! ! 

! 

( ) ( ) ( ) ( ) + ( + ( + ( 

) 

d V u 

& 

dx u ! dy u ! dz u ! di1 

dj1 

dk1 

% . i1 

$ . j1 

$ . k1 

$ x( 

u). 

) & $ y( 

u). 

) & $ z( 

u). 

) & 

) du & du du do * du ' 0 * du ' 0 

* ' 

* du ' 

0 

"""""! 

""""" ! 

+ ( + ( ! ! 

! 

( ) ( ) + ( + ( + ( 

) 

d V u 

& ) 

d V u 

& 

di1 

dj1 

dk1 

% $ x( 

u). 

) & $ y( 

u). 

) & $ z( 

u). 

) & 

) du & ) du & * du ' 0 * du ' 0 

* ' 

* du ' 0 

0 * ' 1 

Les dérivées des vecteurs d'une base R1 par rapport à une base R0 sont connues. 

# 

# 

# 

+ ( """""! # 

+ ( """""! 

) 

d i 

# 

+ ( """""! 

1 & % 91/ 0 

6 i1 

, ) 

d j 

# 

1 & % 91/ 0 

6 j1 

, et ) 

d k1 

& % 91/ 0 

6 k1 

) du & 

) du & 

) du & 

* ' 

* ' 

* ' 

+ 

) 

d 

) 

* 

R0 

""""""! 

( 

V ( u) 

& 

du & 

' 

0 

+ 

) 

d 

% 

) 

* 

""""""! """"""! 

+ 

d V ( u) ( + 

) & 

d V ( u) 

) du & % ) 

) du 

* ' * 

D'où la relation 

""""""! 

""""""! 

+ ( + 

) 

d V ( u) 

& % ) 

d V ( u) 

) du & ) du 

* ' * 

1 

R0 

""""""! 

( 

V ( u) 

& $ x( 

u). 

9 

du & 

' 

( 

"""""! 

1/ 0 

# 

"""""! 

6 i $ y( 

u). 

9 

1 

1/ 0 

R0 

# 

"""""! 

6 j $ z( 

u) 

9 

! ! ! 

, x( u). i y( u). j z( u). 

k - 

"""""! 

& 

/ 

& $ 9 6 $ $ 

1 0 1 1 

0 ' 1 

0 

( 

& $ 9 

& 

' 

1. cas particuliers 

V "" !" 

1 

"""""! 

1/ 0 

6 

""""""! 

V ( u) 

* Si (u) est un vecteur constant de R1, x1, y1, z1 sont des constantes qui ne dépendent pas 

de u 

""""""! 

+ ( """""! """"""! 

donc: ) 

d V ( u) 

& % 91/ 0 

6 V ( u) 

) du & 

* ' 

0 

* Si R1 est en translation par rapport à R0 alors 1 ) % 0 

""""""! 

( 

) 

d V ( u) 

& 

) du & 

* ' 

0 

"""""" 

+ ( 

) 

d V ( u) 

% & 

) du & 

* ' 

+ 

! 

1 

"" 

9 !" 

1 

! 

( / 0 

1/ 0 

# 

6 k 

1 

0 

D. Composition des vecteurs vitesse de rotation 

+ 

) 

d 

) 

* 

+ 

) 

d 

) 

* 

""""""! 

( 

V ( u) 

& 

du & 

' 

""""""! 

( 

V ( u) 

& 

du & 

' 

0 

1 

""""""! 

+ ( 

) 

d V ( u) 

% & $ 

) du & 

* ' 1 

""""""! 

+ ( 

) 

d V ( u) 

% & $ 

) du & 

* ' 

2 

"""""! 

9 

1/ 0 

"""""! 

9 

2/1 

6 

6 

""""""! 

V ( u) 

""""""! 

V ( u) 




z0 

x1 

k1 

i1 

Q1 

z1 

j1 

V(u) 

+ 

) 

d 

) 

* 

""""""! 

( 

V ( u) 

& 

du & 

' 

0 

+ 

) 

d 

% 

) 

* 

""""""! 

( 

V ( u) 

& 

du & 

' 

2 

"""""! 

$ 9 

2/0 

6 

""""""! 

V ( u) 

x0 

k 

O 

i 

j 

x2 

i 

i2 

P2 

j2 

k2 

y1 

y0 

z2 

y2 

On peut déduire des deux premières égalités 

""""""! 

""""""! 

+ ( + ( """""! """""! 

) 

d V ( u) 

& ) 

d V ( u) 

& 4 

1 

% 

$ 2 9 $ 9 

2/1 1/ 0 / 6 

) du & ) du & 3 

0 

* ' * ' 

0 

D'où la relation entre les vecteurs rotations 9 

1. Application: angles d'Euler. 

k 

O 

i 

z0 

j 

x3 

z3 

2 

k3 

Q3 

i3 

j3 

y3 

y0 

""""""! 

V ( u) 

"""""! """""! """""! 

2 

9 

/ 0 

% 92/1 

$ 1/ 0 

Un solide dans l'espace peut être positionné 

par 3 translations et trois rotations. 

Pour positionner ce solide on lui associe un 

repère. 

Les trois translations peuvent être caractérisés 

par les coordonnées de l'origine du repère 

Les trois rotations par trois angles. 

Le choix le plus courant est celui des angles 

d'Euler. 

x0 




a) Détermination des angles d'Euler. 

z 0 

y 3 

z 

: 

3 

On défini, O,x1= "ligne des noeuds", 

l'intersection du plan (x0,0,y0) et (x3,0,y3) 

on pose 

1 

2 

4 # 

x # 

0 

, x 1 / %= angle de précession. 

3 0 

Cet angle permet de positionner la trace du 

plan (x3,0,y3) dans le plan (x0,0,y0) 

O y 0 

= 

x 0 

x 3 

< x 1 

y 0 

x 1 

On définit le repère 

R1 (O, x1, y1, z1) avec z1=z0 et y1 pour que 

le repère soit orthonormé. 

L'axe Oz3 se trouve dans le plan 

perpendiculaire à Ox1 passant par O. Ce plan 

contient Oy1 et Oz1=Oz0 

y 1 

= 

O 

z 0 =z 1 

x 0 

: 

z 0 =z 1 

z 3 

O x1=x2 y 1 

y 2 

on pose 

1 

2 

4 # 

z # 

1 

, z 3 / % ; : angle de nutation 

3 0 

On définit l'axe Oy2 à partir de Oz3 par une 

> 

rotation de " autour de Ox1 et Ox2=Ox1 

2 

d'où la base intermédiaire R2 (O, x1, y2, z3) 




y 2 

< 

y 3 

On se place ensuite dans le plan passant par 

O perpendiculaire à z3 

Ce plan contient les axes x1= x2, y2 et y3 

on pose 

1 

2 

4 # 

x1, x # 

3 / % < angle de rotation propre 

3 0 

x 3 

O 

z 2 =z 3 x 1 

Les trois angles =, ; et < permettent de positionner de manière unique le repère R3 par 

rapport au repère R1. Le passage d'un repère à un autre peut se faire par trois rotations planes. 

b) Vecteur Rotation 9 !" 3/ 0 

"""""! """""! """""! """""! 

93 0 % 93 

2 $ 92/1 

$ 91/ 0 

"""""! 

# 

93 2 % < ?5 k3 

avec 9 """" ! 

3 2 

4 z # 

3 

2O, 

3 

"" 

"""""! 

# 

91/ 0 

% = ?5 k0 

avec " 9 """" ! 

1 0 rotation autour de 

" 1 

rotation d'axe 2 

4 O, z # 

1 / 

3 0 

1 

d'où la relation : 

/ 

"""""! 

0 

# # # 

9 

# 

% ; ?5 avec " 9 """" ! 

3 2 % < ?5 k 

3$ 

; ?5 i1 

$ = ?5 k0 

2/1 

rotation d'axe Ox1 :avec < ?,; 

?, 

= ? dérivée des angles de rotation 

par rapport à la variable étudiée. 

"""""! 

92/1 

i1 


L e c t u r e ( s ) # 1 3



MÉCANIQUE 


Retour 

CHAPITRE III: 


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La dynamique est l'étude des causes qui provoquent les mouvements des 

corps solides, on suppose que le mobile est un point matériel et que toute sa 

masse est concentrée en ce point. 

2- La quantité de mouvement : 

Si on considère dans un repère galiléen, un point matériel de masse m 

animé du vecteur vitesse ; Alors sa quantité de mouvement est le vecteur 

définit par la relation: = m 

3- Le principe fondamental de la dynamique (P. F. D ) : 

Dans un repère galiléen, le P. F.D s'annonce sous la forme : 

" en l'absence de force, le vecteur est invariant, en présence d'une force , il 

évolue conformément à l'équation : " 

Lorsque la masse du point matériel est invariante au cours du mouvement, cette 

équation se simplifie et prend en introduisant le vecteur accélération , la forme 

suivante: 

4- Les lois de newton : 

Le principe fondamental de la dynamique peut être annoncé sous la forme de 

deux lois de Newton suivantes : 

· 1ère loi de Newton : un point matériel reste immobile ou conserve sa vitesse 

absolue constante dans un repère galiléen, lorsque la résultante des forces qui 

s'exercent sur lui est nulle : 

1 of 3 31/03/07 10:51



· 2ème loi de Newton : ou principe fondamental de la dynamique du point 

matériel : lorsqu'un point matériel est soumis à des forces dont la résultante est 

non nulle, alors le point matériel acquiert une accélération absolue donnée par 

l'expression suivante : 

En coordonnées cartésiennes, si on suppose que la masse du point matériel est 

invariante, la relation entraîne les trois équations différentes suivantes 

dans lesquelles F x , F y et F z sont les composantes cartésiennes de : 


1- LES FORCES A DISTANCE : ce sont des forces dont la portée peut être 

étendue jusqu'à l'infini, parmi lesquelles on peut citer : 


Si on considère deux particules électriquement neutres de masses m 1 

et m 2 

voisines l'une de l'autre, alors chacune exerce sur l'autre une force dite d'attraction 

universelle de Newton. 

Détente et application: 

Calculez votre poids sur Terre sur d'autres astres : 

(Pour les nombres décimaux, utilisez le point au lieu de la virgule) 

Saisissez votre masse sur la 

Terre : 

kg 

Choisissez l'astre 

2 of 3 31/03/07 10:51



Comparez votre poids sur cet astre et sur la Terre 

Sur la Terre 

N 

Sur cet astre 

N 

Votre poids sur cet astre est fois votre poids sur sur la Terre 


Considérons deux particules de charges électriques q 1 

et q 2 

, ces deux particules 

exercent l'une sur l'autre des forces d'interactions données par la loi de Coulomb : 


On prend un repère (r ) un point M ( xyz), B est le champ magnétique et q la 

charge de la particule en mouvement 

2- LES FORCES DE CONTACT : 

Les forces de contact qui agissent entre solide, liquide etc. & ont un rayon 

d'action très faible (1Å = 10 -10 m) 

Exemples : 






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3 of 3 31/03/07 10:51

R e a d i n g ( s ) # 1 4

Université Cheikh Anta Diop de Dakar 

Ecole Normale Supérieure 

Département de Sciences Physiques 

L’EVALUATION DES APPRENTISSAGES 

Sémou Diouf 

Cours de M. Sémou DIOUF 1/8

L’EVALUATION DES APPRENTISSAGES 

Elle peut être formelle ou informelle. 

Elle est formelle si elle est communiquée aux élèves ou aux parents d’élèves. 

Elle est informelle si elle n’est communiquée ni aux élèves ni aux parents d’élèves. Elle 

intéresse uniquement l’enseignant qui veut savoir si son acte didactique a porté ses fruits. 

C’est le cas de l’Indice de Différenciation Spécifique (IDS). 

L’EVALUATION FORMELLE 

Elle est sujette à un certain questionnement : 

Qu’est ce qu’évaluer ? Qui évalue ? Qui évaluer ? Quoi évaluer ? Pourquoi évaluer ? Pour qui 

évaluer ? Quand évaluer ? Comment évaluer ? 

Qui évalue ? C’est l’enseignant même si d’une manière non formelle il est évalué par les 

élèves. 

Qui évaluer ? lés élèves 

Quoi évaluer ? Les objectifs 

Pour qui évaluer ? l’administration en général 

Pourquoi évaluer ? pour prendre une décision (voir définition) 

Quand évaluer ? Avant apprentissage, pendant apprentissage, après apprentissage 

Comment évaluer ? En posant des questions oralement ou par écrit ou par l’observation 

I DEFINITION DE L’EVALUATION 

Qu’est ce qu’évaluer ? 

Evaluer : confronter un ensemble d’informations à un certain nombre de critères en vue de 

prendre une décision (J.M. Deketele, 1980) 

Trois mots clés dans la définition 

Informations : exemple : notes des élèves 

Critères : exemple : 10/20 

Décision : exemple : admis, échec, redouble 

La décision à prendre dépend généralement du quand évaluer. 

• Elle peut être une décision d’orientation : l’évaluation a lieu avant apprentissage 

L’évaluation est dite prédictive si elle sert à prédire les chances de réussite ou d’échec d’un 

apprenant. 

L’évaluation est dite diagnostique si elle permet d’identifier les lacunes, les forces, ou les 

faiblesses des apprenants avant d’aborder une unité d’apprentissage. 

• La décision peut être une décision de régulation : l’évaluation a lieu pendant 

l’apprentissage 

L’évaluation est alors formative si elle permet d’améliorer ou d’effectuer des remédiations. 

L’évaluation est formatrice si l’enseignant l’exploite pour agir sur les stratégies et les moyens 

(l’enseignant doit se remettre en cause). 

Généralement les enseignants ne régulent pas. Ils suivent le schéma classique 

Chapitre I TD Chapitre II TD, ceci quelque soit le degré de 

maîtrise des élèves. 

Or si les élèves éprouvent des difficultés, l’enseignant doit revenir au chapitre précédent. 

Les séances de TD peuvent être des moments de régulation. 

• La décision peut être une décision de certification : l’évaluation a lieu à la fin de 

l’apprentissage 

L’évaluation est dite sommative : elle est un bilan d’acquis 

Exemple : Les contrôles continus, les compositions sont des évaluations sommatives. Le 

BFEM, le BAC sont des évaluations sommatives et certificatives. 

Toute évaluation est sommative et doit être formatrice pour l’enseignant et pour l’élève. 


Comment évaluer ? Cela pose la question du questionnement, donc les stratégies de recueil 

d’informations. 

II STRATEGIES DE RECUEIL D’INFORMATIONS 

Le questionnaire de contrôle de connaissance 

Ecrit : devoir surveillé, interrogation écrite, composition, examen, concours… 

Oral : test d’entrée (vérification de prérequis) 

L’observation : utilisée en travaux pratiques et lors des TP cours 

L’évaluation doit être efficace : c’est à dire les compétences recherchées chez l’élève 

doivent correspondre aux compétences définies dans les objectifs. 

Il existe deux types de questions : 

Des questions à production convergente qui sollicitent une et une seule réponse considérée 

comme juste 

Des questions à production divergente demandent à chaque élève de fournir un effort 

personnel de composition d'une réponse originale. 

En raison du processus mental, on peut établir une correspondance entre 

D'une part les questions à production divergente et les questions ouvertes qui sont des 

questions à réponse construite par l'élève dans une démarche et un vocabulaire qui prouve 

qu'il a maîtrisé plus ou moins la matière, d'autre part les questions à production convergente et 

les questions fermées qui sont des questions à réponse choisie dans un ensemble de réponses 

proposées par l'auteur. 

II-1. LE QUESTIONNAIRE DE CONTROLE DE CONNAISSANCE 

II-1-1.Les questions à production convergente (questions à réponse fermée) 

Elles sont peu utilisées en sciences physiques et pourtant présentent un avantage certain : une 

correction facile et objective. Ce sont : 

• Les questions à réponse courte 

Exemple question directe : quelle est l’unité de la résistance d’un conducteur dans le SI ? 

Phrase à compléter (question à trou, phrase lacunaire ou phrase à indice): La résistance d’un 

conducteur s’exprime dans le SI, en ……………… 

Ces questions sont utilisées pour mesurer le rendement de l’élève, car elles mesurent plus le 

rappel que la récognition (reproduction), le rappel étant un processus mental plus actif que la 

récognition (Ebel et Frisbie,1991). 

Précaution à prendre : ne jamais créer deux espaces à compléter dans une seule question, tous 

les espaces vides (à compléter) doivent être en fin de phrase et avoir la même longueur qui ne 

doit pas être un indice de réponse) 

• Les questions dichotomiques ou à deux choix (binary-choice question) 

Type vrai/faux ; oui/non ; (true/false) 

Ce type de question est à éviter car contient une grande part de hasard. L’élève peut deviner 

facilement la réponse correcte et obtenir 50% des points. 

Avantages : elles peuvent permettre à l’enseignant de couvrir une grande partie du contenu de 

son programme scolaire et d’évaluer une variété d’objectifs. 

Limites : Si l’élève répond faux il est difficile de savoir pourquoi il a commis une erreur. 

On peut réduire la part de hasard en notant en négatif quand c’est faux. 

• Les questions à pairage (à appariement) 

Elles se présentent en deux colonnes. L’enseignant doit dire à l’élève comment il doit 

apparier. Exemple associer chiffre et lettre pour répondre ou mettre des flèches…. 

Colonne des prémisses 

colonne des réponses 

1. alcanes a. benzène 

2. alcyne b. méthane 

3. alcène c. acétylène 

d. éthylène 


Précaution : le nombre de réponses doit être plus grand que le nombre de prémisses car s’il y 

a égalité un élève qui trouve 2 des 3 réponses, trouve la 3 ème réponse sans réfléchir. Il faut 

utiliser le même vocabulaire dans chaque colonne (mots de même catégorie). 

Avantages : permettent de mesurer des connaissances de base (définitions, formules, ….) 

permettent d’évaluer à quel point l’élève est capable d’intégrer ses connaissances, 

compte tenu que celles-ci se combinent entre elles de façon simple ou complexe. 

Limites : ne permettent pas de mesurer la capacité à raisonner 

• Les questions à choix multiples (QCM) 

Une seule réponse est correcte parmi les possibilités offertes à l’élève. 

Précaution : attribuer 50% de chance à la bonne réponse et les 50 autres % devant être répartis 

équitablement entre les réponses fausses. Si on a plusieurs questions, éviter de placer la bonne 

réponse au même endroit. 

Par exemple : l’unité de l’intensité du courant est 

1. Le volt 2. L’ampère . L’ohm 

Avantages : l’élève mérite sa note ; la correction est facile ; ces questions permettent de 

mesurer une variété de connaissances. 

Limites : elles ne permettent pas de mesurer la capacité de l’élève à faire une synthèse ou une 

analyse. 

• Les questions à réponse multiple. 

Plusieurs réponses sont correctes contrairement aux QCM. 

Exemple : La tension U aux bornes d’un résistor parcouru par un courant est : 

R*I 

P/I 

P*I 

R*I 2 

Encercler la ou l(es) bonne(s) réponse(s). 

II-1-2.Les questions à production divergente (questions à réponse construite) 

Elles sont les plus utilisées en PC. L’élève répond en construisant ses propres phrases. 

Exemple : calculer, décrire, expliquer, interpréter, analyser, dégager les idées, justifier…. 

L’enseignant doit indiquer le temps de réponse pour chaque question ou pour chaque exercice 

pour que l’élève puisse planifier et organiser son temps. L’enseignant doit indiquer la note 

attribuée à chaque question pour aider l’élève équilibrer et organiser son temps. L’élève 

évitera ainsi à s’attarder sur les questions à peu de points et dont il ne connaît pas la réponse. 

Dans ces types de questions, la correction est personnelle et subjective ; elle peut varier d’un 

enseignant à un autre ou chez le même enseignant d’une période à une autre ; le matin 

l’enseignant peut être alerte et attentif et le soir il peut être affecté par la fatigue et être moins 

exigent. 

La question doit être posée dans un langage accessible aux élèves. Elle doit être comprise de 

la même façon par tous les élèves. 

Avantages : elles permettent à l’élève de s’exprimer librement et de manifester son originalité 

et son point de vue de façon créative. 

Limites : il y a manque de constance dans la correction des réponses ; la correction est 

fastidieuse et présente beaucoup de subjectivité. Le temps de correction est long. 

Après chaque épreuve écrite (devoir surveillé ou composition), l’enseignant doit calculer le 

taux de réussite pour chaque question . 

Taux de réussite p= R/T (R est le nombre d’élèves ayant répondu juste à la question ; T 

est le nombre d’élèves ayant répondu à la question. 


Conseils pour la correction 

• Elaborer un modèle de réponse pour chaque question ; modèle souple et exhaustif pour 

englober toutes les bonnes réponses possibles ; 

• corriger sans regarder les noms des élèves ; 

• corriger les réponses d’une même question pour tous les élèves pour augmenter 

l’objectivité et la fidélité de la correction ; 

• ne pas être découragé par le nombre de copies 

• ne pas se laisser distraire par des influences extérieures telles que des problèmes 

familiaux 

• être dans une ambiance morale et psychologique neutre et équilibrée ; 

• être constant dans la correction (analytique/holistique) 

II-2. L’OBSERVATION : Elle est utilisée pour évaluer un savoir faire pratique 

L’ enseignant doit donner des consignes claires aux élèves et bien expliquer le travail 

à faire. On l’utilise en séance de TP (Travaux Pratiques). 

III LES CARACTERISTIQUES DE L’EVALUATION 

La pertinence : adéquation de l’objet par rapport à l’objectif visé : 

On se pose les questions suivantes : 

Est ce que je ne me trompe pas d’objectif pour remplir la fonction visée ? 

Est ce que je ne me trompe pas d’informations à recueillir ? 

La validité : adéquation de la stratégie. 

Mes critères permettent-ils de vérifier ce que je déclare vouloir vérifier ? 

La stratégie mise en place me donne t-elle toutes les garanties que l’information que je vais 

recueillir est bien celle que je déclare vouloir recueillir ? 

La fiabilité : qualité de la mise en œuvre de la stratégie. 

L’utilisation que je fais des stratégies est-elle la même pour tout le monde ? 

La façon de recueillir l’information est elle semblable d’une personne à l’autre, d’un endroit à 

l’autre, d’un moment à l’autre. 

IV. LES ETAPES DE CONSTRUCTION D’UN SUJET D’EXAMEN 

Tout enseignant qui prépare bien sa leçon et qui choisit des activités et des stratégies 

d’intervention facilitant l’apprentissage des élèves doit évaluer les objectifs à atteindre d’où 

l’importance de bien concevoir un examen et donc de connaître les différentes étapes que 

comporte l’élaboration d’un examen. 

1. dresser la liste des objectifs spécifiques à atteindre à la fin de la période 

d’apprentissage ; pour être valide l’examen doit être bâti sur cette liste ; 

2. identifier les objectifs de connaissance, de compréhension, d’application, d’analyse, de 

synthèse ; 

3. faire un tableau de spécification à double entrée (voir page suivante); 

4. proportionner l’effort consacré à chaque unité d’apprentissage/leçon/chapitre 

(combien d’heures l’enseignant a consacré à chaque unité….) 

5. Choisir le type de questions à poser (QRC, QCM…..) ; 

6. choisir/construire les exercices en fixant le nombre et le timing 

7. choisir un barème en tenant compte de l’effort fourni pour chaque unité 

d’apprentissage et du niveau taxonomique . 

pondération recommandée pour un examen équilibré : pas plus de 10% pour la 1 ère et la 

2 ème unité d’apprentissage et pour le reste pas plus de 40%. 


Remarque. LES NOTES COMPOSITES 

Généralement lors des évaluations (sous forme écrite) formatives et sommatives, les 

enseignants notent les élèves sans faire attention aux différentes questions réussies. Ces notes 

étant la somme de tous les points obtenus dans l’ensemble du sujet, sont appelées notes 

composites. Elles ne renseignent pas sur les compétences que l’élève à réussies ou échouées. 

L’enseignant lors de la confection de ses épreuves écrites doit dresser la liste des compétences 

traitées dans chaque chapitre concerné. Pour être valide (mesurer ce qu’il est censé mesurer) 

l’examen doit être bâti à partir de cette liste de compétences. Après l’enseignant peut préparer 

pour chaque classe un tableau de spécification. Un tableau de spécification permet à 

l’enseignement d’avoir des renseignements sur les compétences les mieux réussies et les non 

réussies par chaque élève afin de mieux conseiller l’élève sur ses forces et faiblesses. Dans ce 

tableau, l’enseignant doit mettre dans chaque colonne et pour chaque élève l’ensemble des 

points obtenus pour toutes les questions relatives à la connaissance, à la compréhension… 

COMPETENCES 

élèves Connaissance Compréhension Application 

Analyse synthèse Total 

de 

points 

E1 2/2 1/3 3/4 3/5 2/6 11/20 

E2 

E3 

E4 

E5 

E6 

E7 

E8 

…….. 

Dans ce tableau, l’élève E1 a bien réussi les compétences : connaissance, application et 

analyse. Par contre il a des problèmes en compréhension et en synthèse. 

En plus du tableau de spécification qui informe l’enseignant sur les compétences réussies ou 

non par l’élève, la note d’un élève peut être interprétée autrement. Elle est d’abord comparée 

au critère qui est généralement 20. Elle peut être comparée à la moyenne de la classe (rapport 

entre la somme des notes des élèves et le nombre d’élèves). Elle peut donc être inférieure, 

supérieure ou égale à la moyenne de la classe. 

Pour un même élève, sa note peut être comparée à ses autres notes dans les devoirs antérieurs. 

On calcule alors le gain brut (la perte brute). Le gain brut est la différence des deux notes 

n 2 -n 1 ; n 2 , n 1 sont les notes de l’élève dans deux devoirs ; si cette différence est négative on a 

une perte brute. 

On peut aussi calculer le gain relatif G ou la perte relative P pour le même élève ou pour deux 

n2! n1 

élèves. G= * 100 : n 

M ! n1 2 est la note obtenue au deuxième devoir et n 1 la note au premier 

devoir. M est la note maximale qui est généralement 20. 

Si 30%

Ces calculs de gain et de perte permettent de mieux suivre un élève et de renseigner ses 

parents sur les progrès ou non de son enfant. 

LE QUESTIONNEMENT ORAL ET LA RETROACTION (FEEDBACK°) 

A l’oral les questions sont généralement à production divergente. L’interrogation orale 

présente certains avantages qu’on ne retrouve pas à l’écrit : 

Le professeur peut 

reformuler les questions ; 

s’assurer que la question posée est bien comprise ; 

mettre à l’épreuve le degré de profondeur de la compréhension manifestée par l’élève 

sur un point de matière ; 

recueillir des informations sur les démarches de pensée développées par l’élève ; 

évaluer non seulement la maîtrise de la matière mais aussi les capacités de 

communication orale de l’élève 

observer une large gamme de réactions des élèves suscitées par les questions posées 

(stress, hésitation, précipitation, réflexion, intérêt…) ; 

Une des faiblesses majeures de l’oral est la subjectivité. En effet, les critères de 

l’évaluation orale ne sont pas précis 

Un avantage que l’oral a sur l’écrit c’est la possibilité de donner un feedback approprié à 

l’élève, le feedback étant un message qu’on doit présenter à l’élève afin de l’informer de la 

qualité de sa réponse, et lorsque cette dernière n’est pas satisfaite, de l’aider à découvrir la 

réponse correcte. 

Il est regrettable que certains feedback soient réduits à des oui et à des non. Même si la 

réponse de l’élève est juste on doit lui expliquer en quoi sa réponse diffère de la bonne 

réponse, l’informer du degré de maîtrise de l’objectif. 

On peut classer les feedback en deux catégories : le feedback positif (feedback qui suit une 

réponse correcte) et le feedback négatif (feedback qui est fourni suite à une réponse 

incorrecte). Un feedback a un double rôle : informer et motiver. S’il est positif, il peut être 

personnalisé si on l’accompagne du nom de l’élève. 

Exemple : Très bien, Moussa, mes félicitations 

Ce genre de feedback ne renseigne pas l’élève sur l’écart de sa réponse à la bonne réponse. 

C’est un feedback générique. 

Le feedback négatif doit être informatif et ne doit pas être démotivant. 

Exemple : le nombre que tu as trouvé est exact, mais tu as oublié de préciser les unités ; 

Ta réponse est bonne mais dans le désordre. 

Eviter de dire à un élève : tu ne fais aucun effort 

Le feedback le plus informatif est celui qui permet à l’élève de comprendre en quoi il s’est 

trompé ou pourquoi il a répondu juste. Il serait donc plus intéressant de classer les feedback 

en feedback de confirmation et en feedback de redressement d’erreur. 

Le feedback de confirmation est proposé suite à une réponse jugée correcte afin d’informer 

l’élève de la pertinence de son activité. 

Le feedback de confirmation peut être : 

générique : Exemple : OK, c’est bon ou, très bien, ta réponse est correcte. Ce genre 

de feedback ne fait pas référence au déroulement du processus d’apprentissage. Il est à 

éviter. 

spécifique c’est à dire tenir compte dans sa formulation de la manière dont 

l’apprentissage s’est déroulé. 

Exemple : ta réponse est cette fois correcte, évite de répondre trop précipitamment la 

prochaine fois. 


justifiée : dans ce cas en plus de l’aspect confirmatoire le feedback doit comporter un 

certain nombre d’informations complémentaires en vue de montrer à l’élève en quoi sa 

réponse est correcte. 

Exemple Très bien, l’ohm étant des volt par ampère, la résistance du résistor est bien 

R= I 

U 

partielle lorsqu’il souligne la pertinence de la réponse tout en insistant sur le fait que 

certains éléments, jugés secondaires par rapport à l’apprentissage à réaliser, présentent 

certains incorrections ou alors la réponse tout en restant correcte mérite d’être nuancée 

ou complétée. 

Exemple : Très bien la réponse est correcte, mais tel mot s’écrit….. 

Le feedback de redressement d’erreur : il doit être centré sur l’erreur commise par l’élève. 

Il peut être : 

générique : exemple : non tu t’es trompé ; 

il est à éviter car l’élève ne sait pas sur quoi il s’est trompé ; ce genre de feedback peut 

avoir un effet négatif sur la motivation des élèves. 

spécifique : il tient compte de l’erreur particulière commise par l’élève mais sans 

nécessairement explorer tous les aspects erronés de la réponse 

discriminatif : il met ben évidence, de manière exhaustive, les différents éléments qui 

distinguent la réponse fournie de la réponse attendue. Il fournit généralement à l’élève 

davantage d’éléments susceptibles de l’aider à faire évoluer sa réponse vers la réponse 

attendue. 

Inducteur : il met l’erreur en évidence en faisant apparaître à l’élève l’incohérence de 

sa réponse ou du raisonnement qui a conduit à cette réponse. 

Bibliographie 

DE KETELE, J.M. (1986). L’évaluation : approche descriptive ou prescriptive ? De Boeck 

Université 

DE LANDSHEERE , G (1984). Evaluation continue et examens. Précis de docimologie. 

Editions Labor. Education 2000. 

DAWOUD. M. (1995). Elaboration d’un examen de rendement scolaire. Techniques et 

procédures. Editions Nouvelles. 

ODILE, et VESLIN, J. (1992). Corriger des copies. Evaluer pour former. 

DEPOVER , C et al .(1994) La conception des logiciels éducatifs (titre provisoire). Inédit 


L e c t u r e s 

s u p p l é m e n t a i r e s 1 

1 Selon l’auteur du module, les lectures obligatoires respectent le droit d’auteur et ne contreviennent 

en aucun cas au copyright.

ANNEXE 5 

COURS DE MECANIQUE GENERALE I 

Pr RATIARISON Adolphe A 

Département de Physique 

Faculté des Sciences 

Université d’Antananarivo 

Les parties Dynamiques, 

Moment cinétique, 

Oscillateurs et 

Mouvements à forces centrales 

ont été copiées de 


1

CHAPITRE I: 

CALCUL VECTORIEL 

Le calcul vectoriel est un outil mathématique qui joue un rôle considérable en mécanique, 

car beaucoup de grandeurs physique (vitesse, accélération, forces, quantité de mouvement, 

…) sont des vecteurs. Il est donc utile et nécessaire de rappeler les calculs vectoriels. 

I- ESPACE VECTORIEL 

I.1 Définitions 

• On appelle espace vectoriel E sur un corps commutatif K, un ensemble d’éléments, 

appelés vecteurs, qui satisfait aux propriétés suivantes : 

! E est muni d’une structure de groupe commutatif pour une loi de composition 

interne, l’addition vectorielle , notée + 

! Pour deux vecteurs U et V , éléments de E, on a, si ! et µ appartiennent à 

K : 

!(U 

+ V) = ! U + ! V 

(! + µ )U = ! U + µ U 

!( 

µ U) = (!µ)U 

1U 

= U 

• On appelle vecteur un élément d’un espace vectoriel. 

• De façon plus simple, et plus pratique, on appelle vecteur un bipoint ordonné (A,B), 

noté AB ou V , A s’appelle l’origine, et B l’extrémité. 

Un vecteur est déterminé si on connaît 

- son support (droite AB), 

- son sens (de A vers B) 

- son intensité (module AB du vecteur AB ). 

I.2 Base d’un espace vectoriel 

On appelle base d’un espace vectoriel un système de n vecteurs de E, linéairement 

indépendants, permettant d’exprimer linéairement tout vecteur de E : 

n 

U = ! 

i= 

1 

x i e i 

Les coefficients x i sont les composantes du vecteur U dans la base considérée. 

La base est orthonormée si, quels que soient i et j, on a : e .e 1 et e . e = 0 

i 

i 

= 

i j 

2

II- 

ESPACE AFFINE 


On appelle espace affine " un ensemble de points, tel qu’ à tout bipoints ordonné (AB) de 

deux points A et B, on peut faire correspondre un vecteur AB , d’un espace vectoriel E. 

Si A, B, C désignent trois points de ", on a : 

AB = ! BA 

AC = AB + BC 

Si O est un point quelconque de ", et V un vecteur appartenant à E, il existe un point A 

et un seul tel 

OA = V 

II.2 Espace métrique 

Si on a deux vecteurs 

/ 

/ 

/ 

/ 

OA = ! x 

i 

ei 

et OA = ! x 

i 

ei 

on a : AA = !( x " x 

i) 

e 

i 

i 

# 

$ 

! $ 

! 

% i 

i " % i " 

Dans un système de coordonnées , un vecteur est déterminé par ses composantes dans 

ce repère. 

La norme AA / 1 

/ 

est : = & / 

/ # & 

2 

$ 

2 

(( ' ) (( ' ) ! = $ ( 

/ 

AA x 

i 

x 

i 

ei. 

x 

i 

x 

i 

ei 

. ( x 

i 

' x 

i) 

On appelle composantes d’un vecteur par rapport à un système de coordonnées donné, 

les projections orthogonales de ce vecteur sur les 3 axes du repère. 

i 

i 

1 

2 

i 

x 3 

O 

x 1 

x 1 

x 3 

x 2 

x 2 

3

III- 

OPERATIONS SUR LES VECTEURS 

III.1 Addition et soustraction vectorielles 

L’addition de deux vecteurs 

U + V = 

W 

U et V donne un vecteur W tel que 

W 

V 

U 


On se donne un vecteur AB . Quels que soient les points B1,B1,B3,B4, la relation de 

Chasles s’écrit : 

AB = AB1 + B1B2 

+ B2B3 

+ B3B4 

+ B4B 

Ce qui se traduit par le schéma suivant : 

B 

A 

B 4 

V 

B 1 

B 2 

B 3 

Technique d’addition de 2 vecteurs 

Soient deux vecteurs U et V . 

On construit un parallélogramme de côtés U et V . Le vecteur somme est le diagonal 

de ce parallélogramme. Notons que l’addition vectorielle est commutative. 

U + V = V + U = W 


4

2 

2 2 2 

( U + V) = U + V + UV 

W = 

2 

2 

W = U + V + 2 U V cos! 

2 

V 

W 

U 

# 

On peut aussi additionner deux 

vecteurs par les composantes. 


a a 

vecteurs 

somme est 

1 

1 

1 

c 

2 

U b et V b . Le vecteur 

c 

W = U 

2 

2 

a 

+ V = b 

c 

1 

1 

1 

+ a 

+ b 

+ c 


2 

2 

2 

2 

2 

( a + a ) + ( b + b ) + ( c ) 2 

W = 

+ 

1 2 1 2 1 

c 

2 

Technique de soustraction de 2 vecteurs 

W=U-V 

U 

-V 

V 

La soustraction de deux vecteurs 

U et V se fait comme suit : 

On construit le vecteur 

l’addition de 

vecteurs 

U et de - V . 

- V et on fait 

U - V = W 


a a 

U 

b 

c 

1 

1 

1 

et 

V b 

c 

2 

2 

2 

, les composantes 

de 

U - V = W sont : 

U 

- V 

= 

a 

b 

c 

1 

1 

1 

! a 

! b 

! c 

2 

2 

2 

III.2 Multiplication d’un vecteur par un scalaire. 

Soit V = x 

1 

e1 

+ x 

2 

e 

2 

+ x 

3 

e 

3 

un vecteur. Si on multiplie ce vecteur par un scalaire ! on a : 

5

! V = ! 

( x 

1 

e1 

+ x 

2 

e 

2 

+ x 

3 

e ) 

(! 

x ) e 1 

+ (! 

x 2 

) e 2 

+ (! 

x 3 

) e 3 

= 

Multiplier un vecteur par un scalaire revient donc à multiplier les composantes par ce 

scalaire. 

1 

3 

2 

2 

2 

2 2 2 

(! 

x ) + (! 

x ) + (! 

x ) = ! ( x ) + ( x ) + ( x ) = V 

! V = 

! 

1 

L’angle du vecteur ne change pas. 

2 

3 

Le module du vecteur est multiplié par ce nombre. Si ! est négatif, le vecteur 

sens contraire à V 

1 

2 

3 

! V est de 

3V 

V 

III-3 Produit scalaire. 

Soient 

U = ! U 

i 

ei 

et V = ! Vi 

ei 

deux vecteur de E, exprimés dans une base 

i 

orthonormée directe. Le produit scalaire de ces deux vecteurs est : 

U .V = 

! 

i 

U V 

i 

i 

Représentation géométrique. 

i 

Dans un repère Oxyz le produit scalaire U .V = UV cos! 

. 

Cette dernière se décompose en U et Vcos$. L e produit scalaire de deux vecteur est 

donc la produit de la projection du vecteur V sur la direction du vecteur U . 

III-4 Produit vectoriel 

Soient 2 vecteurs U et V de composantes respectives (U 1 , U 2 , U 3 ) et (V 1 , V 2 , V 3 ) dans un 

repère orthonormé direct ( 0, e 1 

,e 2 

, e 3 

). 

Le produit vectoriel de U et V est un vecteur W noté 

trièdre( U ,V, W) 

soit direct. Les composantes du vecteur W sont : 

W = U ! V tel que le 

6

W = U " V = 

U 

U 

U 

1 

2 

3 

" 

V 

V 

V 

1 

2 

3 

= 

U 

U 

2 

3 

1 

V 

V 

3 

1 

2 

! U 

! U 

3 

1 

2 

V 

V 

2 

U V ! U V 

3 

1 

Propriétés du produit vectoriel : 

• Le produit vectoriel est nul si et seulement si : 

- l’un des vecteurs est nul 

- les deux vecteurs sont parallèles 

• W est perpendiculaire au plan formé par U et V 

• La norme du produit vectoriel est W = U.Vsin(U, V) 

. La nome du produit 

vectoriel est égale à l’aire du parallélogramme avec U et V 

• U ! V = " V ! U 

W 

V 

U 

III-5 Produit mixte de trois vecteurs 

Soient trois vecteurs U 

1, 

U 

2 

, U 

3 

. On appelle produit mixte de ces trois vecteurs la 

quantité scalaire définie par : 

( U 

2 3 ) 

U 

1. 

! U 

Propriétés du produit mixte. 

• Un produit mixte reste invariant par permutation circulaire de ces vecteurs 

U 

1. 

( U 2 ' U 

3) = U 2. 

( U 

3 

' U1) = U 3 

. $ & U 1 

' U 2 !# 

= ( U 1 

,U 2 

, U 3 

) 

% " 

• Le produit mixte s’identifie au volume délimité par le parallélépipède construit avec 

les trois vecteurs U 

1,U 

2 

, U 

3 

. 

7

W 

h 

U 

3 

U 

2 

La norme de W U 1 

! U 

2 

hauteur h 

= est l’aire de la base et celle de 3 

cos( W, U 3 

) 

U est la 

Le produit mixte de trois vecteurs est égal au déterminant de ces trois vecteurs. 

III.6 Double produit vectoriel 

On appelle double produit vectoriel de trois vecteurs 

1,U 

2 

, U 

3 

On montre que : 

( U 2 

" U 3 

) = ( U 1 

.U 3 

) U 2 

( U 1 

.U 2 

) 3 

U ! 

1 

" 

U 

IV-VECTEURS LIES 

U 

1 

U , le vecteur U 1 

!( U 2 

! U 3 

). 

IV.1 Définition d’un vecteur lié 

On appelle vecteur lié un vecteur dont le point d’application est fixe dans l’espace. Si A est le 

point d’application du vecteur V , on note ( , V) 

A le vecteur lié. 

IV.2 Moment d’un vecteur lié 

Le moment en O d’un vecteur lié ( , V) 

le vecteur 

A est 

M O 

(V) = OA ! V 

dont le module est : 

M O 

(V) = 

OA.V.sin(OA,V) 

O 

(V) M O 

V 

A 

H 

IV.3 Moments d’un même vecteur lié en deux points O et O’. 

Soient deux points O et O’ et un vecteur lié ( , V) 

Le moment du vecteur ( A , V) 

par rapport à O est : 

A est : 

8

( OO' + O' A) V 

M O 

(V) = OA ! V = 

! 

M 

O 

(V) = M 

O 

(V) + OO' ! V 

IV. 4 Moment d’un vecteur par rapport à un axe. 

O est un point de la droite (%) de vecteur 

unitaire e 

! 

( , V) 

. Le moment du vecteur lié 

A par rapport à la droite (%) est le 

produit scalaire : 

( OA V) 

M 

O 

(V) = e 

".M 

O 

(V) = e 

". 

! 

Le moment d’un vecteur par rapport à une 

droite est donc la projection orthogonale du 

moment de ce vecteur par rapport à un point 

de cet axe sur cette droite. 

e 

! 

O 

(V) M O 

A 

V 

IV.5 Théorème des moments. 

Soit un ensemble de vecteurs liés {( A i 

, V i 

)} 

. 

La résultante générale de ces vecteurs est : S = ! 

Le moment résultant de ces vecteurs en un point O de l’espace est : 

M 

O 

(A 

i 

,V 

i 

) = ! OA 

i 

" Vi 

= OO' + O' A 

i 

" Vi 

= M 

O' 

(A 

i 

,V 

i 

) + OO' " Vi 

i 

M 

O 

(A 

i 

,V 

i 

) = M 

O' 

(A 

i 

,V 

i 

) + OO' ! S 

IV.6 Théorème de Varignon. 

!( ) ! 

i 

i 

V i 

i 

A 2 

A i 

V n 

A n 

V i S 

V 2 

C 

A 1 V 1 

Considérons un système de vecteurs 

concourants en un point C de l’espace. 

La résultante générale de ces vecteurs 

est : S = ! V i 

. 

i 

O un point quelconque de l’espace. Le 

moment résultant en O est : 

M 

M 

O 

O 

(A ,V ) = ! OA " V 

i 

i 

i 

i 

i 

( OC + CA 

i) 

(A 

i 

, V 

i 

) = ! " Vi 

M 

O 

(A 

i 

, V 

i 

) = OC ! S 

i 

Le moment d’un système de vecteurs liés concourants en un point C est le même que celui 

d’un vecteur lié ( C ,S).. 

9

IV.7 Système de vecteurs liés parallèles. 

V 1 

A n 

A 2 

K A i V n 

A 1 

V 2 

S 

V i 

Notons e le vecteur unitaire commun à tous ces 

vecteurs liés. On a S = ! V i 

i 

Considérons un point O arbitraire de l’espace. 

' $ 

M 

O 

(A 

i 

, V 

i 

) = ( OA 

i 

! Vi 

= %( 

Vi 

OA 

i " ! e 

i 

& i # 

" OA ! V = i 

SOK , K est le barycentre des A i i , 

i 

affectés des mesures algébriques V i . 

Il vient : 

M 

O 

(A 

i 

, V 

i 

) = SOK ! e = OK ! e 

Le moment d’un système de vecteurs parallèles est le même que celui d’un vecteur ( K ,S) 

10

Chapitre II 


Dans le cadre de ce cours, nous allons nous intéresser uniquement aux relations mécaniques entre des 

points matériels. 

En mécanique du point et en mécanique des solides, nous utiliserons deux espaces : _ L’espace qui nous 

entoure. Il est représenté en mathématiques par un espace affine (formé de points) euclidien (on peut définir la 

distance entre deux points). 

En mécanique, nous entendrons par point matériel tout corps dont la position est parfaitement définie par la 

connaissance d’un point de E3, donc d’un triplet de nombres réels. 

Pour étudier la cinématique nous commençons par définir le référentiel. C’est avec la notion de référentiel 

que s’articule le concept d’accélération de Coriolis. Enfin, la question du choix du référentiel conduira à la théorie 

de la relativité! 

I. Définitions. 

I.1 Repère d’espace R 

On appelle repère d’espace R un 

ensemble de points dont les distances mutuelles 

sont invariables au cours du temps ; un tel 

ensemble est aussi appelé solide de référence. 

On caractérise généralement un tel repère 

d’espace par un point O, choisi 

conventionnellement comme origine du repère, et 

une base orthonormée ( i , j,k) 

R = ( O,i, j, k) 

ce repère par ( O,i, j, k) 

par R ( O,i, j, k) 

. 

. On note alors 

R = ou 

z 

M 

(C) 

k 

x 

O j 

i 

Figure 1 : repérage d’un mobile dans l’espace 

y 

I.2 Référentiel 

L’ensemble d’un repère d’espace et de temps constitue un référentiel. 

Les vitesses et les accélérations sont définies ou mesurées, par rapport à un référentiel qu’on se doit de 

spécifier. 

Pratiquement, un référentiel peut être 

- le laboratoire 

- le centre du soleil et 3 étoiles fixes 

- un carrousel 

- le référentiel "du centre de masse" 

- un système d'axes cartésiens. 

11

I.3 Vecteur position – rayon vecteur – équation horaire – équations paramétriques 

Considérons un mobile M dans le repère ( O,e x 

,e y 

, e z 

) 

R . Le vecteur OM = r qui définit la position du 

mobile M à l’instant t s’appelle le rayon vecteur ou le vecteur position de M à la date t. 

On appelle trajectoire le lieu géométrique des points occupés par un point matériel au cours du temps. 

Dans la figure ci-dessous, la courbe ( C ) est la trajectoire du mobile. 

La fonction (t) r(t) 

horaire. Prédire cette donnée est au fond le but ultime de la cinématique. 

OM = donne la position d'un point matériel en tout temps t. On l’appelle l’équation 

Les coordonnées x(t), (y) et z(t) de (t) r(t) 

OM = s’appellent les équations paramétriques du mouvement. 

II VITESSE D’UN POINT PAR RAPPORT A UN REFERENTIEL 

II.1 Définition : 

La vitesse vectorielle instantanée se définit très naturellement 

par une dérivée vectorielle. La vitesse du mobile M dans le repère 

( O,e x 

,e y 

, e z 

) 

R se note (M) 

v 

R 

dérivée de 

(M) 

V R et est définie par : 

r(t + ' t) ( r(t) 

& dr # 

$ ! 

& dr # 

$ ! 

= t 

lim 

= 

' 0 ' t $ dt ! $ 

% " 

dt ! 

/ R % " / R 

est 

OM = r par rapport au temps, dérivation effectuée dans 

le repère R ( O,e x 

,e y 

, e z 

) 

. Nous y reviendrons ultérieurement au 

chapitre traitant la loi de composition du mouvement. 

L’interprétation géométrique de cette limite suggère que le 

vecteur vitesse est tangent à la trajectoire. 

la 

II.2 Composantes cartésiennes du vecteur vitesse. 

Dans le repère ( O,e x 

,e y 

, e z 

) 

v 

R 

Car 

& dOM # 

(M) = $ ! 

dt 

% " 

R , OM = xe 

x 

+ ye 

y 

+ xe 

z 

, alors : 

= 

dx 

dt 

e 

x 

dy 

+ e 

dt 

/ R 

e 

x 

,e 

y 

, e 

z 

sont fixe dans le repère R ( O,e x 

,e y 

, e z 

). 

y 

+ 

d 

dt 

e 

• 

z 

= x e 

x 

• • 

y 

+ z e 

z 

+ y e 

III ACCELERATION D’UN POINT PAR RAPPORT A UN REFERENTIEL R ( O,e x 

,e y 

, e z 

) 

III.1 Définition : 

Par analogie avec la définition de la vitesse, l’accélération instantanée est donnée naturellement par: 

a 

R 

(M) 

& dV (M) # 

$ dt ! 

% " 

R 

= • r 

• 

2 

= $ ! = $ 

2 

/ R 

& d OM # 

! 

$ dt 

% " 

/ R 

12

Cependant, il faut faire attention: l'accélération 

ne se visualise pas aussi bien que la notion de vitesse. 

Il est bon, en particulier dans la manipulation 

d’expressions algébriques représentant des grandeurs 

physiques, de veiller à garder la cohérence des unités. 

On se souviendra que la vitesse a les unités d’une 

longueur divisée par un temps, l’accélération, celles 

d’une longueur divisée par le carré d’un temps. 

Typiquement, avec le système international 

d’unités (SI) : 

vitesse : [v] = m / s 

accélération: [a]= m / s 2 

III.2 Composantes cartésiennes du vecteur accélération. 

a 

R 

•• & dVR 

(M) # 

(M) = r = $ ! 

dt 

% " 

/ R 

& 

= $ 

% 

d 

dt 

• 

& 

$ x e 

% 

x 

• 

+ y e 

x 

• 

+ z e 

x 

## 

!! 

"" 

/ R 

•• 

= x e 

x 

•• 

+ ye 

x 

•• 

+ z e 

x 

IV COMPOSANTES INTRINSEQUES DE L’ACCELERATION. 

Pour l’accélération, nous avons : 

a 

R 

' 

(M) = % 

& 

d 

dt 

V 

R 

$ 

(M)" 

# 

/ R 

' dv $ 

% 

! 

= " 

dt 

& # 

/ R 

dv d! 

= ! + v 

dt dt 

La vitesse est orienté suivant la tangente à la 

trajectoire et ! est le vecteur unitaire de la trajectoire. 

Le premier terme est l’accélération 

dv 

tangentielle : ! . 

dt 

Le second est l’accélération normale : 

En effet : 

d 

v ! 

dt 

2 d ! 

d 

! = 1 " 2! 

= 0 " ! est perpendiculaire a 

! 

dt 

dt 

13

d 

v 

dt 

! 

2 

d! 

ds 

= v = 

ds dt 

v 

d! 

ds 

d! 

1 

= 

ds R 

, R est le rayon de courbure de la trajectoire. 

L’accélération normale est donc 

R 

v 2 . 

On peut donc comprendre ces formules cidessus 

en approximant une courbe infinitésimale 

par un arc de cercle. C’est une approximation du 

second ordre. Sur ce cercle, le vecteur tangent 

évolue en fonction de l’angle d$. 

De cette figure,il vient : 

d" 

d" 

d! 

1 1 

= = . = 

ds ds R d! 

R 

L’expression vectorielle de l’accélération 

est alors : 

a 

R 

' 

(M) = % 

& 

d 

dt 

V 

R 

$ 

(M)" 

# 

/ R 

= 

2 

dv v 

! + 

dt R 

n 

On définit le vecteur unitaire b , tel que 

n est le vecteur normal à la trajectoire. 

b = " ! n .Le trièdre direct (,n, 

b) 

! s’appelle le trièdre de Frenet. 

b s’appelle le vecteur unitaire de la binormale 

14

CHAPITRE III 

SYSTEMES DE COORDONNEES 

I-COORDONNEES CYLINDRIQUES. 

I-1 Les coordonnées cylindriques. 

z 

k 

M 

k 

j 

O 

i 

' & 

H 

x 

e ' 

e & 

M point 

materiel 

dont on veut 

definir 

la positon 

y 

Les coordonnées cartésiennes du 

point M sont (x,y,z). 

Le repère cartésien est : R ( O,i, j, k) 

Les coordonnées cylindriques du 

point M sont (&, ', z). 

Le repère cylindrique est : 

( M,e " 

,e , k) 

. 

R c ! 

OM = xi + yj + zk = " e" 

+ zk 

OM = "(cos! 

i + sin ! j) + zk 

OM xi + yj + zk = " e + zk = "(cos! 

i + sin ! j) + zk 

= 

" 

Les relations reliant les coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques sont : 

$ x 

! 

# y 

! 

" z 

= & cos% 

= & sin % 

= z 

I-2 Les composantes de la vitesse en coordonnées cylindriques. 

V 

V 

V 

R 

( 

(M) = & 

' 

d 

dt 

• 

R 

(M) = " e" 

R 

(M) = 

Rc 

% 

(" 

e" 

+ zk) 

# 

+ "! e 

• 

" 

• 

"! 

• 

z 

$ 

/ R 

• • 

! 

+ z k 

• 

= " e" 

de 

+ " 

dt 

• • 

" 

+ z k = " e" 

de" 

+ " 

d! 

d! 

• 

+ z k 

dt 

I-3 Les composantes de l’accélération en coordonnées cylindriques. 

15

a 

R 

( 

(M) = & 

' 

d 

dt 

• 

( 

&" 

e 

' 

" 

• 

+ "! e! 

• 

%% 

+ z k ## 

$ $ 

/ R 

•• 

= " e 

" 

• de 

+ " 

dt 

" 

• • 

+ "! e! 

•• 

+ " ! e 

! 

• de 

+ "! 

dt 

! 

•• 

+ z k 

(M) a R 

•• 

= " e 

" 

• de" 

+ " 

d! 

d! 

• • 

+ "! e 

dt 

! 

•• 

+ " ! e 

! 

• de! 

+ "! 

d! 

d! 

•• 

+ z k 

dt 

(M) a R 

a 

•• • 2 

•• • • 

( % ( % 

= &") " !# 

e" 

+ &" !+ + 2"! 

# e 

' $ ' $ 

& 

% 

•• • 2 

& # 

$ () ( '! 

% " 

# 

" 

•• • • 

R 

(M) = $ ( '+ + 2(' 

! 

Rc 

•• 

z 

! 

•• 

+ z k 

II-COORDONNEES SPHERIQUES. 

II-1 Les coordonnées sphériques. 

x 

i 

z 

O 

' 

k 

u 

M 

$ 

j 

H 

e r 

e $ 

e ' 

y 

Le repère cartésien est toujours R ( O,i,j,k) 

. 

Les coordonnées cartésiennes sont (x,y,z) 

Le repère sphérique est R $ & !# 

( 

% 

M,e ,e , e r ' " 

S 

. 

Les coordonnées sphériques sont (r,',$). 


OM = re 

r 

= r sin ! u + r cos! 

k 

( cos" 

i + sin " j) + r cos k 

OM = r sin ! 

! 

$ x 

! 

# x 

! 

" z 

= r sin % cos& 

= r sin % sin & 

= r cos% 

I-2 Les composantes de la vitesse en coordonnées sphériques. 

& d(re ) # • 

r 

VR (M) = $ ! = r e 

r 

+ 

dt 

% " 

Projetons 

/ R 

de 

r 

dt 

e 

r 

sur u et k . Il vient : 

e r 

= cos! 

k + sin ! u 

r 

16

d e 

• 

• 

du 

r = "! sin ! k + ! cos ! u + sin ! 

dt 

dt 

du du d! 

• 

= = ! e 

dt d! 

dt 

Sachant que 

! 

On a : 

et que 

e = " sin ! k + cos! 

u 

! 

d r 

! 

e 

dt 

• • 

" e" 

+ ! 

= sin " e 

! 

V 

R 

(M) 

• • • 

= r e 

r 

+ r " e" 

+ r ! sin " e 

V 

R 

(M) = 

• 

r 

• 

r ! 

• 

r " sin ! 

R S 

I-2 Les composantes de l’accélération en coordonnées sphériques 

Nous dérivons le vecteur vitesse par rapport au temps. 

( dVR 

(M) % 

& # 

dt 

' $ 

• • 

r ! sin " e! 

Notons que : 

/ R 

•• 

= 

d 

dt 

( 

& r e 

' 

+ r ! sin " e 

• • • 

r 

+ r " e" 

+ r ! sin " e! 

• • 

! 

+ r !" cos" 

e! 

% 

# 

$ 

/ R 

• de 

+ r ! sin " 

dt 

= r e 

! 

•• 

r 

• 

de 

+ r 

dt 

• • 

r 

+ r " e" 

•• 

+ r " e 

" 

• 

de 

+ r " 

dt 

" 

+ 

du 

dt 

du d! 

d! 

dt 

• 

! = = ! e! 

! e 

! 

= cos! 

u " sin ! k donc 

de 

dt 

! 

• 

• 

du 

= "! sin ! u " ! cos! 

k + cos! 

dt 

de 

• • 

" 

; = #" e 

r 

+ ! cos" 

e! 

dt 

de 

de 

d" 

dt 

• • 

• 

" " 

! = = #" u = #" cos! 

e! 

# " sin ! e 

r 

dt 

d" 

Tout calcul fait, nous obtenons : 

17

18 

! 

• 

• 

• 

• 

•• 

" 

• 

•• 

• 

• 

• 

• 

•• 

# 

$ 

% 

& 

' 

( 

" 

"! 

" + 

! 

" + 

" 

+ 

# 

# 

$ 

% 

& 

& 

' 

( 

" 

" 

! 

") 

"+ 

+ 

# 

# 

$ 

% 

& 

& 

' 

( 

# 

# 

$ 

% 

& 

& 

' 

( 

" 

+ ! 

" 

) 

= 

e 

cos 

r 

sin 

r 

sin 

r 

e 

cos 

sin 

r 

r 

r 

e 

sin 

r 

r 

(M) 

a 

r 

R 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

cos 

r 

sin 

r 

sin 

r 

cos 

sin 

r 

r 

r 

sin 

r 

r 

(M) 

a 

R S 

R 

! 

!" 

! + 

" 

! + 

! 

! 

! 

" 

!# 

!+ 

$ 

$ 

% 

& 

' 

' 

( 

) 

! 

+ " 

! 

# 

= 

• 

• 

• 

• 

•• 

• 

•• 

• 

• 

• 

• 

•• 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2

CHAPITRE IV 

EXEMPLES DE MOUVEMENT DE POINT 

I. MOUVEMENT UNIFORME – MOUVEMENT ACCELERE –MOUVEMENT 

RETARDE 

Considérons un mouvement d’un point M quelconque dans un repère R. Nous désignons par V la 

mesure algébrique de son vecteur vitesse V = V (M) 

. Nous avons : 

& 

2 

d V 

1 

$ 

% 

2 dt 

# 

! 

" 

= 

dV 

V 

dt 

= V.a 

. a est le vecteur accélération du point M. 

R 

Un mouvement est uniforme si et seulement si vitesse algébrique est une fonction constante du temps 

t. Dans ce cas V =0. Autrement, nous pouvons aussi dire qu’un mouvement est uniforme si le produit scalaire 

de la vitesse et de l’accélération est nul. 

D’où la caractérisation suivante : 

Pour qu’un point M soit en mouvement uniforme, il faut et il suffit que son vecteur accélération, à tout 

instant t, soit normale à la trajectoire de M. 

1 

2 

d 

& 

$ V 

% 

dt 

d 

& 

1 

$ V 

% 

2 dt 

2 

# 

! 

" 

dV 

dt 

Un mouvement est accéléré = V = V.a > 0 . D’autre part , le mouvement est retardé si 

2 

# 

! 

" 

= 

dV 

V 

dt 

= V.a < 0 

. 

Pour qu’un mouvement soit accéléré (resp. retardé ), il faut et il suffit que l’angle du vecteur vitesse et 

du vecteur accélération soit constamment aigu ( resp. obtus). 

II - MOUVEMENT RECTILIGNE 

I.1 Mouvement rectiligne 

Un mouvement est rectiligne si et seulement si sa trajectoire est portée par une droite. 

Si un mouvement est rectiligne sur une droite (D), son vecteur vitesse est porté par cette droite. 

Réciproquement, si le vecteur vitesse reste colinéaire à une droite fixe (D), le mouvement est rectiligne. 

En effet, soit u . le vecteur unitaire de (D). 

V (t) = 

V(t)u 

19

Par intégration on trouve, 

M 

0 

M = (s ! s 

0 

) u 

s est la primitive de V. 

La trajectoire est portée par la droite (D). 

I.1.1 Mouvement rectiligne uniforme 

Un mouvement est rectiligne uniforme s’il se fait à vitesse constante : 

v v = Cte = 

= 0 

dx 

dt 

Par intégration on a l’équation horaire du mouvement: 

x = v 0 t+x 0 

Le diagramme des espace une droite en fonction du temps t. 

Le diagramme de vitesse est une droite constante. 

x 

x=f(t) 

v 

t 

I.1.2 Mouvement rectiligne uniformément varié 

On a un mouvement rectiligne uniformément varié si l’accélération est constante. 

dv 

a = Cte = 

dt 

v at + v = 

= 

0 

1 

2 

O 

dx 

dt 

2 

x = at + v 

0t 

+ 

x 

0 

est l’abscisse à l’instant t=0 

x 

0 

v la vitesse initiale du mobile. C’est la vitesse à t=0 

0 

De l’équation 

v at + 

= on a : 

v 

0 

t 

v ! v 

0 

= et portons t dans l’équation horaire du mouvement et on a : 

a 

20

2 

v 

0 

0 

2 

! v = 2a(x 

! x ) . 

x(t)=-0.5*10*t^2 +100*t+100 

1000 

500 

x(t) 

0 

-500 

1 6 11 16 21 26 

x 

-1000 

-1500 

t 

I.2 Mouvement circulaire 

Un mouvement est circulaire si et seulement si sa trajectoire est portée par un cercle. 

R(e $ 

( 

r 

i,e ) = ! 

OM = re r 

) 

-R( 2 er 

M 

e r 

$ 

i 

R le rayon du cercle. 

Le vecteur vitesse et le vecteur 

accélération ont pour composante : 

V (M) 

a(M) 

• 

! 

! 

= R e 

• 2 

! 

r 

•• 

= " R e + R ! e 

! 

Un mouvement est circulaire uniforme, si 

et seulement si sa vitesse angulaire est 

constante. 

Dans ce cas, les composantes du vecteur vitesse et du vecteur accélération deviennent : 

V (M) 

= R" 

e 

a(M) = " R! 

! 

2 

e r 

III - MOUVEMENT HELICOIDAL 

21

Un mouvement est hélicoïdal si et seulement si sa trajectoire est portée par une hélice. Soit l’hélice 

circulaire d’équation tracée dans le repère R (O,i, j, k) 

: 

$ x 

! 

# y 

! 

" 

= a cos% 

= a sin % 

z = b% 

K 

k 

M 

a une constante positive non nulle 

b une constante non nulle 

Si a=0 et b*0, l’hélice est une droite tournant autour 

de O. 

Si a *0 et b=0, l’hélice devient un cercle et le 

mouvement est circulaire. 

Si b >0 et a *0, l’hélice est dite droite 

Si b

Un mouvement hélicoïdal est uniforme si sa vitesse angulaire 

vitesse et le vecteur accélération s’écrivent : 

V 

a 

R 

R 

(M) 

(M) = " a! 

( ae + bk) 

= 

# 

2 

e 

IV - MOUVEMENT CYCLOIDAL 

r 

! 

M animé d’un mouvement cycloïdal si sa trajectoire est une cycloïde. 

Les équations paramétriques d’une cycloïde dans un repère R(O,i, 

j, k) 

sont : 

$ x = R( % & sin %) 

! 

# y = R( 1 & cos% 

) 

! 

" z = 0 

• 

! est constante. Dans ce cas, le vecteur 

La trajectoire est périodique puisque y est inchangé lorsque $ = (t varie de 2+, x varie de 2+R. Sur le 

tableau suivant, on a rassemblé quelques valeurs caractéristiques de x et de y. 

(t 0 +/2 + 3+/2 2+ 

X 0 R(+/2 -1) +R R(+/2 +1) 2+R 

y 0 R 2R R 0 

Les composantes cartésiennes de VR (M) et de a 

R 

(M) 

nous permettent de préciser la nature de 

la trajectoire dans le plan Oxy. 

V 

R! 

[ 1 " cos( ! t)] 

2 

R 

(M) = R! 

sin( ! t) a 

R 

(M) = R! 

cos( ! 

R 

0 

R 

R! 

2 

sin( ! t) 

0 

t) 

23

Notons qu’au point de rebroussement (( t = 2 + , etc…), la vitesse s’annule contrairement à l’accélération 

dont la valeur se réduit à celle de la composante normale. 

Exprimons les composantes de VR (M) et de a 

R 

(M) 

dans la base de Frenet. Comme 

V=2R(sin((t / 2), on a : 

& ' t # 

2 & ' t # 

V 

R 

(M) = 2R' 

sin$ 

! eT 

et a 

T 

= ( R' 

cos$ 

! e 

% 2 " 

% 2 " 

T 

. 

Ainsi, nous obtenons la composante 

a 

N 

et le rayon de courbure de la trajectoire : 

& ' t # 

2 & ' t # 

V 

R 

(M) = 2R' 

sin$ 

! eT 

et a 

T 

= ( R' 

cos$ 

! e 

% 2 " 

% 2 " 

V 

R = 

a 

2 

N 

& ' t 

= 4R sin$ 

% 2 

# 

! 

" 

V- MOUVEMENT A ACCELERATION CENTRALE 

(voir Chapitre IX : Forces centrales et mouvement des planètes) 

T 

24

CHAPITRE V 

COMPOSITION DES MOUVEMENTS 

I. DERIVATION D’UN MEME VECTEUR DANS 2 REPERES DIFFERENTS 

I.1. Dérivation d’un vecteur par rapport au temps 

M 

k 

Soient: 

• 0 

( O 0 

,i 0 

,j 0 

, k 0 

) 

• ( O,i,j,k) 

( O 0 

,i 0 

,j 0 

, 0 

) 

R un repère fixe, 

repère galiléen 

R un repère en mouvement 

de translation et de rotation par rapport à 

R 

0 

k 

• M un point matériel mobile par rapport 

à R ( O,i,j,k) 

Dans le repère R ( O,i,j,k) 

a pour coordonnées (x,y,z). 

OM = 


, le point M 

Si on l’écrit en matrice colonne, on a : 

La lettre R qui est en bas des composantes signifie qu’on écrit les composantes dans le repère R ( O,i,j,k) 

. 

Elle s’appelle trièdre d’explicitation. 

La dérivée de OM par rapport au temps, dérivée effectuée dans le repère R ( O,i,j,k) 

s’écrit 

La lettre R à droite du signe de dérivation signifie qu’on fait la dérivation dans le repère R ( O,i,j,k) 

trièdre de dérivation. 

& dOM # 

$ ! 

dt 

% " 

/ R 

Les vecteurs 

nulle. 

• • • 

= x i + y j + z k 

i , j, k sont fixes dans le repère R ( O,i,j,k) 

Effectuons maintenant la dérivée de 

( O 0 

,i 0 

,j 0 

, 0 

) 

R . 

0 

k 

k 0 

j 0 

i 0 O 0 

i 

O 

j 

R 

x 

y 

z 

& dOM # 

$ ! 

dt 

% " 

/ R 

. Elle s’appelle 

, donc leur dérivée par rapport au temps reste 

OM par rapport au temps, dérivation effectuée dans 

. 

25

& dOM # 

$ ! 

dt 

% " 

/ R0 

Les termes 

• • • 

= x i + y j + z k + 

di d j 

, , 

dt dt 

dk 

dt 

Calculons maintenant 

di 

x 

dt 

+ 

d j 

y 

dt 

+ 

dk 

z 

dt 

ne sont pas nuls car ils ne sont pas fixe dans R 0 

( O 0 

,i 0 

,j 0 

, k 0 

). 

di 

, 

dt 

d j 

dt 

et 

dk 

dt 

En mécanique, on travaille toujours en repère orthonormé direct. Ainsi, 

2 di 

i = 1 ! 2i 

= 0 ! i 

dt 

di 

est donc dans le plan j,k) 

dt 

est perpendiculaire a 

. 

di 

dt 

di ( " ! 

1 j + ! 2 k 

dt 

= . 

On fait de même avec les deux autres vecteurs de base de R ( O,i,j,k) 

Donc avec les trois vecteurs de base du repère R ( O,i,j,k) 

, nous avons le système suivant : 

$ di 

! = % 

1 

j + % 

2 

k 

! dt 

! d j 

# = % 

3 

k + % 

4 

i 

! dt 

! dk 

! 

= % 

5 

i + % 

6 

j 

" 

dt 

Avec les relations d’orthogonalité on a aussi : 

$ d j di 

! i.j = 0 ' i + j = 0 ' i[ % 

3 

k + % 

4 

i] + j[ % 

1 

j + % 

2 

k] = 0 ' % 

4 

= &% 

1 

! dt dt 

! dk di 

# i.k = 0 ' i + k = 0 ' i[ % 

5 

i + % 

6 

j] + k[ % 

1 

j + % 

2 

k] = 0 ' % 

5 

= &% 

! dt dt 

! dk d j 

! 

j.k = 0 ' j + k = 0 ' j[ % 

5 

i + % 

6 

j] + k[ % 

4 

i + % 

3 

k] = 0 ' % 

6 

= &% 

" 

dt dt 

La somme 

di d j dk 

x y + z 

dt dt dt 

+ s’écrit alors : 

di d j dk 

x + y + z = i( "! 

1 

y " ! 

2z) 

+ j( ! 

1x 

" ! 

3z) 

+ k( ! 

2x 

+ ! 

3y) 

dt dt dt 

Cette expression peut s’écrire : 

di 

x 

dt 

+ 

d j dk 

y + z = 

dt dt 

R 

" 

" 

3 

# " 

1 

2 

! 

R 

x 

y 

z 

2 

3 

26

En posant # 3 = ( 1 , - # 2 = ( 2 et # 1 = ( 3 , avec ( 1 , ( 2 et ( 3 composantes d’un vecteur ! 

R / R0 

, on a : 

di 

x 

dt 

d j dk 

y + z = " R / R 

! OM 

dt dt 

+ 

0 

! 

R / R0 

s’appelle vecteur instantané de rotation du repère ( O,i,j,k) 

( O 0 

,i 0 

,j 0 

, 0 

) 

R . 

0 

k 

R par rapport au repère 

La règle de dérivation d’un vecteur par rapport au temps, dérivation effectuée dans deux repères différents 

donne : 

( dOM % 

& # 

dt 

' $ 

/ R0 

( dOM % 

= & # 

dt 

' $ 

/ R 

+ " 

R / R0 

! OM 

Cette règle de dérivation est générale. Si W est un vecteur quelconque on : 

( dW % 

& # 

dt 

' $ 

/ R0 

( dW % 

= & # 

dt 

' $ 

/ R 

I.2. Cas particulier 

+ " 

R / R0 

! W 

En appliquant cette règle de dérivation au vecteur ! 

R / R0 

, on a : 

& d # & 

R / R 

d # 

& 

R / R 

d # & 

$ 

' 

0 ! $ 

' 

0 ! 

$ 

' 

R / R0 

! $ 

d' 

R / R0 

= 

+ ' 

R / R0 

) ' 

R / R0 

( 

= 

$ 

% 

dt 

! 

" 

/ R0 

$ 

% 

dt 

! 

" 

/ R 

La dérivée par rapport au temps t de 

0 

$ 

% 

dt 

! 

" 

/ R0 

/ R 

! 

R / R 

, dérivation effectuée dans le repère 0 

( O 0 

,i 0 

,j 0 

, k 0 

) 

égale à la dérivée par rapport au temps de ce vecteur, dérivation effectuée dans le repère 

$ 

% 

dt 

# 

! 

! 

" 

R est 

dk 

dt 

= " R 0 

! OM . 

La dérivée de ! 

R / R0 

par rapport au temps ne dépend pas du trièdre de dérivation. De ce fait on écrit : 

' 

% 

d! 

% 

& 

dt 

$ ' d $ 

0 " % 

! 

R / R0 

" 

d! 

R / 

= 

= 

" % dt " 

# & # 

dt 

R / R 

R0 

/ R0 

I.3. Unicité de ! 

R / R0 

/ R 

Appliquons successivement cette règle de dérivation sur les vecteurs de base du repère R ( O,i,j,k) 

. 

/ R 

27

$ di 

! = & 

! dt 

! d j 

# = & 

! dt 

! dk 

! 

= & 

" 

dt 

R / R0 

R / R0 

R / R0 

% i 

% j 

% k 

Multiplions vectoriellement à gauche ces trois égalités respectivement par 

$ 

! i ' 

! 

! 

# j ' 

! 

! 

! k ' 

!" 

di 

dt 

d j 

dt 

dk 

dt 

= i ' 

= j ' 

= k ' 

(% 

R / R0 

' i) 

(% 

R / R0 

' i) 

= % 

= % 

(% 

R / R0 

' k) 

R / R0 

R / R0 

= % 

& (i.% 

R / R0 

& (j.% 

R / R0 

R / R0 

& (k.% 

)i 

)j 

R / R0 

En additionnant membre à membre ces trois équations, nous obtenons : 

( 

R / R0 

1 & 

= $ i ' 

2 

% 

di 

dt 

+ j ' 

d j 

dt 

+ k ' 

dk 

dt 

Comme i ,j, k sont uniques, ! 

R / R0 

est unique. 

I.4 Composition de ! 

R / R0 

# 

! 

" 

)k 

i ,j, k : 

28

: 

R 1 

( O,i 1 

,j 1 

, k 1 

) 

R 2 

( O,i 2 

,j 2 

, k 2 

) 

( dW % 

& # 

dt 

' $ 

/ R1 

( dW % 

= & # 

dt 

' $ 

/ R 2 

+ " 

R 2 / R1 

! W 

( dW % 

& # 

dt 

' $ 

/ R0 

( dW % 

= & # 

dt 

' $ 

/ R1 

+ " 

R1 

/ R0 

! W 

( dW % 

& # 

dt 

' $ 

/ R 2 

( dW % 

= & # 

dt 

' $ 

/ R 

+ " 

R / R 2 

! W 

R 

( O,i ,j , ) 

0 0 0 

k 0 

( dW % 

& # 

dt 

' $ 

/ R0 

( dW % 

= & # 

dt 

' $ 

/ R 

+ " 

R / R0 

! W 

( ) R O,i,j,k 

On effectue plusieurs rotations successives selon le schéma ci-dessous. On part 

R 0 

( O,i 0 

,j 0 

, k 0 

) et on arrive finalement au repère ( O,i,j,k) 

R 1 

( O,i 1 

,j 1 

, k 1 

) et R 2 

( O,i 2 

,j 2 

, k 2 

). 

Soit W un vecteur mobile du repère R ( O,i,j,k) 

De R 0 

( O,i 0 

,j 0 

, k 0 

) à R 1 

( O,i 1 

,j 1 

, k 1 

) on peut écrire 

( dW % 

& # 

dt 

' $ 

( dW % 

= & # 

dt 

' $ 

+ " 

! W 

R1 

/ R0 

/ R0 

/ R1 

Avec l’équation de passage de 1 

( O,i 1 

,j 1 

, k 1 

) 

du repère 

R en passant par deux repères intermédiaires 

, W est donc mobile dans les 4 repères. 

R à 2 

( O,i 2 

,j 2 

, k 2 

) 

( dW % ( dW % 

& # = & # + (" 

R 2 / R1 

+ " 

R1 

/ R0) ! W 

dt 

dt 

' $ / R0 

' $ / R 2 

Avec l’équation de passage de R 2 

( O,i 2 

,j 2 

, k 2 

) à ( O,i,j,k) 

( dW % ( dW % 

& # = & # + (" 

R / R 2 

+ " 

R 2 / R1 

+ " 

R1 

/ R0) ! W 

& 

' 

dt 

# 

$ 

& 

' 

dt 

# 

$ 

R , on a : 

R on a : 

/ R0 

/ R 

Si la dérivation s’effectue directement dans les repères 0 

( O,i 0 

,j 0 

, k 0 

) 

peut déduire que : 

R et R ( O,i,j,k) 

, on 

29

! 

R / R0 = ! 

R / R 2 

+ ! 

R 2 / R1 

+ ! 

R1 

/ R0 

Cette relation est semblable à celle de Chasles : on commence par R et on termine par R 0 et les 

termes intermédiaires R 1 et R 2 semble se simplifier. 

II. 

COMPOSITION DES VITESSES 

M 

k 

k 0 

O 

j 

Soient toujours : 


• ( ) 

0 0 0 

k 0 

• ( O,i,j,k) 

R un repère en 

mouvement par rapport à R ( O,i ,j , ) 

0 0 0 

k 0 

• M un mobile par rapport à 

R 

( O,i,j,k) 

• O 0 

M le rayon vecteur issu de O 0 

• OM le rayon vecteur issu de O 

V 

R0 

& dO0M 

# 

(M) = $ ! 

$ dt ! 

% " 

/ R0 

& dO0O 

# 

= $ ! 

$ dt ! 

% " 

/ R0 

& dOM # 

+ $ ! 

dt 

% " 

/ R0 

( dO O % ( dOM % 

V (M) & 0 # & # 

R 0 

= + + " 

R / R 

! OM 

& dt # 

dt 

0 

' $ ' $ 

V 

0 

(M) 

$ !#!" 

Vitesse 

absolue 

Va 

j 0 

i 0 O 0 

/ R0 

/ R 

( dOM % ( dO O % 

& # & 0 

+ # + " OM 

dt 

R / R 

& dt # 

' 

/ R 

$!#!" 

$ ' 

/ R 

$! !!! 

$ 0 

#!!!!! 

" 

Vitesse relative vitesse d'entrainement 

Vr 

Ve 

R 

= 

0 

! 

La vitesse relative se note Vr = 

mobile R ( O,i,j,k) 

. 

i 

& dOM 

VR (M) 

dt ! # 

$ 

% " / 

R 

O 0 

M = O O + OM 

On note 

0 

& dO0M 

VR 

0 

(M) 

ou Va 

dt ! ! # 

= $ 

la 

$ 

% " 

vitesse absolue du point M. C’est la vitesse 

R O,i ,j , . 

/ R 

du point M par rapport fixe ( ) 

0 

0 0 0 

k 0 

= , c’est la vitesse du mobile M par rapport au repère 

30

La vitesse d’entraînement se note 

Vr = V 

qu’aurait M, s’il était fixe dans R ( O,i,j,k) 

. 

Va = Vr + 

Ve 

( dO O % 

(M R) & 0 

) = # 

& dt # 

' $ 

R 

+ " 

R/R0 

! 

/ R0 

OM 

0 

, c’est la vitesse 

III. 

COMPOSITION DES ACCELERATIONS 

L’accélération absolue du point M, c'est-à-dire l’accélération dans le repère galiléen ( O,i ,j , ) 

définie comme : 

R est 

0 0 0 

k 0 

a 

R0 

- dVR 

R0 

(M) * 

(M) = + ( 

+ dt ( 

, ) 

/ R0 

= 

d 

dt 

! 

'- 

dO0 

0 * 

& 

+ ( 

+ dt ( 

!% , ) 

/ R0 

+ / 

R / R0 

- dOM * 

. O' M + + ( 

dt 

, ) 

/ R 

! 

$ 

# 

!" 

/ R0 

a 

a 

a 

a 

/ 

R0 

R0 

R0 

R0 

- 

2 

d O0 

0 * 

(M) = + ( 

+ 2 

dt ( 

, ) 

- 

2 

d O0 

0 * 

(M) = + ( 

+ 2 

dt ( 

, ) 

(M) 

R / R0 

- d O 

+ 

, 

dt 

0 * 

( 

) 

/ R0 

/ R0 

+ 

+ 

d 

dt 

d 

dt 

!' 

&/ 

!% 

!' 

&/ 

!% 

R / R0 

R / R0 

- dOM * 

. OM + + ( 

dt 

, ) 

- dOM * 

. OM + + ( 

dt 

, ) 

2 

+ 0 ! 

! 

! 

= ( + &/ 

R / R 

. OM + + ( # + / 

R / R 

. &/ 

2 

0 

0 R / R0 

- 

2 

d O * 

(M) + 0 

0 

= ( 

+ 2 

dt ( 

, ) 

!' 

. &/ 

!% 

R / R0 

/ R0 

/ R0 

+ 

d ' 

dt !% 

d 

dt 

(/ 

R / R0) 

- dOM *! 

$ 

. OM + + ( 

# 

dt 

, )!" 

. OM + / 

/ R 

- dOM * 

+ dt ( 

, ) 

R / R0 

/ R 

/ R 

/ R 

! $ 

# 

!" 

! $ 

# 

!" 

$ 

!" 

/ R0 

/ R0 

/ R 

- dOM * 

. + ( 

dt 

, ) 

/ R 

' 

!% 

- 

2 

d OM * 

+ + ( 

2 

dt 

, ) 

/ R 

- dOM *! 

$ 

. OM + + ( 

# 

dt 

, )!" 

+ 

/ R 

31

a 

R0(M) 

$#" 

a 

G 

Acceleration 

absolue 

( 2 

d OM % 

= & # 

& 

2 

dt # 

' 

/ R 

$!#!" 

$ 

a 

accelerati r 

relative 

on 

( dOM % 

+ 2" 

& # 

R / R0 

! 

& dt # 

/ R 

$! !! # 

' 

!!! 

$ 

" 

a 

c 

Acceleration 

complementaire 

ou acceleration 

de Coriolis 

(" 

R / R0) ! OM + " 

R / R0 

!{" 

R / R0 

! OM} 

( 2 

d O % 

& 00 

# d 

+ 

& 

2 

dt # 

' 

dt 

/ R 

$! !!!!!!!!! 

$ 0 

#!!!!!!!!!! 

" 

a Acceleration d' entrainement 

e 

& d O M # 

a = 

$ dt ! 

% " 

2 

R 

(M) $ 0 

= ! 

0 

a 

2 

a , accélération absolue, accélération du point M par rapport 

au repère R ( O,i ,j , ). 

0 0 0 

k 0 

/ R 

/ R0 

& 2 

d OM # 

a 

R 

(M) = $ ! = 

$ 2 

dt ! 

% " 

repère mobile R ( O,i,j,k) 

a 

c 

= ( 

R / R0 

& dOM # 

' $ ! 

$ dt ! 

% " 

a 

/ R 

r 

, accélération relative, accélération du point M par rapport au 

2 ’ accélération complémentaire ou accélération de Coriolis 

+ 

/ R0 

(" 

R / R 0) ! OM + " R / R 0 

!{" 

R / R 

! OM} V e 

( 2 

d O % d 

a 

R 

(M R) & 0 

0 

# 

0 

) = 

+ 

= 

& 

2 

0 

dt # 

' $ 

dt 


. 


, 

a = a + a + a 

G 

r 

C 

e 

CHAPITRE VI 


32


I-1 Rappels cinématiques : 

Rappelons tout d’abord les différentes notations que nous avons utilisées en cinématique. 

On se donne deux repères 


• 0 

( 0 0 

k 0 

) 

R O,i,j,k un repère en mouvement par rapport à R ( O,i ,j , ) 

• ( ) 

• M un mobile par rapport à R ( O,i,j,k) 

• ! 

R / R0 

le vecteur instantané de rotation du repère ( O,i,j,k) 

Les différentes vitesses sont : 

& dO M # 

V (M) = $ ! = V 

$ dt ! 

% " 

0 

• 

R 

a 

/ R0 

0 0 0 

k 0 

R par rapport à R ( O,i ,j , ) 

0 0 0 

k 0 

0 

la vitesse absolue, vitesse du point M par rapport à R ( O,i ,j , ) 

& dOM # 

V (M) $ ! = V 

dt 

% " 

• 

R 

r 

/ R 

0 0 0 

k 0 

= , la vitesse relative, vitesse du point M par rapport à R ( O,i,j,k) 

( dO O % 

& # 

0 

• V 

R 

(M ) R) = 

+ " 

R / R0 

! OM = Ve 

& dt # 

' $ / R0 

était fixe dans R ( O,i,j,k) 

0 

, la vitesse d’entraînement, vitesse qu’aurait M s’il 

Et la loi de composition de vitesses est : 

Va = Vr + 

Ve 

Concernant les accélérations, nous avons : 

& d O M # 

a = 

$ dt ! 

% " 

2 

R 

(M) $ 0 

= ! 

0 

a 

2 

a , accélération absolue, accélération du point M par rapport 

au repère R ( O,i ,j , ). 

0 0 0 

k 0 

/ R 

/ R0 

& 2 

d OM # 

a 

R 

(M) = $ ! = 

$ 2 

dt ! 

% " 

repère mobile R ( O,i,j,k) 

a 

c 

= ( 

R / R0 

& dOM # 

' $ ! 

$ dt ! 

% " 

a 

/ R 

r 

, accélération relative, accélération du point M par rapport au 

2 ’ accélération complémentaire ou accélération de Coriolis 

33

R0 

(" 

R / R 0) ! OM + " R / R 0 

!{" 

R / R 

! OM} a e 

( 

2 

d O % d 

a 

R 

(M R) & 00 

# 

0 

) = 

+ 

= 

2 

dt 

0 

' $ dt 

, 


. 


a = a + a + 

G 

r 

C 

a 

e 

I.2- Définition : 

La dynamique est l'étude des causes qui provoquent les mouvements des corps solides, on suppose que le 

mobile est un point matériel et que toute sa masse est concentrée en ce point. 

I.3- Le principe fondamental de la dynamique (P.F.D.) 

Si on considère dans un repère galiléen R 0 , un point matériel M de masse m animé du vecteur vitesse V R0 

(M) 

a une quantité de mouvement défini par le vecteur p = mV (M) 

. 

Le P. F.D s'annonce sous la forme suivante: " Dans un repère galiléen, en l'absence de force, le vecteur p est 

invariant, en présence d'une force F , il évolue conformément à l'équation : 

& dp # 

$ ! 

dt 

% " 

/ Ro 

= F 

ou bien 

& 

$ 

d(mV 

$ 

% 

dt 

Ro 

(M) # 

! 

! 

" 

/ Ro 

= F 

I.4- Les deux lois de newton ou le principe de l’inertie: 

R0 

qui s’écrit encore F = ma (M) 

Lorsque la résultante des forces extérieures appliquées à un point matériel est nulle, il reste au repos s’il était au 

repos ; il est en mouvement rectiligne uniforme s’il était déjà en mouvement. 

Si la résultante des forces extérieures appliquées au point matériel n’est pas nulle, elle acquiert une accélération 

suivant ma 

R 0 

(M) ! 

= Fext 

En coordonnées cartésiennes, si on suppose que la masse du point matériel est invariante, cette relation entraîne 

les trois équations différentes suivantes dans lesquelles F x , F y et F z sont les composantes cartésiennes de : 

R0 


34

II.1- LES FORCES A DISTANCE : ce sont des forces dont la portée peut être étendue jusqu'à l'infini, parmi 

lesquelles on peut citer : 


Si on considère deux particules électriquement neutres de masses m 1 et m 2 voisines l'une de l'autre, alors 

chacune exerce sur l'autre une force dite d'attraction universelle de Newton. 


Considérons deux particules de charges électriques q 1 et q 2 , ces deux particules exercent l'une sur l'autre des 

forces d'interactions données par la loi de Coulomb : 

1 

q 

q 

1 2 

F12 

= 

2 

4!" 

0 r 

r 

r 

! 

0 

est appelée permittivité du vide. 

1 

4!" 

0 

= 9. 

10 

9 

Nm 

2 

/ C 

r la distance entre les charges 


2 

Dans un repère (R 0 ) un point M ( x, y, z) de charge q est en mouvement avec la vitesse V Ro 

(M) 

dans un champ 

magnétique B . Le point M est le siège d’une force magnétique 

F 

m 

d’expression : 

F 

m = 

qV 

Ro 

(M) 

II.2- LES FORCES DE CONTACT : 

Les forces de contact qui agissent entre solide, liquide etc…ont un rayon d'action très faible (1Å = 10 -10 m) 

Exemples : 






35

II.3- LES FORCES D'INERTIE D'ENTRAÎNEMENT ET DE CORIOLIS: 

Dans un repère galiléen (R 0 ), le principe fondamental de la dynamique s’écrit : F = ma (M) 

F est la résultante des forces extérieures appliquées au point M en mouvement. 

Si on prend un repère relatif (R) on ne peut pas écrire le P.F.D. comme étant : 

R0 

F = ma (M) = 

Nous avons défini les différentes composantes de l’accélération dans le chapitre traitant les lois de composition 

des mouvements : 

R 

ma 

r 

. 

L'accéléromètre : ( force d'inertie d'entraînement). 

Il permet de mesurer l'accélération linéaire des systèmes tels que trains, automobiles ou 

avions. 

Supposons que le repère mobile est (R) lié à la tige qui se déplace avec une vitesse angulaire constante par 

rapport au repère fixe (R 0 ) et que la masse m lié au ressort peut se mouvoir sans frottement. 

- Si (R) est à l'arrêt par rapport au repère(R 0 ), le poids de la masse m est compensé par la réaction de la tige, la 

longueur du ressort est 

- Si (R) est animé d'un mouvement de rotation par rapport à (R 0 ) à la vitesse angulaire constante : la masse m 

36

prend une nouvelle position dans (R) : 

Conclusion: 

Ces forces d'inerties apparaissent comme des forces réelles dans les mouvements relatifs accélérés, et 

permettent de simplifier les problèmes de dynamique en les ramenant à des problèmes de statique. 

Par contre, ces forces n'ont aucune existence réelle dans les mouvements absolus. 

II.4- LES FORCES INTÉRIEURES ET LES FORCES EXTÉRIEURES : 

- Pour un point matériel, toutes les forces appliquées à ce point sont dites extérieures. 

- Pour un système matériel, il faut distinguer : 

· Les forces extérieures provenant d'actions extérieures au système. 

· Les forces intérieures dues aux interactions mutuelles : 

I- DEFINITION. 

CHAPITRE VII 

MOMENT CINETIQUE 

On appelle moment cinétique d’un point matériel M, par rapport à un référentiel galiléen R 0 , en un point O 

de R 0 , le moment de la quantité de mouvement. 

Si m est la masse du mobile et V R 0 

(M) 

son vecteur vitesse, la quantité de mouvement du mobile dans le 

repère R 0 est : 

p 

0 

(M) = mV 

R R0 

(M) 

Le moment cinétique du mobile en O est alors : 

37

" 

R0 ( O,M) = OM ! mVR 

0 

(M) 

II- THEOREME DU MOMENT CINETIQUE 

avons : 

Si on dérive le moment cinétique en O par rapport au temps, dérivation effectuée dans le repère R 0 , nous 

( 

& 

d) 

& 

' 

D’où : 

' 

% 

d( 

% 

& 

R0 

R0 

(O, M) % 

# 

dt # 

$ 

(O, M) $ 

" 

dt " 

# 

/ R 0 

/ R 0 

( % 

& 

dOM 

= # 

' 

dt 

$ 

/ R0 

= ! M(O, F 

i 

) 

" p 

R0 

( % 

& 

dp 

R0 

(M) 

(M) + OM " # 

& # 

' 

dt 

$ 

/ R0 

= OM " ! F 

Signalons que, comme pour la loi fondamentale, la dérivée du moment cinétique par rapport au temps est 

relative au référentiel galiléen. Cette loi, qui est une conséquence de la loi fondamentale s’énonce comme suit : 

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique d’un point matériel, en un point 

référentiel galiléen, est égale à la somme des moments des forces qui s’exercent sur ce point. 

fixe O d’un 

Ce théorème est commode lorsque le moment des forces est nul. On obtient alors immédiatement une 

constante vectorielle du mouvement : 

! 

R 0 

(O,M) = 

Cte 

III- REMARQUE 

Nous avons supposé que le point O étant fixe par rapport à R 0 . Etudions le cas où le moment cinétique est 

calculé en un point O’ mobile dans R 0 . 

" 

R0 ( O',M) = O' M ! mVR 

0 

& 

$ 

d( 

$ 

% 

( 

& 

d* 

& 

' 

R0 

R0 

(O', M) # 

! 

dt ! 

" 

(O', M) % 

# 

dt # 

$ 

/ R 0 

/ R 0 

& / 

dO M # 

= $ ! 

$ dt ! 

% " 

/ R0 

= & ( VR 

0 

(M) ) V 

' 

(M) 

' mV 

R0 

R0 

& dV (M) # 

/ 

R0 

(M) + O M ' m$ 

! 

$ dt ! 

/ R0 

$! !!! 

% 

#!!!! 

" 

" 

somme des moments des forces 

/ 

(O )#% 

" mV 

$ 

R0 

(M) + ! M(O 

i 

/ 

, F ) 

i 

38

( 

& 

d) 

& 

' 

R0 

(O', M) % 

# 

dt # 

$ 

/ R 0 

+ V 

R0 

/ 

(O ) " mV 

R0 

(M) = ! M(O 

i 

/ 

, F ) 

i 

Lorsque le point où l’on applique le théorème du moment cinétique est mobile, il faut ajouter à la dérivée du 

moment cinétique le terme complémentaire 

/ 

V 

0 

(O ) ! mV 

R R0 

(M) 

Le premier terme de l’équation précédente est appelé moment dynamique. 

CHAPITRE VIII 

TRAVAIL-ENERGIE 

I-THÉORÈME DE L'ÉNERGIE CINÉTIQUE : 

et le point d'arrivée " 2 ", est : 

du temps. 

- La force peut être fonction des coordonnées (u 1 , u 2 , u 3 ) de son point d'application M, de la vitesse et 

39

Dans ce cas le travail dépend des positions extrêmes " 1 " et " 2 " du chemin suivi pour aller de " 1 " à " 2 " et de 

la loi du mouvement entre ces deux points. 

- Si le vecteur force ne dépend que de la position de son point d'application M, c'est-à-dire des seules 

coordonnées u 1 , u 2 et u 3 , on dit que M se déplace dans un champ de vecteurs forces (ou encore dans un champ 

de forces). 

Dans ce cas le travail n'est plus fonction de la loi du mouvement mais seulement des extrémités " 1 " et " 2 " et du 

trajet suivi par M entre ces deux points. 

Cas d'une force conservative : 

- On dit qu'une force (u 1 , u 2 , u 3 ) est conservative si le travail de cette force ne dépend pas du chemin 

suivi entre " 1 " et " 2 ". 

- Le long d'une courbe fermée quelconque 

I.1- Travail 

a. Travail élémentaire 

On appelle travail élémentaire effectué par une force , dont le point d'application M se déplace d'une longueur 

élémentaire (rectiligne ou curviligne) avec une vitesse dans le référentiel R, le produit scalaire : 

Remarques : 

- le travail est fonction du référentiel choisi. 

- Il n'y a pas obligatoirement de corrélation entre la force et la cause qui provoque le déplacement. 

b. Travail fini 

Cas général 

- Le travail effectué par la force , dont le point d'application M se déplace entre le point de départ " 1 " le travail 

d'une force conservative est nul. 

- Une force conservative dérive d'une énergie potentielle Ep (u 1 , u 2 , u 3 ) telle que : 

, 

- Le travail d'une force conservative dépend uniquement du point de départ " 1 " et du point d'arrivée " 2 ". 

II.2- Énergie : 

a. Énergie potentielle d'interaction 

Définition 

L'énergie potentielle associée à la force conservative , est définie par : 

40

Propriétés 

- L'énergie potentielle d'interaction dépend du référentiel choisi. 

- Elle est définie à une constante arbitraire près. Seules les différences d'énergie potentielle ont une signification 

physique. 

b. Énergie cinétique 

Relativement au référentiel R, l'énergie cinétique d'un point matériel M de masse m et de quantité de mouvement 

à l'instant t a pour expression : 

c. Énergie mécanique totale 

On appelle énergie mécanique totale E m d'une particule M la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie 

cinétique. 

E m = E c + E p 

I.3- Théorème de l'énergie cinétique 

a. Cas général 

- Le travail de toutes les forces " réelles " (conservatives et non conservatives) appliquées au point matériel M, 

dans le référentiel galiléen R, entre la position initiale " 1 " et la position finale " 2 " est égal à la variation de 

l'énergie cinétique de M. 

- Dans un référentiel non galiléen R', il suffit d'ajouter à - , la somme des forces d'inertie - ' 

b. Cas des forces conservatives 

Si les forces en présence sont conservatives, il y a conservation de l'énergie mécanique totale. 

E c + E p = E m = cte 

I- DÉFINITIONS : 

CHAPITRE VIII: 

MOMENT D'INERTIE 

1- Le moment d'inertie d'un point matériel de masse m par rapport à un axe (!) est défini par : 

I = m r 2 où r est la distance de la masse m à l'axe (!). 

41

2- Le moment d'inertie d'un solide indéformable est : 

où r est la distance de l'élément dm à l'axe (!). 

II- CALCUL DE MOMENT D'INERTIE PAR RAPPORT A UN AXE DE SYMÉTRIE : 

42

III - ÉNERGIE CINÉTIQUE ET MOMENT CINÉTIQUE PAR RAPPORT 

A UN AXE FIXE : 

III.1- Définition : 

Soit un solide S indéformable et qui tourne à la vitesse angulaire (. 

L'énergie cinétique de rotation est : T = I " 2 I :moment d'inertie par rapport à (!) 

Le moment cinétique est défini par : # = I " 

Le principe de conservation de l'énergie mécanique s'écrit ainsi : 

T + U = I " 2 + U = cte U : énergie potentielle 

Théorème du moment cinétique : 

La dérivée du moment cinétique # = I " par rapport au temps est égale aux des moments des forces qui 

agissant sur le solide en mouvement de rotation par rapport à (%) 

2- Travail et puissance en mouvement de rotation: 

On considère un solide S en mouvement de rotation par rapport à l'axe (!), le travail élémentaire effectué par 

au cours de la rotation du solide d'un angle d$ est : 

IV - CENTRE DE GRAVITE : 

Dans un repère quelconque (O, x, y, z) les particules M i de masses m i sont repérées par les vecteurs positions : 

44

1- Définition : Le centre d'inertie G (appelé aussi centre de masse ou centre de gravité) de l'ensemble des 

points M i est le barycentre définit par 

45

Chapitre VII: 

OSCILLATEURS 

I- DÉFINITIONS : 


On appelle oscillateur harmonique tout système mécanique ou électrique dont l'évolution ( de la position, de la 

vitesse ou de l'accélération) est fonction sinusoïdale du temps (sinus ou cosinus). 

Exemple : 

. Masse fixée à l'extrémité d'un ressort. 

. Pendule de torsion. 

. Circuit électrique L C. 

L'évolution du système est la solution générale d'une équation différentielle du second ordre linéaire à coefficients 

constants du type : 

a, b, c sont des constantes qui caractérisent le système et f (t) correspond à l'action du milieu extérieur sur 

le système ( force, couple, ddp). 

Si 

L'équation 

de dimension 2. 

définit les mouvements propres du système dont les solutions forment un espace vectoriel 

Si (s 1 (t) , s 2 (t)) est une base, alors est la solution générale de l'équation . 

La recherche des solutions de l'équation sous la forme de , montre que r doit être solution de l'équation 

caractéristique associée : 

Les racines de cette équation dépendent de la valeur du discriminant : 

46

Solution générale de = solution générale de + solution particulière de 

Remarques : 

Dans si b = 0 et f (t) = 0 , Oscillations harmoniques libres ( pures ) 

Dans si b * 0 et f (t) = 0 , Oscillations amorties 

Dans si b = 0 et f (t) * 0 , Oscillations forcées 

II- LES OSCILLATIONS : 

Modèle physique 

. Dans une oscillation pure on a conservation d'énergie. 

. Dans une oscillation amortie on a dissipation d'énergie. 

. Dans une oscillation couplée on a échange d'énergie. 

. Dans une oscillation forcée on a apport d'énergie. 

Remarque : 

Un pendule n'est pas un oscillateur harmonique si l'angle $ est grand ( si $ est petit, on peut le 

considérer comme oscillateur harmonique). 

III- OSCILLATION HARMONIQUE : 

1- Formulation mathématique : 

Si la variable s est une fonction sinusoïdale du temps 

47

C'est l'équation différentielle d'évolution du système : 

A : amplitude > 0 

s : l'élongation 

: pulsation 

2- Exemples : 

a- Oscillateur rectiligne : ressort 

Une masse m est accrochée à une des extrémités du ressort, on constate que le ressort exerce sur elle une force 

de rappel ( donnée par la loi de Hooke) : 

b- Mouvement harmonique de rotation : 

48

Dans une oscillation de torsion, on a un couple de rappel proportionnel à $. Ce couple a pour expression : 

3- Énergie mécanique d'un oscillateur harmonique : 

a- Oscillateur harmonique linéaire : 

avec 

On obtient : 

49

- Oscillateur harmonique de rotation : 

même calcul, on obtient: 

IV- OSCILLATEUR HARMONIQUE AMORTI : 

1- Cas d'un ressort : 

La masse m est soumise à son poids, à la réaction et à la force de rappel. Mais dans la pratique d'autres forces 

peuvent s'exercer sur l'oscillateur harmonique qui tend à réduire l'amplitude des oscillations successives : ces 

forces s'appellent forces d'amortissement, elles peuvent être proportionnelles à la vitesse : 

50

V- OSCILLATIONS FORCÉES : 

Dans le cas du ressort on applique sur la masse m, en plus de la force de rappel et de la force d'amortissement, 

une force : 

51

VI- PENDULE SIMPLE: mouvement pseudo-sinusoïdal : 

· On considère une masse m accrochée à un fil inextensible et sans masse. 

· On note $ l'angle du fil avec la verticale, $ 0 l'angle initial et v 0 = 0 

bilan des forces : 

52

CHAPITRE IX: 

FORCES CENTRALES ET MOUVEMENTS DES PLANÈTES 

I - FORCE CENTRALE : 


Une force est dite centrale ( ou champ de forces central) si : 

· elle est toujours portée par la droite joignant le point matériel à un point fixe O ( appelé centre de force). 

· Son module ne dépend que de la distance r : (pas de $ ou de / ) 

2- Propriétés des champs de forces centraux : 

1- La trajectoire (ou orbite) du point matériel est plane. 

2- Le moment est constant. 

3- La loi des aires est valable. 

II- MOUVEMENT A ACCÉLÉRATION CENTRALE : 

C'est le cas des planètes qui décrivent des ellipses dont le soleil est un foyer. 

Dans ce cas, l'accélération est proportionnelle à 

1- DÉFINITIONS : 

Si l'accélération d'un mobile passe toujours par un point fixe O, le mouvement est dit à accélération centrale et O 

est le centre des accélérations . 

• 1er cas : si 

passe toujours par O , mouvement rectiligne . à rejeter. 

• 2ème cas : n'est pas colinéaire avec , trajectoire plane. 

53

est constant et il est toujours perpendiculaire à 

.C'est la première loi de KEPLER. 

Conclusion : lorsque l'accélération d'un mobile est centrale, alors le mouvement s'effectue dans un plan fixe 

passant par le centre des accélérations 

2- Loi des aires : 

Utilisons les coordonnées polaires ( r ,$ ) ou bien les coordonnées cylindriques avec 

z = 0 . 

3- Formules de Binet : 

On considère 

qui sera utilisée pour éliminer le temps dans 

54

Remarque : Si on donne a en fonction de r et de $, la formule 

la loi des aires permet de déterminer la loi horaire. 

définit l'équation différentielle de la trajectoire et 

III- ÉQUATION DU MOUVEMENT D'UN POINT MATÉRIEL : 

55

c'est une équation différentielle du second ordre dont la solution générale est la somme de: 

u 1 = A cos $ + B sin $ ( solution générale de l'équation sans second membre) 

u 2 = 

( solution particulière de l'équation avec second membre) 

La solution générale de 

C'est l'équation d'une conique en coordonnées polaires dans le cas général, sachant que: 

IV- CONIQUES : Ellipse, Parabole, et Hyperbole : 

Soit un point fixe o et une droite AB située à la distance D de o. Un point M du plan se déplace de façon que le 

rapport des distances par rapport au point o et à la droite AB soit égal à une constante positive e. 

La courbe décrite par le point M a pour équation : 

56

· Le point o s'appelle le foyer noté F 

· La droite AB s'appelle la directrice 

· e est l'excentricité 

Cette courbe s'appelle une conique car c'est une intersection d'un cône et d'un plan. 

Il existe trois types possibles de coniques suivant les valeurs de l'excentricité. 

1- Ellipse : % < 1 

L'ellipse est le lien des points dont la somme des distances MF et MF' est constante, 

2- Parabole : % = 1 


3- Hyperbole : % > 1 


V- Quelques définitions d'Astronomie : 

· Un système solaire est constitué d'une étoile (comme notre soleil) et d'objets appelés planètes qui tournent 

autour ?. Une étoile est un objet qui émet sa propre lumière, tandis que les planètes n'émettent pas de lumière 

mais la réfléchissent. Il peut y avoir de plus des objets tournant autour des planètes : on les appelle satellites. 

· Dans notre système solaire par exemple, la Lune est un satellite de la Terre, qui est elle-même une planète 

tournant autour du soleil. On a en outre des satellites artificiels qui peuvent tourner autour des planètes ou de 

leurs lunes. 

· La trajectoire d'une planète ou d'un satellite s'appelle son orbite. 

La plus grande distance d'une planète à son soleil est appelée aphélie et la plus petite est appelée le 

périhélie. 

La plus grande distance d'un son satellite à une planète s'appelle l'apogée et la plus petite distance est appelée 

périgée. 

57

· La durée d'une révolution complète d'un objet sur son orbite s'appelle la période. On l'appelle parfois période 

sidérale pour la distinguer d'autres périodes comme celle de la rotation de la terre autour de son axe. 

Lois de Kepler et mouvement des planètes : 

Avant que Newton n'ait énoncé ses lois du mouvement, Kepler, en utilisant les observations de Tycho Brahe, 

avait énoncé ses trois lois sur le mouvement des planètes : 

1- Loi de la trajectoire : 

Les planètes ont des orbites elliptiques dont le soleil est l'un des foyers. 

2- Loi des aires : 

Le rayon vecteur tracé du Soleil à la planète balaye des aires proportionnelles aux temps mis pour les balayer. 

3- Loi des périodes de révolution : 

Les carrés des périodes de révolution des planètes sont proportionnels aux cubes des grands axes de leurs 

orbites. 

58

La Mécanique Rationnelle 

Formation de base 

des scientifiques et des ingénieurs 

version 2004/2005 

Professeur J.-Ph. Ansermet 

Institut de Physique des Nanostructures 

Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne 

PHB-Ecublens, 1015 Lausanne

10/12/2005 2 

La mécanique rationnelle 

Formation de base des scientifiques et des ingénieurs 

Préface 3 

La mécanique et la formation scientifique, Cadrage historique, Cinématique rectiligne 

1 ère partie : Sensibilisations aux objectifs de la mécanique 15 

- La balistique élémentaire 17 

- L’oscillateur harmonique 28 

o Energie de l’oscillateur harmonique 40 

- Sensibilisation au problème du chaos 45 

2 ème partie : les bases de la mécanique newtonienne 54 

- La cinématique du point matériel 57 

o Vecteurs, repères, coordonnées cylindriques, sphériques 60 

o Les rotations 68 

- La mécanique newtonienne 78 

- Systèmes de points matériels, lois de conservation 83 

- Energie, puissance, travail 91 

3 ème partie : Pratique de la mécanique 100 

- Liaisons 102 

- Systèmes ouverts 114 

- Loi de la gravitation de Newton 117 

- Les forces en électromagnétisme 130 

- Forces de frottement 135 

- Mouvement relatif 141 

o Dynamique Terrestre 157 

- Discussions qualitatives 168 

- Collisions 178 

4 ème partie : Le corps solide indéformable 191 

- Cinématique du solide indéformable 192 

- Bases de la dynamique du solide 203 

- Les effets gyroscopiques 208 

- Tenseur d’inertie 215 

- Mouvement avec axe de direction fixe 228 

- Equations d’Euler 247 

5 ème partie : Déformations 264 

- Systèmes linéiques 265 

- Le tenseur des contraintes 279 

- Les constantes élastiques 283 

6 ème partie : Le formalisme de Lagrange 289 

- Les équations de Lagrange 290 

- Applications diverses 297 

- Les pendules couplés 313 

- Principes variationnels 328 

7 ème partie : La relativité restreinte 336 

- Cinématique Relativiste 394 

- Aperçu de dynamique relativiste 357

10/12/2005 3 

PREFACE 

La mécanique et la formation scientifique 

Cadrage historique 

Cinématique rectiligne

10/12/2005 4 

La mécanique et la formation scientifique 

« Les postulats de la mécanique tiennent en quelques lignes. Comme il ne 

s’agit pas plus de les démontrer que n’importe quel autre principe, un 

Cours de Mécanique rationnelle est une collection d’exemples qui leur 

servent d’illustration. Les Cours ne diffèrent donc que par le choix des 

exemples et l’esprit dans lequel on les traite, ce qui suffit à les rendre très 

dissemblables. » 1 

L’Objectif d’un cours de mécanique est de savoir mettre sous forme mathématique une 

situation physique. Les expériences décrites dans un cours de mécanique font partie de la vie 

courante : chute sur un plan incliné, toupies, ressorts, pendules etc... Grâce à cette familiarité 

avec les phénomènes à décrire, toute l'attention peut se porter sur l’effort de mathématisation. 

Ce traité s'adresse à des étudiants de première année, par la force des choses de niveaux de 

formation très variés. L’ordonnance des chapitres a pour but de captiver l'attention de ceux 

qui ont déjà des notions de mécanique, et en même temps prendre en charge ceux qui ont un 

bagage mathématique minimal. L’ambition première d’un cours de mécanique doit être de 

permettre aux étudiants à se familiariser avec l'emploi des mathématiques en tant que langage 

de l'ingénieur et du physicien. Selon le philosophe et historien des sciences Alexandre 

Koyré: 2 

'' (...) on ne doit pas oublier que l'observation ou l'expérience, au sens de l'expérience spontanée du sens 

commun ne joua pas un rôle majeur - ou si elle le fit, ce fut un rôle négatif, celui d'obstacle - dans la 

fondation de la science moderne. La physique d'Aristote, et plus encore celle des nominalistes parisiens 

(14 ème siècle)(...) était beaucoup plus proche de l'expérience du sens commun que celle de Galilée et de 

Descartes. Ce n'est pas ''l'expérience'', mais ''l'expérimentation'' qui joua - plus tard seulement - un rôle 

positif considérable. L'expérimentation consiste à interroger méthodiquement la nature; cette interrogation 

présuppose et implique un langage dans lequel formuler les questions, ainsi qu'un dictionnaire nous 

permettant de lire et d'interpréter les réponses. Pour Galilée, nous le savons bien, c'était en courbes, 

cercles et triangles, en langage mathématique ou même plus précisément en langage géométrique - non 

celui du sens commun ou de purs symboles - que nous devons parler à la nature et recevoir ses réponses. '' 

L’étude de la mécanique contribue à développer un esprit scientifique. L’étudiant au niveau 

universitaire se doit de passer de l'état d'utilisateur servile de quelques formules à celui 

d'acteur sachant générer des résultats dans un contexte nouveau et à celui de juge pouvant 

estimer les limites d’applicabilité des schémas théoriques qu’il invoque. 

La mécanique comme préparation aux cours de mathématiques 

Souvent un cours de mécanique sert d'introduction ou de motivation aux notions et aux outils 

mathématiques qui seront présentés dans les cours d'analyse et d'algèbre linéaire. Il n'est pas 

forcément préférable d'avoir reçu un enseignement mathématique formel avant de rencontrer 

des situations où ce savoir mathématique devient nécessaire ! Par conséquent, de petites 

considérations mathématiques apparaissent naturellement dans ce traité, mais purement d’un 

1 

H. Bouasse, ‘Cours de mécanique rationnelle et expérimentale’, Paris 1910 

2 disait (Histoire de la pensée scientifique, p.168-169)

10/12/2005 5 

pont de vue pragmatique et aussi furtif que possible. Cette mathématisation nécessite un 

entraînement et de l’encouragement. Il faut se souvenir que l’insistance mathématique de 

l’activité scientifique est une affaire vieille de 400 ans ! Galilée disait déjà : 

" Philosophy is written in this grand book, the universe, which stands continually open to our gaze. 

But the book cannot be understood unless one first learns to comprehend the language and to read 

the alphabet in which it is composed. It is written in the language of mathematics, and its characters 

are triangles, circles, and other geometric figures, without which it is humanly impossible to 

understand a single word of it; without these, one wanders about in a dark labyrinth”. 3 

La science ne répond pas à la question ‘pourquoi ?’, mais ‘comment ?’. 4 L'étude de la 

mécanique est particulièrement propice à l’illustration de ce point de vue sur les sciences. On 

y apprend en effet à utiliser un formalisme mathématique et à en déduire les conséquences 

physiques. C’est le cas par exemple avec la description du mouvement d’une toupie : 

"pourquoi ne tombe-t-elle pas ?" demande-t-on à la légère. Le traitement formel du problème 

du gyroscope remplace la question "pourquoi ?" par une description qui fait appel à des lois 

et des modèles. 

Une introduction à des phénomènes physiques variés 

Il est important de s'habituer à l'utilisation des mathématiques, spécialement pour la 

description des phénomènes physiques plus complexes, car : 

''Il s'avère qu'avec les sujets de physique de plus en plus avancés, les choses se déduisent 

mathématiquement beaucoup plus vite qu'elles ne peuvent être comprises en termes simples ou avec des 

concepts fondamentaux.'' 5 

Il est possible, dans le cadre de la mécanique rationnelle, de prendre connaissances de 

phénomènes divers, qui traditionnellement sont introduits dans des cours plus avancés. C’est 

ainsi qu’on peut parler d’oscillateurs harmoniques forcés en terme de réponse linéaire, qu’on 

peut examiner des effets de relaxation ou même d’hystérèse. Un problème fera voir une vision 

mécaniciste d’un « mode mou », concept des transitions de phases en physique du solide. A 

partir de l’effet Doppler relativiste, on évoquera l’effet Mössbauer et ses applications en 

magnétisme. La dynamique terrestre sera l'occasion d'introduire des méthodes de calcul des 

perturbations. 

3 Selon Dava Sobel,"Galileo’s Daughter", Fourth Estate, London 1999 

4 ? in "Encyclopedia of Ignorance", Pergamon 1977 

5 Feymann, Lectures on Physics, I-20-6

10/12/2005 6 

Cadrage historique 

Il faut reconnaître et apprécier le long chemin parcouru depuis les premières tentatives de 

description d’un phénomène aussi courant que la chute des corps à la surface de la Terre, 

passant par la formalisation de Newton, pour aboutir aux grands principes du 19 ème siècle et 

la découverte du chaos au 20 ème siècle. . 

Aristote 6 

Diogène Laerte disait de lui qu'il avait un défaut de prononciation, que ses jambes étaient 

maigres, ses yeux petits et qu'il attirait l'attention par son accoutrement, ses bagues et sa coupe 

de cheveux. 

Lui, c'est Aristote ! 

Aristote étudia avec Platon à Athènes pendant 20 ans. A 49 ans, il fonde le Lyceum. 

Alexandre lui donne un support financier considérable. Il aurait exigé des pêcheurs et des 

chasseurs du royaume d'informer Aristote de tous les faits qui pourraient l'intéresser. Il est 

amusant de constater qu’en fin du 20 ème siècle, le Prix Nobel Pierre-Gilles de Gennes 

préconisait, dans un discours à la Sorbonne intitulé "De la fermeture éclair au laser", que les 

professeurs fassent des séjours dans l'industrie pour y découvrir les problèmes fondamentaux 

posés par la pratique industrielle. 

Aristote écrivit beaucoup. En ce qui concerne la chute des corps, une analyse moderne des 

textes anciens ne permet pas de dire si, pour Aristote : 

• les corps tombaient en proportion de leur poids 

• le vide était impossible 

• s'il existait un vide, tous les corps tomberaient à la même vitesse dans le vide. 

A la mort d'Aristote, ses notes furent vendues à la librairie d'Alexandrie. Après le 2 ème siècle 

de cette ère, peu de nouveaux textes furent produits. Seuls des commentaires et des 

encyclopédies voyaient le jour. 

Du 7 e au 10 e siècle, les anciens documents étaient recopiés, perdus et altérés dans les 

monastères. Du 10 ème au 12 ème siècle, les textes anciens furent enseignés à nouveau. Les 

erreurs de copie et de traduction entraînèrent de grandes confusions. Les experts d'alors 

concentraient toute leur énergie à essayer de déterminer ce qui était vraiment dit dans les 

textes originaux. L'Église d'abord considéra avec suspicion les textes anciens ainsi 

redécouverts. Puis, grâce en particulier à Saint-Thomas d'Aquin, la conception aristotélicienne 

du monde prit part dans les visions chrétiennes instaurées par l’Eglise. Dès lors, toute attaque 

contre Aristote était une attaque contre l'Église elle-même. 

A cause de ce long et tortueux processus de transmission des pensées et des travaux 

d'Aristote, Galilée pouvait citer Aristote sous le pire éclairage, lui faisant dire que le 

6 Source : Leon Cooper, Prix Nobel de Physique 1972, "An introduction to the meaning and structure of 

physics"

10/12/2005 7 

mouvement vers le bas d'une masse d'or ou de plomb, ou de n'importe quel objet pesant, est 

d'une rapidité en proportion de sa taille. 

La "tabula rasa" de Descartes doit aussi être envisagée dans ce contexte d'explosion d'un 

carcan vieux de 500 ans où toute pensée, toute observation et toute connaissance était 

confinée à ce qui était écrit "dans Aristote". Descartes tenta de construire une vision du 

monde. Il vit l'univers tout entier sauf peut-être Dieu et l'âme humaine, comme une vaste 

machine. Dieu créa la matière et lui impartit le mouvement; depuis, le monde évolue selon les 

lois de la mécanique. 

A la fin du XIV ème siècle, les concepts de la mécanique ont bien évolué par rapport à la vision 

aristotélicienne. Le tableau suivant suggère quelques points de repère. 

Aristote 

concepts à la fin du 16 e 

siècle 

Univers clos Univers infini Giordano Bruno 

Univers plein 

L'espace a un point unique 

Particules tombent ou 

montent 

Mouvement par rapport 

à l'espace 

Univers vide 

L'espace est le même dans 

toutes les directions 

Particules en mouvement 

uniforme sauf si elles entrent 

en collision 

Mouvement par rapport 

à l'objet 

Copernic 

Descartes 

Oresme 

La science de Galilée 7 

Galilée écrivit un traité sur le mouvement. Il s'agit d'un dialogue entre le maître, un 

observateur neutre et ouvert, et un représentant des vues traditionnelles. 

Galilée définit le mouvement uniforme : vitesse constante et direction constante. C'est pour lui 

le mouvement "naturel". Toute déviation de cette uniformité sera attribuée à une force. Il 

définit le mouvement rectiligne uniformément accéléré. Pour lui, cette définition est utile, 

parce qu'elle représente un mouvement qui s'observe dans la nature : la chute des corps. Et il 

le prouve expérimentalement. 

7 L’université de Rice au Texas a préparé un site WEB à propos de Galilée et son temps. Ce site mérite le 

détour ! (http://es.rice.edu/ES/humsoc/Galileo/ )

10/12/2005 8 

Démonstration d'auditoire : deux billes sont lâchées simultanément, 

l'une sans vitesse initiale, l'autre avec une vitesse initiale horizontale. 

Elles touchent le sol simultanément. 

Galilée explique le mouvement d'un projectile en considérant les projections du mouvement 

(même si ce ne sont pas ses termes) selon deux directions perpendiculaires. Quand une balle 

est lancée horizontalement, elle ne subit aucune force horizontale, sa vitesse horizontale reste 

constante. On peut le constater sur l'image. En revanche, dans la verticale, elle n'a pas de 

vitesse initiale, elle suit un mouvement identique à une chute libre. 

Galilée pose le problème du choix du référentiel, c'est-à-dire du corps solide par rapport 

auquel le mouvement se mesure : 

"un boulet est lâché du sommet d'un mât d'un navire avançant par rapport à la côte à la 

vitesse v o constante. Vu du navire : le boulet fait une chute verticale, le long du mât. Vu de la 

côte : le boulet décrit une parabole." 

En faisant toutes sortes d'expériences avec des pendules, Galilée fit la découverte qui donna 

lieu aux conséquences les plus profondes. Une balle de plomb et une balle de liège de la 

même taille, pendues à des fils de même longueur, se balançaient à la même vitesse. Cela était 

étonnant, car après tout, les oscillations d'un pendule sont un peu comme une chute, et les 

corps lourds devraient tomber plus vite que les corps légers. Galilée commença à suspecter 

que ce fait "évident" pourrait ne pas être vrai. Ses doutes le conduisirent aux fameuses 

expériences de la tour penchée, d'où il fit tomber des balles de toutes sortes. Elles frappaient 

le sol presque simultanément. Un caillou arrivait au même moment qu'un boulet de canon, ou 

presque au même moment. Galilée perçut très vite la raison de cette inégalité des temps de 

chute : la résistance de l'air. Une fois de plus, il le prouva par l'expérience : il fit tomber des 

poids différents dans l'eau. La vitesse de chute variait grandement dans ce cas, car l'eau offrait 

une résistance plus élevée que l'air. De ces expériences il conclut que dans le vide, une plume 

tomberait aussi vite que du plomb. A son époque, cette affirmation devait rester sans preuve, 

car il était bien connu que la Nature avait horreur du vide. Il restait à son élève Torricelli de se 

débarrasser de ce préjudice aristotélicien.

10/12/2005 9 

Les démonstrations d’auditoire 

Professeur de mathématiques à l'université de Padoue, Galilée suscitait l'envie de ses 

collègues par ses leçons à l'auditorium "Maximum". En plus du groupe de ses étudiants 

réguliers, il avait de jeunes nobles de toute l'Europe assis à ses pieds. Parmi eux le futur 

prince de Suède, Gustave Adolphe. De ce maître, ils apprenaient la construction des ponts, la 

planification des ports, la fortification, et la construction d'artillerie. Il conçut pour eux un fort 

futuriste dont la forme polygonale permettait de couvrir l'entier du terrain, un fort sans aucun 

des angles morts connus pour être dangereux. Deux générations plus tard, un Français nommé 

Vauban connut la gloire en employant le même système. 

Les collègues de Galilée lui en voulaient. Ils disaient de lui qu'il se comportait comme un 

charlatan ou un jongleur, qu'il ne possédait pas la moindre trace de dignité académique. Et en 

effet ses classes étaient un peu comme le stand d'un magicien de foire. Il sifflait en direction 

d'un tube d'orgue, qui lui répondait avec la même note : "RESONANCE" disait Galilée. Il 

faisait tirer au pistolet dans la montagne, et comptait les secondes entre le flash de l'explosion 

et le son. Ainsi les étudiants apprenaient que le son se déplace à des vitesses finies. Il 

construisit des dispositifs à calculer qui permettaient aux étudiants de s'épargner la moitié des 

travaux d'arithmétique. Plus tard, en tant qu'architectes ou ingénieurs, ils économisèrent les 

matériaux de construction avec des tubes creux, car Galilée leur avait démontré leur 

robustesse à l'aide d'os de chien. 

Pour les étudiants, l'aspect le plus extraordinaire de son enseignement était la possibilité de 

voir les choses de leurs propres yeux, au lieu de simplement en entendre parler, philosophant 

pour ou contre Aristote. Galilée se moquait de telles pédanteries et de la croyance que la 

vérité pouvait être trouvée en se penchant sur de vieux manuscrits. Sa méthode était de 

chercher la vérité dans la nature. 

Démonstration d’auditoire : une plume et 

une pièce de monnaie tombent en même 

temps dans un tube évacué. 

Aristote avait établi une distinction claire entre les objets lourds, qui avaient tendance à 

descendre, et les corps légers, qui montaient. L'air par exemple, montait. L'idée de Galilée que 

l'air avait un poids était une révision révolutionnaire du sens commun et des apparences. Car 

il eut l'idée folle de peser le gaz invisible de la vie, qui ne pouvait même pas être senti, sauf si 

le vent soufflait. Son expérience était simple et ingénieuse. Il équilibra une vessie de porc 

pleine d'air avec un récipient contenant de l'eau. Ensuite, il creva la vessie. Le plateau de la 

balance descendit, indiquant que le poids de l'air était mesurable. Ces démonstrations devaient 

avoir l'air d'une révolution aux yeux de ses étudiants. Elles marquent le début de la physique 

expérimentale.

10/12/2005 10 

Les apparences sont trompeuses en astronomie et en physique. Les êtres 

humains ne sont pas naturellement équipés pour deviner les secrets de la nature. 

Cela nous rend tout aussi humble de le reconnaître que de réaliser que le lieu de 

séjour de l'homme n'est pas le centre de l'univers. La conclusion que les lois de 

la nature ne sont pas évidentes, qu'elles ne peuvent pas être conçues par simple 

raisonnement, était aussi riche d'enseignement que la révolution copernicienne. 

Une fois que cela fut accepté, la vieille manière de philosopher fut discréditée. 

Une fois que cela fut accepté, l'homme occidental commença son investigation 

et sa conquête de la nature. 8 

8 d’après "And There Was Light, The Discovery of the Universe", Rudolf Thiel

10/12/2005 11 

Cinématique à une dimension 

Considérons un point se déplaçant "sur un axe cartésien Ox. On notera volontiers sa position au cours du temps 

par x = x (t). On entend par ceci que la position est repérée par la coordonnée x, que x varie dans le temps, et 

que x (t) est la fonction du temps. 

Pour calculer la vitesse, on notera souvent v = 

qui suit). 

De même pour l'accélération : a = 

@ v @ t 

. 

@ x @ t 

, le symbole @ indique un accroissement de ..... (la grandeur 

Quelle valeur faut-il prendre pour @ t ? On peut définir une vitesse et une accélération instantanée en prenant la 

limite quand @ t tend vers zéro. Vos cours de maths vous diront pour quelles fonctions x (t) et v(t) les limites 

suivantes existent : 

@ x 

v % lim 

@ t# 

0 @ t 

@ v 

a % lim 

@ t# 

0 @ t 

On utilisera les notations suivantes : 

dx 

v % % x! 

dt 

2 

dv d x 

a % % v! % % !! x 

2 

dt dt 

La notation x! , !! x sera très utilisée. Pour visualiser un concept de mécanique (vitesse tangentielle, accélération 

centripète, théorème du moment cinétique), on fera recours à un @ t fini. 

Il est fréquent que la dérivée par rapport au temps prenne des formes variées qu’il faudra maîtriser. On considère 

ici sans en donner le sens physique les exemples suivants : 

x % x ( t) % cos ( At 

$ B) 

A, B constants 

x % cos (; 

) 

; fonction du temps 

1 2 

E % I ! ; 

2 

2 2 

où ! d; 

d 

; % , ! ; % ! ;;! 

et non pas ; 

dt 

dt 

Ces fonctions sont de la forme : 

x % f ( g ( t)) 

, - 

( ) ( ) 

x " " x t $ dt " 

! % 

x t 

dt 

d’où on tire x ( t $ dt) % x ( t) 

$ x! dt avec un abus de notation très fréquent en physique. 

On reprendra ici la règle de dérivation de fonctions de fonctions. On part de : 

Un dessin permet de se représenter le sens de cette équation, qui sera bientôt connue comme « un développement 

limité au premier ordre. »

10/12/2005 12 

Pour la composition de fonctions on a alors, en appliquant cette règle pour f et pour g : 

x ( t $ dt) " x ( t) f ( g ( t $ dt)) " f ( g( t)) 

x! 

" %" 

% % 

dt 

dt 

1 

E f Cg( t) $ g! 

( t) dtD 

" f ( g( t) 

F% 

dt 

1 

E f Cg( t) D $ g! 

( t) dt f! 

Cg( t) D " f ( g ( t)) 

F % 

dt 

g! 

( t) f! 

g( t) 

C 

D 

Le passage de la deuxième à la troisième ligne est une application du développement limité appliqué à 

! . Une représentation graphique permet de mieux saisir le sens des termes. 

l’argument de f augmenté de g( t) 

dt 

Pour les exemples de fonctions ci-dessus, cette règle de dérivation donne : 

x % x( t) % cos ( At $ B ) x! 

% " A sin ( At 

$ B) 

x % cos( ; ) x! 

% " ! ; sin (; 

) 

1 

2 

! ; ! !!! ;; 

2 

E % I E % I 

Le modèle du point matériel 

Il arrive souvent qu'on puisse décrire le mouvement d'un objet et même prédire correctement son mouvement par 

les lois de la dynamique en associant l'objet à un point géométrique auquel on attribue la masse de l'objet. C'est 

ce qu'on appelle un point matériel.

10/12/2005 13 

La mécanique donne un cadre simple dans lequel la notion de modèle peut être perçue de façon tout à fait 

explicite. On devrait s’étonner de prime abord que les objets suivants puissent être considéré comme des 

« points » : 

- une locomotive en ligne droite 

- un homme qui se jette d'un pont attaché à un élastique 

- une sphère d'acier au bout d'un fil très long 

Note : Il s'agit d'un modèle ! C'est-à-dire que cela ne peut être qu'une approximation. On verra les limites de ce 

modèle quand on étudiera la mécanique du corps solide indéformable. Par exemple, si on considère une sphère 

au bout d'un fil, le modèle du point matériel doit être abandonné, quand la longueur du fil est de l'ordre de 

grandeur du diamètre de la sphère ou quand la précision de la prédiction est poussée assez loin. 

Le mouvement rectiligne uniforme 

Définition : un point matériel se déplaçant en ligne droite, à une vitesse constante. 

La trajectoire du point matériel est la droite. 

On définit un axe de coordonnées x associé à la droite, un point O sur l'axe. La définition stipule dx/dt = x! = 

v o = constante. 

On cherche x = x (t). On voit que x = v o t + x o satisfait la définition, avec x o constant. 

x = v o t + x o est appelé l'équation horaire du point matériel. 

L'équation horaire du point matériel est une équation paramétrique de sa trajectoire, où le paramètre est le temps 

! (voir la série d'exercices "paramétrer une courbe"). 

Le mouvement rectiligne uniformément accéléré 

Définition : un point matériel se déplace en ligne droite avec une accélération constante ao. 

On cherche x = x(t) tel que x!!= ao. 

On voit que x(t) = (1/2) ao t2 + vot + xo satisfait la définition avec 

A priori, toutes les valeurs de 

a 

o 

et v 

o 

sont permises. 

En mécanique, elles sont spécifiées par les conditions initiales. 

En effet on a, à t = 0 : 

x( o) 

% x 

o 

v( t) % a t $ v v( o) 

% v 

o o o 

a 

o 

et v 

o 

constants.

10/12/2005 14 

Graphiques 

Une voiture se déplace en ligne droite de telle manière que sa position en fonction du temps est la fonction 

représentée par le graphe donné. Etablir le graphe de la vitesse en fonction du temps, et de l’accélération en 

fonction du temps. 

Tintin 

Tintin roule en voiture sur une route rectiligne qui croise une voie de chemin de fer rectiligne perpendiculaire. Il 

est à une distance d de l’intersection quand il aperçoit un train qui avance vers le croisement à une vitesse V 

constante. La locomotive est à une distance L de l’intersection à ce moment-ci. Tintin avance à une vitesse v 

jusqu’à cet instant. Il veut s’assurer de passer l’intersection avant le train. Il décide alors d’accélérer. Son 

accélération a est constante. 

Faire un schéma de la situation. Mettre les données sous forme mathématique. Donner la condition sur 

l’accélération a pour que Tintin arrive à passer l’intersection avant le train.

10/12/2005 15 

1 ère partie : 

SENSIBILISATION 

AUX OBJECTIFS DE LA MECANIQUE 

La balistique élémentaire 

L’oscillateur harmonique 

Sensibilisation au problème du chaos

10/12/2005 16 

Avant d’énoncer les grands principes de la mécanique sous la forme de postulat, il est bon de 

s’exposer à quelques problèmes de mécanique. Cela permet de réaliser les ambitions et les 

limitations du projet qui fait la quintessence de la mécanique rationnelle. Les problèmes de 

balistique dans le champ de la pesanteur et le modèle de l’oscillateur harmonique sont deux 

exemples simples qui permettre de mettre en scène les éléments de la démarche mécaniste. On 

part d’une loi physique, la deuxième loi de Newton sous la forme F % ma , et l’usage de 

coordonnées familières, les coordonnées cartésiennes, permettent d’exprimer la dynamique 

considérée sous la forme d’équations différentielles. Celle de l’oscillateur harmonique n’est 

pas triviale. On y voit la nécessité de développer des outils mathématiques pour intégrer de 

telles équations. L’exploitation des résultats sur la résonance d’un oscillateur harmonique met 

aussi en évidence la nécessité de développer un savoir-faire dans l’usage des nombres 

complexes. La balistique est un exemple immédiat, sans ces difficultés mathématiques. Il 

permet toutefois de montrer le rôle de la loi du mouvement et des conditions initiales pour 

prédire le mouvement en tout temps. On a ainsi accès à un exemple simple de déterminisme 

simple. 

Un exemple de loi physique donné sous la forme d’une série permet d’analyser la complexité 

qui peut surgir de lois de prime abord déterministe. Il s’agit là d’un aperçu sur le chaos, juste 

pour garder les esprits ouverts sur les complexités qui peuvent surgir d’une modélisation 

simple.

10/12/2005 17 

La balistique 

Le premier exemple de mécanique sera celui de la trajectoire d’objets modélisables en tant 

que point matériel, soumis à l’effet de la pesanteur : un champ de force constant. La loi 

« Force = masse * accélération » sera supposée connue, du moins dans le cadre d’une telle 

application rudimentaire. 

La balistique élémentaire donne l'occasion de passer d'une description à une dimension d'un 

problème de mécanique à une première appréhension d'un problème à deux dimensions. La 

description cinématique se fait en coordonnées cartésiennes, donc reste très simple. La notion 

de projection est immédiate. Les habitudes prises éventuellement dans un enseignement 

antérieur, qui consiste à inclure les repères dans la définition du problème, sont à abolir. Au 

fil des leçons, l'étudiant prendra l'habitude de les choisir. 

La balistique donne aussi l'occasion d'illustrer la notion la plus élémentaire du déterminisme : 

avec une loi physique et des conditions initiales, on prédit l'état du système, en tout temps. 

Projectile sous l'effet de la pesanteur 

L’objectif formel de cette première approche de la mécanique est de donner un exemple 

d'application de la deuxième loi de Newton sous la forme F = m a en coordonnées 

cartésiennes. 

Etape 1 : loi de la dynamique 

Dans la section précédente, nous nous sommes limité à la donnée de mouvements spécifiés 

par leur vitesse et leur accélération. Il s’agissait donc de considération purement cinématique. 

Maintenant nous voulons conduire une analyse de la dynamique d’un système. Pour cela, 

nous avons besoin d’une loi qui stipule comment un système évolue quand il est soumis à une 

ou plusieurs forces. Ainsi, nous invoquons une loi physique, connue comme la deuxième loi 

de Newton : 4 

F % m a 

Nous verrons plus loin dans le cours comment utiliser cette loi en toute généralité. Ici, nous 

prendrons l'approche de Galilée, qui consistait à analyser le mouvement dans deux directions 

perpendiculaires de l'espace : la verticale et l'horizontale. 

Etape 2 : modèle de force 

On observe que l'attraction terrestre donne lieu a une force verticale ressentie par un point 

matériel de masse m qui est proportionnelle à la masse m. La constante de proportionnalité est 

g = 9.8 ms -2 . Galilée avait déjà observé que cette force était proportionnelle à la masse, en 

observant le mouvement de pendules. Cette description d’une observation approximative est 

souvent appelée loi phénoménologique. Il ne s’agit que d'un modèle. Nous verrons que la 

rotation de la Terre implique une variation systématique du g apparent, du pôle à l'équateur. 

De même, la présence d’une grotte ou d’une montagne peut changer la valeur de g. 

4 R. Feynman : "The character of a physical law", MIT press 1965

10/12/2005 18 

L’importance de tels effets dépend du degré de précision avec lequel on veut bien travailler. 

Enfin, si le projectile s’éloigne considérablement de la Terre, il faudra se référer à la loi de la 

gravitation de Newton, car l’attraction diminue comme le carré de la distance au centre de la 

Terre. 

Faut-il invoquer d’autres forces ? Dans une première étape, notre modèle suppose que l'air 

n'agit pas ou seulement de façon négligeable sur le mouvement. 

Etape 3 : point matériel 

On décrit l’objet considéré comme un point matériel de masse m. Il subit donc une seule force 

: 

F % m g 

g est un vecteur, sa direction est verticale vers le bas. Son module (sa grandeur) 

vaut g= 9.8 m/s 2 . 

Etape 4 : 

Cette étape constitue souvent la première étape, les autres faisant partie de la donnée, ou étant 

implicites. Un dessin permet de communiquer au lecteur de la résolution du problème 

plusieurs des éléments d'information sans recourir à de longues phrases. Les conventions 

graphiques sont souvent facilement reconnues. 

Dans cet exemple, on va d'abord être naïf et prendre un repère mal commode, c'est-à-dire qui 

rend les équations assez compliquées. Ce sont des choses qui arrivent dans la pratique. On 

suppose une situation physique dans laquelle le point matériel au temps t=0 est au point P, 

avec une vitesse v " o 

. 

Le système d'axes cartésiens centré en O n'apporte rien. Alors on choisit de prendre celui 

centré en P où P est au bout de 

" # 

x % OP . Dans ce repère, à t = 0 

0 

4 0 1 4 v 

o x 1 

" 

X ( t 0 ) 

2 

0 

/ " " 

% % ( t 0 ) 

2 

v 

/ 

0 

V % % V % 

o y 

2 0 / 2 v / 

3 0 3 o z 0 

Etape 5

10/12/2005 19 

Pour chaque direction de l'espace (Ox, Oy, Oz) la force dans cette direction est égale à la 

masse fois l'accélération dans cette direction. Plus loin, on verra que cela revient à projeter 

2 

d r 

mathématiquement la loi m % mg dans le repère associé aux axes cartésiens. On obtient 

2 

dt 

ainsi les équations du mouvement 

mx !! % 0 

my !! % 0 

mz !! % " gm 

Très souvent dans le cadre de ce cours, l’obtention des équations du mouvement sera 

considérée comme l’accomplissement de l’analyse du problème. Il arrive très souvent que la 

résolution des équations du mouvement ne soit pas possible, ou bien nécessite un bagage 

mathématique qu’on n’a pas, ou bien encore, ne peut être réalisé que numériquement. 

Etape 3 : intégration des équations du mouvement 

Ce cours commence par l’exemple de la balistique élémentaire et les oscillateurs harmoniques 

parce ce que ces deux exemples permettent d’aller jusqu’au bout. L’étudiant peut ainsi 

pleinement apprécier les objectifs de la mécanique. 

Il est important de réaliser que les équations du mouvement génèrent une famille de 

mouvements possibles. La situation est assez triviale en balistique : on peut avoir un 

mouvement vertical, ou bien une parabole. On peut facilement s’imaginer que les équations 

du mouvement pour un pendule constitué d’une masse ponctuelle au bout d’un fil sans masse 

donnent lieu à des familles de solutions moins triviales. On pourrait avoir le mouvement 

pendulaire plan, bien familier. On peut aussi avoir un mouvement complexe à trois 

dimensions. Et enfin, en lançant la masse avec juste la bonne vitesse horizontale, on peut 

obtenir un mouvement circulaire plan ! Le type de mouvement qu’on obtient peut varier, non 

pas parce que la dynamique change (de nouvelles forces ne sont pas introduites), mais par le 

choix des conditions initiales. 

En résumé, pour résoudre le problème complètement, il faut se donner des conditions 

initiales. Celles-ci sont par exemple données en spécifiant, à un instant donné, la vitesse et la 

position. On supposera par exemple, au temps t=0, une vitesse v " o 

et une position x " o 

. 

Les équations du mouvement sont des équations différentielles. Ici, on prend l'approche qui 

consiste à se poser la question élémentaire: "quelle est la fonction du temps x (t), y(t) ou z(t) 

telle que sa dérivée seconde par rapport au temps égale …", le second membre correspondant. 

Il est facile de voir que la solution a la forme : 

x(t) = v 8 t $ x % v 8t 

y(t) = v 

ox 

oy 

o 

ox 

8 t $ y % v 8t 

o 

1 1 

z(t) = " gt $ v 8 t $ z % " gt $ v 

2 2 

oy 

2 2 

oz o oz 

La solution prend la forme d'une équation paramétrique de la trajectoire, où t est le 

paramètre. La trajectoire est une parabole. Pour éliminer le temps, on tire t de y et pose :

10/12/2005 20 

x v 

% 

y v 

ox 

oy 

1 4 y 1 4 y 1 

z % " g 

$ v 8 

2 2 v / 2 v / 

2 

oz 

3 oy 0 3 oy 0 

On trouve ainsi une parabole dans le plan défini par 

x v 

y voy 

ce résultat ne soit pas aussi simple que ce qu'ils ont peut-être été habitués à voir. Pourquoi? 

ox 

% . Certains seront surpris que 

Cela vient du choix du système de coordonnées. 

Pour retrouver une forme de solution plus familière, on peut choisir un système de coordonnées de 

telle manière que le plan Oxz contienne le vecteur vitesse initiale v " 

o 

Dans ce repère, 

V 

4 v 1 

% 

2 / 

2 v / 

ox 

0 

0 

3 oz 0 

mx !! % 0 x (t)=v ox 

8t 

my !! % 0 y (t)=0 

1 

mz !! % " gm " gt $ v 8t 

2 

z (t)= 

oz 

2 

On a ainsi obtenu une expression mathématique synthétique qui rend compte de l'observation. 

Son intérêt est essentiellement historique : la hauteur d'une balle qui tombe sans vitesse 

v % 0 est la même en tout temps que celle d'une balle qui a une vitesse initiale 

initiale , ox - 

horizontale , 0- 

v G . 

ox 

Pour passer de l'équation paramétrique de la trajectoire à sa forme cartésienne, utilisons x = x 

(t) pour écrire t en fonction de x : 

y % 0 

1 4 x 1 4 x 1 

z % " g 2 / $ v 8 2 / 

2 v v 

2 

oz 

3 ox 0 3 ox 0 

A partir de ce résultat, toutes sortes de questions peuvent être analysées : 

- jusqu'où ira le projectile ? 

- quelle est l'inclinaison de V 0 pour une distance de tir optimale ? 

- etc…

10/12/2005 21 

Démonstration d’auditoire : une table à air est légèrement inclinée, le grand bord restant horizontal. Deux plots 

sont lâchés en même temps aux deux coins opposés de la table. On observe que le plot qui a une vitesse initiale 

non nulle, percute le plot en chute libre pour autant que la vitesse initiale pointe vers l’autre plot. On observe 

aussi l’écart vertical de plus en plus grand entre deux images du plot, alors que l’écart horizontal est constant 

entre deux images 

La loi du parallélogramme des forces 

“En science, réputée être la fille de la logique et de la raison pure, on remarque, peut-être avec surprise, que la sage-femme 

doit y accomplir un acte de création". 5 

Cette loi bien connue de tous fut découverte par Simon Stévin (1548-1620). C'est lui, qui, 

vingt ans plus âgé que Galilée, avait fait l'expérience de la chute des corps démontrant que le 

temps de chute est indépendant de la masse. Les objets lâchés simultanément d'une hauteur de 

30 pieds tombaient sur une planche. Le son permettait de détecter l'instant de la chute. 

Démonstration d'auditoire : l'expérience de Stévin 

Deux forces A et B agissent sur P. Quel est C pour que P soit immobile? 

A 

B 

P 

C 

Une force a une intensité et une direction. Représentons-la par une flèche. Soit deux forces 

appliquées. Il existe une résultante qui est une force. 

On cherche cette résultante. On suppose que les flèches-forces s'additionnent comme les 

vecteurs. 

5 Leon Cooper, op. cit.

10/12/2005 22 

" 

On devrait en faire la vérification expérimentale : en appliquant a et b " 

exercer " c " % " ( a " $ b 

" 

) pour que P reste immobile. 

en P, il faut 

Après des siècles de pratique, on dit " les forces sont des vecteurs ". Bien sûr les forces ne 

sont pas des vecteurs, ce sont des forces. Leur représentation en vecteur est parfaitement 

valable car elle est prédictive. 

Résistance de l'air 

Le modèle selon lequel la force exercée sur le projectile est mg est-il bon ? 

Si on considère une chute libre sur une très grande hauteur, par exemple, on sait bien que la 

vitesse ne croît pas jusqu'à l'infini, on en déduit immédiatement qu’il faut ajouter quelque 

chose à notre modèle. La résistance de l'air joue un rôle. Nous affinons notre modèle de force 

en posant : 

F % mg " bv 

où v est la vitesse. Maintenant " F % ma " projeté sur le même système d'axe cartésien que le 

dernier choisi donne : 

mx !! % " bx! 

my !! % " by! 

mz !! % " mg " bz! 

Intégration analytique 

Qu’en est-il de y (t) ? 

y (0) = 0 y(0) ! % 0 

d 

dt 

b 

(y) ! % " y! 

m

10/12/2005 23 

Cette équation dit que y! décroît si y! est positive, y! croît si y! est négative. Comme y! (t = 0) 

= 0, y! reste à 0. Donc y (t) = 0 

Considérons x (t) : 

b 

!! x % " x! 

m 

d 

dt 

b 

(x) ! % " x! 

m 

Changeons de variable x! = v : 

v! 

% " 

b 

v 

m 

Cette équation est fréquemment rencontrée en physique. Elle a la solution 

v (t) = v (0) 

dx 

dt 

% x ! (0) e 

8 e " bt / m 

" bt / m 

Quelle est la fonction dont la dérivée vaut 

4 " m 1 

% ! 8 2 $ 

b / 

3 0 

La condition initiale est 

x (t) x (0) e" 

bt / m A 

x (0) = 0 

0 = 

On peut écrire 

" m 

x ! 

4 1 

(0) 8 2 $ A 

b / 

3 0 

A = m x (0) 

b ! m 

! 8 

" bt / m 

, " - 

x (t) = x (0) 1 e 

b 

m 

b % H t / 

, - 

x (t) % x ! (0) 8 H 1 " e " H 

x ! (0) e " bt / m ? C'est une fonction à la forme : 

Que se passe-t-il à t 7 H ?

10/12/2005 24 

x (t # I ) # x ! (0) 8 H 

Sous l’effet de la friction, le déplacement horizontal ne peut pas être plus grand que 

x ! (0) 8 H ! 

On examine maintenant z(t) : 

avec H % 

m !! z % " m g " b z! 

1 

!! z % " g " z! 

H 

m 

b 

Au début z! est petit, !! z J " g , c'est le cas traité plus haut. Puis le terme en z! domine, z! suit 

une équation comme v (ci-dessus) donc !! z # 0 et : 

z! 

% g 8 H 

limite 

Une grosse masse implique H grand et l’effet de friction ne devient sensible que si le temps 

est de l’ordre de grandeur de H . Pratiquement, si on examine la chute d’une balle de pingpong, 

on peut espérer voir l’effet de la friction. Mais avec une balle d’acier, on ne peut pas ! 

On peut considérer l’équation en z comme étant composée de termes qui s’expriment en terme 

de z, et des termes indépendants de z. Pour intégrer une équation différentielle linéaire avec une 

telle structure, il existe une méthode standard. Elle consiste à chercher d’abord une solution 

particulière de l’équation différentielle avec le terme constant. On constate que 

z % " g t H 

est une solution. La solution générale 

1 

!! z % " z! , est donnée par 

H 

z! % A e/ 

H , 

de l’équation homogène (sans second membre), 

d'où z % " A 8 H e" t / H $ B . Alors la solution générale de l'équation différentielle complète 

est 

z (t) % " g t H " A H e" t / H $ B 

Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales 

Finalement, 

z! 

% " g H $ A e " t / H 

z ! (0) % " g H $ A 

0 % z (0) % " A H $ B 

z (t) % " g t H 

% " g t H $ z ! (0) 8 H $ g H 2 1 " e " t / H 

" H $ H $ $ H H 

, z (0) g - e " t / H , z (0) g - 

! ! 

, - , -

10/12/2005 25 

On peut arriver au même résultat en commençant par intégrer l’équation différentielle pour z 

en posant le changement de variable 

1 

a % " g " z! 

H 

Alors !! z % "H a! 

% a . On reconnaît cette équation différentielle pour l’avoir déjà rencontrée 

pour la direction x. La variable a est donc une fonction exponentielle du temps. Ayant a, on 

peut finir la résolution en intégrant en intégrant pour z! . Les conditions initiales permettent de 

conclure. 

Intégration numérique 

Il existe des outils très commodes, et d’autres très puissants, pour trouver des solutions 

numériques à des equations différentialles. MATHEMATICA par exemple, permet 

d’explorer des équations du mouvement aussi simple que celles de la balistique. La syntaxe, 

bien que souvent délicate, est remarquablement simple pour cette application. Un exemple, 

volontairement modeste dans son usage de MATTHEMATICA, est présenté ci-dessous. 

g=9.8; 

tmax=0.5282; 

vo=10; 

a=15 Degree; 

xo=0;vxo=N[vo Cos[a]]; 

xo=0;vzo=N[vo Sin[a]]; 

k! 0.8; 

ntrajectory!k" ! NDSolve!# 

nx " !t" !! #knx $ !t", 

nz " !t" !! #knz $ !t" # g, 

nx!0" !! xo, nx $ !0" !! vxo, 

nz!0" !! 0, nz $ !0" !! vzo 

$, #nx, nz$, #t, 0.0, 1.0$"%1&; 

ntrajectoryPlot[k]=ParametricPlot[Evaluate[{nx[t],nz[t]}/.ntrajectory[k]],{ 

t,0,tmax},AxesLabel%{"x axis","z axis"}]; 

z axis 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

-0.05 

1 2 3 4 

x axis 

La même résolution avec plus de friction (k=10) donne : 

z axis 

0.1 

0.05 

-0.05 

-0.1 

-0.15 

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 

x axis 

On peut aussi faire un graphe avec plusieurs trajectoires correspondent à différentes valeurs du coefficient de frottement :

10/12/2005 26 

Show[ntrajectoryPlot[0.0],ntrajectoryPlot[0.8],ntrajectoryPlot[10.]]; 

z axis 

0.3 

0.2 

0.1 

-0.1 

1 2 3 4 5 

x axis 

L’accident 

Un accident de la circulation survient dans une rue de Lausanne. Une voiture renverse un 

piéton. L'enquêteur appelé sur les lieux constate : 

– deux traces parallèles de freinage d'une longueur de 60 m et commençant 15 m avant l'axe 

du passage pour piéton (largeur 4 m), 

– des débris de phares à 15 m après l'axe du passage, 

– les phares de la voiture sont à une hauteur de 1 m, 

– la voiture peut avoir une accélération de freinage de – 5.2 m/s2. 

Quelles sont les responsabilités ? (Vitesse du véhicule et position du piéton par rapport au 

passage, au moment du choc). 

Boules de neige 

Un étudiant du cours de physique générale s'engage dans une bataille de boules de neige avec un ami. Cet ami 

parvient à rattraper les boules et à les renvoyer immédiatement. 

L'étudiant sait qu'une boule de neige peut être envoyée à deux angles de tirs différents, mais avec la même 

vitesse, et arriver au même point d'impact. Cependant les temps de vols sont différents. Aussi, pour gagner la 

partie, l'étudiant décide de jeter deux boules de neige, à des instants différents, une sur une trajectoire supérieure 

à l'autre. La balle supérieure créera une diversion. Pendant que l'ami se préparera à l'attraper, la seconde boule 

arrivera et les deux balles le frapperont simultanément ! Si les amis sont à 25 m l'un de l'autre et ils lancent les 

boules avec une vitesse initiale de 20 m/s : 

a) Quels sont les angles de tirs ? 

a) Combien de temps faut-il attendre avant de jeter la deuxième boule ? 

Relaxation exponentielle 

" " 

Un corps soumis à la pesanteur, de masse m, subit une force de friction proportionnelle à sa vitesse : F % " bv 

(b>0). 

a) Quelle est la vitesse limite ? 

4 4 " t 11 

b) Montrer que sa vitesse évolue en fonction du temps comme v(t) % v0 

21" exp2 // 

3 3 H 00 . Exprimer H 

et v 0 en termes de m, b et g. 

c) Esquisser cette fonction et son asymptote et la tangente à l’origine. Donner la valeur 

du temps à l’intersection des deux droites.

10/12/2005 27 

Baseball : stratégie de "défense" 

Le joueur A doit passer sa balle au joueur C. Il a le choix entre la lancer directement à C, ou de passer par le 

joueur intermédiaire B. Les joueurs A, B et C sont sur une ligne droite. Les distances entre A et B et entre B et C 

sont égales à L. Les joueurs lancent tous avec la même vitesse initiale vo. Cette vitesse vo est telle que le joueur 

A peut tout juste lancer à C, c'est-à-dire qu'il doit lancer de A à C avec un angle initial de 45 degrés. Quand A 

lance à B et quand B lance à C, les joueurs A et B ajustent l'angle de tir pour atteindre B et C, respectivement, 

avec un temps de vol minimal. 

A B C 

L L 

On suppose qu'il faut un temps @ t au joueur B pour rattraper la balle et la lancer à C. On se demande si, pour un 

L donné, il existe des valeurs de @ t qui font qu'il soit plus rapide à A d'envoyer la balle via B plutôt que de la 

passer directement à C ? 

a) Quel est le temps de la passe de A à C et la vitesse vo en fonction de L et g ? 

b) Quel est l'angle de la passe de A à B pour vo donné et le temps de vol ? 

c) Discuter (en général, c'est-à-dire pour toute valeur possible de vo) s'il est plus rapide de lancer directement de 

A à C ou de passer par B.

10/12/2005 28 

L'oscillateur harmonique 

Pour une deuxième application de la loi de Newton « F % ma », on va considérer une classe 

de mouvements qui jouent un rôle très important en mécanique et en physique : l’oscillateur 

harmonique ! Bien des systèmes mécaniques peuvent être considérés en première 

approximation comme des oscillateurs harmoniques. De plus, de nombreux chapitres avancés 

de physique théorique feront appel à une généralisation de ce concept. 

L’objectif du cours étant essentiellement d’apprendre à mettre sous forme mathématique un 

phénomène physique, il est bon de commencer par observer des oscillateurs. Comme premier 

exemple, on considère le mouvement d’une masse suspendue dans l’air par un ressort. 

Il est possible d’observer un mouvement oscillatoire similaire sur un tout autre système, par 

exemple, une barre rigide suspendue à un fil métallique tendu. On appelle un tel système un 

pendule de torsion. 

en première approximation, ces oscillateurs ont une amplitude constante. Bien sûr, il suffit 

d’attendre assez longtemps pour noter une décroissance de l’amplitude. En revanche, si la 

masse suspendue à un ressort est plongée dans de l’eau, l’amortissement est immédiatement 

visible. De même, si le fil du pendule de torsion est chauffé, l’amortissement se pass en 

quelques dizaines de seconde au lieu de quelques minutes ! 

Généralité du phénomène 

On verra plus loin dans le cours (formalisme de Lagrange) que les petits mouvements autour 

d'une position d'équilibre ont les caractéristiques d'un oscillateur harmonique. Ce type de 

mouvement est donc très fréquent. Il se généralise à toutes sortes de situations physiques,

10/12/2005 29 

telles que les circuits électriques RLC, les résonateurs à quartz ou toute autre structure 

vibrante. 

Les oscillateurs harmoniques permettent d’introduire la notion de résonance. Les résonances 

sont parfois utiles, en particulier pour détecter des signaux faibles. C’est le cas du circuit 

résonant d’une radio pour détecter les ondes hertziennes. C’est aussi la stratégie proposée cidessous 

pour détecter la résonance d’un moment magnétique atomique. 

Actualité 

On peut trouver des considérations d'oscillateur harmonique partout, même dans des sujets 

d'actualité. Ici, un dispotif résonant est proposé pour la détection ection mécanique de 

résonance magnétique, avec pour objectif de détecter le moment magnétique d’un seul 

atome. 9 

Modélisation de la force d'un ressort 

Démonstrations d’auditoire: 

La force exercée par un ressort est trouvée approximativement 

proportionnelle à son allongement. 

Des expériences rudimentaires montrent que la force F d'un ressort est proportionnelle à son 

élongation en première approximation. Si x est une coordonnée qui définit la position du bout 

mobile du ressort par rapport à sa position d'équilibre, alors 

F = – kx 

où k est une constante appelée la constante élastique du ressort. On verra plus tard dans le 

cours que ce type de force se rencontre souvent, comme par exemple : 

- dans les petites oscillations autour d'une position d'équilibre 

- dans les petites déformations d'un corps solide. 

Fort de cette observation, nous sommes justifié pour définir un nouveau modèle mécanique. 

9 PRL 70(22) 3506 (1993)

10/12/2005 30 

L'oscillateur harmonique 

Définition : un point matériel astreint à se déplacer en ligne droite et soumis à une force de 

rappel proportionnelle à la distance à un point fixe sur cette droite. 

On se donne m, la masse du point matériel et un axe des coordonnées x le long de la droite, 

dont l’origine O est la position de l'extrémité du ressort au repos. La force de rappel est F = - 

k x, où k est une constante. On fait appel à la 2 ème loi de Newton : 

F % m a 

où a vaut simplement x!! . Ainsi, l’équation du mouvement est: 

m !! x % " k x 

Voici une nouvelle équation différentielle non triviale. C’est une des rares équations 

différentielles dont on peut fournir une solution analytique ! 10 

L'équation différentielle comme recette de calcul 

La discussion qui suit a pour de familiariser l’étudiant avec la notion d’équation 

différentielle, en jouant un peu avec une calculatrice., 11 

Nous avons obtenu m a = -k x . Cette loi permet de calculer a pour chaque valeur de x, d'où 

peut être déduit un accroissement de vitesse : @ v % a @ t , et par conséquent un déplacement 

@ x % ( v $ @ v) 

@ t . Posons comme conditions initiales : t = 0, x = 1.0, v = 0. Soit m = 1.0, k 

= 2.5. Pue importe ici les untiés. A partir de x = 1.0 nous trouvons la valeur de a. De là, nous 

pouvons trouver la nouvelle valeur de x, d'où la nouvelle valeur de a, etc... Prenons un 

incrément de temps @ t % 0.025 . 

t a v x 

0 -'2.5 0 1 

0.025 -'2.496 '0.06 0.999 

x varie trop lentement pour cette démonstration. Prenons alors un @ t plus grand, soit 0.1. 

t a v x 

0 -2.5 0 1 

0.1 -2.438 -0.25 0.975 

0.2 -2.313 -0.498 0.925 

0.3 -2.130 -0.729 0.852 

0.4 -1.895 -0.942 0.758 

0.5 -1.612 -1.132 0.645 

0.6 -1.289 -1.294 0.516 

0.7 -0.934 -1.423 0.374 

0.8 -0.556 -1.516 0.222 

0.9 -0.162 -1.572 0.065 

10 Mechanics, Berkley Physics Course vol. 1, C. Kittel, W. Knight, Ruderman, Mac Graw Hill 1973 

11 Mechanics, A. Douglas Davis, Acad. Press College Division 1986

10/12/2005 31 

Ce petit calcul suffit à noter que, lorsque la vitesse est maximum, l'accélération s'annule. C'est 

normal ! La condition pour trouver l'extremum de v est : 

dv 

% 0 . C'est une condition sur l'accélération ! 

dt 

Ce calcul peut être exécuté avec une calculatrice et un petit programme très simple. 

Actualités : 

" " 

De nos jours, des machines parallèles sont développées pour calculer « F % m a » pour un 

grand nombre de points matériels. 12 

Une façon d'intégrer de façon numérique l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique 

est de faire appel à un programme tel que Mathematica. Le petit programme ci-dessous suffit 

à analyser l'oscillateur harmonique, amorti, et même forcé (application d’une force extérieure, 

voir ci-dessous ‘résonance’). 

tmax! 60;vo ! #1;xo ! 1; k! 1; b ! 0.3; 

omega! 1.0;a ! 1.0; 

ntrajectory!k, omega" ! 

NDSolve! 

#nx " !t" !! #knx!t" # bnx $ !t" &aCos!omegat", 

nx!0" !! xo, nx $ !0" !! vo$, #nx$, 

#t, 0.0, tmax$"; 

noscillationPlot! 

ParametricPlot! 

Evaluate!#t, nx!t"$ '. ntrajectory!k, omega"", 

#t, 0, tmax0.99$, 

AxesLabel% #"t axis", "x axis"$, 

PlotRange #' ##1, 1$"; 

12 Physics World, Nov. 1992, p. 32

10/12/2005 32 

x axis 

2 

1.5 

1 

0.5 

-0.5 

10 20 30 40 50 60 t axis 

-1 

-1.5 

-2 

Solution analytique 

L'équation différentielle de l'oscillateur harmonique peut s'écrire 

2 

d x k 

% " 

2 x 

dt m 

Dans le cadre de cette sensibilisation aux équations différentielles, il suffira d'adopter la 

démarche très simple qui consiste à essayer une solution, en l’occurrence : 

x % cos ( At) 

C'est une solution, car en effet : 

dx 

% " A sin( At) 

dt 

2 

d x 2 

% " A cos( At) 

2 

dt 

k 

et l'équation différentielle est satisfaite, pour autant qu'on prenne A % . On remarque que 

m 

x % sin( At) 

est aussi une solution. Une solution générale est de la forme : 

x ( t) % Asin ( At) $ B cos ( At) 

Pour trouver A et B, il faut spécifier les conditions initiales. Prenons par exemple x % @ l et 

v % v o 

à t = 0 . Il vient : 

x ( t % 0) % B % @ l 

v ( t) % A cos ( At) " BA sin ( At) 

v (0) % A % vo 

La justification formelle de cette approche appartient au cours de mathématiques. 

La suite de cette section va au-delà d'un discours introductif et peut être consultée ultérieurement, quand le 

cours de mathématiques aura abordé les nombres complexes et les équations différentiels. 

Oscillateur harmonique amorti 

En pratique, les oscillateurs ont leur amplitude qui décroît au cours du temps, à moins qu'ils 

soient forcés. Pour une description plus réaliste, c'est-à-dire une meilleure modélisation,

10/12/2005 33 

supposons que l'oscillateur est soumis à une force supplémentaire représentant les frottements. 

Il arrive souvent que l'approximation par laquelle la force de frottement est proportionnelle à 

la vitesse, et opposée à la vitesse, soit une bonne approximation. Ce n'est pas la seule possible, 

et ce n'est pas toujours la meilleure. Nous parlerons des forces de frottement plus tard. Ainsi 

la force de frottement 

" 

de la forme est posée 

" 

F % " b v 

f 

Pour notre système de coordonnées, F 

fournit 

2 

d x dx 

m % " k x " b . 

2 

dt 

dt 

Pour se conformer à une notation usuelle, nous notons 

d'où l'équation différentielle : 

f 

dx 

% " b . L'application de la 2 ème loi de Newton 

dt 

k 2 b 

% Ao 

% K 

m 2m 

2 

d x dx 2 

$ 2K 

$ A 0 

2 o 

x % 

dt 

dt 

C’est dans le cadre d’un cours de mathématiques qu’une méthode systématique est introduite 

pour résoudre une telle équation différentielle. Elle consiste à prendre comme fonction 

d'essai x % e .t . Il faut alors 

2 2 

, - 

t 

e . . $ 2 K. $ A o 

% 0 . 

t 

Comme ( 0 

1 

1 

e . G ) il faut ,. 2 K. A 2 

o - 

. % " K $ K " A 

2 2 

o 

. % " K " K " A 

2 2 

o 

$ 2 $ % 0 , d'où : 

et la solution générale est une combinaison linéaire des deux solutions trouvées : 

x( t) 

% A e $ A e % 

. 1t 

. 2t 

1 2 

2 2 2 2 

K Ao 

t 

K Ao 

t 

, 1 

$ 

2 - 

"K t 

" " " 

e A e A e 

Nous avons observé des mouvements avec beaucoup d'oscillations avant un amortissement 

2 2 

important. C'est-à-dire que l'amortissement est faible : K LL A o 

Alors, on peut écrire avec 

des racines carrées réelles : 

. % " K $ i A " K 

1 

1 

2 2 

o 

. % " K " i A " K 

2 2 

o

10/12/2005 34 

et la solution générale peut s'écrire : 

i A 

, - 

2 K 2 t i A 2 K 

2 t 

" t 

o M o 

x( t) % e Ae $ A e 

K " " " 

Les constantes sont choisies de manière à ce que la fonction x( t ) soit réelle. La solution 

générale peut aussi s'écrire : 

, A - 

" K t 

x( t) % e C cos t $ B avec 

L'allure générale de la courbe est la suivante : 

1 

A % A " K 

2 2 

1 o 

Ao 

Quand 

sur-critique. 

% K on dit qu'il y a amortissement critique, quandA 

o 

L K , qu'il y a amortissement 

Le phénomène de résonance 

Démonstration d'auditoire : un poids accroché à un ressort, immergé dans de l'eau, l'autre 

extrémité du ressort oscillant de haut en bas sous l’action d’un piston qui peut être mu à une 

fréquence variable. On observe un maximum d’amplitude quand la fréquence est ajustée à la 

fréquence de l’oscillation libre. Si on retire le poids de l’eau, on observe au début de 

l’expérience des battements entre l’oscillation propre et l’excitation. Il faut attendre un temps 

de l’ordre du temps d’amortissement de l’oscillation libre pour obtenir un mouvement 

harmonique.

10/12/2005 35 

Lorsque l’oscillateur harmonique est soumis à une force extérieure, on parle d’oscillateur 

harmonique forcé. Exprimé sous forme mathématique, cela veut dire qu'on s'intéresse aux 

solutions de l'équation différentielle 

2 

d x dx 

m % " k x " b $ F( t) 

2 

dt 

dt 

où F(t) est une force extérieure. On considère ici le cas où l'excitation est harmonique : F (t) 

= f cos( t). L'expérience montre que l'amplitude de l'oscillation devient très grande quand 

Ao 

est proche deA o 

. De plus, l’oscillation est d'autant plus grande que est grand. Ce quotient 

2 K 

est appelé le facteur de qualité (voir section « considérations d’énergie »). 

Démonstrations d'auditoire : 

Plusieurs masses sont suspendues sur un tube en caoutchouc. Seul un pendule a la même 

longueur que celui situé à l'extrémité du tube. Quand ce dernier est excité, seul le pendule qui 

a la même longueur que celui-ci se met à osciller de manière importante. 

L’Exploratorium de San Francisco présente une expérience similaire, avec des bandes d’acier 

en forme d’anneaux de plusieurs diamètres. Les anneaux sont tous montés sur un haut-parleur. 

On observe la résonance de chaque anneau successivement quand la fréquence du hautparleur 

est augmentée progressivement. 

Le pont de Tacoma s’est effondré quand un fort vent a engendré une résonance dont 

l’amplitude est devenue si grande que le pont ne pouvait plus résister. Ici il faut noter un

10/12/2005 36 

phénomène curieux : l’amplitude obtenue avant rupture est plus grande que la déformation 

que le matériau aurait toléré en mode statique ! 

Pour rendre compte de ces phénomènes, on considère les solutions de l’équation du 

mouvement 

1 2 

!! x $ x! $ Ao 

x % No 

cos( At) 

H 

f 

avec N 

o 

% . On choisit de s’intéresser seulement au cas stationnaire, c'est-à-dire qu’on 

m 

suppose que la force a été appliquée pendant un temps long comparé à H . Alors le système 

oscille à cette fréquence A . 

Il est commode d'obtenir la solution en cherchant d'abord celle d'un problème équivalent pour 

une variable complexe. Le problème complexe se déduit du premier en considérant le même 

système subissant une force déphasée de 2 

> . Exprimons l'équation du mouvement pour une 

variable y sous l’effet de cette force déphasée. Il vient alors le système d'équations : 

1 2 

!! x $ x! 

$ Ao 

x % No 

cos( At) 

H 

1 2 

!! y $ y! 

$ Ao 

y % No 

sin( At) 

H 

En multipliant la deuxième équation par i et en sommant, avec z = x + i y, on obtient : 

1 2 

i t 

Ao 

No 

!! z $ z! 

$ z % e A 

H 

i t 

Chercher la solution stationnaire, c'est chercher la solution de la forme z % z e A . Pour trouver 

la solution du problème initial pour x, il suffit de prendre x Re, z- 

dans l’équation du mouvement, il vient: 

o 

% . En substituant pour z

10/12/2005 37 

iA 

2 / 

3 H 0 

N 

z 

4 2 

2 1 iAt 

iAt 

" A $ $ Ao zoe 

% Noe 

o 

o 

% 4 2 iA 

2 1 

" A $ $ Ao 

2 / 

3 H 0 

Écrivons z o sous la forme 

zo 

i 

% Pe O . Alors le module de z est donné par : 

P % 

N 

o 

2 

4 2 1 

2 2 

, Ao 

A - 

4 A 1 2 / $ " 

2 3 0 

/ 

3 H 

0 

et sa phase par 

Im ( zo) " A / H 

tan ( O) 

% % 

Re ( z ) A 

o 

2 2 

o 

" A 

NoH 

L'amplitude à la résonance A % Ao 

est P ( A % Ao) % . Le déphasage est > 2 . 

A 

o 

No 

L'amplitude à la fréquence nulle (force constante) est P ( A % 0) % . 

2 

A 

Le rapport de l'amplitude à la résonance et de celle à la fréquence nulle vaut : 

P ( A % Ao) 

% AoH 

P ( A % 0) 

Plus l’amortissement est faible, plus H est grand et plus grande est l’amplitude de 

l’oscillation. (voir section « considération d’énergie » et le facteur de qualité). On est ainsi 

parvenu à rendre compte des différentes observations faites avec un système physique 

modélisé par un oscillateur harmonique amorti forcé. 

o 

Oscillateur harmonique v, a, E 

Vérifier que la solution du problème de l’oscillateur harmonique 

m ! x 

% " kx (k

10/12/2005 38 

peut s’écrire x( t ) % Acos( At 

$ O ) et trouver la valeur de A. 

Calculer la vitesse v(t) et l’accélération a(t). 

Trouver a(t 0 ) avec v(t 0 )=0 et v(t 1 ) avec a(t 1 )=0. 

2 

2 

Vérifier que la grandeur E % 1 kx $ 1 mv est indépendante du temps. 

2 2 

Champ de bosse – réponse linéaire 

Il existe de nombreux systèmes physiques résonants dont on cherche à connaître la réponse à 

une excitation harmonique, c’est-à-dire sinusoïdale, à des temps éloignés du moment de 

l’enclenchement de l’excitation. 

Un point matériel pesant, de masse m, avance avec une vitesse horizontale v constante. La 

masse est reliée à un dispositif comportant un ressort de constante élastique k, de longueur au 

repos nulle (pour simplifier !). Au bout du ressort, une roulette sans masse suit le profil du sol. 

Le dispositif qui maintient le ressort vertical n’est pas spécifié. Il est simplement supposé 

qu’il n’intervient pas dans le mouvement de la masse. 

a) Le profil du parcours (la tôle ondulée) est supposé avoir une forme sinusoïdale. La hauteur 

des bosses est H et leur longueur L. Donner l’équation horaire H(t) du point de contact 

entre la roue et la route (on prendra l’origine des temps à l’origine géométrique, à michemin 

entre un creux et une bosse de la sinusoïde). 

b) Avec H(t), en déduire l’équation du mouvement du point matériel (mouvement dans la 

direction verticale). 

c) Trouver l’amplitude des vibrations du point matériel en fonction de la vitesse. Donner la 

condition de résonance. Que peut-on dire de la vitesse du véhicule pour que le confort soit 

maximum. 

Oscillateur sur plan incliné 

Un point matériel pesant, de masse m, est astreint à se déplacer sur une droite inclinée d’un 

angle N par rapport à l’horizontale. Il n’y a pas de frottement. Le point matériel est retenu par 

un ressort de longueur au repos L et de constante élastique k. 

a) Etablir le bilan des forces. 

b) Trouver l’équation du mouvement.

10/12/2005 39 

c) Quelle est la période des oscillations ? 

Oscillateur-pendule 

Un pendule est formé d’une masse considérée comme un point matériel de masse m, 

suspendue à un ressort de constante élastique k et soumis à la pesanteur. Pour simplifier, le 

ressort est supposé de longueur au repos nulle. Le pendule n’est pas supposé astreint à se 

déplacer dans un plan vertical. 

a) Choisir un système de coordonnées et un repère. 

b) Exprimer la force de rappel en terme de ces coordonnées. 

c) Obtenir les équations du mouvement. 

d) Exprimer l’énergie cinétique pour ce choix de coordonnées. 

e) La composante verticale du moment cinétique, calculée en utilisant le point O comme 

point de référence, est une constante du mouvement. Trouver un argument le justifier. 

f) Quelles conditions initiales fournissent un mouvement circulaire horizontal ?

10/12/2005 40 

Considération d'énergie pour l'oscillateur harmonique 

La discussion suivante complète la description de la phénoménologie de l’oscillateur 

harmonique. Elle invoque des notions d’énergie. 13 

On considère à nouveau la solution de l'oscillateur harmonique, sans amortissement : 

x % Asin ( A t $ B) 

x! 

% AA 

cos ( A t $ B) 

1 

1 1 

On appelle énergie cinétique la quantité 

1 2 1 2 2 2 

K % m x! 

% mA A1 cos ( A1t 

$ B) 

2 2 

On appelle énergie potentielle le travail effectué pour amener la masse de la position x à 0, 0 

étant la position de repos du ressort. La notion de travail et d'énergie potentielle sera étudiée 

formellement plus tard. L'énergie potentielle d'un ressort de constante k, d'élongation x, vaut : 

1 

V ( x) 

% k x 

2 

2 

On appellera énergie totale la grandeur définie par E % K $ V . Dans ce cas particulier, on a 

1 2 2 

E % mA A . E est indépendant du temps. 

2 

S'il y a amortissement, la grandeur 

" K t 

En effet avec x Ae cos( A1t 

) 

1 1 

E % m x $ k x 

2 2 

2 2 

! dépend du temps. 

! Un 

" K t 

% $ B on a x % Ae E " K cos( A t $ B ) " A sin( A t $ B) 

F 

système résonant est, typiquement, faiblement amorti : 

K LL A 1 

1 1 1 

Alors le premier terme est négligeable devant le deuxième dans l'expression de la vitesse : 

1 2 1 2 

m x! 

$ k x Q 

2 2 

1 2 2 2 1 2 2 

mA A1 

sin ( At $ B ) $ kA cos ( At 

$ B) 

2 2 

Au même ordre d'approximation : 

2 2 

o 

A " K J A 

Avec mA o 

% k , 

il vient 

2 

o 

13 Chapitre « Travail, puissance, énergie »

10/12/2005 41 

E( t) 

1 

2 

2 t 

% k A e " H avec 

1 

H % 

2K 

Facteur de qualité 

2> 

La période est . La perte sur une période vaut : 

A 

2> dE 2> 

1 

% R . 

A dt A H 

1 1 

1 

On utilise très souvent en technique le concept de facteur de qualité défini comme : 

Q % 

, énergie emmagasinée dans l'oscillateur- 

2 > De la définition de Q, il vient : 

énergie dissipée dans un cycle 

Q % A1H 

. 

Pratiquement, on peut traiter Q comme le nombre de battement de l’oscillateur dans le temps 

qu’il faut pour que l’amplitude décroît d’un facteur e,, fois 2> . Une autre intuition du sens du 

facteur de qualité vient de l’évolution de l’énergie. L'énergie E de l'oscillateur harmonique 

décroît comme 

2 t t / t 1 / Q 

e " K % e " H % e " A 

Plus Q est grand, plus l'énergie se dissipe lentement. 

Le facteur de qualité est utilisé pour décrire des systèmes résonants. Le terme « qualité » 

vient sans doute du résultat suivant. Nous avons vu que l’amplitude à la résonance était 

l’amplitude de la déviation statique multipliée par le coefficient A1H , c’éest-à-dire, le facteur 

Q ! Le facteur de qualité est souvent de 100, il peut être de 10'000, par exemple pour un 

quartz ! 

Ce résultat permet de comprendre l'expérience suivante du musée des sciences de San 

Francisco 14 : le visiteur tire sur une masse énorme pendue au bout d'un pendule à l'aide d'un 

fil rattaché à l'énorme masse par un petit aimant. En tirant avec une force constante, presque 

aucune déviation n'est observée. En revanche, si le visiteur a la patience d'exercer la traction 

au bon rythme, pendant un temps de l'ordre du temps d'arrêt si on observait le pendule osciller 

librement, alors il arrive à produire une oscillation sensible ! 

Considérations sur l'énergie et la puissance dissipée d'un système résonant 

Lorsque nous étudierons de façon détaillée les notions de travail et d'énergie mécanique, nous 

verrons que la puissance apportée au système vaut P % F8v . Il y a un va-et-vient périodique 

d'énergie entre la source de la force F et l'oscillateur harmonique. Ce qui importe cependant, 

c'est la moyenne sur un cycle. Elle est non-nulle parce que le système dissipe une partie de 

l’énergie reçue à cause des frottements. 

14 Voir www.exploratorium.com

10/12/2005 42 

On calcule donc : 

P % L F v ! % L f cos ( At) Re ( z! 

) ! 

, cos( ) sin ( )- 

iO 

iAt 

z! 

% iAPe e % iAP At$ O $ i At$ 

O 

, AP f - At At O At 

O 

2 2 

, Ao 

" A - $ , A H - 

, - 

P % L f cos ( At) sin ( At 

$ O) 

" AP % 

L " cos ( ) (sin ( )cos( ) $ cos ( )sin( ))! % 

2 

" 1 

L ," AP - f cos ( At) sin( O ) ! % f AP sin( O ) % 

2 

2 

1 2 A / H 

mN 

o 

2 2 

% 

2 / 

P % 

1 

2 

2 1 

mN o 

H 

2 

2 

4 2 

, Ao 

" A 1 

2 - 

2 

$ 1/ 

2 , A / H - 

/ 

3 0 

La puissance absorbée P vaut la moitié du maximum de P, 

2 2 

, Ao 

" A - 

, A / H - 

c'est-à-dire quand 

2 

% , 

2 

1 

, - 

, - 

( A " A) ( A $ A) % A / H 

o 

@ A 2 A Q A / H 

o 

2 @ A % 1/ H 

o 

o 

1 

2 

m N 

2 

o 

H , quand 

où 2@A est la largeur à mi-hauteur de la raie représentant l'absorption P en fonction de la 

fréquence appliquée. Les résultats sur le facteur de qualité donnent ainsi : 

A 

Q % o 

2 @ A

10/12/2005 43 

La notion d'impédance 

En réponse harmonique, la vitesse v se déduit du déplacement z en multipliant z par le facteur 

iA . L'amplitude v 

0 

de la vitesse est ainsi : 

N ( iA ) 

N 

v % o % o 

o 

2 

4 2 iA 

2 1 4 

o 1 

1 

2 " A $ $ A A 

o / 

3 H 0 

2 iA 

$ $ / 

2 iA 

H / 

3 0 

L'impédance est une grandeur introduite dans de nombreux domaines de la physique. Ainsi on 

écrira pour : 

- l'oscillateur harmonique : 

force = impédance x vitesse 

- les circuits RLC : 

tension = impédance x courant 

- les ondes électromagnétiques : 

champ électrique = impédance x champ magnétique 

- les ondes acoustiques : 

pression = impédance x vitesse de déformation 

Pour l'oscillateur harmonique, l'impédance Z est ainsi : 

2 

4 1 

A 

o 1 

Z % m2 iA 

$ $ / 

2 iA 

H / 

3 0 

L'inverse de l'impédance s'appelle l'admittance. En passant à travers la résonance, l'admittance 

dans le plan complexe parcourt un cercle. En effet, posons 

A % A " @ A avec @ A LL A 

o 

2 2 

d'où A Q A $ A @ A . Il vient ainsi : 

0 

2 

o

10/12/2005 44 

m 

1 

% % 

Z 4 A 

2 

$ 2 A @ A 1 1 

iA 

$ $ 

2 iA 

H / 

3 0 

1 

% 

1 

" 2i 

@ A $ H 

1/ H 

2 @ A 

% $ i 

1 2 1 

$ 4 @ A $ 4 @ A 

2 

H 

2 

H 

2 

Nommons x et y les parties réelle et imaginaire de l’admittance par unité de masse. On a 

2 2 1 

x $ y % % xH 

1 

$ 4 @ A 

2 

H 

2 

x 

2 

$ y 

2 

" xH 

% 0 

2 

( / 2) 

2 2 H 

x " H $ y % 

4 

C'est bien l'équation d'un cercle dans le plan complexe de l'admittance. 

Exemple : une mesure de l'admittance d'un cristal piezoélectrique présentant une résonance 

électromécanique. 15 

15 données prises par l'auteur

10/12/2005 45 

Sensibilisation au problème du chaos 

Introduction : évolution de la pensée scientifique 

La balistique est enseignée dans tous les cours introductifs de mécanique. La raison en est 

simple : pour ces problèmes, il suffit de travailler en coordonnées cartésiennes et l’intégration 

des équations du mouvement est des plus simples ! Les oscillateurs harmoniques ont 

l’avantage de présenter une équation du mouvement sous la forme d’une équation 

différentielle qui présente un véritable défi. Mais dans ce cas-ci comme dans le précédent, les 

solutions ont un comportement tout simple. Avec des conditions initiales données, on peut 

prédire l’évolution du système aussi bien que remonter dans les temps antécédents au moment 

initial. En particulier, si on change un petit peu les conditions initiales, la solution change un 

peu, mais sans plus. 

On verra d’autres systèmes physiques avec le même comportement simple, qu’on peut 

dénommer comme déterminisme laplacien. Le cas historique notoire est le succès de la loi de 

la gravitation universelle de Newton qui permet de rendre compte de la forme et des 

propriétés des orbites des planètes, énoncées par Kepler. Ce succès fulgurant a frappé 

l’imagination de l’humanité. Cette nouvelle science moderne, mécaniste, allait-elle pouvoir 

tout expliquer ? Nous devons reconnaître que beaucoup d’entre nous sommes attiré par 

l’espoir d’une telle simplicité, tant elle est pure. Ainsi deux siècles d’enthousiasme créèrent 

une habitude de pensée qui constitua un obstacle épistémologique tout à fait caractéristique. Il 

aura fallu un génie pour nous sortir de cette torpeur simplificatrice ! Poincaré, mathématicien, 

réalisa que les solutions des équations de la mécanique ne suivaient pas toutes des schémas 

aussi simples. 

Il fallut cependant encore des décennies avant qu’une prise de conscience plus large 

s’établisse. Des chercheurs redécouvrirent par eux-mêmes les intuitions de Poincaré, vers le 

milieu du 20 ème siècle. L’accès à des solutions numériques obtenues par des ordinateurs de 

plus en plus accessibles contribua à développer le sens général de cette complexité. 16 De nos 

jours, la théorie du chaos est reprise par tout un chacun. Les sociétés internationales créent des 

divisions de physique des systèmes « non linéaires », organisant des congrès. Les livres de 

vulgarisation sur le chaos abondent. La sensibilité aux conditions initiales, la possibilité de 

bifurcation très loin d’un équilibre connu sont entrées dans la conscience collective. 

16 Chaos, James Gleick, Penguin Books 1988

10/12/2005 46 

Un exemple : modélisation de l’évolution d’une population animale 

Cette introduction au chaos est une occasion de s’essayer à une modélisation mécaniste en 

dehors du domaine propre à la mécanique. Suivant un exemple d’importance historique dans 

le développement du chaos, on va examiner la question de l’évolution d’une population 

animale. Un livre de biologie récent 17 fait état de trois comportements : certaines espèces 

évoluent vers une population stable (toutes conditions restant constantes). Il peut y avoir une 

approche monotone de la population d’équilibre, ou quelques oscillations. Dans d’autres cas, 

la population n’a de cesse de fluctuer et il n’est pas possible de trouver un motif répétitif dans 

cette évolution. 

On commence la modélisation en examinant une loi d’évolution des populations de la forme : 

dN 

% rN 

dt 

En discrétisant le temps en intervalles de longueur dt , on a entre deux temps t i 

et t 

i $ 1 

les 

populations N 

i 

et N 

i $ 1 

données par : 

N " N % 

$ 

dt r N 

i 1 i i 

ce qu’on écrira dans ce qui suit : 

en posant : 

4. % 1$ 

dt r 

N 

% i$ 1 

4 

Il est possible d’évaluer la prédiction de ce modèle avec un tableur. On trouvera bien vite un 

comportement exponentiel ! C’est le genre d’évolution qu’on aimerait voir se réaliser sur son 

compte en banque, où 4. " 1est le taux d’intérêt du placement et Ni 

le solde à la fin de 

. N 

i 

17 Biology, Campbell, Reece, Benjamin Cummings 2002, 6th edition

10/12/2005 47 

l’année i. Dans le cadre d’une modélisation des populations, il faut bien admettre que le 

modèle ne rend pas compte du tout des observations. 

On va affiner le modèle en exprimant la notion selon laquelle la population ne croît plus aussi 

bien quand elle atteint une certaine taille K. Ainsi, on réduit le taux de croissance en 

multipliant le coefficient de croissance r par le rapport , K " N - . L’équation différentielle 

K 

devient : 

dN , K " N rN 

- 

% 

dt K 

La discrétisation en intervalles de temps dt fournit après un peu d’algèbre : 

Ni 1 

Ni r dt N 

$ i 

% , 1$ r dt- 

4 21" 

1 

/ 

K K 3 1 $ r dt K 0 

Pour simplifier les écriture, on passe à une variable n 

normalisée à la population critique K: 

N 

K 

i 

i 

% , qui représente la population 

4 4. 

" 1 1 

ni$ 

1 

% 4. 

ni 21" 

ni 

/ 

3 4. 

0 

On peut imaginer que le coefficient . représente un taux de succès de la reproduction. 

L’émergence du chaos 

Le terrain est prêt pour s’engager dans une petite expérience mathématique 18 qui permet de 

découvrir comment un système peut devenir chaotique dans son évolution. Il s'agit d'un "jeu" 

mathématique inventé par un biologiste Robert May pour modéliser un système de proie et de 

prédateur. On décide de calculer le nombre d'individus qui survivent d'une année "n" à une 

année "n+1" à l'aide de la règle simplifiée suivante : 

, - 

x % $ 1 

4. 

x 1 " x 

n n n 

Il est possible d'explorer le comportement de ce système dynamique simplement avec une 

machine à calculer. Ci-dessous, quelques exemples de caculs sont donnés. Quand . est petit, 

on arrive à une valeur stationnaire. La population stationnaire dépend de façon monotone de 

la valeur du coefficient . 

18 voir par exemple http://math.bu.edu/DYSYS/applets/Iteration.html

10/12/2005 48 

Quand . est un peu plus grand, l’asymptote est atteinte après quelques oscillations. 

Quand . est encore un peu plus grand, on observe des cycles limites avec des périodes de 

deux, quatre ou huit ans. 

Au-delà d'un certain seuil de la valeur de . , toutes sortes de valeurs apparaissent. C'est 

l'émergence du chaos ! 

De plus, le moindre changement dans les conditions initiales du calcul donne lieu à des séries 

complètement différentes. Des systèmes extrêmement simples ont cette sensibilité infiniment

10/12/2005 49 

grande aux conditions initiales. Sur la base de cette simple constatation, il faut donc 

s’interroger sur toute prédiction sur l’avenir d’un « système » aussi complexe que la 

psychologie d’un enfant, quand des systèmes déterministes aussi pur que celui-ci donne déjà 

lieu à des comportements imprédictibles ! 

Il apparaît que la population change drastiquement quand . dépasse un seuil. C’est un grand 

problème de toute prédiction de l’évolution d’un système complexe. C’est une question qu’on 

doit se poser pour ce qui concerne le réchauffement global. Si le taux de gaz carbonique dans 

l’atmosphère augmente un peu plus, est-ce que la température va changer drastiquement si on 

dépasse un seuil ? L’augmentation de la température que nous observons est-elle simplement 

une partie d’un très grand cycle ? 

L’évolution sur des temps très longs peut être calculée avec un tableur pour une valeur de 

départ de 0.5 avec toute une série de valeurs de . Ces évolutions à long terme sont 

présentées ci-dessous sur un graphique de x (quelques valeurs après un grand nombre 

d’itérations) en fonction de . Il apparaît une évolution asymptotique simple pour . petit. Au 

delà d’un seuil, il y a bifurcation sur toutes sortes de valeurs possibles. Cette possibilité de 

bifurcation doit inquiéter celui qui veut prédire de manière « scientifique ». 

Curieusement, le graphique semble générer une structure dite « fractale », quand il est 

examiné de près … Il y a donc des régularités dans ce chaos ! 

Démonstrations d’auditoire

10/12/2005 50 

Une boule de ping-pong rebondit sur une plate-forme à 

laquelle on impose un mouvement de va-et-vient 

régulier. 

La balle de ping-pong rebondit sur le piston. Le son émis permet d’apprécier le mouvement 

de la balle. Il n’y a rien de régulier dans ce mouvement, en général. Toutefois, il existe des 

fréquences d’oscillations du piston qui donne lieu à un mouvement périodique. Ce 

mouvement peut être modélisé assez facilement et une simulation numérique peut fournir la 

trajectoire. On constate ici encore une très grande sensibilité aux conditions initiales. 

On peut observer de façon expérimentale cette sensibilité aux conditions initiales, à l’aide 

d’un pendule formé de deux fléaux. 

Deux pendules doubles sont montés sur une potence. Chaque 

pendule est composé de deux barres égales, la partie inférieure est 

formée d’un barre articulée aux deux autres par un roulement à 

bille.

10/12/2005 51 

Quand le pendule est lancé avec de petites amplitudes, les oscillations sont régulières et les 

deux pendules se suivent. En revanche, si les pendules sont lâchés avec une grande amplitude, 

ils ne font que un ou deux balancements ensemble avant de prendre des motifs complètements 

différents. 

Ce pendule est monté de manière excentrique sur une plaque tournante dans 

un plan vertical. Le mouvement chaotique est apprécié grâce à un éclairage 

stroboscopique. 

Des pendules couplés par des effets magnétiques présentent aussi des comportements 

chaotiques notoires ! 

Avec un peu d’électronique, il est possible de suivre la position et le couple de force sur un 

écran d’oscilloscope. En abscisse, on reporte le courant produisant le champ magnétique, en 

ordonnée, la position de l’aimant permanent (détectée par un gaussmètre). On observe ici 

qu’il existe des domaines de fréquence du courant et d’amplitude du courant, pour lesquels le 

système est chaotique : toutes sortes de combinaisons (courant, position) sont possibles, et 

ainsi l’écran se couvre de points. Sous d’autres valeurs du courant et de la fréquence, le 

système suit une orbite cyclique caractérisée par une ligne, quand bien même complexe, dans 

le plan des valeurs (courant, position).

V 0 

V 1 =eV 0 

10/12/2005 52 

En bas à droite, la cellule qui contient un aimant libre de rotation autour d’un axe 

vertical, et une bobine produisant un champ horizontal. Sur l’écran de 

l’oscilloscope, on rapporte l’orientation de l’aimant en fonction du courant. 

Rebonds multiples 

La théorie du chaos est au-delà des prérogatives de ce traité d’introduction à la mécanique. Le 

problème suivant est un petit amusement mathématique. 

On lâche sans vitesse initiale une balle d'une hauteur h sur un sol plan. Le coefficient de 

restitution (rapport de la vitesse de rebond par rapport à la vitesse incidente) vaut e < 1. 

a) A quelle hauteur la balle remonte-t-elle au n-ième rebond ? 

b) Quel est le nombre (théorique) total de rebonds ? Quelle est leur durée totale ? Quel 

est le paradoxe classique ainsi évoqué ? 

H 0 

z 

H 1

10/12/2005 53 

2 ème partie : 

Les bases de la mécanique newtonienne 

Cinématique du point matériel 

Les trois lois de Newton 

Lois de conservations, systèmes de points matériels 

Energie, puissance, travail

10/12/2005 54 

Les bases de la cinématique 

Dans les exemples de la balistique et de l’oscillateur harmonique, les concepts de vitesse et 

d’accélération avaient une allure d’évidence, car on travaillait en coordonnées cartésiennes. Il 

suffisait alors d’invoquer la notion intuitive selon laquelle une vitesse est une dérivée 

première par rapport au temps des coordonnées cartésiennes (de même pour l’accélération). 

Pour aller plus en avant, il est nécessaire maintenant de passer par une introduction formelle à 

la cinématique. Le concept clé est bien évidemment celui de référentiel. Il a une importance 

historique (voir «Le sentier des mécaniciens»). De plus, c’est avec la notion de référentiel que 

s’articule le concept d’accélération de Coriolis. Enfin, la question du choix du référentiel 

conduira à la théorie de la relativité ! 

Ce chapitre insiste sur une difficulté conceptuelle pour le débutant : Il n’est pas évident pour 

tous qu’il y a changement de vitesse (accélération) quand une vitesse change d’orientation, 

sans changer de module. 

Référentiel 

On appelle référentiel un ensemble de N points (N S 4) non coplanaires, immobiles les uns 

par rapport aux autres. Par extension, on appelle aussi référentiel l’ensemble de tous les points 

immobiles par rapport aux N points considérés. 

Les vitesses et les accélérations sont définies ou mesurées, par rapport à un référentiel qu’on 

se doit de spécifier. 

Pratiquement, un référentiel peut être 

- le laboratoire 

- le centre du soleil et 3 étoiles fixes 

- un carrousel 

- le référentiel "du centre de masse" (notion introduite plus tard) 

- un système d'axes cartésiens. 

Il est fréquent de matérialiser un référentiel par un système d’axes cartésiens. De là vient la 

confusion chez certains entre référentiel et repère ! Dans les problèmes de balistique résolus 

en coordonnées cartésiennes, il est sous-entendu que le système d’axes constitue un référentiel 

et qu’un repère est lié à ce référentiel. Il est indispensable, pour la bonne compréhension de 

tout le cours de mécanique, de faire la distinction entre le référentiel et le repère. La 

cinématique en coordonnées généralisées met en évidence cette distinction de façon 

particulièrement saisissante, puisque dans ce case, on utilise un repère lié au point matériel en 

mouvement, plutôt qu’un repère lié au référentiel. 

Trajectoire : 

On appelle trajectoire le lieu géométrique des points occupés par un point matériel au cours 

du temps.

10/12/2005 55 

Equation horaire : r = r (t) 

La fonction r (t) donne la position d'un point matériel en tout temps t. On l’appelle l’équation 

horaire. Prédire cette donnée est au fond le but ultime de la mécanique. 

Equation du mouvement : 

Ce terme désignera les équations différentielles qui régissent le mouvement étudié, quand 

elles prennent une forme finale, prête à une intégration numérique, par exemple. 

Vitesse 

La vitesse vectorielle instantanée se définit très naturellement par une dérivée vectorielle : 

r , t $ # t- " r , t- 

d r 

v , t- 

% lim 

% 

@ t# 

0 # t d t 

L’interprétation géométrique de cette limite suggère que le vecteur vitesse est tangent à la 

trajectoire. Souvent, on s’autorise en physique à se contenter d’une telle intuition matérielle 

des choses. Parfois, il faudra se méfier de telles évidences. Mais ici, il n’y a pas de problèmes, 

tant que le mouvement est régulier, qu’il n’y a pas de choc, notamment, ou de rebond. 

Accélération vectorielle instantanée 

Par analogie avec la définition de la vitesse, l’accélération vectorielle est donnée 

naturellement par : 

d v 

a = !! r = d t 

Cependant, il faut faire attention: l'accélération ne se visualise pas aussi bien que la notion de 

vitesse !

10/12/2005 56 

Il est bon, en particulier dans la manipulation d’expressions algébriques représentant des 

grandeurs physiques, de veiller à garder la cohérence des unités. On se souviendra que la 

vitesse a les unités d’une longueur divisée par un temps, l’accélération, celles d’une longueur 

divisée par le carré d’un temps. Typiquement, avec le système international d’unités (SI) : 

m 

vitesse : Cv 

D% 

s 

m 

accélération: Ca 

D% 

2 

s 

Accélération normale et tangentielle 

On appelle abscisse curviligne s la mesure de la longueur parcourue le long de la trajectoire. 

La vitesse scalaire est ds v 

dt % % v . C'est la vitesse indiquée par l'odomètre d'une voiture. Si la 

trajectoire est donnée de façon paramétrique comme une fonction de s, r = r (s) avec s = s 

(t), la vitesse vectorielle peut s’écrire : 

dr dr ds dr 

v = % 8 % v 8 

dt ds dt ds 

Posons ˆ H % 

dt # 0 : 

d 

ds 

r . ˆ H est un vecteur unité. En effet, par inspection du dessin il apparaît à la limite

10/12/2005 57 

dr 

dr % ds , donc d r 

% % 1 

ds ds 

Pour l'accélération, la dérivation fait apparaître deux termes : 

ˆ 

a = d , v8 tˆ 

- % dv tˆ 

$ v 

dt 

dt dt dt 

Le 1 er terme est l'accélération tangentielle : 

dv 

ˆ 

dt H . 

Le 2ème terme est l'accélération normale. Cette désignation vient du fait qu’elle est normale à 

la tangente. En effet, puisque 

Donc 

ˆ H 8 ˆ H % 1 

d 

dt 

d ˆ H 

dt 

d ˆ H 

8 % 0 % 2 ˆ H 

dt 

, ˆ H ˆ H - 

est perpendiculaire à ˆ H . 

Cette analyse aboutit à la notion très importante suivante. Quand une vitesse change de 

direction et pas d'amplitude (vitesse scalaire constante), il y a une accélération. La 

conséquence en mécanique est cruciale : une force agit ! 

De H % H ( s) 

, il vient 

d ˆ H d ˆ H ds 2 d ˆ H 

v % v % v 

dt ds dt ds 

La géométrique analytique fournit le résultat: 

d ˆ H 1 % 

ds R 

où R est le rayon de courbure. Donc, l'accélération normale vaut où R est le rayon de 

R 

courbure. On peut comprendre le sens de ces formules-ci par l'argument suivant. Il faut 

d'abord se convaincre de l’approximation d’une courbe infinitésimale par un arc de cercle. 

C'est une approximation du deuxième ordre. Sur ce cercle, le vecteur tangent évolue en 

fonction de l’angle d; de la manière indiquée : 

2 

v

10/12/2005 58 

De cette figure, il vient : 

d ˆ H d ˆ H d; 

81 1 

% % % 

ds ds R8d; 

R 

Le mouvement circulaire uniforme 

Il est bon d’être bien au clair sur les propriétés du mouvement circulaire uniforme. On y 

trouve de façon limpide le fait qu’une vitesse scalaire peut être constante, mais l’accélération 

non nulle. 

On pose qu’un point se déplace sur un cercle à vitesse scalaire constante. Si on définit un 

système d’axe cartésien dont l’origine est au centre du cercle, et qu’on utilise les coordonnées 

polaires, on a : 

1 

ds ds 

R dO 

v % % R % R % RO ! % RA 

dt dt dt 

avec O ! % Aconstant. Par intégration, en prenant des conditions initiales qui conviennent, on a : 

O % A t 

Par conséquent, l’équation horaire de ce point est donné en coordonnées cartésiennes par : 

x ( t) % R cos ( At 

$ O) 

y ( t) % R sin ( At 

$ O ) 

z % constante 

Comme 

2 2 2 

x $ y % R , la trajectoire est un cercle de rayon R. De plus x! 2 $ y! 2 % R 

2 A 2 . Le 

cercle est parcouru à une vitesse scalaire v % v % RA 

, où R est le rayon du cercle. Bien que le 

cercle soit parcouru à vitesse uniforme, l'accélération n'est pas nulle !!! En effet : 

2 

!! x ( t) % " R A cos ( At 

$ O) 

!! y t % " RA At 

$ O 

2 

( ) sin ( ) 

2 2 2 4 

!! x $ !! y % R A 

2 

Le module de l’accélération vaut a % RA . Le fait que l'accélération soit non nulle vient du 

fait que la direction de la vitesse change.

10/12/2005 59 

La construction suivante permet de s’en rendre compte. 

Des expressions pour l’accélération comparées à l’équation horaire, il 

vient : 

2 

a // r a % " A r . 

Puisque a est dirigée vers le centre du cercle, on l'appelle accélération centripète. 

Point matériel sur une ellipse 

Un point matériel se déplace dans le plan Oxy de façon que son vecteur position soit donné 

" 

par r % a 8 cos( At) iˆ $ b8sin( At) 

ˆj 

où a et b sont des constantes positives telles que a > b, et î et ĵ sont les vecteurs unitaires des 

axes Ox et Oy. Obtenir la vitesse et l’accélération. Esquissez ces deux vecteurs. 

L’accélération est-elle dirigée vers le foyer de l’ellipse ou vers O ? 

Ellipse 

Un point matériel se déplace dans le plan Oxy de façon que son vecteur position soit donné 

" 

par r % a.cos( At)î 

$ b.sin( At) 

ĵ, où a et b sont des constantes positives telles que a > b, et î 

et ĵ sont les vecteurs unitaires des axes Ox et Oy. Montrer que le point matériel se déplace 

sur une ellipse. 

Facultatif : un point matériel M se déplace dans un plan par rapport aux points fixes A et B de 

façon que la condition AM $ BM % constante soit vérifiée. Montrer que le point matériel 

se déplace sur une ellipse.

10/12/2005 60 

Repères, Vecteurs, 

Coordonnées sphériques et cylindriques 

Pour se lancer dans la description du mouvement d’un point matériel dans l’espace à trois 

dimensions, il est nécessaire de perfectionner son outillage mathématique et géométrique. En 

cherchant à appliquer la deuxième loi de Newton, on sera naturellement confronté à projeter 

des forces dans des directions particulières. Il est bon de définir la projection d’une force sur 

un axe par une opération bien définie mathématiquement. La description des rotations est 

couramment faite en mécanique par le biais d’une expression faisant intervenir le produit 

vectoriel. Ce chapitre rappel la notion de produit vectoriel est introduit la description des 

rotations infinitésimales. Enfin, ce chapitre introduit les définitions des coordonnées 

cylindriques et sphériques. Les repères naturellement associés à ces coordonnées sont définis. 

Les composantes des vitesses et accélérations projetées dans ces repères sont obtenues pour 

usage ultérieur dans les problèmes à contraintes (voir chapitre « contraintes ») 

Produit scalaire 

Il s’agit ici de rappeler quelques propriétés élémentaires du produit scalaire, dans le but 

essentiellement de fixer les notations. Considérons un système d’axes cartésiens et un point P 

de coordonnées (x,y,z). Le vecteur a=OP a les composantes (x,y,z). Soit un autre vecteur b de 

composantes (x’,y’.z’). Le produit scalaire peut être défini par : 

a 8 b % xx ' $ y y ' $ zz ' 

On considère maintenant deux vecteurs orthogonaux. On peut (dans une attitude typique de la 

mécanique) définir un système d’axes de coordonnées avec l’axe des x le long du premier 

vecteur a et l’axe des y le long du deuxième, b . Alors le produit scalaire vaut : a 8 b % a b 

Dans le cas général, on peut décomposer un des vecteurs en un vecteur 

parallèle et un vecteur perpendiculaire à l’autre vecteur : 

a % a $ a avec a 8 b % 0 et a 8 a % 0 

T $ T $ T 

Alors, on a : 

a 8 b % a$ 8 b % a$ 

b % a cos ; b 

où ; est l’angle entre les deux vecteurs.

10/12/2005 61 

Repère 

Considérons un système d'axes d’axes cartésiens U x1 x2x3 

. On appelle vecteur unité un vecteur 

dont la norme vaut 1. 

Les trois vecteurs xˆ 1, xˆ ˆ 

2, 

x 

3 

représentent les vecteurs unités dans les directions 1, 2 et 3. Dans 

une notation plus synthétique (à voir au cours d'algèbre linéaire) : 

xˆ 

8 xˆ 

% V 

i j ij 

W1 

si i % jX 

où Vij 

% Y Z 

[ 0 si i G j\ 

On appelle , , ˆ , ˆ , ˆ - 

A x x x un repère . 

1 2 3 

Dans ce traité, quand on parlera de repère, il s'agira toujours d'un repère "orthonormé direct". 

Direct veut dire que les vecteurs unités obéissent à la règle du tire-bouchon ou de la main 

droite… 

Le tire-bouchon tourne comme e 1 

tourne sous l'action de e 

2 

si e2 

représentait une force 

attachée à l'extrémité de e 

1. Il tourne en avançant dans le sens de e 

3 

. On peut aussi imaginer 

que ce même mouvement hypothétique de e1 

et e2 

est suivi par les doigts de la main droite. Le 

pouce de la main droite est alors dans la direction de e 

3 

.

10/12/2005 62 

Projection d'un vecteur sur axe 

On considère un vecteur AP et un axe de coordonnées cartésiennes. La projection de AP sur 

l'axe est AP 8cos; 

où AP est la norme du vecteur AP et ; l'angle entre le vecteur et l'axe. 

On notera que cette grandeur a un signe qui dépend de la valeur de l’angle ; . 

Soit û le vecteur unitaire dans la direction de l'axe. La projection de AP sur l'axe vaut 

car en général 8 % 8 8cos , , - 

AP 8û 

a b a b a b et par conséquent AP 8 u ˆ % AP 8cos; 

. Soit vˆ T uˆ 

dans le 

plan (APP'). La somme vectorielle 

AP % AP' $ P'P 

AP % AP 8uˆ 8 uˆ $ AP 8vˆ 8vˆ 

. 

peut s'écrire , - , - 

Cette formule peut paraître d’allure étrange. Pourant, elle exprime un résultat bien connu 

quand il s'agit des coordonnées cartésiennes pour lesquelles on peut écrire: 

AP % x xˆ $ y yˆ $ z zˆ 

Cette formulation vectorielle des projections sera utilisée dans ce qui suit. On y fera 

également appel dans les cas délicats de projection où l'inspection d'un dessin ne suffit plus. 


Soient deux vecteurs donnés par leurs composantes sur un repère i, j, k. Le produit vectoriel 

se calcule selon la règle : 

i a1 b1 

+ a2 b3 " a3 b2 

( 

a 6 b % j a2 b2 % 

) 

a3 b1 a1 b 

& 

) 

" 

3 & 

k a b ) a b " a b & 

3 3 

* 1 2 2 1 ' 

Le produit mixte , a] b-8c peut se calculer comme le déterminant:

10/12/2005 63 

, - 

a 6 b 8 c % 

c a b 

1 1 1 

c a b 

2 2 2 

c a b 

3 3 3 

Des règles du calcul des déterminants, il vient ainsi 

, a 6 b- 8 c % , c 6 a- 8 b % , b 6 c-8a 

Quand deux colonnes sont identiques, le déterminant est nul. Par conséquent : 

, a] b- 8 a %, a] b-8 b % 0 

Cela signifie que a x b est perpendiculaire au plan contenant a et b. 

On veut maintenant établir la relation entre le module du produit vectoriel de deux vecteurs et 

les modules des deux vecteurs. Pour se faire, on décompose un des vecteurs en un vecteur 

parallèle et un vecteur perpendiculaire à l’autre vecteur : 

a % a $ a avec a 8 b % 0 et a 8 a % 0 

Alors 

T $ T $ T 

a$ ] b= 0 et a] b= a ] b . Par conséquent, le module du produit vectoriel est donné par 

T 

, - 

a] b % a 8 b % a 8 sin a, 

b 8 b 

T 

Pour la 1 ère égalité on peut s’imaginer calculer le produit vectoriel en composantes en utilisant 

le repère porté par a , b, 

a b . 

T 

] 

Autres propriétés du produit vectoriel 

Si , a] b-8c = 0 alors a] 

b est perpendiculaire à c, donc a, b et c sont dans le même plan et 

il existe . et µ tels que c % . a + ^ b 

Une formule souvent utilisée est : 

, - , - - , - 

a] b] c % a8c b a8b c 

Une façon de la démontrer est de faire le développement de l’expression :

10/12/2005 64 

i 

j 

k 

a b c " b c 

1 2 3 3 1 

a b c " b c 

2 3 1 1 3 

a b c " b c 

3 1 2 2 1 

De même il peut être montré : 

, a] b- ] c + , b] c- ] a + , c] a- ] b = 0 

, a] b- ] c % , b] c- ] a = , c] a- 

] b 

Coordonnées cylindriques et sphériques 

En apprenant à travailler avec des systèmes de coordonnées autres que les coordonnées 

cartésiennes, l'étudiant se familiarise avec la notion de repère et l'idée de choisir la meilleure 

manière de paramétrer un problème. 

Coordonnées cylindriques 

Les coordonnées cylindriques sont P, 

O , z définies dans la figure suivante. 

La relation entre coordonnées cartésiennes et cylindriques s'obtient immédiatement par 

inspection de la figure. 

x 1 = P cos O 

x 2 = P sin O 

x 3 = z 

Utiliser les coordonnées cylindriques pour décrire le mouvement d'un point matériel signifie 

que l'équation horaire est donnée par: 

P = P (t) 

O =O (t) 

z = z (t) 

Coordonnées sphériques 

La position du point matériel est donnée par les coordonnées (r, ; , O )

10/12/2005 65 

La relation entre les coordonnées cartésiennes et sphériques est donnée par : 

x % r sin; cosO 

1 

x % r sin; sin O 

2 

x % r cos; 

3 

Le mouvement du point matériel est donné par: 

, - 

, t - 

, t - 

r % r t 

O % O 

; % ; 

Lignes de coordonnées 

On va maintenant définir un repère lié au point matériel dont l’orientation est donnée par les 

lignes de coordonnées. 

Définition : une ligne de coordonnée est le lieu géométrique des points qui ont 2 coordonnées 

de valeurs fixes. 

Pour les coordonnées cylindriques, les lignes de coordonnées sont dénotées dans le graphique 

ci-dessous par les deux coordonnées maintenues constantes. 

De même pour les coordonnées sphériques :

10/12/2005 66 

Repères associés 

Des considérations géométriques simples suffisent à montrer que les vecteurs tangents à 

chaque ligne de coordonnées sont orthogonaux. Il suffit alors de prendre des vecteurs tangents 

de norme 1 pour former un repère. 

coordonnées cylindriques 

coordonnées sphériques 

Composantes de la vitesse et de l’accélération sur les repères associés aux 

coordonnées cylindriques et sphériques 

On verra qu’il est souvent bénéfique d’utiliser les coordonnées cylindriques ou sphériques. 

Dans ce cas, on voudra connaître les composantes de la vitesse et de l’accélération dans le 

repère associé aux coordonnées. On peut partir des relations entre coordonnées cartésiennes et 

cylindriques, dériver une fois pour la vitesse, deux fois pour l’accélération et finalement 

regrouper les termes en reconnaissant les composantes cartésiennes des vecteurs unités du 

repère associé. On verra plus loin une manière plus élégante. Celle-ci a l’avantage d’être

10/12/2005 67 

immédiate, mais laborieuse. On trouve les résultats suivant, qui devraient figurer dans un 

formulaire de base de la mécanique. 

Coordonnées cylindriques 

v= p! e $ p ! Oe $ z! 

e 

p 

O 

, ! 2 

O - p , !! O 2 ! O - 

a= !! p " p e $ p $ p! e $ !! ze 

z 

O 

z 

Coordonnées sphériques 

v= r! 

e $ r ! ; e $ r ! O sin; 

e 

r 

; O 

2 2 2 

ar 

% !! r " r ! ; " r ! O sin ; 

a % r !! O sin; $ 2 r ! O; ! cos; $ 2r! 

! O sin; 

O 

2 

a % r !! ; $ 2r! 

! ; " r ! O cos; sin; 

; 

Coordonnées 

Ecrire en coordonnées cartésiennes (x,y,z), cylindriques (P , O ) et sphériques (r, ; , O ) 

5 l'équation d'une sphère centrée à l'origine. 

5 l'équation d'un cylindre parallèle à l'axe z, de longueur L, dont l'axe passe par l'origine. 


5 Dessiner " A ]( " A ] r 

" ) 

5 Des charges électriques q négatives passent dans un ruban conducteur à une vitesse v. Un champ 

magnétique B est appliqué perpendiculairement au ruban. Dessiner v " , B " " 

, qv ] B 

" 

. 

5 Soit une grandeur physique définie par un vecteur L " , telle que dL " 

" " 

% A ] L . 

dt 

5 Décrire le mouvement de L " . 

" " " " " " " " " 

5 Démontrer a ] ( b ] c) % ( a 8c) 8 b " ( a 8b) 

8c

10/12/2005 68 

Rotations 

La notion de rotation, bien que familière à tous, demeure difficile à comprendre et à 

manipuler quand elle est exprimée sous forme mathématique. Et pourtant, elle est centrale en 

mécanique. On peut bien s'imaginer que le mouvement d'un solide nécessite une description 

des rotations. En fait, la notion de rotation intervient aussi en cinématique du point matériel, 

pour la raison suivante. 

Comme nous l'avons vu avec les problèmes de balistique, pour traiter un problème de 

mécanique, nous projetons les équations vectorielles du mouvement dans des directions 

orthogonales. Nous verrons qu’un problème de mécanique est souvent simplifié si le repère 

choisi est en mouvement. C’est le cas par exemple lorsqu’on travaille avec des coordonnées 

cylindriques ou sphériques. Par conséquent, on va aborder cette question de la représentation 

des rotations en examinant le mouvement d'un repère, en posant que son origine est fixe. 

Nous verrons qu’il s’agit toujours d’une rotation. 

Dans ce qui suit, nous adoptons le point de vue selon lequel le vecteur r = OP est donné. Ses 

projections sur deux repères différents sont liées. Les lois de transformation peuvent être 

obtenues de la manière suivante. Vu le caractère introductif de cette présentation, on la basera 

sur un exemple concret : une rotation d’axe Ox3 

d’un angle O . 

Les projections des vecteurs unitaires d'un repère sur l'autre s'obtiennent par inspection de la 

figure 

yˆ % cosO 

xˆ $ sinO 

xˆ 

1 1 2 

yˆ % " sinO 

xˆ $ cosO 

xˆ 

2 1 2 

Il suffit d'effectuer le produit scalaire de r avec ces équations pour obtenir les coordonnées de 

r dans les deux repères : 

r 8 yˆ % cos O r 8 x ˆ +sin O r 8 xˆ 

1 

1 2 

r 8 yˆ ˆ ˆ 

2 

% " sin O r 8 x 

1 

+cos O r 8 x2 

Avec les conventions d’écriture habituelles, cela s’écrit :

10/12/2005 69 

y % cos O 8 x $ sin O 8 x 

1 1 2 

y2 % " sin O 8 x1 $ cos O 8 x2 

Il est commode d’employer une notation matricielle: 

4 y 1 1 4 cos O sin O 1 x1 

2 / % 2 / 

4 2 1 

/ 

3 y2 0 3 " sin O cos O 0 3 x2 

0 

Si la troisième coordonnée est ajoutée, on a: 

4 y1 1 4 cos O sin O 01 

4 x1 

1 

2 / 2 / 2 / 

y % " sin O cos O 0 x 

2 2 

2 y / 2 

3 

0 0 1 / 2 x / 

3 0 3 0 3 3 0 

On désignera par A cette matrice et on désignera symboliquement la transformation par : 

y % A x 

, - , - 

i 

i 

Composition des rotations 

On considère une deuxième rotation, celle-ci dans le plan Ox2x 

3 

Cette rotation sous forme matricielle donne : 

4 y1 1 41 0 0 1 4 x1 

1 

2 

y 

/ 2 

2 

0 cos sin 

/ 2 

x 

/ 

% ; " ; 

2 

2 y / 2 

3 

0 sin cos / 2 x / 

3 0 3 ; ; 0 3 3 0 

On notera B cette deuxième matrice et on notera symboliquement : 

y % B x 

, - , - 

i 

i 

On considère alors la composition des rotations, en prenant soin de spécifier l’ordre dans 

lequel les rotations sont faites. On pose que la première rotation est celle définie par la matrice 

B. Alors les coordonnées du vecteur OP deviennent sous l’effet des deux rotations 

successives : 

y % B x 

, i - , i - 

, z - % A, y - % AB , x - 

i i i

10/12/2005 70 

Cette notation n’a de sens que si le produit AB est défini. Il se trouve que le produit des 

matrices dans cet ordre donne, comme la notation le suggère, la matrice de la composition des 

rotations, dans cet ordre. Pour s’en convaincre, on calcule d’une part le produit AB : 

4 cos O cos; sin O " sin ; sin O 1 

AB % 

2 

sin cos cos sin cos 

/ 

" O ; O " ; O 

2 0 sin ; cos ; / 

3 0 

D’autre part, on peut construire la figure qui exprime l’effet de la composition des rotations 

sur le repère. 

On peut alors déterminer la matrice de la transformation résultante en projetant les vecteurs 

unités du repère transformé sur le repère initial. Par exemple, avec la notation convenue 

usuelle : 

zˆ 8 xˆ 

% 0 

3 1 

zˆ 

8 xˆ 

% sin ; 

3 2 

zˆ 

ˆ 

3 

8 x3 

% cos ; 

Ainsi, on peut se convaincre que les éléments de matrice de la transformation sont bien ceux 

obtenu par le produit AB des matrices de chaque rotation. 

Théorème d’Euler 

Toute transformation d'un repère orthonormé direct à un autre qui laisse l'origine fixe, est une 

rotation. Ce résultat est connu sous le nom de théorème d'Euler. 

On commence par projeter un repère ( ˆ1, ˆ2, 

ˆ3 

généralité : 

zˆ 1 % , zˆ 18 xˆ 1- xˆ 1 $ , zˆ 18 xˆ 2- xˆ 2 $ , zˆ 

18 

xˆ 3- 

xˆ 

3 

O z z z ) dans le repère , ˆ , ˆ , ˆ - 

O x x x en toute 

1 2 3 

% , 8 ˆ1- ˆ1 $ , 8 ˆ 2- ˆ 2 $ , 8 ˆ3- 

ˆ 3 ˆ3 % , ˆ38 - $ , ˆ38 - $ , ˆ38 

- 

zˆ 2 zˆ 2 x x zˆ 2 x x zˆ 

2 x x z z xˆ 1 xˆ 1 z xˆ 2 xˆ 2 z xˆ 3 xˆ 

3 

On peut écrire ces relations en terme des éléments de la matrice de la transformation : 

zˆ 

1 % N11 xˆ 1 $ N12 xˆ 2 $ N13 

xˆ 

3 

zˆ 

2 % N21 xˆ 1 $ N22 xˆ 2 $ N23 

xˆ 

3 

zˆ 

3 % N xˆ 1 $ N xˆ 2 $ N xˆ 

3 

31 32 33

10/12/2005 71 

Soit P un point donné, représenté par le rayon vecteur OP = r. Les composantes du vecteur r 

se calculent selon : 

z % r 8 zˆ 

= 

1 1 

, zˆ 8 xˆ -, r 8 xˆ - $ , zˆ 8 xˆ -, r 8 xˆ - $ , zˆ 

8 xˆ -, r 8 xˆ 

- 

1 1 1 1 2 2 1 3 3 

Il en va de même pour z 

2 

et z 

3 

et ainsi : 

4 z1 1 4 zˆ 18 xˆ 1 zˆ 18 xˆ 2 zˆ 

18 

xˆ 

3 1 4 x1 

1 

2 

z 

/ 2 / 2 

2 ˆ2 ˆ1 ˆ2 ˆ2 ˆ2 

ˆ3 

x 

/ 

% z 8 x z 8 x z 8 x 

2 

2 z / 2 

3 zˆ 3 xˆ 1 zˆ 3 xˆ 2 zˆ 

3 xˆ 

/ 2 

3 x / 

3 0 3 8 8 8 0 3 3 0 

On pourrait chercher la transformation inverse en calculant les projections de , ˆ1, ˆ2, 

ˆ3- 

, zˆ 1, zˆ 2, 

z ˆ3- 

. Par exemple : 

xˆ % , xˆ 8 zˆ - zˆ $ , xˆ 8 zˆ - zˆ $ , xˆ 

8 zˆ - zˆ 

1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 

x x x dans 

L'élément (1,2) de cette matrice est justement l'élément (2,1) de la matrice précédente. De 

même pour les autres éléments de la matrice. On peut donc écrire : 

xˆ 1 % N11 zˆ 1 $ N21zˆ 2 $ N31zˆ 

3 

xˆ 2 % N12 zˆ 1 $ N22 zˆ 2 $ N32 

zˆ 

3 

xˆ % N zˆ 1 $ N zˆ 2 $ N zˆ 

3 

3 13 23 33 

Ainsi la matrice de la transformation inverse est obtenue en intervertissant le numéro de ligne 

et de colonne de la matrice de la transformation directe. La résultante de cette opération sur les 

lignes et les colonnes s'appelle la transposée d’une matrice. Elle est définie par ses éléments de 

matrice : 

T 

, N - 

ij 

% N 

T 

1 

Nous avons obtenu , N - N 

ji , N " 

- 

ji 

ij 

% % , c’est-à-dire, l’inverse de la matrice N est sa 

ij 

transposée. Une matrice qui a cette propriété est dite orthogonale. Aux cours de mathématiques, 

il est montré qu'une transformation orthogonale admet toujours la valeur propre +1. Pour nous, 

cela veut dire que le système d'équation 

N uˆ 

% uˆ 

a toujours une solution. Donc il y a toujours un axe fixe ! De plus, les angles entre les vecteurs 

et aussi les longueurs sont conservées dans une telle transformation. En effet : 

, N - 8, N - 

x y = 

4 1 4 1 T 

2 Nijx j / 2 Nik y 

k / % N jiN 

ikx jyk 

% 

3 0 3 0 

_ _ _ __ 

i j k jk i 

_ _ x y 

% V x y % x y % 8 

j, 

k 

jk j k k k 

k 

On peut conclure que la transformation qui amène un repère en un autre de même origine, est 

une rotation. 

Rotations infinitésimales

10/12/2005 72 

En mécanique, nous aurons affaire à des repères qui évoluent au cours du temps. Pour le calcul 

des dérivées temporelles, il faudra considérer le repère à l'instant t et t + dt. Entre t et t + dt, 

le repère aura subit une rotation infinitésimale, c'est-à-dire que l'angle de rotation sera 

"infiniment" petit. 

Dans le premier exemple de rotation ci-dessus, si l’angle est infiniment petit, noté dO , les 

développements limités au premier ordre des éléments de matrice fournissent : 

4 y1 1 4 1 dO 

01 4 x1 

1 

2 

y 

/ 

% 

2 

" dO 

1 0 

/ 2 

x 

/ 

2 2 

2 y / 2 

3 

0 0 1/ 2 x / 

3 0 3 0 3 3 0 

D’une manière générale, une matrice infinitésimale doit avoir la forme 1 + ` où 1 désigne la 

matrice identité 

41 0 01 

2 

0 1 0 

/ 

20 0 1/ 

3 0 

La matrice ! n’a que des éléments infiniment petits ou nuls. En général, la composition des 

rotations se calcule comme le produit des matrices des rotations correspondantes. Dans le cas 

de rotations infinitésimales, nous avons le résultat simple suivant : 

, -, - 

1 $ ! 1 $ ! % 1 $ ! $ ! 

1 2 1 2 

car on néglige les termes supérieurs au premier ordre. Par conséquent, à la composition des 

rotations infinitésimales correspond l’adition des matrices ` correspondantes. Ce résultat 

implique que la transformation inverse est immédiate : 

, 1 $ !- " 1 % 1 "! 

car 

, 1 $ !-, 1 "!- 

% 1 $ ! " ! % 1. 

Vecteur instantané de rotation 

Dans le cadre de la cinématique, nous allons nous intéresser à l’évolution temporelle des 

vecteurs unités d’un repère entre un temps t et t + dt. 

Soit 1 + ` la matrice qui décrit cette rotation. On a : 

eˆ 

i 

, t $ dt- %, 1 $ !- eˆ 

i , t- 

, t $ dt- " , t- % ! , t- 

eˆ eˆ eˆ 

i i i 

Les éléments de matrice de ` sont nuls ou proportionnels à dt. On peut donc écrire ` = A dt où 

les éléments de A sont finis. Il vient alors : 

, t $ dt- " , t- % Adt , t- 

eˆ eˆ e ˆ 

i i i 

Par conséquent, la dérivée des vecteurs unités peut s’écrire :

10/12/2005 73 

deˆ 

i 

, t- 

dt 

% Ae 

ˆ 

i 

, t- 

La matrice A doit avoir des propriétés particulières, du fait qu’elle est directement liée à une 

rotation. Le fait que la norme des vecteurs unités soit conservée implique : 

0 % d d 

, 1- , ˆ ˆ - 2 ˆ A ˆ 2A 

dt 

% e e 

dt 

% e e % 

i i i i ii 

Pour se convaincre de la dernière égalité, il suffit d’écrire eˆ 

i 

Aeˆ 

en termes matriciels. On écrira 

401 

par exemple e ˆ 

2 

% 

2 

1 

/ 

. Le fait que les angles entre les vecteurs unités soient aussi constants 

20/ 

3 0 

implique: 

% d , eˆ eˆ - % eˆ Aeˆ $ eˆ Ae 

ˆ % A $ A 

dt 

0 

i j i j j i ij ji 

i 

Ainsi la matrice A doit avoir la forme : 

4 0 A12 A13 

1 

2 / 

" A 0 A 

12 23 

2 " A13 " A23 

0 / 

3 0 

Il n’y a que trois coefficients qui déterminent cette transformation. Par convention, ces trois 

coefficients sont notés comme suit : 

4 0 " A3 A2 

1 

2 / 

A% A 0 " A 

3 1 

2 " A2 A1 

0 / 

3 0 

C’est cette convention qui va imposer qu’on ne travaille qu'avec des repères orthonormés 

directs. 

On change maintenant de point de vue ! On considére l’évolution d’un vecteur r rigidement 

r , r , r sont indépendantes du 

lié au repère. Parce qu’il est rigidement lié, ses composantes , - 

temps. L’évolution temporelle de r est donc donnée par : 

dr 

d 

% r 

1 1 

$ r 

2 2 

$ r 

3 3 

dt dt 

% r Ae $ r Ae $ r Ae 

, e e e - 

1 1 2 2 3 3 

1 2 3

10/12/2005 74 

4 0 " A3 A2 14 r1 

1 

dr 

% Ar 

% 

2 

A 0 " A 

/2 

r 

/ 

dt 

3 1 

/2 

2 

2 

2 1 

0 /2 r / 

3 " A A 03 3 0 

4 " A3 r2 $ A2 r3 

1 

% 

2 

A r " A r 

/ 

3 1 1 3 

2 

2 

r1 1 

r / 

3 " A $ A 

2 0 

On reconnaît ici un produit vectoriel pour autant qu’on pose 

l’existence d’un vecteur : 

A 

4A1 

1 

2 / 

A 

% 2 

2 A / 

3 3 0 

On a alors pour tout vecteur lié au repère en rotation : 

dr 

dt % A ] r 

Formules de Poisson 

De ces considérations découlent le résultat général suivant. Soit un repère , ˆ , ˆ , ˆ - 

change son orientation dans le temps. Il existe un A tel que 

deˆ 

i 

ˆ 

i 

dt % Aa 6 e i = 1, 2, 3 

O e e e qui 

1 2 3 

On appelle ces relations les formules de Poisson. On va s’y référer très souvent très souvent. 

Interprétation géométrique du vecteur A 

La direction du vecteur " s’obtient immédiatement. Comme r (t + dt) – r (t) = 0 si r est 

parallèle à A , il faut conclure que A est sur l'axe de rotation. Il faut encore en déterminer la 

norme. On l’obtient par la considération géométrique suivante. D'une part, l’équation 

d’évolution pour un r lié au repère en rotation implique 

r t + dt " r t % r A dt ; 

, - , - sin 

D’autre part, l’inspection de la figure fournit :

10/12/2005 75 

r 

, t $ dt- " r , t- 

r sin; 

% dO 

où dO % " dt . Ces deux équations fournissent pour le module du vecteur " : 

A 

% 

dO 

dt 

On appelle le vecteur " la vitesse instantanée de rotation. 

Application 1 : vitesses et accélérations en coordonnées cylindriques 

Avec ce résultat, on est en mesure d’obtenir les composantes de la vitesse 

et de l’accélération en coordonnées cylindriques de manière efficace. Avec 

les notations conventionnelles pour les coordonnées cylindriques, on part 

de : 

r = P e 

P 

Le vecteur instantané de rotation est dans la direction de z et de module 

! O . Les formules de Poisson fournissent : 

e! 

% O! ] e % ! O e 

P P ; 

e! 

% O! ] e % " ! O e 

O O P 

La vitesse et l’accélération s’obtiennent par dérivation par rapport au 

temps : 

r! ! P e $ P e! % ! P e $ ! P e $ P ! O e 

= 

P P P P ; 

!! r !! P e ! O ! P e P !! O e ! P ! O e P ! O e 

2 

= 

P 

$ 

; 

$ 

; 

$ 

; 

" 

P 

2 

, P " P ! O - $ , P !! O $ 2 P ! O - 

r!! !! e ! e 

= 

P ; 

Le même calcul peut être conduit dans le cas des coordonnées sphériques. Il faudra considérer 

les vecteurs instantanés des rotations définies par les deux angles ; et < . La composition des 

rotations se traduit simplement par l’adition de ces vecteurs instantanés de rotation.

10/12/2005 76 

Application 2 : le mouvement circulaire 

Un point matériel décrivant un cercle à vitesse scalaire constante subit une rotation dont le 

vecteur instantané est constant, normal au plan du cercle. Les résultats généraux ci-dessus 

permettent d’écrire pour l’évolution temporelle : 

dr 

v % % A ] r 

dt 

Cette équation implique pour le module de r : 

d 

dt 

dr 

dt 

, rr - % 2r % 2 r ( A ] r) % 0 

c'est-à-dire que le module de r est constant, comme il se doit. De plus 

d d d 

a % , v- % , A] r - % A ] r % A] , A ] r - 

dt dt dt 

On trouve graphiquement que l’accélération est centripète. Cette 

expression de l’accélération centripète reviendra souvent.

10/12/2005 77 

Coordonnées polaires, v, a 

Soit un référentiel, des axes cartésiens attachés à ce référentiel et portant les vecteurs-unités 

e " x et e " y . Soit (r, ; ) les coordonnées d'un point matériel. Soient e " " 

r et e ; les vecteurs unités 

associés. 

a) Montrez e " r % cos ; e " x $ sin; 

e 

" 

y 

e " ; % " sin ; e " x $ cos ; e 

" 

y 

" 

b) Démontrez e! r % ;! 

" 

e ; 

" 

e! ; % "; ! " 

e r 

Cyclotron 

Une particule de masse m, de charge q, se déplace dans un champ magnétique uniforme B 

" " " 

parallèle à Oz. Une force F % q 8 v] 

B s’exerce alors sur la particule. La pesanteur est 

négligée. 

a) Etablir les équations du mouvement en coordonnées cartésiennes. Que peut-on dire du 

mouvement selon Oz ? 

b) Montrer que la seconde loi de Newton peut s’écrire sous la forme dv " 

v 

dt % A] " " . Définir le 

terme A " . 

1 2 

c) En déduire que l’énergie cinétique K % mv est une constante du mouvement. 

2 

d) Démontrer que les mouvements selon Ox et Oy sont harmoniques. 

e) Démontrer que le mouvement selon Oxy est circulaire. 

Expérience du feutre sur la table tournante 

On suppose que: la friction du feutre sur la table est négligée. Le problème de la trajectoire est 

traité par l’effet de la rotation du système d’axes de coordonnées choisis. 

1) Décrire la trajectoire du feutre dans un référentiel fixe. La vitesse angulaire du disque 

central est A. 

2) La trajectoire marquée sur la table tournant à la vitesse angulaire A est la trajectoire du 

feutre vue dans un référentiel attaché à la table. Exprimer les coordonnées cartésiennes d'un 

point du référentiel tournant en fonction des coordonnées de ce point dans le référentiel fixe. 

En déduire les équations horaires du mouvement dans le référentiel tournant. Esquisser la 

trajectoire. 

3) Ecrire les équations du mouvement en utilisant les coordonnées, la vitesse et 

l'accélération mesurées dans le référentiel tournant. 

4) Montrer que les équations horaires de 2) vérifient les équations du mouvement.

10/12/2005 78 

La mécanique newtonienne 

Ayant posé en cinématique la nécessité de définir un 

référentiel, la question se pose naturellement de savoir si 

n’importe quel référentiel peut être choisi. Newton, dans ses 

« Principia » répond à cette question par une loi, dite 

« première loi de Newton » ou loi d’inertie. Il pose ensuite 

comme deuxième loi une version généralisée de la loi que nous 

avons utilisé jusqu’ici. Cette généralisation vient de 

l’introduction par Newton de la notion de quantité de 

mouvement. Les développements de la physique théorique qui 

lui ont succédé ont révélé le génie de cette approche ! Enfin, 

Newton pose une troisième loi, naïvement appelée « loi 

d’action et de réaction ». On verra que cette loi peut en fait être 

comprise comme une expression d’une propriété fondamentale 

des forces d’interaction entre toutes particules. 

La mise en forme systématique, logique et déductive de la mécanique par Newton doit être 

vue comme un temps fort du développement de la science moderne. Newton la commence par 

un commentaire sur le temps et l’espace. Celui-ci sera discuté au moment où ces notions sont 

remises en question dans le cadre de la relativité restreinte. Ensuite, Newton introduit deux 

définitions. La première, celle de la quantité de matière, peut paraître triviale. Mais elle 

permet de faire comprendre la deuxième : la quantité de mouvement. 

La quantité de matière : masse d'inertie 

La masse M % PV 

ou P est la densité et V le volume est une grandeur extensive : la valeur 

de cette grandeur pour un système formé de deux sous-systèmes est la somme des valeurs de 

cette grandeur dans chaque sous-système. Dans le cas d'une distribution de masses, on peut 

définir la densité 

@ M , x- 

lim 

@ v#b 

@ v x 

, - 

La notion de masse n’est assurée que lorsqu’on peut définir une méthode pour mesurer cette 

quantité de matière. Cette méthode n'est peut-être pas pratique, mais elle permet de définir le 

concept de masse que l'on peut appeler la masse d'inertie. Une telle expérience « virtuelle » 

est souvent appelée « Gedankenexperiment ». 

Démonstration d'auditoire : expérience avec le rail à air. On imagine qu’un dispositif placé 

entre deux plots du rail à air génère une détente qui libère les deux plots en les poussant loin 

l’un de l’autre.

10/12/2005 79 

Considérons qu’un des plots soit un multiple de l'étalon de masse. La mesure de la masse dans 

le sens donné ici est la cherche du multiple tel que les wagons se séparent à vitesses égales. La 

justification de cette mesure est fondée sur la troisième loi (loi d'action et de réaction). 

La quantité de mouvement 19 

Une grande idée, attribuée à Newton, est celle d'associer au mouvement une grandeur 

extensive qui caractérise l'état du mouvement. Dans des expériences de choc par exemple, un 

objet peut transférer tout ou partie de sa quantité de mouvement à un autre. 

Première loi de Newton et référentiel d’inertie 

Selon Newton : " Tout corps persévère dans l'état de repos ou de 

mouvement uniforme en ligne droite à moins que quelque force n'agisse 

sur lui et ne le contraigne à changer d'état." 

Ainsi, à la question de savoir qu’est-ce qui constitue un bon référentiel, la première loi de 

Newton donne une réponse pratique. Il faut que dans ce référentiel, le principe d’inertie soit 

vérifié. C’est-à-dire, dans la mesure où un objet peut être libre de force, il doit être ou bien 

immobile, ou bien en mouvement rectiligne uniforme. Le degré de précision des observations 

entre en jeu dans une telle évaluation. Si nous voulons décrire un objet lancé à quelques 

mètres dans le champ de la pesanteur, il suffit de considérer la Terre comme un référentiel 

d’inertie. En revanche, si nous voulons décrire le pendule de Foucault, 20 nous ne pouvons plus 

nous satisfaire de cette approximation. Il faut considérer un référentiel au-delà de la Terre 

comme référentiel d’inertie ! 

Un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié (dans la mesure de la précision des 

appareils utilisés pour l'étude des phénomènes considérés) est appelé un référentiel d’inertie. 

Note historique : le principe d'inertie met définitivement fin à l'idée que si la pierre lancée par 

une catapulte continue son mouvement, c'est qu'une action s'exerce sur elle. Rappelons que 

pour Galilée déjà, le mouvement horizontal de cette pierre est uniforme, car aucune force ne 

s'exerce dans cette direction. 

La notion de force 

19 en anglais : ‘linear momentum’ 

20 Voir chapitre « mouvement relatif »

10/12/2005 80 

La première loi de Newton énonce que tout corps persévère dans son état de repos ou de 

mouvement rectiligne uniforme sauf si des forces "imprimées" le contraignent d'en changer. 

Alors Newton pose la définition suivante : une force (imprimée) est une action exercée sur un 

corps, afin de lui modifier son état, que ce soit un état de repos ou de mouvement rectiligne 

uniforme. 

Newton a su apporter la distinction entre force et inertie. La force est la seule manière de faire 

varier le mouvement d'un corps. Si des actions différentes ont le même effet sur un point 

matériel, on dira que la même force agit. Newton établit la règle d’addition des forces. Elle a 

été évoquée avec l'expérience de Stévin quand on était confronté en balistique à la question de 

savoir comment additionner l’effet de la pesanteur et de la friction dans l’air. Les forces ont 

une direction, une intensité et un sens. Quand les forces sont perçues comme des vecteurs, 

cette loi d’addition semble triviale. Mais il faudra attendre J. W. Gibbs et O. Heaviside date 

au XIXe siècle pour avoir une description en termes de calcul vectoriel ! 21 

Deuxième loi de Newton 

Selon Newton : "Les changements de mouvement sont proportionnels à la force motrice 

( F @ t ), et se fait dans la ligne droite dans laquelle cette force est imprimée à l'objet." 

Dans le formalisme vectoriel moderne, cette loi s’exprime par : 

dp 

dt % F 

où F est la résultante des forces appliquées. Il est tout à fait remarquable que Newton ait 

introduit la notion de quantité de mouvement. Il se trouve que ce concept garde son rôle 

central dans des théories plus avancées, comme la théorie de la relativité et la mécanique 

quantique, alors que la formulation commune « F = ma » doit être abandonnée. 

Démonstration d'auditoire : des expériences avec des chocs mous sur un banc à air (voir 

figure) montrent qu'il est raisonnable de prendre pour la quantité de mouvement p : p % mv 

où v est la vitesse, m la masse. Les chocs mous sont obtenus en plaçant de la pâte à modeler 

sur un plot, et une pointe sur l’autre, qui s’enfonce dans la pâte à modeler dans la collision. 

Lorsque p = mv et m est constante, la deuxième loi donne la formulation bien connue m a 

= F où m est la masse d'inertie. Mais exprimée en termes de quantité de mouvement, la 

deuxième loi est plus générale puisqu'elle inclut le cas d'une masse qui dépendrait du temps. 

C'est le cas des systèmes ouverts (voir le chapitre sur ce sujet). 

21 Gruber, Mécanique Générale, PPUR

10/12/2005 81 

Ttroisième loi de Newton 

Selon Newton: "A toute action, il y a toujours une réaction égale qui lui est opposée"; 

autrement dit, les actions mutuelles de deux corps l'un sur l'autre sont toujours égales et 

opposées." 

Dans sa version moderne, la troisième loi évoque une propriété générale des forces (voir 

chapitre ‘systèmes de points matériels’). 22 On verra que les forces élémentaires entre deux 

particules sont égales, opposées, et de plus, qu’elles sont parallèles au segment porté par les 

deux particules. L’expression mathématique de cette propriété-ci est différée à la section sur 

les lois de conservation. Cette forme moderne permet de déduire des principes de 

conservations très important en mécanique. En revanche, quand Newton dit "A toute action, il 

y a toujours une réaction égale qui lui est opposée"; il pense à des situations physiques 

simples comme un doit qui s’appuierait contre une table ou une pierre tirée par une corde. 

Dans ces cas-là, on dit que les actions mutuelles de deux corps l'un sur l'autre sont toujours 

égales et opposées. La figure ci-contre illustre une telle situation. Le système est virtuellement 

décomposé en deux parties, la partie ôtée est remplacée par la force qu’elle exerçait sur la 

première. 

Ainsi, on a deux poids retenus par une corde passant par deux poulies. Décomposons ce 

système en deux sous-systèmes séparés équivalents, en remplaçant l'effet de l'autre soussystème 

par les forces F et F représentées 

2# 

1 

1# 

2 

ci-dessous par des ressorts. 

La 3 e 1# 2 2# 

1 

loi dit : F $ F % 0 

22 Feynman, Lecture notes on Physics

10/12/2005 82 

Homme sur un bateau 

Un homme de masse m est au bord d'un bateau de masse M. Il saute sur la berge, à la même 

hauteur que le bateau. Le bateau est supposé toujours horizontal et l'eau sans viscosité. Le 

bord du bateau est à une distance d du bord de la berge. Sur la terre ferme, il peut sauter une 

distance D. Modéliser l'homme par un point matériel pour déterminer sa vitesse de saut par 

rapport à son support, que ce soit le bateau ou la terre ferme. Trouver l'angle optimal de saut 

depuis le bateau. 

X 2 

Y 2 

Y 1 X 1 

A 

O

10/12/2005 83 

Moment Cinétique, Moment d’une force, Systèmes de 

points matériels, Centre de Masse, 

Principes de conservations 

Deux nouvelles grandeurs physiques sont définies : le moment cinétique et le moment d’une force. Ces deux 

grandeurs permettent d'exprimer une conséquence importante de la 3 ème loi de Newton. Ces deux grandeurs 

joueront aussi un rôle prédominant dans la dynamique d'un corps solide. 

Moment cinétique d’un point matériel 

Soit O un point du référentiel et un point matériel en P. On appelle moment cinétique 

la grandeur 

où 

L % OP ] p 

o 

p % mv est la quantité de mouvement du point matériel. 

L 

o 

par rapport au point O 

Moment d’une force 

On appelle 

M 

o 

moment de la force F par rapport au point O, la grandeur : 

M % OP ] F 

o 

Il faut faire attention de toujours spécifier le point de référence du moment cinétique et du moment de force, car 

ces deux grandeurs en dépendent ! 

Le moment cinétique et le moment de forces sont liés par une relation qui deviendra très importante quand on 

considérera la mécanique d’un système de point matériel, en particulier un solide. 

Théorème du moment cinétique pour un point matériel 

dL 

dt 

c 

% M 

c

10/12/2005 84 

Démonstration : 

d 

dt 

d 

Lo 

% , OP 6 p- 

% 

dt 

, ! - , ! - 

OP 6 p $ OP 6 p % OP 6 F 

Systèmes de points matériels 

De nombreux systèmes mécaniques peuvent être modélisés par un ensemble de points 

matériels. Nous définissons pour un ensemble de points matériels mN 

à OPN 

où O est un 

point du référentiel : 

– la quantité de mouvement totale 

P % d p où p % m 

N 

N 

v 

N N N 

– le moment cinétique total par rapport à O 

L 

o 

% 

d 

N 

où L 

, 

OP 

L 

o, 

N 

% 6p 

o N N N 

Le théorème du moment cinétique et la deuxième loi de Newton s'appliquent à chaque masse : 

où 

dp 

dt 

N 

% F 

N 

dL 

o, 

N 

dt 

% M 

o, 

N 

F 

N 

est la résultante de toutes les forces agissant sur m N 

et 

M % OP ] F 

o, 

N N N 

Enoncé général de la troisième loi de Newton 

Pour un système matériel, il convient de distinguer les forces intérieures qui dépendent de l'état du système et 

ne sont pas modifiées par l'évolution extérieure. Les forces appliquées au système sont les forces extérieures. La 

troisième loi de Newton s'exprime pour les forces intérieures de la manière suivante : 

int 

d F int 

N % 0 d OP F N N 

N 

N 

6 % 0 

int 

où P N 

est le point d'application de la force F 

N 

. La première relation découle immédiatement du sens intuitif 

de la loi d’action et de réaction. En effet, les forces peuvent toujours être décomposées en une superposition 

d'interactions de paires de particules. Alors on a : 

d 

F 

% 

d d 

int 

N 

N N N G e 

% $ % 0 

N 

1fN Le 

LN 

e 

F 

e # N 

N # e e # N 

d d , F F - 

La deuxième relation est une contrainte sur les forces intérieures qui exprime une propriété 

fondamentale des forces d'interaction : les forces entre deux particules sont parallèles au 

segment liant ces deux particules. On obtient cette deuxième relation en explicitant les forces 

intérieures en forces d’interactions entre paires de particules :

10/12/2005 85 

int 

_, OPN 

FN 

- 

N 

6 % 

e # N N # e 

d , OPN 

6 F $ OPe 

6 F - 

1fN 

Le 

LN 

a# 

e 

d ,, OPe 

OPN 

- F - 

N 

N # e 

, N e - 0 

% " 6 

% _ P P 6 F % 

N , e 

Théorème du moment cinétique et de la quantité de mouvement 

La troisième loi de Newton implique donc : 

d 

N 

F % F % F 

N 

d 

N 

ext 

N 

ext 

d 

N 

d 

OP 6 F % OP 6 F % M 

ext 

N N N N 

N 

ext 

o 

On notera les résultantes des forces et des moments de forces: 

ext ext 

d F N 

% F 

N 

ext ext 

d OP N 

6 F N 

% M o . 

N 

En sommant les expressions du théorème du moment cinétique et de la 2 ème loi de Newton sur appliquées à 

chaque point matériel, et en tenant compte du fait qu’on peut ignorer les forces intérieures, il vient deux relations 

: 

dL 

dt 

o 

% M 

ext 

o 

dP F 

dt 

% ext 

Les deux résultats sont traditionnellement appelés le théorème du moment cinétique et le théorème de la quantité 

de mouvement. Ces deux théorèmes jouent un rôle central en mécanique. En dynamique du solide indéformable, 

en particulier, ces deux théorèmes constituent la base théorique qui fournira les équations du mouvement. Dans 

ce qui suit, on déduit de ces deux théorèmes des principes de conservation très important. 

De ces résultats on tire d’abord qu’un système isolé, c’est-à-dire libre de forces extérieures, possède une quantité 

de mouvement totale et un moment cinétique total constants ! On dit que les grandeurs sont conservées. 

Ces lois de conservation sont valables même en relativité restreinte et en mécanique quantique ! Elles peuvent 

être dérivées de notions de symétrie plus fondamentales. 

On appliquera souvent ces principes de conservation, car ils permettent de simplifier l'analyse d'un système 

physique. 

Quand un système n'est pas isolé, il se peut qu’on puisse argumenter sur la base de la conservation d'une 

composante de la quantité de mouvement totale ou du moment cinétique. On peut par exemple considérer un 

système mécanique sur une table à air horizontale. Les plots sur la table à air ne sont pas isolés. Ils subissent la 

sustentation de la table à air. Cependant, dans le plan horizontal, pour un grand nombre d'expériences, on peut 

négliger toutes les forces horizontales. On en déduit que la quantité de mouvement totale dans le plan horizontal 

est conservée. 

Formellement, soit û une direction fixe par rapport au référentiel d’inertie, dans laquelle :

10/12/2005 86 

ext 

u8 ˆ F % 0 ou u8 ˆ M 

ext % 0 

0 

Alors P 8u ˆ , ou 

L 8u ˆ respectivement, sont conservées. 

Illustrations de l’utilisation des principes de conservation 

1) Choc mou sur banc à air 

Démonstration d'auditoire : un plot sur le banc à air est immobile. Un autre entre en collision avec le premier. 

Ensuite les deux plots sont accrochés l'un à l'autre. 

On néglige les frottements sur le banc à air. Par conséquent on peut considérer que la quantité de mouvement 

totale des plots est conservée. On considère la quantité de mouvement du système avant et après la collision. 

avant : p = m v + 0 

après : p = (m + m) v 

f 

1 

Par conséquent : v 

f 

% v 

2 

2) Recul du fusil sur rail à coussin d'air 

Démonstration d'auditoire : un tube est monté sur un plot de rail à air. Un piston est enfilé dans le tube, puis de 

l'hydrogène est inséré au fond du tube. Une décharge électrique provoque l’explosion du gaz. Le piston est 

éjecté. 

On se demande quelle est la vitesse du plot après le temps t de l'explosion s'il avait initialement une vitesse v 

quand il était dans le canon. Les masses sont définies sur le croquis.

10/12/2005 87 

@ m est la masse du piston. On caractérise l'effet de l'explosion à t par la vitesse u d'éjection du piston. Cette 

vitesse u est relative au canon ! 

avant t : P %, M 

0 

$ @ m-v 

après t : P % M , v $ @ v- $ @ m , u $ v - 

0 

Les vitesses ici doivent être des vitesses absolues. La vitesse du plot éjecté est donné par la somme vectorielle de 

la vitesse du canon et de celle du plot par rapport au canon. Cette composition des vitesses sera systématisée 

dans le cadre du mouvement relatif. Mais il s’agit là d’une notion tout à fait intuitive. Si un enfant court dans un 

train en marche, la vitesse de l’enfant par rapport au sol est la somme des vitesses de l’enfant par rapport au 

train, et du train par rapport au sol ! 

Finalement, la conservation de la quantité de mouvement totale implique : 

, M $ @ m- % M , $ @ - $ @ m , $ - 

0 0 

v v v u v M 

0 

@ v % " @ m u 

Si u est opposé à v, alors @ v augmente v, conformément à notre intuition. 

3) Force centrale 

Définition : Un point matériel subit une force centrale s'il existe un point O tel qu'en tout 

temps la force soit dirigée vers ce point O. C'est le cas d'une planète dans le champ de 

gravitation du soleil. 

Démonstration d'auditoire : une masse et un ressort attaché à O sur une table à coussin d'air. 

Pour toute force centrale de centre O, on a, par définition : 

F // OP donc d L0 

/dt = OP ] F = 0 

Le moment cinétique par rapport au centre de force O, L 0 , est une constante du mouvement. 

4) Mouvement circulaire: 

Considérons un point matériel décrivant un cercle sur un plan horizontal, 

sans frottement. Sa vitesse est donnée par v % "] 

r . Son moment 

cinétique par rapport au centre du cercle est donné par : L0 % OP 6 mv 

Le moment cinétique est conservé car la force est est centrale. Le module du moment 

2 

cinétique vaut L 

0 

% mr A . 

On imagine alors un mécanisme qui permette de changer le rayon, toujours sans 

frottement. Pour n’importe quelle deux valeurs r 1 et r 2. du rayon du cercle, la conservation 

du moment cinétique implique: 

m r A % m r A 

2 2 

1 1 2 2

10/12/2005 88 

Note : Le moment cinétique et la formation du système solaire 23 

Le 98% du moment cinétique du système solaire provient du mouvement orbital des planètes. 

La rotation propre des planètes est négligeable. La rotation propre du soleil ne constitue que 2%. Or le soleil comprend la plus grande partie 

de la masse du soleil. Il est difficile de comprendre comment le système solaire s’est constitué de manière telle que le soleil tourne si 

lentement. Il est également difficile de rendre compte, par un modèle de formation du système solaire, de la rotation de Vénus, opposée à la 

rotation de toutes les autres planètes, et de l’axe de rotation d’Uranus, qui se trouve dans le plan des orbites des planètes ! 

Référentiel centre-de-masse 

Soit un référentiel R comprenant un point O . Soit un ensemble de points matériels m N 

aux 

points P N 

. 

Définition : Le centre de masse G du système de points matériels est défini par la moyenne 

géométrique des positions des points P 

N 

pondérée par leur masse : 

1 

OG % _ mN 

OP 

N 

M 

avec M, la masse totale du système de points matériels. La définition du centre de masse ne 

dépend pas du choix du point O. En effet, soit un autre point du référentiel O’!. La définition 

du centre de masse en utilisant O' fournit un point G’! donné par : 

1 

O? G? % _ m 

N 

M 

NO ? P % 

1 1 

_ mNO? O $ _ mNOPN 

M 

M 

% O? O $ OG % O? 

G 

Ceci prouve que G et G' sont confondus. 

De la définition du centre de masse, on tire une expression très utile de la quantité de 

mouvement totale du système de points matériels : 

MV( G ) % P 

Démonstration : on a 

M OG % _ m N 

OP N 

N 

En dérivant par rapport au temps, il vient : 

N 

23 Discovering Astronomy, R. Robert Robbins, W. H. Jeffreys, John Wiley and son, 1988

10/12/2005 89 

_ 

M V ( G) % m V ( P ) % p % P 

N 

_ 

N N N 

N 

Définition : Le référentiel qui contient le centre de masse du système de points matériels et 

qui est en translation par rapport au référentiel R est appelé « référentiel centre de masse ». 

On évoque ici deux propriétés du référentiel centre de masse qui deviendront utiles dans 

l’étude des collisions et en mécanique du solide indéformable. 

D’une part, on note que 

_ m N 

GP N 

% 0 

N 

Démonstration : de la définition de G, on peut écrire 

1 1 4 1 

OG % _ mN OPN % _ mN 2 OG $ GPN 

/ % 

M N M N 3 0 

1 

OG $ _ mN 

GPN 

M N 

Du premier et du dernier terme de cette série d’égalité vient la propriété annoncée. 

V les vitesses mesurées par rapport au référentiel R choisi et , - 

On notera ( P a 

) 

vitesses mesurées dans le référentiel du centre de masse. De OPN % OG $ GP 

N 

on tire par dérivation par rapport au temps : 

V( P ) % V G $ V( P ) " V G 

N 

, - 

, - N , - 

, G- V ' , P - 

% V $ 

Alors on a aussi : 

N 

_ m N 

V'(P N 

) % 0 

Ceci s'obtient en dérivant par rapport au temps la définition de G: 

1 

V ( G) % _ mN 

V ( PN 

) % 

M 

N 

1 4 1 

% _ mN 

2 V ( G) $ V '( PN 

)/ 

M N 3 0 

1 

% V ( G) $ _ mN 

V '( PN 

) 

M 

N 

N 

Du premier et du dernier terme de cette série d’égalité vient la propriété annoncée. 

V ' P N 

les 

Théorème du centre de masse 

La première de ces propriétés revient à dire que le centre de masse est le centre géométrique 

pondéré par les masses. La seconde, que les quantités de mouvement forment comme une

10/12/2005 90 

explosion de vecteurs de somme nulle. On peut y voir pour conséquence que la quantité de 

mouvement totale d’un système de points matériels s’écrit simplement : 

La troisième loi de Newton implique : 

_ 

Ptot % mN 

V ( PN 

) % MV 

( G) 

N 

dV 

( G) ext 

M % 

N 

dt 

_ F 

N 

Le centre de masse apparaît ainsi comme un point matériel de masse M auquel toutes les 

forces extérieures exercées sur le système (en différents points du système) lui seraient 

appliquées (directement). Ce résultat est connu comme le théorème du centre de masse. Il 

est très utilisé en mécanique !

10/12/2005 91 

Energie, puissance, travail 

La notion de travail est introduite d’abord avec un mouvement rectiligne. Les notions peuvent 

ainsi être abordées sans avoir à traité immédiatement les difficultés mathématiques inhérentes 

au cas à trois dimensions, à savoir, les conditions sous lesquelles une force dérive d’un 

potentiel. 

Mouvement rectiligne 

On considère un point matériel se déplaçant en ligne droite sous l'effet d'une force dépendante 

de la position, et de direction parallèle à la ligne droite. L'équation du mouvement de ce point 

matériel a donc la forme : 

m 

2 

d x 

% F ( x ) 

2 

dt 

Comme la position joue un rôle primordial dans ce problème, on exprime la vitesse comme 

une fonction de la position, qui elle-même est fonction de temps. 

v % v ( x ( t)) 

La règle habituelle des dérivées de fonctions de fonctions donne : 

L'équation du mouvement devient : 

dv dv dx dv 

% 8 % v 

dt dx dt dx 

dv 

m 8 v % F ( x) 

dx 

d 4 1 2 1 

2 mv / % F ( x) 

dx 3 2 0 

Il suffit alors de multiplier par dx : 

puis d’intégrer : 

d 

, 1 mv 

2 

2 - 

dx 

dx % F ( x) 

dx 

x2 x2 

d 4 1 2 1 

g g 

2 mv / dx % F ( x) 

dx 

dx 3 2 0 

x1 x1

10/12/2005 92 

x2 

2 2 

+ * , 2 -(' " + * , 1-( 

' % g 

x1 

1 1 

m v x m v x F ( x) 

dx 

%&&'&&( 

2 %&&'&&( 

2 

K 

K 

2 1 

On voit par ce résultat l'intérêt de définir l'énergie cinétique (« kinetic energy » en anglais) : 

K % 

1 

2 

m v 

2 

et le travail de la force F pour aller de x 1 à x 2 (work): 

x2 

W12 % g F ( x) 

dx 

x1 

De la deuxième loi de Newton, on a ainsi déduit que le travail de la force dans le déplacement 

de 1 à 2 est égal à la variation de l'énergie cinétique en passant de 1 à 2. 

On définit une énergie potentielle V (x) associée à F comme le travail de F quand le point 

matériel se déplace de x à un point de référence (x s ). 

xs 

x 

V ( x) % g F ( x) dx % - g F ( x) 

dx 

x 

xs 

Par conséquent, le travail de la force en allant d'un point quelconque à un autre est : 

Ainsi on a K2 - K1 % V ( x1 ) - V ( x2) 

ou K2 $ V x2 % K1 $ V x1 

12 

x 

x2 s 

x2 

g g g 

W % F ( x) dx % F ( x) dx $ F ( x) 

dx % 

x1 x1 

s 

( ) ( ) 

% V ( x ) - V ( x ) 

1 2 

Donc E = K + V est une constante du mouvement. On l'appelle l'énergie mécanique totale. 

On dit qu'elle est conservée. En général, quand les forces sont telles que l'énergie mécanique 

totale est conservée, on dit que les forces sont conservatives. 

La force F se déduit de l'énergie potentielle par dérivation. En effet, de : 

xs 

x 

V ( x) % g F ( x? ) dx? % - g F ( x? ) dx? 

x 

xs 

dV 

on tire F ( x) 

dx % " , soit : ( ) dV 

F x % " 

dx 

Exemple : la force de rappel d’un ressort est de la forme F ( x) % - k x . Cette force dérive du 

potentiel 

x

10/12/2005 93 

1 

V ( x) % k x 2 

2 

dV 

En effet - 

dx % " 

k x 

On peut aussi obtenir le potentiel par intégration du travail : 

xs 

1 

V ( x) % g F( x) 

dx % " g kxdx % kx 

2 

x 

x 

0 

2 

D'une manière générale, les lois de conservations sont très utiles pour résoudre les problèmes 

de mécanique car elles donnent des relations avec des dérivées premières par rapport au 

temps, alors que F = ma contient des dérivées secondes. On parle d'intégrales premières pour 

désigner de telles constantes du mouvement. 

Ainsi par exemple, au lieu de résoudre le problème à 1 dimension 

m !! x % " kx 

x! 

x 

, 0- 

, 0- 

on peut suivre la démarche suivante. L'énergie est donnée par les conditions initiales. Si à 

t = 0, la vitesse est v o et la position x o , alors : 

% v 

o 

% x 

1 2 1 2 1 2 1 2 

mx! $ kx % E % mx! 

o 

$ kx0 

2 2 2 2 

On peut résoudre pour x(t) par simple intégration : 

2 2 4 1 2 1 

x! 

% 2 E " kx / 

m 3 2 0 

dx 2 4 1 2 1 

% 2 E " kx / 

dt m 3 2 0 

t 

x( t) 

dx 

t % g dt ' % g 

o x 2 4 1 

0 

2 1 

2 E " kx / 

m 3 2 0 

C'est une intégrale que l'on peut résoudre en faisant le changement de 

variable sin , / 2 - 

o 

; % k E 8 x . On trouve la solution de la forme bien connue : 

, - sin , A ; - 

x t % A t $ , avec la pulsation : 

0 

k 

A % . 

m

10/12/2005 94 

Cas général 

On considère connue la trajectoire d'un point matériel qui subit une force F. Le travail de la 

force dans un déplacement infinitésimal le long de cette trajectoire sera noté V W . Cette 

notation ne veut pas dire qu'il s'agisse d'une opération mathématique sur la fonction W. Ce 

travail vaut V W % F 8dr . 

Le produit scalaire F 8 dr prend en compte le fait que la composante de la force normale à la 

trajectoire ne travaille pas, puisque pour cette composante il n'y a pas de déplacement le long 

de la force. C'est la projection de la force sur la tangente à la trajectoire qui travaille. Cette 

projection vaut F cos (; ), comme prescrit par le produit scalaire : 

V W % F cos; 

dr 

% cos; 

F 8 dr % F 8 dr 

Le travail fourni par la force pour aller d’un point 1 à un point 2 sur la trajectoire vaut : 

12 

2 2 

g g F r 

W % VW % 8 d 

1 1 

On sous-entend ici que l'intégrale est effectuée pour le chemin que parcourt le point matériel. 

C'est une intégrale dite "curviligne". La manière d'effectuer une telle intégrale appartient à un 

cours de mathématiques. Son sens physique, lui, est intuitif. 

La puissance instantanée 

La puissance instantanée est définie comme le taux de variation temporelle du travail. On peut 

écrire : 

VW 

dr 

P ( t) 

% % F 8 % F 8v 

dt dt 

En fait, cette façon de dériver ce résultat n'est pas tout à fait claire puisque F et v dépendent 

du temps. Pour plus de rigueur, il faut expliciter l'intégrale de la force sur le chemin en

10/12/2005 95 

paramétrisant le chemin par l'équation horaire de la trajectoire r % r ( t) 

. On a ainsi : 

r 

g 

W % F 8 dr % F ( r( t)) 

8v dt . La dérivée temporelle est alors clairement 

r0 

Unités: 

t 

g 

t0 

dW 

P % % F 8v 

dt 

Il est bon à ce point de résumer les unités des grandeurs physiques introduites en mécanique 

et leurs noms usuels : 

longueur m 

vitesse m s -1 

accélération m s -2 

force kg m s -2 Newton 

travail, 

énergie kg m 2 s -2 Joule 

puissance kg m 2 s -3 Watt 

On prendra note que le « kilowattheure » utilisé en technique et une unité 

d’énergie. Dans tout calcul analytique, il est bon de vérifier souvent que 

les unités des expressions sont cohérentes, car c'est une excellente 

manière de s'assurer qu'une faute n'a pas été introduite par les 

manipulations algébriques. 

Définition : Energie cinétique 

Soit un point matériel de masse m, de vitesse v . On appelle énergie cinétique de ce point 

matériel la grandeur 

1 2 

K % m v . 

2 

Théorème de l'énergie cinétique 

Ce théorème est la généralisation du résultat obtenu dans le cas du mouvement rectiligne, 

c'est-à-dire que le travail des forces exercées sur le point matériel est égal au changement de 

l'énergie cinétique pour aller d'un point à un autre de la trajectoire : 

2 

K " K % g F 8 d r % W 

2 1 12 

1 


Avec la deuxième loi de Newton on a : 

2 2 

dv 

F 8 dr % m8a 8 dr % m8 8v 

8 dt 

dt 

1 1 

t2 

g g g 

t1 

Dans la dernière égalité, on a paramétrisé la trajectoire par l'équation horaire. Or

10/12/2005 96 

t2 t2 

2 

2 2 

dv d 4 1 1 1 

g m v dt % mv dt mv K2 K1 

dt 

g 2 / % % " 

dt 2 2 

t1 t 3 0 

1 

1 

Par analogie avec le problème du mouvement rectiligne, on peut se demander si dans le cas 

général on pourrait définir une énergie potentielle associée à la force F telle que 

2 

W % g F 8 d r % V " V 

12 1 2 

1 

Cela signifie que l'on veut pouvoir définir une fonction de la position seulement, V (r), et 

d’une position de référence r s , avec : 

r s 

g 

V ( r) 

% F 8 dr 

Si on le peut, alors : 

r 

2 rs 

2 

g g g 

W % F 8 dr % F 8 dr $ F 8 dr 

% V " V 

12 1 2 

1 1 

rs 

et K2 K1 V1 V2 

" % " . Par conséquent, si V existe, alors l'énergie mécanique totale K + V = E 

est une grandeur conservée. 

Définition : énergie mécanique totale 

On conviendra d’appeler énergie mécanique totale la quantité E=K+V. Cela présuppose bien 

sûr que V est défini ! 

Les définitions de K et V sont utiles, car on a conservation de la somme K+V pour tout 

système dont toutes les forces dérivent de potentiels. 

La question reste de savoir sous quelle condition on peut un potentiel V(r). Comme V(r) est 

défini comme un travail pour aller de r à une position de référence, il faut que le travail de la 

force pour aller d'un point à un autre ne dépende pas du chemin. 

La condition nécessaire et suffisante pour avoir une énergie potentielle pour une force donnée 

est que le travail sur tout chemin fermé (une boucle) est nul : 

z F 8 dr 

% 0 

Pratiquement, l’intuition en general suffit à se convaincre de l’existence du potential ou pas. 

C'est le cas de la pesanteur. Ce n'est pas le cas d'une force de frottement, évidemment. Si le 

potentiel existe, il suffit d’opérer une intégration sur un chemin pour trouver le potentiel. A 

titre indicatif, on notera que les mathématiques fournissent une condition équivalente : 

rot F % h ] F % 0 

Si V (r) existe, alors les projections de la force sur un repère cartésien du référentiel sont 

données par :

10/12/2005 97 

4 iV 

" 1 

ix 

2 / 

iV 

F % 2 " 

iy 

/ % " grad V % " h 8 V 

2 iV 

" 

/ 

3 iz 

0 


2 

de W % V " V % F8dr on tire que pour un chemin infinitésimal de 1 à 2 : 

12 1 2 

g 

1 

, - , - 

F 8 dr % " V r $ dr $ V r 

Prenons 

d r % @) 

8e 

î 

où e î 

est un vecteur unité porté par l’axe i. Alors : 

iV 

, eˆ 

- , - 

F8 dr % F8@ ) e % F@ )%" V r$@ ) 8 " V r %" @) 

î i i 

ix 

i 

La dernière égalité applique la définition de la dérivée partielle. 

Exemple : Potentiel gravitationnel. 

La force gravitationnelle peut être dérivée de la fonction V (r) donnée par : 

G M m 

V ( r) 

% " 

r 

Avec 

2 2 2 

r % x $ y $ z on a par exemple : 

iV 

i 4 1 1 

" % G M m 

i x i x 2 2 2 2 

x y z / 

3 $ $ 0 

G M m x 

% 

2 

r r 

C’est bien la composante x de la force de la graviation. 

Evolution de l’énergie en présence de forces non-conservatives 

Si toutes les forces sont conservatives on a: 

dE 

E = T + V est constante, c’est-à-dire 0 

dt % . Il arrive que certaines forces soient 

C NC 

conservatives, et d'autres pas. Pour ce cas, on écrira la décomposition des forces: F $ F . 

C 

F est la résultante des forces conservatives. C'est-à-dire, il existe V avec 

est la résultante des forces non-conservatives. 

C 

F % " h V . 

NC 

F

10/12/2005 98 

Alors la deuxième loi de Newton fournit : 

m 

C NC 

!! r % mv! 

% F $ F . En multipliant par v , on reconnaît la dérivée de l’énergie cinétique : 

m !vv 

d 4 1 1 

v 

dt 3 2 0 

2 

% 2 m / 

C NC NC 

F v F v hVv F v 

% $ % " $ 

Le terme 

" h Vv 

est une dérivée totale par rapport au temps. En effet : 

iV dx iV dy iV dz dV 

h Vv 

% $ $ % 

ix dt iy dt iz dt dt 

On peut ainsi écrire que la dérivée par rapport au temps de l’énergie mécanique totale est égale 

à la puissance des forces non-conservatives. 

d 4 1 2 1 NC 

2 m $ V / % 8 

dt 3 2 

v 0 

F v 

Un cas typique est celui des forces de frottement. Elles s’opposent à la vitesse, dont le deuxième 

terme de cette égalité est négatif, indiquant, comme il se doit, une perte d’énergie mécanique. 

Rampe sur roulette 

Un enfant descend une rampe munie de roues. On suppose : 

- que la rampe roule sans frottement sur un sol horizontal, 

- que l'enfant glisse sans frottement sur la rampe 

- que la rampe est initialement immobile au début de la descente de l'enfant. 

1) Quelles sont les forces exercées sur l'enfant ? Son énergie mécanique totale est-elle conservée dans la chute ? 

2) L'énergie mécanique totale de la rampe et de l'enfant dessus est-elle conservée ? 

3) Quelle est la vitesse de la rampe quand l'enfant arrive en bas de la rampe ?

10/12/2005 99 

Projeté d'une balançoire 

Une enfant se jette d'une balançoire en mouvement. Son papa se demande à quelle position du mouvement 

d'amplitude donnée est-ce qu'elle devrait se laisser aller hors du siège pour aller le plus loin. Pour analyser la 

situation, on modélise l'enfant sur sa balançoire par un pendule mathématique : un point matériel pesant au bout 

d'un fil. Un dispositif sans masse libère le point matériel sans interférer autrement sur le mouvement du pendule. 

a) Si le pendule a une amplitude maximum; max 

, trouver la vitesse v0 % v 

" 0 

au point ; 

0 

L ; 

max 

quelconque. 

b) Quel est l'angle que fait la vitesse v " 0 

en ; 

0 

par rapport à l'horizontale ? Quelle est la hauteur H du 

point matériel par rapport au sol quand le pendule est à l'angle; 0 

? 

c) Quelle est l’énergie cinétique de l’enfant au niveau du sol ? 

; 0 

R 

v 0 

H 0 

Na 

H 

O 

d 

Jokari vertical 

Un bloc de masse M est posé sur le sol horizontal. Une balle de masse m est attachée à ce bloc par un élastique 

de constante de rappel k, de longueur au repos supposée nulle et de masse supposée nulle. 

On se demande quelle est la vitesse initiale maximale V 

0 

de la masse supposée lancée à la verticale depuis le 

point d’attache à la masse M, telle que le bloc de masse M ne se soulève juste pas. 

1) Ecrire les équations du mouvement pour la balle 

2) Etablir l’équilibre de toutes les forces qui s’exercent sur le bloc 

3) Poser la condition mathématique de non-décollement du bloc en fonction de M, la constante de 

l’élastique et la hauteur maximum (supposée connue pour V0 

donné).

10/12/2005 100 

3 ème partie : 

Pratique de la mécanique 

Point matériels avec liaisons 

Systèmes ouverts 

La loi de la gravitation de Newton 

Les forces en électromagnétisme 

Forces de frottement 

Mouvement Relatif 

Discussions qualitatives 

Collisions 

Huygens

10/12/2005 101 

Dans ce chapitre, on voit comment la mécanique opère, pratiquement. D’abord, des 

problèmes simples de points matériels soumis à des liaisons, c’est-à-dire des contraintes 

géométriques simples, permettent de voir l’appareillage de la mécanique se mettre en place 

pour arriver aux équations différentielles du mouvement. Les systèmes ouverts permettent 

d’illustrer l’apport conceptuel que constitue la loi de Newton sous la forme dP 

/ dt % F au lieu 

de F % ma . La présentation de la loi de la gravitation et l’évocation des tests auxquels elle a 

résisté au cours des siècles justifie en quelque sorte l’approche de la mécanique de Newton : 

les forces peuvent prendre des formes extrêmement pures ! Il en est ainsi de la force de 

Coulomb entre charges électriques, ou de la force de Lorentz d’une charge dans un champ 

d’induction magnétique. Pourtant, on se doit de rester modeste. Les forces de frottement 

résistent à une description synthétique. On peut tout au plus recourir à des modèles 

approximatifs. 

La première loi de Newton pose la question du choix du référentiel. Ainsi, le chapitre qui 

traite de ce problème, communément appelé du « mouvement relatif », considère un 

référentiel qui n’est manifestement pas d’inertie. L’accélération de Coriolis ou l’accélération 

centripète sont ainsi des notions introduites à cette occasion sur une base conceptuelle solide. 

On note que cette partie présente une grande variété de forces. Les systèmes avec des 

contraintes géométriques introduisent les forces de contraintes. Les systèmes ouverts 

introduisent la notion de « poussée » d’une fusée. La force de la gravitation, de Coulomb et de 

Lorentz sont des forces élémentaires. Les forces de frottement évoquent la problématique de 

l’ingénieur et de la science des matériaux. Le statut de forces fictives de la ‘force de Coriolis’ 

et de la ‘force centrifuge’ est clairement explicité. 

Les grands principes de conservations de la mécanique permettent de faire des prédictions sur 

des événements appelés « collisions ». Il peut s’agir de l’interaction à distance entre deux 

corps, ou d’un choc matériel. Dans ce chapitre, on voit qu’on peut faire des prédictions sans 

connaître le détail des forces en action pendant la collision. Les principes de conservations 

permettent aussi une analyse qualitative des mouvements possibles sans passer par 

l’intégration des équations différentielles du mouvement.

10/12/2005 102 

Liaisons 

La cinématique en coordonnées cylindriques et sphériques permet d'aborder des problèmes 

de mécanique à trois dimensions pour des points matériels dont le mouvement est soumis à 

des liaisons, ou contraintes. Il peut s’agir d’un point matériel astreint à se déplacer sur un 

cylindre ou sur un cône, par exemple. On peut voir le pendule oscillant dans un plan 

comme identique à celui d’un point matériel astreint à se déplacer sur un cercle vertical. 

Ces problèmes, d'allure un peu "académique", constituent en fait des 

modèles de systèmes physiques plus complexes, avec l’avantage qu’ils sont 

relativement simples à résoudre. Ces liaisons constituent les contraintes 

géométriques. Elles font partie intégrante de l'effort de modélisation du 

système physique. En particulier, en déclarant que des points matériels sont 

astreints à se déplacer sur une surface donnée, le mécanisme qui réalise 

cette contrainte n'est même pas spécifié. Par exemple, pour un point 

matériel pesant, astreint à se déplacer sur un cylindre d'axe horizontal, la 

question de savoir si le point matériel est posé dessus ou dedans, est 

oblitérée. Il pourrait y avoir un mécanisme idéal, qui glisse sans frottement 

sur la surface, auquel le point matériel est accroché. En invoquant une 

liaison, il est possible de faire abstraction de tous ces détails. 

A toute liaison du type évoqué ici est associée une force, dite force de liaison. Les forces 

de liaisons évoluent au cours du temps de façon à maintenir le mouvement qui satisfasse 

les liaisons. Ces forces de liaison représentent les réactions de l'objet qui matérialise cette 

contrainte. 

Démonstration d'auditoire : mesure de la force de tension de la corde d'un pendule (image 

ci-contre). 

Si un point est astreint à se déplacer sur une surface, la force de liaison est normale à la 

surface. Une composante tangentielle représenterait une force de frottement, ce qui est tout 

autre chose que la liaison. 

Pendule mathématique 

Système : pendule mathématique dans le champ de la pesanteur (défini par une force F verticale constante) 

oscillant dans un plan vertical.

10/12/2005 103 

La pesanteur est ici décrite par une force verticale uniforme et constante. Il deviendra clair alors, que 

l'observation selon laquelle la période d'un pendule est indépendante de la masse, implique que la pesanteur est 

proportionnelle à la masse. 

Référentiel, repère, coordonnées 

Référentiel matérialisé par les axes Oxy, l'axe Ox vertical, x positif vers le bas. 

P, O , z 

Coordonnées cylindriques , - 

Repère : eP , eO 

, ez 

Bilan des forces : voir dessin 

- pesanteur F 

- fil ou barre: force T 

On peut exprimer ce problème de mécanique en disant que le point matériel est astreint à se déplacer dans un 

plan vertical, à une distance fixe d'un point O du référentiel. C'est la liaison. Une description en termes de 

liaisons permet d'éviter de dire qu'il y a une barre sans masse et que l'articulation en O est sans frottement. 

Contraintes 

P %) longueur du fil ou barre 

7 ! P % !! P % 0 

Comme le mouvement est astreint à un plan, il vient aussi 

z % 0, z! % !! z % 0 

Cinématique : 

On utilise la formule de l’accélération en coordonnées cylindrique (voir formulaire) : 

2 

, P P ! O - , 

! !! 

P 

P O P O - 

a % !! " eˆ $ ! $ eˆ $ !! z eˆ 

Les contraintes impliquent : 

2 

a % ") ! O e $ ) !! O e 

, - P , - 

2 

O z 

O 

Équations du mouvement 

Nous invoquons la loi de Newton 

choisi. Ainsi, il vient : 

" ) ! % " 

m ) !! O % " F sin O 

2 

m O F cos O T 

F 

% ma . Nous projetons toutes les grandeurs vectorielles dans le repère 

Note technique sur le signe de la force de contrainte projetée 

Il n'est pas toujours évident quel est le sens d'une force de contrainte. Il suffit de choisir un sens sur la figure, de 

faire les projections avec le signe correspondant. A la fin de la résolution, si T < 0, cela veut dire que T pointe 

dans la direction opposée a celle du dessin. 

Galilée observa que la période d'oscillation d'un pendule est indépendante de la masse. En considérant 

m) 

!! O % " F sin O

10/12/2005 104 

il faut conclure que F doit être de la forme m . g où g est une constante. L'équation du mouvement pour O 

devient: 

!! g 

O % " sin O 

) 

Elle est indépendante de la masse. Quand cette équation différentielle sera résolue, l'autre 

fournira la force de liaison T. 

Une méthode d'intégration souvent utilisée 

Il arrive souvent qu'une équation du mouvement ait la forme: x % F , x- 

!! . La démarche suivante, démontrée ici 

pour ce cas particulier, permet d'intégrer. En multipliant par ! O l'équation du mouvement 

!!! g 

OO % " sin O ! O 

l 

il est possible de repérer des dérivées par rapport au temps : 

d 4 1 ! 2 d g 

2 O 

1 / % 

4 2 cos O 

1 

/ 

dt 3 2 0 dt 3 ) 0 

Il ne faut pas oublier d'ajouter une constante en intégrant : 

1 ! 2 g 

O " cos O % constante 

2 ) 

Cette constante est déterminée par les conditions initiales. Considérons qu'à t = 0, le point matériel soit lâché 

avec une vitesse nulle d'un angle O . Ainsi la constante est la valeur de 

1 ! 2 g 

O " cos O 

2 ) 

g 

à t = 0, soit " cos O o 

. Alors : 

) 

1 ! 

2 

2 

O " O % " Oo 

o 

g g 

cos cos 

) ) 

dO 

2g 

% " cosO 

" cosOo 

dt ) %&&'&&( 

dt % " 

S0 

) dO 

2g 

cosO 

" cosO 

o 

Une telle équation peut être intégrée. Elle fournit le temps en fonction de la position, au lieu de l’inverse, la 

position en fonction du temps. 

O 

dO? 

4 ) 1 

t " 0 % g 

" 

, 0- 

cos cos 2g 

O t% 

O? " O 2 / 

o 3 0 

%&'&( 

Oo 

" 1 

Ceci est de la forme t = F (O ) qu'on peut inverser pour trouver O , t- % F , t- 

L'intégrale ci-dessus est dite elliptique.

10/12/2005 105 

Discussion qualitative 

Il arrive très souvent que l’intégration soit difficile. Il est alors bon dans la pratique de conduire une première 

1 

étude des solutions possibles. Dans le cas présent, on a ! 2 g 

O % , cos O " cos Oo 

- , 

2 ) 

cos " cos S 0 

O O o 

donc , - 

On voit par inspection du croquis que cela implique que l'angle est limité, exactement comme on le sait de 

l’expérience. 

On consacrera une section entière aux discussions qualitatives. 

Petites Oscillations 

Si ; 

o 

LL 1 , alors on peut faire l’approximation sin; Q ; et l’équation du mouvement devient : 

!! g 

; % " ; 

) 

C'est l'équation d'un oscillateur harmonique de période 2 

> 

) . 

g 

Démonstration d'auditoire : 

Un pendule est formé d'une tige rigide de masse négligeable en comparaison de la masse au bout de la tige. Si le 

mouvement commence à un angle voisin du point le plus haut du pendule, il apparaît clairement que la période 

devient très grande. 

Le graphe ci-dessous indique le rapport de la période à l’amplitude donnée en abscisse par rapport à celle d’une 

amplitude infiniment petite. Une simulation du mouvement du pendule est à disposition dans un programme 

Mathematica.

10/12/2005 106 

Un laboratoire "virtuel" qui permet de découvrir les propriétés des pendules peut être examiné sur le réseau 

Internet. 24 Le lecteur avancé (il faut connaître la notion d’énergie mécanique) peut aussi regarder la question du 

pendule dont la période ne dépend pas de l’amplitude. Son l’analyse est donnée ci-après. 

Le pendule cycloïdal 

Huygens (1629-1695) découvrit que la période d'oscillation d'un 

point pesant glissant sans frottement sur une cycloïde est 

indépendante de l'amplitude et vaut : 

4R 

T % 2 > 

g 

où R est le rayon du cercle générateur de la cycloïde. Cette propriété du pendule 

cycloïdal peut être vérifiée en invoquant la conservation de l’énergie mécanique. 

L'équation paramétrique d'une cycloïde peut s'écrire (voir graphique) : 

x % R (; " sin (; 

)) 

z % R (1 " cos (; 

)) 

Ecrivons la conservation de l'énergie en prenant l'énergie potentielle 0 à ; % > . 

1 2 2 

m ( x! $ z! 

) " mg z $ mg 2 R % E 

2 

x! 

% R ( ! ; " ! ; cos (; 

)) 

z! 

% R ! ; sin (; 

) 

24 http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/index.html

10/12/2005 107 

1 

m R 

2 

1 

2 

1 

2 

! ; (1 $ cos (; ) " 2 cos (; ) $ sin (; 

)) 

2 2 2 2 

2 2 

m R mg R E 

2 2 2 2 

m R mg R E 

2 2 2 

; ; ; 

d 

, - 

" mg R (1 " cos (; 

)) $ 2 mg R % E 

! ; 2 (1 " cos (; )) $ (1 $ cos (; 

)) % 

! ; 4 sin (; / 2) $ 2 cos (; 

/ 2) % 

! sin ( / 2) $ ( g / R) cos ( / 2) % 

E 

2 

2 m R 

2 

2 

4 cos ( / 2) ( g / R) cos ( / 2) 

dt 

; $ 

; 

E 

% 

2 m R 

On opère alors un changement de variable : 

u % cos ( / 2) 

u! 

; 

g E 

$ u % 

4R 

8mR 

2 2 

2 

On peut conclure en dérivant cette équation par rapport au temps : 

g 

2 uu !!! $ 2 uu! 

% 0 

4R 

g 

u!! 

% " u 

4R 

2 

C'est l'équation d'un oscillateur harmonique, dont la fréquence est indépendante de l'amplitude ! Dans son traité 

de mécanique, C. Gruber montre comment construire un pendule cycloïdal. 25 

Bille dans un anneau en rotation 

Démonstration d'auditoire : une bille roule dans un anneau vertical en rotation uniforme à une vitesse 

angulaireA . A petite vitesse de rotation, la bille oscille autour du point le plus bas de l'anneau. A plus grande 

vitesse, la position d'équilibre est hors de l'axe de rotation de l'anneau. 

25 C. Gruber, « Mécanique Générale », PPUR

10/12/2005 108 

Un des aspects les plus intéressant de ce système, bien 

qu'il soit difficile de le mettre en évidence sur ce simple 

montage, est l'existence d'une vitesse de rotation critique 

A à laquelle la position d'équilibre change. A cette 

c 

valeur deA , la fréquence des petites oscillations 

c 

s'annule. Ce phénomène ressemble à celui observé dans 

des cristaux ferroélectriques, où un mode propre de 

vibration du cristal a sa fréquence qui s'annule à une 

température critique. En dessous de cette température, 

certains ions du cristal changent leur position d'équilibre, 

donnant lieu à la ferroélectricité du cristal. 

On modélise le système mécanique par un point matériel 

de masse m, pesant, c'est-à-dire sous l'effet du champ de la pesanteur, astreint à se déplacer sans frottement sur 

un cercle vertical en rotation autour d'un grand axe du cercle à la vitesse angulaire A constante. 

Référentiel, coordonnées repère 

On prend pour référentiel le châssis qui tient l’axe de l'anneau et le dispositif le faisant tourner. Sur le graphique, 

le système d'axes cartésiens est supposé lié à ce référentiel. Les coordonnées sphériques sont particulièrement 

bien adaptée pour repérer le point matériel. Les projections sont faites dans le repère associé. 

Le fait que le point matériel soit astreint à se déplacer dans l'anneau, alors que l'anneau tourne à vitesse angulaire 

constante, se traduit par les contraintes géométriques suivantes : 

Contraintes 

r % R % cste 

! O % A % cste 

Bilan des forces: 

Il y a bien sûr la pesanteur: 

mg % " mg cos; e $ mg sin; 

e 

; 

r

10/12/2005 109 

L'anneau exerce sur le point matériel une force de réaction. Cette force est telle que, en tout temps, on peut 

"remplacer" l'anneau par cette force. L'effet de l'anneau sur la bille s'exprime par cette force. Il n'y a pas de force 

de liaision dans la direction e ; 

. 

N % N e $ N O 

e O 

r 

r 

Cinématique 

Il faut exprimer les contraintes dans les expressions des vitesses et des accélérations : 

R % r, 

A % ! O 

7 !! r % r! 

% 0 !! O % 0 ! O % A 

Dans les expressions des composantes de l'accélération (voir formulaire), il reste les termes non nuls suivants : 

ar 

% " R ! " R 

a; 

% R !! " R sin 

a % 2 R A ! ; cos ; 

O 

2 2 2 

; A sin ; 

cos 

2 

; A ; ; 

Les équations du mouvement sont ainsi: 

, 

! 2 2 2 

sin - 

, 

!! 2 

- 

, 2 A ! ; cos ; - % 

O 

m " R ; " R A ; % " mg cos ; $ N r 

m R ; " R A sin ; cos ; % mg sin ; 

m R N 

Il faut noter un fait remarquable : la contrainte N O 

est non nulle si ! ; G 0 , c'est-à-dire que l’anneau doit exercer 

une force transverse quand le point matériel bouge par rapport à l'anneau. Quand le formalisme du mouvement 

relatif sera vu, cette force de liaison pourra être associée à l'accélération de Coriolis dont il faut tenir compte 

quand le mouvement est décrit dans le référentiel lié à l'anneau. 

On aborde ici un nouveau type d’examen des équations du mouvement. On va chercher les équilibres relatifs, 

discuter leur stabilité et déterminer la fréquence des petites oscillations autour des équilibres stables. 

Pour trouver l'équilibre de la bille relatif à l'anneau, il suffit de poser ! ; % !! ; % 0 dans les équations du 

mouvement : 

2 2 

m R sin mg cos N r 

" A ; % " ; $ 

2 

" m R A sin ; cos ; % mg sin ; 

0 % N O 

De l’équation selon eˆ 

; 

il vient les solutions possibles suivantes : 

sin ; % 0 7 ; % 0, ; % > 

g 

sin; G 0 7 cos ; 

e 

% " 

2 

R A 

e 

Pour cette dernière solution, il faut conclure du signe du cosinus : 

e

10/12/2005 110 

> 3> 

cos ; L 0 7 f; 

f 

2 2 

Et comme le cosinus est une fonction bornée, cos; L 1 , il faut que la vitesse de rotation de l’anneau soit 

assez grande pour que cette solution existe : 

A S A c 

% 

g 

R 

Equilibre à ; % 0 

On pose ; % 0 $ @; 

pour exprimer une déviation petite de la position d’équilibre. Dans la limite où @; 

petit : 

cos( @; ) J 1 sin( @; ) J @; 

L’équation du mouvement selon eˆ 

; 

fournit alors : 

.. 

2 

; ( A ) ; 

R @ % R $ g @ 

Cette équation implique qu’une petite déviation positive @; 

entraîne une accélération positive, donc un 

accroissement encore plus grand de @; 

. Le système est donc instable à cette position d’équilibre. 

Equilibre à ; % > 

On pose ; % > $ @; 

pour exprimer une déviation petite de cette position d’équilibre. Dans la limite où 

@; 

est petit : 

cos( > $ @; ) J " 1 sin( > $ @; ) J "@; 

L’équation du mouvement selon eˆ 

; 

fournit: 

.. 

2 

; ( A ) ; 

R @ % " g " R @ 

2 

Si la vitesse de rotation de l’anneau est lente dans le sens que g ! ou L 

c 

. Alors la position est stable, 

les petites oscillations constituent un oscillateur harmonique de fréquence j donnée par : 

, - 2 g 2 

2>j % " A 

R 

2 

Si g L RA , l’équilibre est instable. 

2 

Equilibre à cos ; % " g / RA 

On pose 

e 

e 

; % ; $ @; 

. Des développements limités au premier ordre effectués sur l’équation du mouvement 

selon eˆ 

; 

fournissent: 

.. 

R @; " RA 2 sin( ; $ @; )cos( ; $ @; ) % g sin( ; $ @; 

) 

e e e 

.. 

R @; " RA 2 + sin( ; ) $ @; cos( ; ) ( + cos( ; ) " @; sin( ; ) ( 

* e e ' * e e ' 

% g + sin( ; ) $ @; cos( ; )( 

* e e ' 

Les termes de deuxième ordre sont négligés, parce que tout le calcul est limité au premier ordre en @; 

. Il 

reste ainsi: 

RA 

A 

A 

Les termes d'ordre zéro s’annulent, par définition de 

est 

; 

e 

.

10/12/2005 111 

.. 

R @; " RA 2 

@; + " sin 

2 

(; ) $ cos 

2 

(; 

)( 

)* e e &' 

% g@ 

; cos( ; ) 

e 

Il vient une équation de type oscillateur harmonique : 

.. 

2 2 

@; % " A sin (; ) @; 

e 

Par conséquent, sous les conditions d’existence de cet équilibre, la fréquence des petites 

oscillations autour de cet équilibre est donnée par : 

, - 

4 

2 2 

4 A 1 

% 2 " 

4 / 

c 

2>j A 1 

3 A 0 

En résumé, l’équilibre est stable à la position ; 

e 

% > quand A L Ac 

et à 

2 

,, c - - 

cos ; % " g / RA 2 

, ou 

; 

e 

% " Arc cos A A quand A ! Ac 

. La pulsation des petites oscillations vaut : 

2>j 4 A 1 

% 1" 2 / 

Ac 

3 Ac 

0 

2 2 

2>j 

A 

c 

4 4 

Ac 

Ac 

A 

2 

, quand A L Ac 

. Elle est donnée par : 

A 

% " , quand A ! Ac 

. 

La fréquence des petites oscillations passe par zéro au changement entre les deux régimes. 26 

e 

26 In Mathematica : 

Plot()If(x ' 1, *+++++++++++++++++++++ 

x^2 # x^#2 , *++++++++++++++ 1 # x^2 ,-, 

#x, 0, 4$,

10/12/2005 112 

Chute sur sphere 

Un corps de masse m est posé au sommet d'une demi-sphère de rayon R. Il commence à glisser sans frottement. 

Ecrire les équations du mouvement sans les résoudre et trouver le point D de décollement. 

Point sur cône avec fil 

Un point matériel pesant, de masse m, est suspendu à un fil et soutenu par un cône d'axe vertical, d'ouverture 

dirigée vers le bas (angle 2 ). Il est donc astreint à se déplacer sur un cercle. Le fil est attaché au sommet du 

cône. Le frottement du point matériel sur le cône est de type visqueux (force proportionnelle à la vitesse). Le 

point matériel est initialement à l'arrêt. Il est soumis à une force de traction constante et tangente à l'arc de cercle. 

1) Ecrire les équations du mouvement 

2) Déterminer la tension du fil 

3) Au bout de combien de temps le point matériel décolle-t-il ? 

Pendule sur la porte 

Un pendule formé d'un point matériel pesant de masse m et d'un un fil sans masse de longueur L. Le pendule est 

astreint à osciller dans le plan d'une "porte" qui tourne autour d'un axe vertical à vitesse angulaire A constante. 

Le pendule est attaché à l'axe de rotation de la porte. 

a) Etablir le bilan des forces en présence, 

b) Ecrire les équations du mouvement. 

Point sur cylindre 

Un point matériel est astreint à se déplacer sur un cylindre infiniment long et de rayon R. Le point matériel est 

attiré vers un point O sur l'axe du cylindre par une force proportionnelle à la distance du point matériel au point 

O. 

a) Ecrire les équations du mouvement du point matériel. Il n'y a pas d'effet de pesanteur ni de friction dans ce 

problème. Les équations du mouvement doivent inclurent les forces de contraintes. 

b) Décrire le mouvement dans la direction de l'axe du cylindre

10/12/2005 113 

Le swing du golfeur 

L'examen d'un film ultrarapide du swing d'un golfeur suggère que les mains décrivent un cercle, avec une grande 

accélération au début du mouvement, puis une vitesse presque nulle au moment où les mains atteignent la 

position inférieure. La canne de gold atteint alors une vitesse maximum. Ces considérations suggèrent le modèle 

mécanique suivant. 

Un point matériel P de masse m est relié à un point A par une tige rigide sans masse, de longueur ** ) . Le point A 

décrit un cercle de rayon R centré en A. La pesanteur et toute forme de frottement sont négligées. Le mouvement 

du point A est donné par une fonction N % N(t) supposée donnée à l'avance (le mouvement imposé par le 

golfeur). Ainsi N ! N !! N sont supposés connus. Les mains du golfeur sont supposées ne pas imposer de moment 

de force en A. 

y 

P 

x' 

y' 

N 

; 

R 

O 

x 

A 

A) Soit ** " " 

Aa la vitesse instantanée de rotation de AG (la canne de golf). Exprimez ** Aa% A en fonction de 

;! et N! 

. 

B) La force en A est-elle nécessairement dans la direction de AG (la canne de golf) ? Et s'il y avait un fil souple 

à la place de la tige rigide sans masse, qu'en serait-il de cette force ? 

C) Dans le cas présent d'une tige rigide sans masse, quelle loi du mouvement peut-on invoquer pour déduire que 

la force est alignée avec AG. Quelle expérience vue en cours présente la même problématique ? Et si la masse 

de la tige n'était pas négligée, la force en A exercée sur la tige AG serait-elle alignée avec la tige AG ? 

C) Que devient le théorème du moment cinétique : 

d L " O 

% M "* 

** dt 

O 

quand on utilise comme point de référence un point mobile A au lieu d'un point O du référentiel ? 

E) Trouvez l'équation du mouvement pour ; . Vous pouvez l'exprimer en terme de N N N et de ; et A . 

Aide : appliquez le théorème du moment cinétique avec A comme point de référence. Une approche alternative 

est de suivre F) et G). 

F) Exprimez l'accélération absolue du point A en terme de N , N! , N! 

projetée dans le repère Ax'y' 

G) Exprimez l'accélération absolue du point P en terme de N , N! , N! 

et de ; et A

10/12/2005 114 

Systèmes ouverts 

Il existe une variété de systèmes mécaniques qui échangent de la masse avec l'extérieur. On les appelle des 

systèmes ouverts. 

Exemples: 

5 une fusée ou un turboréacteur. Note d’actualité : il existe un intérêt récent pour l’utilisation de réacteurs 

27 28 

à ion comme moyen de propulsion dans l’espace. 

5 actualité : un turboréacteur qui fonctionne à base d’ondes de choc pour éjecter de 

l’eau 29 

5 des escaliers roulants ou un ruban monte-charge 

5 une goutte de pluie accumulant de l'eau dans le brouillard 

5 une chaîne tombant sur une surface horizontale (démonstration d’auditoire). 

L'intérêt de ce passage est d'appliquer la deuxième loi de Newton dans sa 

forme générale, avec une quantité de mouvement qui varie parce que la 

27 Freeman Dyson, Les vaisseaux spatiaux du 21 ème siècle, Pour la Science, Nov 1995 

28 R.G. Jahn, Physics of Electric Propulsion, McGraw-Hill Series in Missile and Space Technology, 1968 

29 Pursuit Dynamics, voir http://www.pursuitdynamics.com/default.asp et New Scientist 6 March 2004, p. 24

10/12/2005 115 

masse varie, pas seulement la vitesse : 

dp 

dv 

F % G m car m=m(t) 

dt dt 

L’exemple le plus caractéristique est celui de la fusée. Admettons que la masse de la fusée m 

diminue selon une loi m = m (t) donnée. Les gaz sont éjectés à la vitesse d'éjection u, 

mesurée par rapport à la fusée elle-même. On considère l'évolution sur un temps dt petit. 

Entre t et t + dt, la masse et la vitesse de la fusée varient: 

dm 

m ( t $ @ t) 

% m $ @ t 

dt 

dm 

@ m % " @ t S 0 

dt 

La quantité de mouvement totale de la fusée et son combustible, au temps t, vaut : 

( t) 

% m8 

p 

v 

Au temps t $ @ t , la fusée a diminué de masse. La masse éjectée @ m a une vitesse u $ v par rapport au 

référentiel. Cette composition des vitesses deviendra naturelle quand on aura formalisé la notion de vitesse 

relative (chapitre : mouvement relatif). L’intuition physique suffit cependant à comprendre ce point. On peut 

penser à la vitesse d’un enfant qui court dans un train à une vitesse u, alors que le train va a une vitesse v. Il est 

clair que la vitesse de l’enfant par rapport au sol vaut u+v. 

La quantité de mouvement totale au temps t 

, - , - , - 

p ( t $ @ t) 

% m t $ @ t v $ @ v $ @ m u $ v 

$ @ t vaut ainsi : 

4 dm 1 dm 

= 2 m $ @ t / , v $ @ v- " @ t , u $ v- 

3 dt 0 dt 

La deuxième loi de Newton dans sa formulation généralisée (en terme de quantité de mouvement) implique que 

si la fusée subit une force F , on a : 

p ( t $ @ t) " p ( t) 

% F @ t 

Avec les valeurs de la quantité de mouvement trouvée ci-dessus, il vient : 

F@ t % 

4 dm 1 4 dm 1 

2 m $ @ t / , v $ @ v- $ 2 " @ t / , u $ v- 

" mv 

% 

3 dt 0 3 dt 0 

dm dm 

mv $ m@ v $ @ t 8 v " @ t , u $ v- 

" mv 

dt dt 

Dans ce calcul, on a négligé les termes du deuxième ordre. En réarrangeant les termes :

10/12/2005 116 

dm 

m @ v % " 8@ t 8 u + F@ 

t 

+ dt 

S0 

@ v 4 dm 1 

m % " 2 " / 8u + F 

@ t 3 dt 0 

En passant à la limite, il vient : 

dv 

dm 

m % 8u + F 

dt dt 

une bombonne de CO 2 est placée sur un chariot. Le professeur 

s’assied sur le chariot, ouvre la bouteille et s’en va ainsi… 

Fusée 

Une fusée contient un mélange combustible qui peut être éjecté par une tuyère avec une vitesse u = 3 km . s -1 

(par rapport à la tuyère). Elle est disposée verticalement, la tuyère dirigée vers le bas, et on la suppose guidée de 

manière à avoir une trajectoire verticale. On négligera la variation de la pesanteur avec l'altitude et on prendra g 

constant. La masse du combustible est m , et la masse totale du reste de la fusée (réservoirs, accessoires, etc...) 

est M . 

a) Montrer que la fusée ne peut décoller que si le débit de gaz brûlés (masse par unité de temps) est supérieur à 

une limite que l'on indiquera. 

b) La masse du mélange combustible est m o au départ, et on suppose que la masse restante évolue suivant la loi 

: 

m % m 1 t 

0 

" ( 0 L t L H ) 

, - 

Quelle est la valeur maximale de H qui permet le décollage ? 

c) Calculer v (t) pour ( 0 < t < H ). 

H

10/12/2005 117 

Loi de la Gravitation de Newton 

La loi de la gravitation universelle de Newton peut être vue comme un monument 

symbolisant un tournant définitif dans un moment passionnant de l’histoire des sciences. 

(Voir tableau) La révolution copernicienne signale un renouveau intellectuel important. Le 

procès de Galilée stigmatise un déplacement des systèmes de valeurs. Ce sont là des grands 

moments de l’histoire de la pensée, qu’il vaut la peine de découvrir. Prendre conscience de 

ces grands débats peut motiver l’étudiant dans son apprentissage de la mécanique. L’étudiant 

en physique peut y voir une occasion de s’inscrire dans une continuité culturelle. 30 

Aristote (384- 

322 av. JC) 

Aristarque de 

Samos 

(310-230 av. 

JC) 

Ptolémée 

Moyen-Age -> 

XVIème s. 

Copernic 

(1474-1543) 

Tycho Brahé 

(1546-1601) 

Giordano 

Bruno 

Galilée 

Terre au centre 

Planètes sur sphères concentriques 

Soleil au centre 

Planètes sur orbites circulaires centrées sur le Soleil 

Terre fixe 

Soleil : cercle décentré 

Planètes : épicycles (cercles sur cercles) 

Aristote 

Reprend Aristarque :la Terre n’est pas le centre de l’Univers, vie du temps 

des humanistes. 

« The theory of the Earth’s motion is admittedly difficult to comprehend, for 

it runs counter to appearances and to all tradition. But if God wills, I shall 

in this book make it clearer than the Sun, at least to mathematicians.” 31 

Mesures très précises. Danois, le roi lui donne une île et un financement 

généreux. 

Observatoire extraordinaire, mais pas de télescope. 

Le soleil n’est pas le centre de l’Univers, il y a beaucoup de soleils. Vie du 

temps de l’inquisition : il est brûlé sur le bûché 

Le procès … 

La loi de force de la gravitation universelle de Newton a résisté à toutes les investigations 

critiques pendant des siècles ! Un article relativement récent dans la revue Nature 32 faisait état 

des tentatives visant à trouver une déviation de la loi de Newton, de la forme : 

30 Leo Kadanoff, “Greats”, Physics Today April 1994, et Gruner, Langer, Nelson, Vogel, “What future will we choose for Physics?”, Physics 

Today, December 1995 

31 Copernic, De Revolutionibus Orbium Coelestium, tiré de : « And there was light », Rudolf Thiel, André Deutsch, 1958 

32 E. Fischback, C. Talmadge, “Six years of the 5 th force”, Nature vol. 356, 207(1992)

10/12/2005 118 

W 4 r 1 X m m 

F ( r) % " GI 

Y1 $ N 21$ 

/ e r 

[ 3 . 0 \ r 

" r / . 1 2 

Z ˆ 

2 

La déviation, si elle existe, est minime. De telles études continuent ! En 1999, un comité 

international décida d’augmenter l’incertitude officielle sur la valeur de la constante G au vue 

des différences dans les mesures répertoriées. Cette décision a motivé des chercheurs à 

améliorer cette mesure. 33 D’autres essaient de trouver des déviations à très courtes échelles 

avec un très élégant pendule de torsion (Figure). 34 

En plus de la question d’une déviation possible de la loi de Newton, la gravitation aboutit à 

des problèmes fondamentaux de la physique. Il y a le mystère de la matière obscure (« dark 

matter ») en astrophysique. De plus en plus d’évidences expérimentales indiquent que le 90% 

de la matière de notre univers n’est pas lumineuse, en ce sens que cette matière n’émet pas et 

ne réfléchit pas d’ondes électromagnétiques. Cette forme abondante mais inconnue de matière 

33 F. Nolting, J. Schurr, St. Schlamminger, W. Kündig, „Determination of the gravitational constant G by means of a beam balance“, 

Europhysics News July/August 2000, p. 25 

34 “Theorists and Experimentalists seek to learn why gravity is so weak”, B. Schwarzschild, Physics Today Sept. 2000, p. 22-24, 

http://www.npl.washington.edu/eotwash

10/12/2005 119 

ne se révèle que par ses interactions gravitationnelles. Elle fut découverte par des astronomes 

qui mesuraient la vitesse de rotation d’étoiles autour du centre de galaxies en spirales et le 

mouvement de clusters de galaxies. Comprendre la nature de cette matière obscure est devenu 

un des plus grands défis de l’astrophysique et de la physique des particules élémentaires. 35 

Enfin, il faut noter que la loi de gravitation s’inscrit de nos jours dans un cadre théorique 

solide appelé la théorie de la relativité générale d’Einstein. Dans le courant du 20 ème siècle, 

toutes les autres forces de la Nature ont pu être décrites par des formes avancées de la 

mécanique quantique. Il appartient au 21 ème siècle de joindre ces deux corps théoriques ! 

Les lois de Kepler 

Kepler (1571-1630) fit confiance à l'exactitude des mesures de son maître Tycho Brahé. En 

1609, l'analyse détaillée de ces mesures fournit à Kepler deux lois : 

1 ère loi : les trajectoires des planètes sont des ellipses, dont le Soleil est un des foyers. 

2 ème loi : le rayon-vecteur du soleil à la planète balaie des aires égales pendant des intervalles 

de temps égaux. 

La précision des observations nécessaires pour en arriver à ces conclusions est remarquable. 

En effet l'orbite de Mars est une ellipse dont le grand axe et le petit axe ne diffèrent que de 

0.4%. La précision des mesures de Tycho Brahé est admirable! 

10 ans plus tard Kepler obtient la 3 ème loi qui lie la période de l'orbite de plusieurs planètes et 

leur grand axe : 

2 

, période- 

est une constante, la même pour toutes les planètes 

3 

, grand axe- 

Actualités : il a été possible récemment d’observer l’orbite d’étoiles au centre de notre 

galaxie ! 36 

Signification et conséquence de la loi des aires 

La vitesse aérolaire est l'aire balayée par unité de temps par le rayon vecteur du foyer O au 

point P de la trajectoire. On peut exprimer cette aire sous la forme : 

1 

dA % aire , OPP '- % r v dt sin , v, 

r - 

2 

35 d’après K.P. Pretzl, « Bringing Dark Matter in from the Dark », Europhysics News, 24(1993) p. 167 

36 http://www.mpe.mpg.de/ir/GC/index.php

10/12/2005 120 

Il est possible de donner une forme vectorielle à cette définition, en posant : 

1 1 

!A % r ] v % L 

2 2m 

L est le moment cinétique par rapport au foyer O de la planète de vitesse v et de masse m. 

Ainsi la loi des aires et la planéité des orbites (implicite dans la 1 ère loi) permet de dire que L 

est constant. Le passage à la définition vectorielle de la vitesse aérolaire inclut le fait que le 

mouvement est plan. En effet pour deux positions numérotées 1 et 2, on a 

0 % x 8 x ] v % x 8 x ] v 

, - , - 

1 1 1 1 2 2 

La première égalité est vraie pour tout vecteur. La deuxième applique la loi des aires. Comme 

x 

1 

et x 

2 

sont deux positions quelconques, on doit avoir pour tout x 

1 

que x1 

est dans le plan 

normal à L . La conservation du moment cinétique implique : 

d 

dt 

dv 

r ] v % % v ] v $ r ] % r ] a 

dt 

, - 0 

On voit ainsi que a et r sont parallèles. La force est donc parallèle au rayon vecteur. Une 

force qui pointe toujours vers un même point est appelée une force ‘centrale’. 

Pour poursuivre l’analyse des lois de Kepler, on exprime le moment cinétique dans ce plan en 

coordonnées cylindriques (r,; , z) : 

2 

% m r 

r 

] , r 

r 

$ r ! ; 

; - % m r ! 

2 

L e ! e e ; ez % Lez 

avec L % mr ! ; . ez 

est le vecteur unitaire normal 

au plan de l’orbite. On exprime aussi les équations du mouvement en coordonnées 

cylindriques. Pour la clarté de l’exposé, on supposera, en suivant Newton, une force 

" K 

d’attraction centrale de magnitude (K>0): 

2 

r 

2 " K 

m( !! r " r ! ; ) % 

2 

r 

m( r !! ; $ 2 r! 

! ; ) % 0 

La deuxième équation est équivalente à la conservation du moment cinétique L. Il suffit de 

2 

dériver L % mr ! ; par rapport au temps pour le constater. La première équation du mouvement 

peut s’intégrer une fois en multipliant par r! et en remplaçant ! ; par son expression en termes 

de L et r. Il apparaît alors des termes qui s’identifient tout de suite comme des dérivées par 

rapport au temps :

10/12/2005 121 

2 

2 L r! " Kr! 

m( rr !!! " rr! ! ; ) % m( rr !!! " ) % 

2 3 2 

m r r 

2 

d 4 1 2 L K 1 

2 mr! 

$ " % 0 

2 / 

dt 3 2 2mr r 0 

Il vient ainsi une constante du mouvement (on verra que c’est l’énergie mécanique) : 

1 2 2 2 K 

E % m , r! 

$ r ! ; - " % 

2 

r 

2 

1 2 1 L K 

mr! 

$ " 

2 

2 2 mr r 

Des équations du mouvement, il est possible de tirer une équation différentielle pour la 

trajectoire. 37 Il s’agit ici seulement de constater que cette loi de force est compatible avec les 

lois de Kepler. L’importance de la démarche est plutôt de nature historique. La première 

équation du mouvement, compte tenu de la conservation du moment cinétique, s’écrit : 

2 

L " K 

mr !! " % 

3 2 

mr r 

1 

On opère un changement de variable : q % . Par différentiation, les expressions suivantes 

r 

sont obtenues : 

" 1 dq 2 dq L dq 

r! 

% ! ; % " r ! ; % " 

2 

q d; d; m d; 

2 2 2 2 

L d q L d q L L 2 d q 

!! r % " ! ; % " % " q 

2 2 2 2 2 

m d; m d; mr m d; 

En substituant dans l’équation du mouvement, il vient : 

2 

d q Km 

q 

2 2 

d; $ % L 

Cette équation différentielle est de la forme de celle de l’oscillateur harmonique. Elle a donc 

une solution générale de la forme : 

1 Km 

q % % $ C cos( ; $ ; 

2 

0) 

r L 

On peut poser C > 0 sans perte de généralité. C’est l’équation d’une conique (ellipse, parabole 

ou hyperbole). Les deux extrema de r sont nécessairement donnés par : 

1 Km 1 Km 

% $ C % " C 

2 2 

r L r L 

1 2 

Km 

Si C ! , il n’y a qu’un seul extremum, car r ne peut pas être négatif. L’orbite est alors 

2 

L 

une hyperbole. Dans le cas contraire, il s’agit d’une ellipse. Une discussion qualitative permet 

37 Ce n’est pas une aptitude à développer pour l’étudiant typique qui utiliserait cet ouvrage.

10/12/2005 122 

d’identifier efficacement ces différents régimes, 38 sans avoir recours à une intégration comme 

celle-ci ! 

Dans la mesure où on s’est ainsi convaincu que la trajectoire est une ellipse, on a confirmé 

2 

que la loi en 1/ r postulée par Newton vérifie la loi des aires et la loi selon laquelle les orbites 

sont des ellipses. Il reste à examiner ce que la troisième loi fournit. On va voir qu’elle nous dit 

quelque chose de crucial à propos de la constante K ! Pour invoquer la période, il suffit de 

considérer : 

2 

2 

T 

2> 

2 

dt 1 mr 

mr 

mr 

% % 

d; ! 

De là il vient dt % d; 

et la période : dt T d 

; L 

L 

g % % g ; 

L 

0 0 

Vu le lien entre la vitesse aérolaire et le moment cinétique, TL / m est deux fois l’aire A de 

l’ellipse. Cela se confirme en exprimant l’intégrale sur ; comme une intégrale double : 

2> 2> 

2 

r (; 

) 

TL 

% r d; % d; 

2 r ' dr ' % 2A 

m 

g g g 

0 0 0 

Ainsi, pour trouver la période, il suffit de calculer l’aire de l’ellipse: 

2> 

1 d; 

A % 

2 

2 

g 

0 4 Km 1 

2 $ cos 

2 C ; / 

3 L 0 

Cette intégrale peut être obtenue dans une table ou avec un programme comme Mathématica. 

Il vient : 

Km 

2> 4 2 

TL 1 

2 1 / 

CL 

% 

3 0 

2 

2 

3/ 2 

m C 44 Km 1 1 

1 

2 " 

22 / 

3 CL 0 / 

3 0 

Notons 2a le grand axe de l’ellipse : 

4 Km 1 

2 

2 

1 1 1 

2 / 

CL 

2a 

% $ % 

3 0 

Km Km 

2 

" C $ C 

C 44 Km 1 1 

2 2 

L L " 1 

22 2 / 

3 CL 0 / 

3 0 

Par conséquent, le rapport invoqué par la 3 ème loi de Kepler vaut : 

2 2 

T 4> 

m 

% 

3 

a K 

Il faut que ce rapport soit indépendant de m, puisqu’il doit être le même pour toute planète. 

Par conséquent, la constante K doit être proportionnelle à m ! Comme l’action est mutuelle 

entre le soleil et la planète, si la constant K est proportionnelle à la masse d’un des astres de 

l’interaction, elle doit aussi être proportionnelle à la masse de l’autre astre ! 

La dérivation ci-dessus aurait pu être conduite dans l’ordre inverse. On aurait posé que 

l’orbite est une ellipse avec l’équation donnée. On aurait trouvé pour cette équation horaire de 

l’ellipse une équation du mouvement avec un terme en 

K 

r 

2 et la troisième loi aurait fourni de 

même la proportionnalité à la masse. La démarche aurait été plus difficile à suivre, mais elle 

est équivalente. 

38 voir ce sujet dans le chapitre « discussion qualitative »

10/12/2005 123 

Loi de la gravitation de Newton 

Ainsi, en 1677, Newton déduit des données astronomiques et des lois de Kepler en particulier 

la loi de la gravitation. "Dans cette philosophie (la philosophie expérimentale), les 

propositions sont tirées des phénomènes et généralisées par induction". 39 La force 

d'attraction mutuelle entre deux masses M et m est donnée par : 

G M m r 

F % " 

2 

r r 

où r est le rayon vecteur joignant les deux masses et G est une constante universelle, G= 

6.67300 × 10 -11 m 3 kg -1 s -2 . 

Champ de gravitation 

La relation entre pesanteur et gravitation revêt une signification historique. Selon Mach, 

Newton aurait procédé par une extension conceptuelle, du projectile sur la terre à la 

trajectoire de la Lune autour d’elle. Il ne nie pas la grandeur du travail hypothético-déductif 

des Principia, mais il admire sans réserve le travail d’induction : 

« A côté de cette contribution déductive […] la science est redevable à Newton d’un travail 

d’invention […] : de quelle nature est l’accélération qu’est la condition du mouvement 

curviligne des planètes autour du soleil et des satellites autour de la Terre. Avec une grande 

hardiesse de pensée, Newton admet (et précisément par l’exemple de la Lune) que cette 

accélération n’est pas essentiellement différente de cette accélération de la pesanteur qui nous 

est familière. […] Voyant que l’attraction terrestre ne se fait pas sentir seulement à la surface 

de la Terre, mais aussi sur les hautes montagnes et dans les mines profondes, le physicien 

habitué à la continuité de la pensée se représente cette attraction comme agissant encore à des 

hauteurs et à des profondeurs plus grandes que celles qui nous sont accessibles. Il se demande 

où est la limite de son influence, et si celle-ci ne s’étendrait pas jusqu’à la Lune ? Cette 

question provoque un puissant élan d’imagination et, lorsqu’elle se pose à un génie 

intellectuel tel que Newton, elle a pour conséquence nécessaire les progrès les plus grands. » 

40 

Il est possible de manipuler l’expression mathématique de la loi de la gravitation de manière 

à faire ressortir une analogie avec l’effet de la pesanteur. En effet, la loi de la gravitation entre 

deux corps peut être exprimée en terme du champ gravitationnel à la position r produit par 

39 Newton, in Principia, Scholium général, T. 2, cité dans "Du Flou au Clair" de Michelle Goupil 

40 Ernst Mach dans « La Mécanique » trad. Par Emile Piccard, 1904, dans III. Travaux de 

Newton parag. 3

10/12/2005 124 

G M 

une masse M à l’origine : g ( r) % " e 

2 r 

. La force subie par une masse test m dans ce 

r 

champ est F % mg ! 

A la surface de la Terre, une masse test m subit l'effet superposé de tous les points de la 

Terre. Pour calculer la résultante, nous découpons la Terre en masses infinitésimales. 

Au point m, on sent le champ g 

i 

produit par chaque masse M 

i 

. La somme sur toutes les 

masses infinitésimales devient, par un passage à la limite, une intégrale de volume. Ainsi : 

4 " G , R " r - 1 

g ( R) % ggg dx dy dz P ( r) 

3 

2 / 

volume 

3 R " r 0 

Il est possible d’effectuer cette intégrale triple sans trop de complications pour une 

distribution sphérique de masse, de densité P ( r ) uniforme, de masse totale M. Il vient 

G M 

g ( R) % " e 

2 r 

comme si la Terre était une masse ponctuelle ! La déviation de la Terre par 

R 

rapport à une sphère, la présence de cavités souterraines ou de montagnes modifient la valeur 

de g. 

Actualité : déviation de g mesurée sur toute la Terre, déterminée par 2 satellites dont la 

séparation est contrôlée par un faisceau micro-ondes, et dont la position est déterminée par 

GPS. 41 

A ce point du cours, les étudiants n'ont pas vu les intégrales multiples, ni le théorème de 

Gauss. Il n'y a donc pas lieu de s'étendre sur ce sujet. En revanche, il est utile de comprendre 

41 New Scientist, 21.8.03, p. 17

10/12/2005 125 

que la règle ci-dessus, qui associe la Terre à un point matériel, n'est pas automatique, mais 

résulte d'une approximation. L’étudiant plus curieux suivra la présentation intuitive suivante 

du théorème de Gauss. 

On définit le flux de g à travers une surface. 

Le vecteur g est décomposé en ses composantes normales et tangentielles à la surface : g = g T $ g $ . Le flux 

O de g à travers A est défini par O % A 8 g % A 8 g 8 cos ; . Considérons alors le flux au travers 

T 

d’une surface fermée entourant une masse ponctuelle M. 

dO = flux de g à travers dA = dA g cos ; = g 8 dA cos ; = 

G M 8 

dA cos ; 

r2 

Or dA cos; est l’élément de surface sur la sphère centrée en M, de rayon r. Appelons cet élément de 

sphère dS. dS est proportionnel à 

et N . Il vient : 

cos; % % O cosN N 

2 

dA dS r d d 

2 

r (voir esquisse). Repérons la position de dA sur la surface par des angles O 

Par conséquent, l’élément de flux dO du flux de g à travers dA vaut : 

dO % g dAcos; 

% g dS % 

GM 

cos cos 

2 dA ; % GMd < N d N 

r

10/12/2005 126 

Le flux total à travers la surface quelconque est simplement : 

> / 2 

2> 

g g 

O % G M dN cos N d< % G M 8 4> 

">/ 2 0 

S’il y a plusieurs masses ponctuelles m N 

dans la surface, chaque masse contribue un champ g 

N 

. Si les masses 

sont à l’intérieur de la surface, alors il faut sommer les contributions de chaque masse au champ gravitationnel et 

le flux total vaut : 

Cas de la Terre 

O % O 1 $ O 2 $ O 3 % " 4k G (m1 $ m2 $ m 3 $ ...) 

Pour calculer g à la surface de la Terre, considérons une surface sphérique qui englobe la Terre, concentrique à 

la Terre. On suppose alors que g soit radial, d’égal module partout à la surface de la Terre. Dans ce cas simple, 

le flux est calculé immédiatement. D’une part, les considérations ci-dessus ont donné : O % 4k G M . 

D’autre part, la symétrie du modèle permet de calculer le flux de g immédiatement : O % 4 k R2 E g , où M 

G M 

est la masse de la Terre, RE 

son rayon. Il vient par conséquent : g % . 

R2 

E 

C’est la valeur qu’on trouverait si on avait supposé que toute la masse de la Terre était concentrée en son centre. 

Principe d’équivalence 

La gravitation joue un rôle central dans la théorie de la relativité générale d’Einstein. En 

annexe à cette présentation de la loi de la gravitation de Newton, le principe d’équivalence 

d’Einstein peut être révélateur des nuances conceptuelles attachées à la notion de masse, 

notion qui apparaît maintenant en deux contextes différents de la mécanique : le coefficient 

qui apparaît devant l’accélération dans F % ma et celui qui apparaît dans l’expression de ce 

F quand il s’agit de la gravitation. 

Nous pouvons penser à deux manières de définir la masse. En se référant à la 2 ème loi de 

Newton, nous pourrions comparer des corps soumis à la même force 

M i (1) a (1) = F = M i (2) a (2)

10/12/2005 127 

Si M i (1) est notre étalon, M i (2) est déterminé comme étant la masse telle que 

M i (2) = M i (1) 

8 

a (2) 

a (1) 

M (i) est appelé masse d’inertie. Nous pouvons aussi définir la masse à partir de la loi de la gravitation. 

Prenons la Terre comme étalon, mesurons la force exercée par la Terre sur l’objet : 

G M M F R 

R 

2 

g E 8 

% F 7 M 

E 

2 

g % 

G M 

E 

E 

M g est appelé la masse gravitationnelle. 

Principe d’équivalence de Newton 42 

Toutes les expériences montrent que la masse gravitationnelle et la masse d’inertie sont proportionnelles. Il est 

donc possible, par convention, de les prendre égales. On considère ci-dessous des expériences typiques pour 

expliciter le principe. 

Expérience 1 : chute libre de deux corps près de la Terre 

G ME 

M g (1) X 

M i (1) a (1) % 

2 l 

R E lZl 

G ME 

M g (2) 

M i (2) a (2) % 

R2 E 

l\ 

M M 

i (1) a (1) g (1) 

# % 

M (2) a (2) M (2) 

i 

g 

donc 

M i (1) M i (2) a (2) 

% 8 

M (2) M (2) a (1) 

g 

g 

Les mesures les plus précises fournissent toujours 

a (2) = a (1). Par conséquent, il est possible de faire le choix 

Mi 

1 

M % 

g 

Expérience 2 : le pendule mathématique 

En dérivant les équations du mouvement avec M i pour le coefficient de l’accélération distinct de M g pour 

la force de la pesanteur, la fréquence des petites oscillations est donnée par : 

1 g Mg 

j % 8 

2 > ) Mi 

M 

i 

Les mesures fournissent % 1m 

M 

Par exemple, Bessel avait obtenu ` < 10 " 4 . 

g 

` 

42 http://www.npl.washington.edu/eotwash/equiv.html

10/12/2005 128 

Expérience 3 : pendules de torsion 

Eötvös développa des mesures extrêmement précises entre 1890 et 1915 à l’aide de pendules de torsion. Deux 

boules de substances distinctes mais égales en masse au sens M g (1) % M g (2) sont accrochées aux 

extrémités du pendule. Toute déviation du pendule est détectée par la déviation d’un faisceau lumineux réfléchi. 

Si M i (1) G M i (2) alors le faisceau lumineux est dévié. 

Les mesures d’ Eötvös permettent de conclure : 

Mg 

1 

M % m ` avec 1 

` L 

3 ] 10 10 

i 

Principe d’équivalence d’Einstein 

Einstein (1911) est amené à énoncer le principe d’équivalence, qui est à la base de la théorie de la relativité 

générale. Un observateur dans un « ascenseur » en chute libre observe les mêmes lois physiques que s’il était 

dans un référentiel d’inertie. Les effets de l’accélération et des forces de gravitation s’annulent les uns avec les 

autres. C’est par conséquent le principe de relativité qui impose l’équivalence des deux notions de masse. 

M 

i 

n M 

g 

De nombreuses vérifications expérimentales du principe d’équivalence furent entreprises au 20 ème siècle. 43 

Science et religion 44 

La science moderne admet qu’il doit exister un nombre restreint de lois universelles qui permettent de décrire la 

multitude de phénomènes qui s’offrent à notre observation. C’est au 16 ème siècle, en Europe, que cette forme de 

pensée s’est développée. On ne peut qu’essayer d’imaginer ce qui a pu pousser les intelligences de l’époque à 

entreprendre un projet aussi ambitieux. On constate que cette démarche ne vit le jour que dans un monde chrétien. 

Elle se démarque d’une attitude païenne selon laquelle l’ici-bas est imparfait, alors que la perfection se situe dans 

un au-delà éthéré, inaccessible. Kojève soulève alors la question de savoir ce qu’il y a dans la doctrine chrétienne, 

qui puisse pousser à chercher des régularités « mathématiques » dans les choses de notre monde. « Si donc le 

christianisme est responsable de la Science moderne, c’est le dogme chrétien de l’Incarnation qui en porte la 

responsabilité exclusive. » Elle veut dire : la possibilité pour le Dieu éternel d’être réellement présent dans le 

monde temporel. 45 Le célèbre philosophe des sciences, Alfred North Whitehead, est aussi d’avis que la naissance 

de la science moderne avait besoin de la Chrétienté et son attachement à la rationalité de Dieu. 46 

43 « The light stuff », New Scientist, 20 Nov. 2004, p.31-33 

44 Alexandre Kojève, L’origine de la Science moderne, in «Mélanger Alexandre Koyré, II. L’aventure de l’esprit » 

45 J.I Packer dans « Knowing God » met en garde les chrétiens dont l’esprit se brouille sous l’effet d’un scepticisme moderne promu par les 

sciences, la philosophie et la théologie même, cherchant à nier l’action directe et complète de Dieu dans ce monde. 

46 Cité par A.J. Smith, Under the influence, Zondervan, Grand Rapids Michigan 2001

10/12/2005 129 

Cavité sous terre 

Par gravimétrie on peut déceler l'existence de cavités souterraines. 

a) Calculer le champ de gravitation g o de la terre sans cavité et le champ de gravitation g 1 

au-dessus d'une cavité sphérique de rayon R dont le centre est à la profondeur d > R. 

b) Supposons qu'on puisse mesurer le champ de gravitation avec une précision (g o -g 1 )/g o 

= 10 -6 et qu'on veuille détecter une cavité juste au-dessous du sol (R=d). Quelle est la 

plus petite cavité qu'on puisse détecter ? (Rayon de la Terre : 6380 km) 

Champ de gravitation dans la terre 

Considérer la terre comme un ensemble compact de sphère concentriques. Utiliser un argument géométrique 

pour montrer que le champ à l'intérieur d'une coquille sphérique est nul. Il reste alors que seules les coquilles 

sphériques pour lesquelles le point considéré est extérieur contribue au champ en ce point. Calculer le champ 

dans la terre en fonction de la distance au centre. 

Satellite 

Un satellite tourne autour de la terre sur une orbite circulaire à une distance r du centre de la 

terre. 

a) Quelles sont les forces et les accélérations ? 

b) Calculer la vitesse en fonction de r. 

c) Vérifier dans ce cas particulier la troisième loi de Kepler 

e) Ariane a lancé un satellite dans une orbite circulaire à une distance h = 200 km au-dessus 

du sol. Quelles sont la vitesse et la période de révolution du satellite ? 

Masse de la terre M = 6 x 10 24 kg ; G= 6.67 x 10 -11 m 3 /kgs 2 

Champ de gravitation dans la terre 

Considérer la terre comme un ensemble compact de sphères concentriques. Utiliser un 

argument géométrique pour montrer que le champ à l'intérieur d'une coquille sphérique est 

nul. Il reste alors que seules les coquilles sphériques pour lesquelles le point considéré est 

extérieur contribuent au champ en ce point. Calculer le champ dans la terre en fonction de la 

distance au centre. 

4 3 

m P > r 

sphère 

4 

Pour r R 

sphère 

Pour r>R : la Terre est assimilable à un point matériel, g % G % G 3 

2 2 

r r

10/12/2005 130 

Les forces en électromagnétisme 

Traditionnellement, un cours d'introduction à l’électromagnétisme fait suite au cours de 

mécanique. Bien qu’il soit naturel d’établir un répertoire de quelques forces, on ne peut dans le 

cas de l’électromagnétisme, qu qu'évoquer des lois de forces fondamentales sans en donner le 

sens profond. 

Force de Coulomb 

Deux charges q 

1 

et q 

2 

exercent l'une sur l'autre une force 

F 

% 

q q 

r 

1 2 

4 > ò 

r ˆ 2 

avec 

1 

8.98810 Nm / C 

9 2 2 

4 > ` % . 

o 

" 19 

ˆr 

La charge de l’électron vaut environ 1.6 810 C . Le coefficient de vaut donc, pour deux 

2 

r 

" 28 2 

électrons, 2 10 Nm . La force d’attraction gravitationnelle entre les deux électrons est aussi 

ˆr 

proportionnelle à 

2 

r . Comme la masse de l’électron est de " 31 

9 10 kg , le coefficient de 

" 71 2 

proportionnalité pour la gravitation vaut 510 Nm . Les forces électrostatiques sont donc 

typiquement très supérieures aux forces gravitationnelles ! 

Champ électrique 

La notion de champ électrique est introduite formellement dans le cadre d’un cours 

d’électromagnétisme. On peut, ici, évoquer un champ électrique par analogie avec le champ de 

la gravitation. Un ensemble de charges produit un champ électrique E . Une charge q dans ce 

champ électrique E subit une force : 

F 

% qE 

On peut créer un champ E approximativement uniforme en chargeant les plaques d'un 

condensateur plan. La dynamique d'une charge dans un champ uniforme est alors analogue à la 

chute d'un corps dans le champ de la pesanteur. En particulier, la trajectoire est parabolique.

10/12/2005 131 

La déflexion d'un faisceau d'électrons dans un champ électrique. Le faisceau d’électron rase une 

plaque phosphorescente. Les deux pièces métalliques en haut et en bas de l’image sont polarisées à 

3 kV pour produire le champ électrique déviant le faisceau. 

Force de Lorentz 

Dans un champ d'induction B une particule de charge q, de vitesse v subit une force 

F % qv ] B 

On note que la force est perpendiculaire à la vitesse. Par conséquent, la force de Lorentz ne 

travaille pas et l’énergie cinétique de la particule est constante. (voir chapitre « travail, énergie, 

puissance ») 

Déviation hélicoïdale d'un faisceau d'électrons dans un tube cathodique de forme sphérique. Le 

faisceau est rendu visible par la présence d'un gaz à pression faible. Le point lumineux est la 

cathode générant le faisceau d’électrons. Des bobines de Helmoltz (pas visible sur la photo) 

produisent le champ magnétique normal au plan de l’image. 

Des trajectoires du même type étaient aussi observées dans les chambres à bulles qui étaient 

utilisées dans les expériences de physique des particules élémentaires.

10/12/2005 132 

On examine ci-dessous les équations du mouvement d’une particule de masse m, de charge q, 

dans un champ d’induction B uniforme et constant. On choisit l’axe z le long du champ, alors 

B = B 8 e avec B constant. 

z 

La deuxième loi de Newton fournit : 

m v! 

% q v 6 B 

q B 

Pour simplifier les écritures, on pose : A % contant. 

m 

L’équation du mouvement devient 

v! % " A 6 v 

On reconnaît ici la même forme que l’équation du mouvement circulaire 

uniforme r! % " A 6 r . L’équation du mouvement de la particule chargée dans un champ 

d’induction uniforme exprime donc le fait que v est en rotation à la vitesse angulaire constante 

q B 

A % 

m 

En particulier, v est constant. 

Pour analyser la trajectoire, on pose les 

conditions initiales : 

t % 0, x % x , z % z , y % y 

0 0 0 

v % 0, v % v , v % v 

x y 1 z z0 

Projetons l’équation vectorielle du mouvement sur un système d’axes cartésiens :

10/12/2005 133 

v 6 B % 

i v v 

x 0 4 y B 1 

j vy 

0 % 2 " vx 

B/ 

k v 0 

z B 2 / 

3 0 

v! 

% A v 

v! 

x 

y 

y 

% " A v 

x 

v! 

z % 0 7 vz % vz0 

Cette dernière équation s’intègre immédiatement : 

z (t) % z0 $ vz0 

t 

Dans le plan (x,y), nous avons par dérivation: 

!! v % A v! 

% " A2 

v 

x y x 

2 

y % " A x % " A y 

!! v v! 

v 

vx 

% A sin At 

v % A cos At 

y 

Comme v y (0) % v1 

% A , vy % v1 

cos A t et vx % v1 

sin A t , d’où : 

v 1 

x (t) % " cos A t $ C 

A 

v1 v 

x (0) % x 

1 

0 % C " 7 C % x0 

$ 

A 

A 

v1 v1 

x (t) % x0 

$ " cos At 

A A 

v1 

y (t) % y0 

$ sin At 

A 

La projection sur le plan (x,y) de la trajectoire a la propriété : 

2 

v 

2 

1 2 v1 

0 , 0- 

2 

4 1 

2 x " x " / $ y " y % 

3 A 0 

A 

C’est un cercle ! Le rayon est donné par 

v1 m v1 

r % % 

A q B 

Cette grandeur peut avoir son importance quand on considère des expériences de physique du 

solide dans des matériaux très purs à basses températures, ou dans des matériaux dont au moins 

une dimension est de l’ordre du nanomètre, appelés des ‘nanostructures’. Pour avoir un ordre 

de grandeur du rayon r, on prendra des électrons avec : 

Alors: 

v 6 

1 % 10 m / s B % 1 Tesla 

r % 

9 ] 10" 

31 8 106 

m / s 

, 1.6 ] 10" 

19 C- 8 , 1 Tesla- 

6 

Il vient : r % 5.610 

" m . Comme les protons ont une masse environ mille fois plus grande, le 

rayon pour des protons à la même vitesse dans le même champ serait mille fois plus grand. 

Enfin, on note que le temps pour parcourir un demi-cercle vaut :

10/12/2005 134 

> r > m 

% 

v1 

q B 

Il est indépendant de v. Cette propriété est à la base du principe de fonctionnement des 

accélérateurs de ions ou de particules appelés des cyclotrons. Deux cavités en forme de D sont 

polarisées pour accélérer les particules à chaque demi-tour. Malgré le changement de vitesse, le 

temps entre deux passages entre les deux cavités est constant. Il est possible d’atteindre des 

énergies cinétiques de l’ordre de 106 

eV, et cela, sans appliquer 106 

Volts ! 

Une particule accélérée forme une spirale depuis le centre, la courbure est donnée par le champ 

magnétique, à chaque passage entre les deux demi-cercles, la particule reçoit une accélération 

par un champ. 47 

Cyclotron 

Une particule de masse m, de charge q, se déplace dans un champ magnétique uniforme B 

" " " 

parallèle à Oz. Une force F % q 8 v] 

B s’exerce alors sur la particule. La pesanteur est négligée. 

a) Etablir les équations du mouvement en coordonnées cartésiennes. Que peut-on dire du 

mouvement selon Oz ? 

b) Montrer que la seconde loi de Newton peut s’écrire sous la forme dv " 

v 

dt % A] " " . Définir le 

terme A " . 

1 2 

c) En déduire que l’énergie cinétique K % mv est une constante du mouvement. 

2 

d) Démontrer que les mouvements selon Ox et Oy sont harmoniques. 

e) Démontrer que le mouvement selon Oxy est circulaire. 

Tube cathodique 

Une particule sans masse de charge q se déplace sous l’effet d’un champ électrique vertical E, 

produit par un condensateur chargé. 

a) Etablir les équations du mouvements de la particule. 

b) Celle-ci pénètre dans le condensateur de longueur L avec une vitesse initiale horizontale V. 

Calculer l’angle de sortie de la particule. 

47 http://www.aip.org/history/lawrence/first.htm

10/12/2005 135 

Le concept de force 

Modèles de forces de frottement 

La deuxième loi de Newton pourrait paraître comme une définition du concept de force : 

d 

F % p 

dt 

Ce serait une définition précise, mais complètement inutile, car on aurait définit gratuitement 

une grandeur physique. Feynman declare : 48 " The glory of mathematics is that we do not 

have to say what we are talking about" ! Prenez l'exemple de la géométrie euclidienne, nous 

dit-il. On peut l'utiliser pour mesurer les dimensions d'un terrain et ça marche plutôt bien ! La 

question de savoir si la notion abstraite de ligne droite s'applique ou non dans l'expérience 

n'est pas une question qui peut être résolue par la pensée pure, elle nécessite le test par 

l'expérience. 

Il s'avère que les forces ont une certaine simplicité, et ainsi la loi de Newton est un bon 

programme pour analyser la Nature. La force de gravitation donne une indication claire que 

nous sommes sur une bonne voie ! Toutefois, dans un grand nombre de situations, les forces 

en présence n’ont pas d’expressions simples. C’est tout particulièrement le cas des forces de 

frottement. Il faut alors accepter de travailler avec des modèles assez approximatifs. Ce 

chapitre présente les deux modèles courants de forces de frottement, le modèle dit « de 

frottement sec » et celui du frottement « visqueux ». 

Les frottements secs 

Ch. A. Coulomb (1785) traita de l'action d'une surface sur un solide. Depuis ces travaux, on 

comprend qu’on se doit de distinguer a) la friction statique, b) la friction avec glissement. 

Démonstration d’auditoire : Une plaque de bois 

glisse sur une surface lisse et sèche. Des poids sont 

posés sur la plaque de bois. On mesure la force 

maximale de traction sans glissement, puis la force 

de traction pour maintenir une vitesse constante de 

glissement, en fonction du lest. 

48 d'après Feynman 12-1

10/12/2005 136 

a) friction statique 

On considère d’abord le solide immobile sur une surface. Il subit une force de réaction N . 

Alors le solide subit aussi une force de frottement tangente à la surface, F . 

En supposant que le solide subisse aussi une force de traction tangente à la surface T, la force 

F s'ajustera pour qu'il n'y ait pas de glissement. Cette situation peut se maintenir jusqu'au 

point où la force F atteint une valeur maximale F 

max 

. Au-delà de cette valeur, il y a 

décrochement et glissement. Cette force maximale est donnée par 

F 

% ^ N 

max s 

^ 

s 

est appelé le coefficient de frottement statique. On peut imaginer la mesure suivante de 

^ 

s 

. L’objet est posé immobile sur un plan incliné. En inclinant le plan de plus en plus, la 

pesanteur tend de plus en plus à faire glisser l’objet. 

Comme il n'y a pas de glissement, 

N $ F $ P % 0 

L'angle critique N 

s 

est celui qui provoque le décrochement, le début de la glissade. A cet angle 

F % Fmax % ^sN 

. En projetant le bilan des forces sur la normale et la tangente à la surface on 

a : 

N % P cos 

^ N % Psin 

d'où on tire ^ % tg , N - 

s 

s 

s 

, N 

s - 

, N - 

s

10/12/2005 137 

b) Frottement avec glissement 

Pour un solide sur une surface, subissant une force de réaction de la surface N , glissant à une 

vitesse v mesurée par rapport à la surface, la force de frottement est donnée par 

4 v 1 

F = " ^c 

N 2 / 

3 v 0 

^c 

est appelé coefficient de frottement cinétique. 

Pour mesurer ^ 

c 

on peut imaginer une expérience où le solide, soumis à la pesanteur, glisse à 

vitesse constante sur un plan incliné d'un angle N . On a encore N $ F $ P % 0 et en 

projetant les forces comme avant : ^ tg , N - 

c 

c 

% 

c 

. Dans ce modèle, on suppose que 

c 

^ est 

indépendant de la vitesse. Pour raffiner ce modèle, on pourrait par exemple consulter des 

données expérimentales telles que celles de "Tribophysics" de Nam P. Suh, Prentice-Hall. 49 

Le coefficient de frottement cinétique est toujours plus petit que le coefficient statique. On en 

fait l'expérience par exemple lorsqu'on fait glisser une armoire sur un sol lisse. 

Actualités : une équipe de chercheurs en matériaux est parvenue à créer des surfaces avec 

un coefficient cinétique de frottement extrêmement bas ( ^ 

c 

= 0.001) 50 

Deux expériences illustrent des conséquences statique et dynamique de la différence entre le 

coefficient statique et dynamique. 

Démonstration d'auditoire : un manche de bois est soutenu par deux doigts tendus, placés 

d'abord aux extrémités du manche. Les doigts sont lentement rapprochés. On observe qu'un 

seul doigt glisse à la fois. Ce phénomène est une conséquence de la différence des coefficients 

cinétique et statique de frottement. 51 

Démonstration d'auditoire : une variante dynamique de l'effet ci-dessus est le mouvement 

pendulaire d'une barre posée sur deux roues en rotation uniforme de même vitesse angulaire, 

mais de sens opposés. 

49 Pour un problème de frottement résolu en détail, voir par exemple W. M. Wehbein, Am J. Phys. 60(1), Jan . 1992, p. 57. 

50 Physical Review B48, 10583(1993) 

51 Sommerfeld A., Lectures on Theoretical Physics, Mechanics, vol 1, Academic Press, parag. II.14

10/12/2005 138 

Analysons le cas statique. Désignons par A et B les forces de réaction que les doigts exercent sur 

la barre. 

Comme la barre reste horizontale à une hauteur fixe, la somme des forces extérieures exercées 

sur la barre doit être nulle (théorème de la quantité de mouvement) : 

A + B = G 

7 

B = G - A 

Comme la barre ne tourne pas, son moment cinétique est nul, donc sa dérivée est nulle aussi. 

Alors, le théorème du moment cinétique impose que la somme des moments extérieurs doit 

s’annuler. 52 A 8 a " B 8 b % 0 

En appliquant alors le résultat du théorème de la quantité de mouvement, il 

b 

vient : A 8 a " (G " A) b % 0 , soit , A % G 

a $ b 

8 . Alors : B 

% a 

G 

a $ b 

8 . 

On considère maintenant les forces de frottement exercées sur la barre. Partons avec A > B . 

Le point B glisse vers A jusqu’à ce que F B,c = F A,s , ou ^c 8 B % ^ s A . A ce point, le 

glissement de A s’enclenche. Or : 

F 

B,c 

G 

% ^c 

8a 

8 

a b 

F b G 

% ^ 8 a $ b 

$ 

A,s s 

Notons 

a ^ 

b la valeur critique de b à laquelle F 

1 

B,c % F A,s . On a 

s 

% !1 

b ^ 

1 c 

Quand A se met en mouvement, FA,C 

L F A,S , c’est F B qui doit diminuer pour maintenir la 

barre à l’arrêt. En fait, B s’arrête de glisser. 

Actualités : 

- de nos jours, les frottements sont étudiés à l’échelle quasi atomique, c’est ce qu’on appelle 

la « nanotribologie ». 53 

52 nous verrons en dynamique du solide que le théorème du moment cinétique s’applique en prenant le centre de masse comme point de 

référence pour définir le moment cinétique et les moments de force. 

53 Physics Today Sept 1998, p. 22

10/12/2005 139 

- des recherches récentes tentent de mettre en évidence la possibilité d’états d’interactions 

entre deux surfaces telles que les surfaces se déplacent l’une par rapport à l’autre sans 

frottement. Le terme « supralubrification » est construit pour suggérer une analogie avec la 

supraconductivité (le transport de charges sans dissipation). 54 

Les frottements visqueux 

Dans les fluides à très basses vitesses, la force de frottement subie par un solide se déplaçant à 

la vitesse v par rapport au fluide peut être approximée par : 

F % "kov 

où le coefficient o est la viscosité, k est un facteur géométrique (k= 6> R pour une sphère de 

rayon R). A plus grande vitesse, le frottement devient proportionnel au carré de la vitesse : 

1 2 4 v 1 

F % " Cx 

P 

flv S 2 / 

2 3 v 0 

P 

fl 

est la densité du fluide, S l’aire de la projection du solide sur le plan normal à la vitesse. 

Cx 

est appelé le coefficient de traînée. C 

x 

vaut 1.3 pour un disque dont l’axe est dans la 

direction du mouvement. C 

x 

vaut 0.45 pour une sphère, 0.03 pour une demi-sphère prolongée 

par un cône, et typiquement 0.03 pour une aile d’avion. 55 

Actualités: 

Par une méthode appelée analyse dimensionnelle, on peut estimer la dissipation dans un flux 

turbulent. Des physiciens ont pu récemment apporter une amélioration à cette estimation de 

principe par des considérations sur les propriétés analytiques du champ de vitesse. 56 

54 Phys. Rev. Letter, 78(1997) 1448 ou Physics World May 1997 

55 Gruber, Mécanique générale, PPUR 

56 « Upper bound on friction in turbulent flow », Physics World, Dec. 1992, et Phys. Rev. Lett. 69, 1648 (1992)

10/12/2005 140 

Plot sur disque 

Un disque horizontal tourne à une vitesse angulaire constante A. 

a) Où faut-il placer un morceau de bois de masse m sur le disque pour qu'il ne glisse pas, si 

le coefficient de frottement statique est ^ s ? 

b) Ecrire les équations différentielles du mouvement du morceau de bois lorsqu'il y a 

glissement (frottement sec de coefficient ^ d ). 

Plot sur plan incliné 

Un plot de masse M sur un plan incliné d’un angle N est relié par un câble sans masse à une 

masse m, suspendue dans le vide. Les frottements sont secs. 

a) Quelle masse m faut-il pour vaincre le frottement statique de coefficient ^ s ? 

En mouvement, le plot subit une force de frottement sec de coefficient ^ d . Etablir les 

équations du mouvement.

10/12/2005 141 

Mouvement relatif 

Ce chapitre permet de prendre conscience de l'importance de la notion de référentiel, en 

particulier la nécessité de choisir d’appliquer la 2 ème loi de Newton à un référentiel d’inertie. 

Ainsi, on va chercher à établir des équations du mouvement pour des référentiels qui ne sont 

manifestement pas des référentiels d’inertie. Ce sont des référentiels en rotation ou en 

accélération uniforme par rapport à un référentiel d’inertie. 

Cinématique avec un référentiel relatif 

Démonstration d’auditoire : le mouvement 

radial de gouttes d’eau sortant d’une buse 

horizontale en rotation uniforme. Quand le 

mouvement est observé par une caméra en 

rotation uniforme avec la buse, les gouttes 

apparaissent toutes sur un jet courbé unique ! 

Il est commode, dans le cadre de cette approche, d’appeler le référentiel d’inertie "le 

référentiel absolu", et l'autre, le "référentiel relatif". 

On adopte la notation systématique suivante : 

0 x1 x2 x 

3 

: référentiel absolu 

P : un point matériel quelconque

10/12/2005 142 

A y1 y2 y 

3 

: référentiel relatif 

e1 e2 e 

3 

: vecteurs unités de A y1 y2 y 

3 

L'évolution temporelle des vecteurs unités e1 e2 e 

3 

peut être décrite par un vecteur instantané 

de rotation 9 , selon le théorème d’Euler. Les formules de Poisson spécifient cette évolution 

: 

dei 

dt 

% 9 6 

e i = 1,2,3 

i 

Souvent le référentiel 0 y1 y2 y 

3 

est préféré parce que le mouvement peut y être simple ou 

parce que c’est celui-là qui nous importe, comme par exemple dans le cas de la dynamique 

terrestre. Par conséquent, on veut faire usage des vitesses et accélérations par rapport au 

référentiel A y1 y2 y 

3. Cependant, la 2 ème loi de Newton n’est valable que pour une 

accélération par rapport à un référentiel d’inertie ! Ici, il s’agit du référentiel 0 x1 x2 x 

3 . Il faut 

donc établir les relations entre les vitesses et accélérations absolues, c’est-à-dire mesurées par 

rapport à 0 x1 x2 x 

3 

et les vitesses et accélérations relatives, c’est-à-dire mesurées par rapport à 

A y1 y2 y 

3. On y arrive en dérivant par rapport au temps la relation : 

OP % OA $ AP 

où on pose : AP % _ yie i 

. Les y 

i 

sont les composantes de AP dans le référentiel relatif. Par 

i 

conséquent, la vitesse relative de P, V r , P - est donnée par: 

V 

r 

, - 

% _ y! eˆ 

. 

P 

i i 

i 

La vitesse absolue , P- 

a 

a 

, A - 

d 

Va 

% O P vaut : 

dt 

d d 

Va 

, P - % , OA - + , AP- 

dt dt 

d 4 1 

% Va 

, A - $ yi 

i 

dt 

2 _ e / 

3 i 0 

% V $ y! 

e $ y e! 

_ 

, A- , P - y , 9 - 

, P- , A- , P- 

a a r 

i 

r 

_ 

i i i i 

i 

_ 

% V $ V $ 6 e 

V % V $ V $ 9 6 AP 

i 

i 

Pour trouver l’accélération, dérivons la vitesse absolue par rapport au temps : 

dva 

( P) 

aa 

( P) 

% % 

dt 

dva 

( A) dvr 

( P) 

d 

$ $ 6 AP 

dt dt dt 

, 9 - 

i

10/12/2005 143 

En développant la vitesse relative en termes des composantes et en utilisant les relations de 

Poisson, il vient plusieurs termes : 

a ( P) 

% 

a 

a ( A) $ a ( P) 

a 

$ 29 

6 v ( P) 

$ 9 6 ( 9 6 AP) 

$ 9! 

6 AP 

Il faut veiller à bien comprendre le sens des différentes grandeurs introduites. Certains termes 

de l'accélération portent un nom. 

La composante 29 

6 V , P- 

est appelée l'accélération de Coriolis. 

Le terme 9 6 , 9 6 AP- 

est appelé l'accélération centripète. 

Le groupe de termes a 

a 

( A ) $ A 6 ( A 6 AP) 

$ A! 

6 AP 

r 

est appelé l'accélération d’entraînement. C'est l'accélération du point du référentiel 0 y1 y2 y 

3 

coïncidant avec P à l'instant considéré. 

r 

r 

Démonstration d’auditoire : un petit montage permet de 

repérer point par point dans un référentiel en rotation, la 

position d’un point matériel qui suit une trajectoire 

rectiligne dans le référentiel de l’auditoire. La courbe du 

jet d'eau observée avec la caméra rotative est 

précisément celle obtenue par ce marquage.

10/12/2005 144 

Accélérations centripète et de Coriolis 

Pour développer un sens physique de l’accélération de Coriolis et de l’accélération centripète 

qui interviennent dans le mouvement relatif, on considère quelques situations simples. 

Si un point matériel est au repos dans un référentiel relatif, dont le point A est immobile, et 

dont la vitesse angulaire de rotation 9 est constante, alors le seul terme non nul de notre 

expression de l'accélération est l'accélération centripète. Or le mouvement du point matériel 

dans le référentiel absolu est un mouvement circulaire uniforme ! La nouvelle formule 

exprime donc, comme il se doit, l'accélération centripète du point matériel. 

On considère ensuite un mouvement radial sur un carrousel, c’est-à-dire un référentiel en 

rotation uniforme, avec le point A fixe. On peut prendre O = A. Le mouvement considéré 

est donné par : 

y t % v 8t 

1 

, - r 

, - , - 

y t % y t % 

2 3 

0 

L'accélération absolue de ce point matériel peut s’obtenir en projetant 

vectorielles sur le repère porté par A y1 y2 y 

3 

: 

les grandeurs

10/12/2005 145 

4vr 

1 

2 / 

vr , P- % 0 ar , P- 

% _ !! yiei 

% 0 

2 i 

0 / 

3 0 

e1 

0 vr 

4 0 1 

2 / 

2 A 6 vr 

% 2 e2 

0 0 % 2 

9vr 

e3 

9 0 2 0 / 

3 0 

, - , v t - 

A 6 A 6 AP % A 6 9 8 e % " 9 v t 8e 

r 

2 

2 r 1 

On peut se représenter le terme 29 6 vr 

dans ce cas particulier en examinant la trajectoire 

par rapport à un référentiel absolu, quand le point matériel est près du centre du carrousel. 

Trois "photos" prises du repère attaché au sol montreraient la position du diamètre parcouru à trois 

instants successifs. 

Le temps 2 est celui où le point passe par le centre du carrousel. La trajectoire est courbée, 

l'accélération est par conséquent vers la gauche par rapport au sens de la marche. Ainsi, on 

voit que l'accélération de Coriolis dont nous devons tenir compte dans le mouvement relatif 

(au référentiel tournant) rend compte de la courbure de la trajectoire telle qu’elle est perçue du 

référentiel absolu. 

Finalement, on considère un homme qui court à vitesse constante v au bord d'un carrousel de 

rayon R, qui est en rotation à vitesse angulaire constante A . On peut envisager deux 

approches. D’une part, on peut se dire que l'homme décrit un mouvement circulaire uniforme, 

à la vitesse v 

$ A R . Son accélération est centripète et vaut 

mouvement relatif, on tire en utilisant 

cylindriques définies dans le plan A y1 y 

2 

: 

, v $ AR- 2 

. Du formalisme du 

R 

comme repère celui associé aux coordonnées

10/12/2005 146 

v r 

a 

r 

a 

a 

a 

cor 

2 

" v 

% eP 

R 

% " 28A 

8v 

8e 

2 

cen 

% " 8 8 

tot 

% v 8 e A % A 8e 

O 

A 

R 

2 2 2 

4 v 28A 

8 R 8v A 8 R 1 

% " 2 $ $ / 8e 

3 R R R 0 

, v $ A 8 R- 

% " 8e 

R 

2 

e 

P 

P 

P 

z 

Comme il se doit, on obtient la même accélération absolue ! 

P 

Dynamique dans les référentiels en mouvement 

On considère le jet d’eau (photo au début du chapitre) depuis le référentiel en rotation avec la 

plateforme, on voit que le jet d’eau n’est pas droit. On observe la même courbure de la 

trajectoire quand on marque avec un feutre la trajectoire d’un plot qui glisse sur une plaque de 

verre en rotation. Dans cette expérience, on peut négliger le frottement. Le plot quand il est 

relâché part en ligne droite, la droite est tangente au cercle qu’il décrivait quand il était 

retenu ! La trace sur le verre est aussi une courbe. Cette courbe semble s’éloigner du cercle 

que décrivait le plot quand il était retenu ! C’est de cette constatation que viennent les 

hésitations des étudiants à qui on demande où va une masse qui tournoie, retenue par un fil, 

quand on lâche le fil.

10/12/2005 147 

Avec ce genre d’expérience, il devient clair qu’on ne peut pas appliquer la 2 ème loi de Newton 

dans un référentiel en rotation. Il faut appliquer : 

F = m a P 

a 

, - 

C’est-à-dire, il faut considérer l'accélération absolue du point matériel. Il est entendu que les 

forces F sont des forces appliquées (pesanteur, gravitation, liaison, frottement, etc…). 

Toutefois, il peut être commode d'écrire les équations du mouvement en termes des 

coordonnées, vitesses, accélérations mesurées dans le référentiel relatif. Il faut alors écrire : 

F % ma ( A) $ ma 

( P) 

a 

$ m !A 6 AP $ mA 6 ( A 6 AP) 

$ 2 A 6 v ( P) 

r 

r 

Dans certains traités de mécanique, l'équation du mouvement est considérée comme suit: 

Wmaa 

( A) 

X 

l 

l 

mar 

( P) % F- Y$ 2 A 6 vr 

( P) $ mA 6 ( A 6 AP) 

Z 

l$ mA 

6 AP 

l 

[ ! 

\ 

Quand la 2 ème loi de Newton est écrite de cette manière, l'accélération de Coriolis apparaît 

comme une force. De même l'accélération centripète devient une force centrifuge. Il est 

essentiel de se souvenir que ces "forces" sont en fait des effets de référentiels accélérés. On 

les appelle des forces « d'inertie. » 57 

Dans le cadre de cette présentation-ci de la mécanique, on évitera cette deuxième façon de 

présenter les choses. Il se trouve qu’elle introduit trop souvent des erreurs ! 

L’erreur typique est la suivante. Un étudiant considère un point matériel qui décrit un 

mouvement circulaire uniforme horizontal. Le point matériel est relié au centre du cercle par 

un fil sans masse. La vitesse angulaire est A , le rayon R. Le problème est décrit en 

coordonnées cylindriques. 

57 Les considérations de physique avancée telle que la gravitation comme un effet de référentiel ne sont pas de 

mise ici non plus !

10/12/2005 148 

L'étudiant introduit, par une habitude contractée ailleurs, une force centrifuge. Ce n'est pas 

encore faux ! Cela veut dire qu'il se prépare à décrire le point matériel dans un référentiel qui 

tourne avec le point. Mais il se trompe lorsqu'il utilise les formules de l'accélération en 

coordonnées cylindriques, car il implique par là qu'il mesure l'accélération dans le référentiel 

absolu. Pour la direction e 

P 

il écrit l'équation du mouvement : 

! O % A, 

r % R 7 

(0 " A ) % " $ 

A 

2 2 

m R T m R 

7 

2 

T % 2 m A R ! 

ce qui est faux ! L'erreur vient de l'utilisation de l'expression de l'accélération en coordonnées 

cylindriques, avec la supposition implicite que cette accélération est mesurée dans le 

référentiel absolu. Une démarche acceptable serait d'utiliser des coordonnées cylindriques 

dans le référentiel en rotation. Dans ce référentiel, ! O % 0 !! O % 0 et l'équation du 

mouvement radiale est : 

0=-T+m 

A 2 

R 

Exemples de référentiel en translation non-uniforme 

Exemple 1: un train sur une voie horizontale rectiligne a une accélération a , - 

a 

A % a 

constante. Le pendule est supposé immobile dans le train. Quel est l'angle d'inclinaison du 

pendule ? 

D’abord, décrivons la situation avec un référentiel absolu, le sol. Le pendule a une 

accélération a % a xˆ 

. Projetons = m , P- 

1 

F a sur les axes 

a 

Ox1x2 : 

ma % " T sin ; 

0 % " mg $ T cos ;

10/12/2005 149 

On déduit : 

a 

tg; % " 

g 

Ensuite, reprenons la même situation en la décrivant par rapport au référentiel du wagon. Il 

faut écrire l’accélération conformément au formalisme du mouvement relatif : 

r 

, - , - 

ma P $ ma A % F 

a 

a a ˆ . 

Puisqu'on suppose que le pendule n'oscille pas a 

r , P - % 0 . De plus, on a 

a , A- % % ay1 

Projetons sur A y1 y 

2 

: 

0 $ ma % " T sin ; 

0 % " mg $ T cos ; 

Nous avons comme il se doit le même système d’équation. 

Exemple 2 : quel est le poids apparent d’une personne dans un ascenseur accéléré ? 

Convenons que le poids est mesuré en tant que l’extension d’un ressort avec un 

amortissement approprié pour une telle mesure. Disons que l'ascenseur est accéléré vers le 

haut. Avec la notation usuelle on a 

, - % % ˆ3 

aa A a a y 

Projetons m , P- m , A- 

$ % 

y : 

ar 

aa 

F sur l'axe 

3 

" mg $ T % ma $ ma 

r 

La mesure se fait quand le poids est immobile dans l’ascenseur. Par conséquent, la force de 

soutient T = m (a + g) . T est cette mesure du poids apparent dans l'ascenseur.

10/12/2005 150 

Exemples de référentiel relatif en rotation uniforme 

Exemple 1 : Un point matériel pesant de masse m se déplace sans frottement à l'intérieur d'un 

tube horizontal tournant à la vitesse angulaire 9 constante autour d'un axe vertical. Ce 

dispositif pourrait être un modèle de centrifugeuse. 

Nous choisissons ici de décrire le mouvement par la démarche du mouvement relatif. On 

pourrait aussi tirer profit de la méthode des coordonnées généralisées. 

5 référentiel absolu : 0 x1 x2 x 

3 

5 référentiel relatif : 0 y1 y2 y 

3 

, avec 0 y 

1 

le long du tube 

La réaction R est normale à la surface du tube, mais elle peut avoir une composante 

horizontale et verticale : 

R % R yˆ 

$ R yˆ 

r 

2 2 3 3 

4 y! 1 1 4 !! y1 

1 

2 / 2 / 

v % y! a % !! y 

2 r 

2 

2 y / 2 

3 

y / 

3 ! 0 3 !! 

3 0 

Les contraintes sont 

y % y % 0 

2 3 

y! 2 

% y! 

3 

% 0 

On calcule alors les différents termes de l’accélération absolue : 

4 1 

A 6 A 6 AP 

% " A 

2 

y ˆ 

1 

y1 

2 / 

3 0 

2 A 6 v P % 2 A y! 

yˆ 

, - 

r 1 2 

Les équations du mouvement sont ainsi : 

m( !! y " A y ) % 0 

2 

1 1 

m 2 A y! 

% R 

3 

1 2 

0 % R " mg 

La première équation permet de déterminer y , - 

1 

t . Les deux autres donnent alors la force de 

liaison R . On avait déjà examiné un problème semblable, celui d’un point matériel astreint à 

se déplacer sur un anneau en rotation. Dans la présente résolution avec le formalisme du

10/12/2005 151 

mouvement relatif, on voit apparaître la force de contrainte dans la direction de la rotation 

comme une conséquence de l’accélération de Coriolis. 

La première équation peut être immédiatement intégrée en multipliant par y! 

1 

et en observant 

que l'expression est une dérivée totale de : 

1 2 1 2 2 

y! 

1 

" A y1 

% const. 

2 2 

Cette grandeur n’est pas l'énergie cinétique (signe !). En fait, l’énergie cinétique dans ce 

système n'est pas conservée ! Il n'y a pas de frottement, certes, mais la force de liaison 

travaille ! 

Exemple 2 : un pendule oscille dans le plan d’une porte en rotation uniforme. On choisit ici 

de résoudre ce problème par la méthode du mouvement relatif, en définissant: 

5 Référentiel absolu : 0 x1 x2 x 

3 

5 Référentiel relatif : A y1 y2 y 

3 

5 coordonnées cylindriques : P, O , y3 

5 liaisons : y 

3 

% 0 , P % ) = constante 

5 rotation de A y1 y2 y 

3 

par rapport à 0 x1 x2 x 

3 

: A = constante. 

Ainsi, dans cet exemple, on applique le formalisme du mouvement relatif, en utilisant des 

coordonnées généralisées relatives au référentiel relatif ! Les projections des vecteurs 

position, vitesse et accélérations sur le repère associé aux coordonnées cylindriques donnent : 

2 

4 ) 1 4 0 1 4 ") 

! O 1 

2 / 2 / 2 / 

r % 0 

vr 

% ) ! O 

a 

r 

% 2 ) !! O / 

20/ 2 0 / 

3 0 3 0 

2 0 / 

3 0 

Par inspection du graphique, il est possible de poser : 2 A ] v 2 cos ( ) ˆ 

r 

% " A ! O ) O y3 

. En cas de 

doute, il faut passer par les projections. Faisons-le pour le terme centripète :

10/12/2005 152 

4-A 

cos( O) 

1 

2 / 

A % -Asin( O) 

donc 

2 0 / 

3 0 

4 0 1 

2 / 

A ] r % 0 

et 

2 A sin( O) 

/ 

3 ) 0 

2 2 

4 1 

" A ) sin ( O) 

A ], A ] r - %2 2 2 

" A sin( O)cos( O) 

/ 

3 ) 

0 

Appelons R la composante de la force de liaison normale au plan et T la traction du fil du 

pendule. Les équations du mouvement s’obtiennent après avoir projeté la pesanteur : 

2 2 2 

4 ") ! O " A ) sin ( O) 1 4 mg cos( O) 

" T 1 

2 2 

/ 

m O A sin( O)cos( O) 2 

mg sin( O) 

/ 

2 ) !! " ) 

/ % 

2 " 2AO! cos( O) 

/ 2 R / 

3 ) 

0 3 0 

Ces équations auraient pu être obtenues plus directement en utilisant les coordonnées 

sphériques dans le référentiel absolu. C’est bien ce qu’il faut : si nous utilisons les mêmes 

coordonnées pour deux visions, nous devons trouver le même résultat. (attention : en 

coordonnées sphériques notre A serait un " ! O et notre O serait le ; des coordonnées 

sphériques.) 

Exemple 3 : le fusil sur une table tournante. 

Démonstration d’auditoire : un fusil est monté sur une table 

tournante. Quand la table est à l’arrêt, le tir est ajusté au milieu 

de la cible diamétralement opposée au fusil. Quand la table 

tourne, le tir n’atteint plus le centre de la cible. 

Pour cet exemple, on montre comment une intégration numérique peut être effectuée par 

Mathematica. Les valeurs numériques des paramètres sont choisies, par exemple : 

omega=1;R=1; 

vo=20; 

tmax=2 R/vo; 

xo=N[-R];vxo=N[vo]; 

yo=N[0] ;vyo=N[xo omega]; 

On demande l’intégration numérique de l’équation du mouvement:

10/12/2005 153 

ntrajectory!omega" ! 

NDSolve!# 

nx " !t" !! omega^2nx!t" &2omegany $ !t", 

ny " !t" !! omega^2ny!t" #2omeganx $ !t", 

nx!0" ( xo, nx $ !0" !! vxo, 

ny!0" ( yo, ny $ !0" !! vyo$, 

#nx, ny$, #t, 0, tmax$"%1&; 

Il suffit alors de demander un graphique: 

ntrajectoryPlot[omega]=ParametricPlot[Evaluate[ 

{nx[t],ny[t]}/.ntrajectory[omega]],{t,0,tmax}, 

AxesLabel!{"x axis","y axis"}]; 

On obtient pour les valeurs ci-dessus une déviation évidente du tir, vu dans le référentiel de la 

table tournante : 

Interprétation des termes de l'accélération en coordonnées cylindriques 

comme accélération centripète ou de Coriolis 

Il y des termes de l'accélération en coordonnées cylindriques qui ressemblent à l'accélération 

centripète ou à l'accélération de Coriolis du mouvement relatif. L'argument ci-dessous montre 

le lien entre les deux approches et par conséquent l'origine de cette similarité. 

Le repère xˆ 

, yˆ , z ˆ est considéré comme référentiel absolu, le repère O, uˆ , vˆ , z ˆ comme 

référentiel en rotation qui suit le point P. Le vecteur de vitesse instantanée de rotation est donc 

A % ! < 8e 

z 

Exprimons la vitesse et l'accélération du point P dans le référentiel 

formalisme du mouvement relatif. 

O, uˆ , vˆ , z ˆ en utilisant le

10/12/2005 154 

a 

, - % 

r , - $ 9 6 

= , ! P u ˆ + z ! z ˆ - + ! O e 6 , P u ˆ + z zˆ 

- 

V P V P OP 

= ! P u ˆ + z ! z ˆ + P ! O u ˆ + 0 

= ! P e + P ! O e + z ! zˆ 

P < 

z 

On retrouve bien la formule établie pour la vitesse ! Il en va de même pour l’accélération : 

a , P- % a , P- 

$ 

a r 

$ A 6 , A 6 OP- 

$ A! 

6 OP + 28A 

6 v 

r 

= !! 

4 1 

P e $ !! z e $ $ ! O e 6 ! O 

+ 

P z 

( 

O 

+ 

P z 

( 

2 O 

+ 

P z 

( 

P z z 2 e 6 e $ e $ $ !! 6 $ $ 6 $ 

z ) P z & / e e e ! e ! e ! e 

3 * ' 0 z )* P z &' z )* P z &' 

= !! P e $ !! z e $ " P ! O 

2 

e $ P ! O e $ 2 ! O ! P e 

P z P < < 

= 

, P P ! O 

2 

- 

!! " e $ !! z e $ 

P z 

, 

! 2 !! - 

$ P O $ OP e < 

C’est bien la formule déjà établie !

10/12/2005 155 

Fourmi immobile 

Sur la platine d'un tourne-disque en rotation uniforme, une fourmi parcourt un chemin 

circulaire de telle manière qu'elle apparaisse immobile par rapport au châssis du tournedisque. 

Calculer séparément l'accélération de Coriolis et l'accélération centripète dans le 

référentiel lié à la platine en rotation. Commenter votre résultat. 

Expérience du feutre sur la table tournante 

Note : la friction du feutre sur la table est négligée. 

1) Décrire la trajectoire du feutre dans un référentiel fixe. La vitesse angulaire du disque central est A. 

2) La trajectoire marquée sur la table tournant à la vitesse angulaire A est la trajectoire du feutre vue dans un 

référentiel attaché à la table. Exprimer les coordonnées cartésiennes d'un point du référentiel tournant en fonction 

des coordonnées de ce point dans le référentiel fixe. En déduire les équations horaires du mouvement dans le 

référentiel tournant. Esquisser la trajectoire. 

3) Ecrire les équations du mouvement en utilisant les coordonnées, la vitesse et l'accélération mesurées dans 

le référentiel tournant. 

4) Montrer que les équations horaires de 2) vérifient les équations du mouvement. 

Le rameur 

Un rameur remonte une rivière. Il tire une bouteille de gin attachée par une corde à son 

bateau. Lorsqu'il passe sous un pont, sa bouteille se détache et dérive en aval. Le rameur le 

réalise une heure plus tard. Il fait demi-tour et récupère sa bouteille à un kilomètre en aval du 

pont. Quelle est la vitesse du fleuve? 

La Boîte suspendue 

Un point matériel pesant de masse m est situé au fond d'une boîte de masse M, M >> m. boîte est suspendue à 

un ressort de constante k. La boîte est initialement tirée vers le bas et lâchée avec une vitesse nulle. On néglige 

ce qui se passe avec la masse m pour déterminer le mouvement de la boîte M. 

Déterminer si le point matériel décolle du fond de la boîte en examinant la force de réaction de la boîte sur le 

point matériel. 

Référentiel absolu : Ox 1 

x 3 

Référentiel relatif : Gy 1 

y 3 

Forces sur la boîte (m négligée) : poids M g 

" et tension du ressort T " 

%"kx 

. xˆ . 

3 3 

Forces sur m : poids m g 

" et contrainte du plancher de la boîte N " . 

Mouvement de la boîte : 

" " " 

Loi de Newton : Ma 

a 

(G)% Mg$ 

T , ou encore 

M ! x 

%" Mg" 

(1) 

3 

kx 3

10/12/2005 156 

Pendule dans train circulaire 

Un pendule de masse m, de longueur L, est suspendu au 

plafond d’un wagon d’un train astreint à un mouvement 

circulaire uniforme de vitesse angulaire 9 constante. 

Un mécanisme assure que le pendule demeure dans un 

plan perpendiculaire à la direction du train : il oscille 

donc dans une section verticale du wagon. On suppose 

que les dimensions et les vitesses du problème sont telles 

que le pendule est incliné quand il est en position stable 

par rapport au wagon. 

a) Spécifier le choix de référentiel et le système de coordonnées. 

b) Exprimer l’accélération pour ces coordonnées. 

c) Etablir le bilan des forces. 

d) Obtenir les équations du mouvement en termes de coordonnées définies par rapport au wagon. 

e) Quel est l’angle d’inclinaison du pendule en régime stationnaire (pas d’oscillation) ? 

Moulin à bille 

Une bille, considérée comme un point matériel de masse m, est astreinte à se déplacer sur la parois d’un cylindre 

qui tourne à la vitesse de rotation A relative à une plate-forme tournant à la vitesse angulaire 9 . La bille est 

pesante et reste au fond du cylindre. Les vitesses angulaires A et 9 sont constantes. 

a) Choisir un système de coordonnée pour repérer la position de la bille. 

b) Exprimer la vitesse absolue de la bille quand elle est fixe sur la parois du cylindre. 

c) Exprimer la vitesse absolue de la bille dans le cas où la bille roule sur les parois (toutefois, on considère 

la bille comme un point matériel). 

d) Exprimer l’accélération de la bille dans le cas général. 

e) Etablir le bilan des forces, supposant qu’il n’y pas de frottement. 

f) Ecrire les équations du mouvement.

10/12/2005 157 

Mouvement par rapport à la Terre 

On considère ici l’application de l'approche du "mouvement relatif" à la description de 

mouvements à la surface de la Terre, quand la Terre ne peut plus être considérée comme un 

référentiel d’inertie. Il se peut que l’expérience soit subtile, comme celle du pendule de 

Foucault. Dans ce cas, une grosse déviation de la prédiction qu’on ferait, si on considérait la 

Terre comme un référentiel d’inertie, est observée. On peut aussi avoir une expérience banale, 

comme la chute libre, mais faite avec une mesure si précise qu’on observe une déviation qui 

ne devrait pas être si la Terre était un référentiel d’inertie. Observateurs terriens, nous 

comprenons bien dans ces exemples l'intérêt de choisir un référentiel qui n'est pas celui où 

l'accélération peut être prise comme accélération "absolue", par exemple un système d'étoiles. 

Les exemples traités ici sont aussi une occasion de présenter une méthode de résolution par 

« perturbation », plus connue de nos jours dans le contexte de la mécanique quantique. Pour 

rendre compte de la situation physique à la surface de la Terre, il y a lieu de considérer l'ordre 

de grandeur des dimensions caractéristiques des expériences. La vitesse angulaire de rotation 

de la Terre est de l’ordre de A = 7.3 x 10 -5 s -1 et son rayon vaut r = 6.35 x 10 6 m. Le 

déplacement vertical typique à la surface de la Terre est très petit en comparaison du rayon de 

la Terre et le temps caractéristique est bien plus court que la période de rotation de la Terre. Il 

faudra exprimer ces ordres de grandeurs en faisant des approximations. 

Pour commencer, on pose qu’on veut appliquer % m , P- 

F a tout en utilisant la Terre comme 

référentiel. Il faut donc qu’on exprime l'accélération absolue en termes des vitesses et les 

accélérations mesurées dans un référentiel lié à la Terre. Le dessin précise le choix des 

référentiels. 

a 

référentiel absolu : Ox1x2x3, lié à des étoiles 

référentiel relatif : Ay1y2y3, lié à la Terre, A à sa surface 

Comme ! A % 0 , la formule de l’accélération en mouvement relatif donne : 

m + a , A- $ A6, A6 AP - $ 2A6 v ( % mg 

* a 

r ' 

On considère ici une force appliquée, la pesanteur, pour fixer les idées. Comme A suit un 

mouvement circulaire uniforme, aa , A - % A 6 , A 6 OA- 

. Par conséquent : 

, , -- 

ma ( P) % mg " mA 6 A 6 OA $ AP " 2 mA 

6 v ( P) 

r 

r

10/12/2005 158 

Pour des expériences typiques à la surface de la Terre, la hauteur est toujours négligeable 

comparée au rayon de la Terre. Cela veut dire que nous pouvons négliger AP devant OA : 

, - 

ma 

( P) % mg " mA 6 A 6 OA " 2 mA 

6 v ( P) 

r 

r 

Ci-dessous, on considère d’abord le fil à plomb pour montrer que le deuxième terme, qui est 

constant, peut être en quelque sorte « absorbé » dans le premier, en définissant un g effectif. 

Le fil à plomb 

Il s’agit d’une expérience statique dans le référentiel de la Terre, donc : 

a 

r , P - % 0 v 

r , P - % 0 

Les équations du mouvement deviennent dans ce cas : 

, - 

0 % m g $ T " m A 6 A 6 OA 

E 

, -F 

T % " m g " m A 6 A 6 OA 

T peut être considérée comme une mesure d’un g 

eff 

avec : 

, - 

geff % g " A6 A 6OA 

Aux pôles, 

A // OA , donc l’effet de la rotation de la Terre est nul, bien évidemment. Ailleurs : 

, OA- 2 r sin 

A 6 A 6 % A 8 8 . 

L’angle . désigne la co-latitude. L’ordre de grandeur de cette correction est donné par : 

A r % 0.03 ms 

2 " 2 

L’importance relative de cette correction vaut tout au plus :

10/12/2005 159 

2 

A r 

g 

% 0.3% 

Ainsi, dorénavant, « g » sera entendu comme étant redéfini avec cette correction. Les équations 

du mouvement de la dynamique terrestre ont alors la forme : 

a (P) % g " 2 A 6 v (P) 

r 

Ici, une seule force, la pesanteur, est mentionnée. L’extension de l’équation à plusieurs forces 

est évidente. 

r 

Mouvement vertical 

On considère une chute libre ou un tir vertical. Pour alléger les écritures, les coordonnées 

cartésiennes dans le référentiel relatif A y1 y2 y 

3 

seront dénotées (x,y,z). Les deux 

mouvements peuvent s’exprimer par les conditions initiales : v ( t % 0) % v 

r 

0ˆ z et r( t % 0) % z 0ˆ z . 

On projette l’équation du mouvement obtenue dans le repère (A, x,y,z ˆ ˆ ˆ ), en utilisant à l’angle 

de latitude " au lieu de la co-latitude #. 

4 " A cos < 1 

2 / 

A% 

0 

2 A sin < / 

3 0 

v 

rel 

, P- 

4 0 1 

2 / 

g = 0 

2 - g / 

3 0 

4 x! 

1 

2 / 

% y! 

2 z / 

3 ! 0 

. " A cos < x! 

2 A 6 vrel 

(P) % 2 . 0 y! 

. A sin < z! 

4 " 2 y! 

A sin < 1 

% 2 2 x! A sin < $ 2 z! 

A cos < / 

2 

" 2 A cos < y 

/ 

3 ! 0 

! !! x % $ 2 ! yA sin< 

" !! y % " 2 z! 

A cos < " 2 x! 

A sin< 

# !! z % $ 2 A cos < y! 

" g 

On peut intégrer la première équation :

10/12/2005 160 

, - " , - % $ , - " , - 

+ + 

x! t x! 

0 2 ( y t y 0 ) A sin< 

% 0 % 0 

x! 

% $ 2 A sin< 

8 y 

La troisième équation fournit : 

z ! (t) " z ! 

+ 

(0) % 

v 0 

4 1 

$ 2 A cos < 2 y(t) " y(0) / 

+ 

" g t 

2 / 

3 % 0 0 

# est devenu z! % v0 " g t $ 2 A cos < 8 y . On peut inscrire ces expressions de x! et z! dans la 

deuxième équation: 

!! y % " 2 v " g t $ 2 A cos < y A cos < 

C 

0 

C 

" 2 $ 2 A sin < y A sin < 

" devient % " A < , " - " A2 

D 

!! y 2 cos v g t 4 y 

2 

Comme A est très petit, on néglige tous les termes en A : 

!! y , " 2 A cos < v " g t 

, - 

0 

0 

D 

Ceci permet d’intégrer simplement, compte tenu des conditions initiales : 

4 1 

2 

1 

y(t) 2 cos v 3 1 

% " A < 2 0 t " g t 

2 6 / 

3 0 

y (t) représente une déviation de la verticale. Celle-ci est de l’ordre de grandeur de A . On peut 

2 

alors la substituer dans l’expression de z! . Il apparaît un terme en A qui doit être négliger pour 

maintenir la cohérence des approximations : 

z! 

% v " g t 

0 

2 2 4 1 

2 

1 

4 cos v 

3 1 

" A < 2 0 t " g t 

2 6 / 

%&&&&&&'&&&&&&( 

3 0 

négligé 

Par intégration, on tire : 

1 

z (t) % z0 $ v0 

t " g t 

2 

2 

Ainsi, dans la verticale, tout se passe comme si la Terre était fixe, à cet ordre d’approximation. 

On estime maintenant la déviation de la verticale dans le cas du tir vertical vers le haut, partant 

v 

de z 

0 

% 0 . Le sommet de la trajectoire est atteint quand z! % 0 , donc t % 

0 

. Le temps de la 

g 

2 v 

montée plus la descente vaut: T % 

0 

. Par conséquent, la déviation dans la direction y vaut : 

g 

+ 2 

3 

1 4 v0 1 8 v0 

( 

y (T) % " 2 A cos < ) v0 " g 

2 g2 6 g3 

& 

* '

10/12/2005 161 

+ 4 v ( 4 

% " 2 A cos < ) cos 

6 

& % " A < 

* g ' 

3 

3 3 

0 

v0 

2 2 

g 

Comme y (T) L 0 , il s’agit d’une déviation vers l’ouest. Une vérification expérimentale de 

l’effet de la rotation de la Terre a été conduite pour une chute verticale. La dérivation ci-dessus 

permet de montrer qu’une chute verticale donne lieu à une déviation vers l’est. Une chute sur une 

0 

hauteur de 158 m à la latitude O % 51 produit une déviation de 2.8 cm. 58 

Mouvement horizontal 

Il vient des équations du mouvement avec la contrainte z = constante : 

! !! x % $ 2 A y! 

sin < 

" !! y % " 2 A x! 

sin < 

Un petit croquis permet de se convaincre que ces équations prévoient une déviation vers la droite 

quand on regarde dans le sens de v , si sin< ! 0 , c’est-à-dire si le mouvement se passe dans 

l’hémisphère Nord. La déviation est à gauche dans l’hémisphère Sud. 

L’intégration de l’équation ! fournit : 

t 

t 

!! x dt % 2 A y! 

sin < dt 

g 

g 

0 0 

, - 

x ! (t) " x ! (0) % 2 A sin < y(t) " y(0) 

Avec les conditions initiales : x (0) = y (0) = 0 , il reste : 

x ! (t) % 2 A sin < y (t) $ x ! (0) 

Mais on ne connaît pas encore y(t). On passe donc à l’équation ". Si A % 0 , alors 

y (t) % y ! (0) 8 t , car le mouvement est rectiligne, uniforme et horizontal. Si A G 0 , alors y(t) 

diffère de y ! (0) 8 t par une quantité proportionnelle à A , au premier ordre d’approximation. 

Cette correction, quand elle est substituée dans l’équation pour x ! (t) fournit un terme 

proportionnel à A 2 . Alors, on néglige cette correction pour ne garder que des termes du premier 

ordre en A : 

x ! (t) % 2 A sin < y ! (0) 8 t $ x ! (0) 

C 

D 

Cette approximation peut être appelée un calcul de perturbation au premier ordre. Nous 

pouvons procéder de manière similaire pour l’équation " 

58 Gruber, Mécanique Générale, PPUR

10/12/2005 162 

y ! (t) % " 2 A sin < x ! (0) 8 t $ y ! (0) 

On peut alors intégrer encore une fois : 

C 

! 2 ! 

x (t) % A sin < y (0) t $ x (0) 8 t 

D 

! 2 ! 

y (t) % " A sin < x (0) t $ y (0) 8 t 

Pour mieux révéler le sens physique de cette approximation, on note s la déflection au temps 

t par rapport à la trajectoire rectiligne : 

, ! - , ! - 

2 2 

s % x " x (0) 8 t $ y " y(0) 8 t 

, ! ! - 

2 2 4 2 2 

% A sin < t y(0) $ x (0) % 

% At 8 sin < x ! (0) $ y(0) ! 8 t 

2 2 2 

Avec v % x ! (0) 2 $ y(0) ! 2 , la déviation s s’exprime comme : 

0 

s % At 8 sin < v 8 t 

0 

Le résultat est écrit de cette manière pour faire apparaître l’angle de rotation de la terre et la 

vitesse dans le plan parallèle au plan de l’équateur. On exprime ainsi le résultat naturel 

qu’aurait déduit un observateur regardant la Terre depuis un point « au-dessus » du pôle Nord 

dans un référentiel absolu. 

Interprétation géométrique pour un tir vers le Sud : la vitesse dans le plan normal à l’axe 

de la Terre vaut v sin< 

0 

Pendule de Foucault 

Foucault (1819 – 1868) veut montrer que la Terre n’est pas un référentiel d’inertie. Il fait 

construire un pendule de 67 m de long, avec une masse de 28 kg, suspendue dans le Panthéon, 

à Paris. La rotation du plan d’oscillation du pendule peut se comprendre immédiatement, en 

considérant un petit pendule monté sur une plateforme en rotation. 

Le plan d’oscillation est fixe dans le référentiel du laboratoire. Par contre, il semble 

tourner quand il est vu du référentiel de la plateforme en rotation. 

Les considérations du mouvement vertical à la surface de la Terre permettent d’estimer la 

vitesse de rotation du plan d’oscillation du pendule de Foucault. A tout moment de

10/12/2005 163 

l’oscillation du pendule, il y a déflection vers la droite. On applique la formule pour la 

déviation, prenant le temps zéro comme étant n’importe quel moment de l’oscillation : 

s % A sin < v (0) 8 t 2 

avec t considéré infiniment petit pour que la vitesse horizontale puisse être considérée constante 

s 

pendant le temps t. La déviation angulaire vaut : @; % % A sin < 8 t et par conséquent la 

v0 

t 

@; 

vitesse angulaire est donnée par: %O ! % A sin < . En 10 minutes @; vaut 

t 

sin

10/12/2005 164 

Le pendule de Foucault en coordonnées sphériques 

Les outils développés jusqu’ici suggèrent très naturellement une description plus rigoureuse 

du pendule de Foucault en utilisant le référentiel relatif à la Terre et des coordonnées 

sphériques dans ce référentiel. Il s’agit là d’un petit exercice de virtuosité dans l’application 

du formalisme introduit ! On commence par redéfinir le système d’axes Axyz de manière que 

la définition habituelle des coordonnées sphériques puisse être employée. 

Ainsi, on utilisera les coordonnées sphériques , r ,; , O - dans ce référentiel A x y z pour repérer 

le mouvement du pendule. L’angle O marquera la rotation du plan d’oscillation du pendule ! 

Le système d’axe A x y z est en rotation uniforme, de vitesse angulaire A par rapport à un 

référentiel absolu. Le formalisme du mouvement relatif aboutit à :

10/12/2005 165 

m a % T $ m g " 2 m A 6 v . 

r 

r 

On a une contrainte géométrique : L = r. On fait les approximations suivantes, qui reflètent la 

dynamique particulière au pendule de Foucault. Les angles d’oscillation sont petits. ,; LL 1- 

O ! 

est de l’ordre de A , donc est petit aussi. Par conséquent, tous les termes en ; 2, ;A, A2, OA ! , O ! 2 

peuvent être négligés. Il est difficile de projeter le vecteur " directement sur le repère des 

coordonnées sphériques. Il est alors plus facile de passer par des étapes intermédiaires. On peut 

faire un dessin auxiliaire pour faire une première projection : 

Ainsi, on peut écrire : 

A % " A sin < zˆ 

$ A cos < yˆ 

g % $ g zˆ 

Des dessins auxiliaires permettent d’établir les relations nécessaires entre les vecteurs x,y,z ˆ ˆ ˆ 

et le repère eˆ , eˆ , e ˆ . 

r ; O 

De ce graphe général, on peut extraire deux dessins plans :

10/12/2005 166 

Par inspection des figures on obtient: 

zˆ % cos ; er 

" sin ; e ; 

uˆ % cos; er " sin; 

e 

; 

yˆ 

% cosOeˆ 

$ sinOu ˆ = 

rO 

% sin O cos ; e $ sin O sin ; e $ cos O e 

; r 

O 

Les approximations annoncées impliquent : 

zˆ % er 

" ; e ; 

yˆ % sin O e $ ; sin O e $ cos O e 

; r 

O 

g r " g ; ; 

g , e e 

T % " T e 

r 

A % " A sin < e " ; e 

C 

r 

; 

$ A cos < + sin O e $ ; sin O e $ cosO 

e ( 

D 

* ; r 

O ' 

, sin cos sin - r 

, $ A sin < ; $ A cos < sin O - e ; 

% " A < $ A ; < O e 

$ A cos < cos O e O 

A , " A sin < e 

$ A cos < sin O e 

$ A cos < cos O e 

r 

; 

; 

Pour trouver le terme de Coriolis, on peut ne garder qu’un terme : 

v % r! 

e $ r ;! e $ r sin ; O! 

e 

r 

r 

; O 

, L ;! e $ L ; O ! e , L ;! 

e 

; O ;

10/12/2005 167 

A 6 vr 

Q " A L ;! sin < e " A L ;! 

cos < cos O e 

O 

L’accélération par rapport à la Terre est donnée par: 

a % ,!! 

r " r ! ; 2 " r sin 2 ; ! O 

2 

r 

- e 

r 

$ 2 

, r !! ; $ 2 r! 

;! " r sin ; cos ; O! 

- e 

; 

$ , r sin ; !! O $ 2 r! 

O ! sin ; $ 2 r ;! O ! cos ;- 

e 

O 

% " L ;! 2 " L ; 2 O! 

2 e 

, - r 

$ , L !! ; " L ; O! 

2 

- e; 

$ , L ; !! O $ 2 L ;! O! 

- eO 

, !! ; $ , ; !! O $ ; ! O ! - 

ar L e L 2 L e 

; O 

r 

Finalement, les équations du mouvement sont établies pour les trois directions du repère. 

e : 0 % " T $ m g $ 2 m A L ; ! cos < cos O 

r 

On trouve tout naturellement, à l’ordre d’approximation prescrit : T 

e : m L !! 

; ; % " m g ; 

g 

Dans cette direction, on a l’équation familière du pendule : !! " 

; % ; . 

L 

e O : L ; !! O $ 2 L ;! O ! % " 2A L ;! 

sin < 

Q m g . 

Il existe une solution avec !! O % 0 , pour laquelle O ! % A sin < . Les équations du mouvement 

autorisent aussi, bien sûr des mouvements plus complexes comme on les observe en pratique, 

quand le pendule n’oscille pas dans un plan.

10/12/2005 168 

Discussion qualitative, équilibres et petites oscillations 

Les principes de conservation (quantité de mouvement, moment cinétique, énergie mécanique 

totale) fournissent des relations entre les dérivées premières des variables définissant la 

position de points matériels. Du signe de l'énergie cinétique, on peut déduire un domaine de 

valeurs possibles des variables de position. Il peut être fort utile d'obtenir une appréhension 

qualitative du mouvement, pour différentes raisons. En particulier, avant de faire recours à 

une intégration numérique, il est important de connaître la nature de la trajectoire, par 

exemple si elle est liée ou infinie. Il faut aussi savoir judicieusement choisir les conditions 

initiales pour avoir un type de mouvement ou un autre. Il faut aussi avoir une idée de la 

sensibilité du système aux conditions initiales. L'approche présentée ici consiste à tirer profit 

des constantes du mouvement pour inférer de telles propriétés du mouvement. 

Mouvement rectiligne où la force dépend de la position. 

Soit x la coordonnée sur l'axe où le mouvement a lieu, F (x) la force que subit un point 

matériel de masse m. Si cette force dérive du potentiel V(x), on a la conservation de 

l’énergie donnée par : 

1 2 

E % m x! 

$ V ( x) 

2 

1 2 

Comme 

2 m x ! ! 0 en tout temps et pour tout x, on doit avoir : 

E " V ( x) S 0 7 E S V ( x) 

pour tout point de la trajectoire. La valeur de E est déterminée par les conditions initiales : 

1 2 

E % mvo 

$ V ( xo 

) 

2 

où v 

o 

est la vitesse quand le point matériel est à x 

o 

. On considère la forme ci-dessous pour le 

potentiel V(x). 

Il est parfois utile de se faire une idée intuitive du mouvement en assimilant ce problème à 

celui d'une bille pesante se déplaçant sans frottement sur un fil dans un plan vertical, la 

hauteur du fil en tout point x étant H(x) = V(x)/mg.

10/12/2005 169 

Si l'énergie est au niveau (voir figure) : 

E 1 : le point marqué x 1 est un point d'arrêt, le point matériel peut aller à l'infini depuis ce 

point dans la direction des x positifs, 

E 2 : le point matériel est en position d'équilibre, au point marqué x 4 , 

E 3 : oscillations entre les points marqués x 2 et x 3 , 

E 4 : le point matériel passe par-dessus le profil de potentiel. 

On se souviendra que là où V (x) est grand, 

E - V (x) est petit, et par conséquent la vitesse est faible. Quand E = V (x), il y a un point 

d'arrêt. 

Exemple 1 : une personne saute d'un pont, attachée à un élastique ("bungie jumping"). La 

personne sautant du pont est considérée comme un point matériel pesant de masse m. 

L'énergie potentielle due à la pesanteur est 

V % mg ( H " x) 

p 

L'énergie potentielle de l'élastique, supposé de constante k, est 

V 1 , - 2 

r 

% k x " l 

2 

L'énergie potentielle totale est : 

V ( ) 

1 , - 2 

tot 

% mg H " x $ k x " l 

2 

Son allure est la suivante :

10/12/2005 170 

La hauteur optimale du pont est celle qui correspond au niveau d'énergie E pour lequel le 

sauteur se retrouvera à vitesse nulle au bas du pont. On suppose qu'il se laisse tomber du pont 

sans vitesse verticale initiale. Le maximum de sa vitesse a lieu au moment où le potentiel est 

minimum, c'est-à-dire quand 

d 1 

V 

tot 

% mg (" 1) $ k 2 , x " l - % 0 

dx 

2 

k( x " l) 

% mg 

C'est le point d'accélération nulle. Ce n'est pas, comme certains pourraient le penser, la 

hauteur à la distance l du pont, quand l'élastique commence à agir. 

Exemple 2 : la rétro-diffusion de Rutherford 

Jusqu’en 1910, on s’imaginait que l’atome était formé d’un nuage de charges positives 

comportant la majorité de la masse, et d’électrons immobiles dans cette masse. Ainsi, la taille 

8 

de la charge positive était présumée de l'ordre de 10 " cm, la taille d’un atome. C’était le 

modèle de J.J. Thompson pour lequel il n’existait aucune preuve expérimentale. 59 

A cette époque, Rutherford demande à Geiger de faire l’expérience suivante : envoyer 

des particules N issues de la décomposition du polonium sur une cible constituée d’une 

feuille d’or de 100 à 400 nm d’épaisseur. 

Dans une première observation, Geiger voit les particules passer tout droit. Lors d’une 2 ème 

observation, il observe que certaines des particules reviennent en arrière. "A peine croyable 

!" pensait Rutherford, "comme si on tirait un boulet de 15$ sur un mouchoir et le boulet 

revenait vers vous !" Un calcul d’ordre de grandeur montre que la particule alpha fait des 

collisions avec des charges positives très localisées. C’était la démonstration de l’existence du 

noyau. 

59 (http://hep.ucsb.edu/people/hnn/physicists.html)

10/12/2005 171 

Pour une sphère de rayon R uniformément chargée, le potentiel électrostatique en fonction du 

rayon a l'allure suivante : 

Un résultat d’électrostatique permet de dire que le potentiel électrostatique de l'interaction entre 

une charge Ze et une particule N de charge 2e vaut à son maximum : 3 ( Z e )(2 e ) . On peut le 

2 R 

trouver en calculant la force de Coulomb en suivant la même démarche que celle présentée pour 

2 

le champ de la pesanteur. La force dans la sphère est proportionnelle à r. Elle va comme 1/ r à 

l’extérieur. On peut déduire le potentiel qui donne cette force en imposant un potentiel nul à 

l’infini et la continuité du potentiel à la surface de la sphère. Il en découle le maximum annoncé. 

Comme les particules N rebondissent, il faut que l’énergie cinétique soit plus petite que ce 

maximum: 

3 2 Ze2 

R f 

= 

2 1 m v 

2 

1 2 

2 

3 2 Z e 2 

m v f 

2 R f 10" 

12 cm 

2 2 R 

-10 

3 2 (100) , 4.8 × 10 - 

2 4 1 1 -8 -24 9 

2 

2 

10 , 6.6 × 10 g- , 1.6 × 10 cm/s- 

2 / 

3 0 

Cette valeur est 10'000 fois plus petite que le rayon atomique ! 

Orbites dans potentiel gaussien 

La nécessité de faire une discussion qualitative peut être vue dans l’analyse des mouvements 

possibles pour un point matériel soumis à un potentiel de la forme : 

2 

4 2 r 1 

U , r- 

% -Vexp 

2 " 

2 / 

3 d 0 

Il est facile de se convaincre que ce potentiel correspond à une force centrale. Le moment 

cinétique est donc conservé. Il est normal au plan de la trajectoire. On utilise alors les 

coordonnées cylindriques définies dans ce plan. Le moment cinétique est dans la direction z et 

2 

son module vaut : L % mr ! ; . L’énergie a la forme : 

2 

1 2 L 

E % mr! 

$ $ U ( r) 

2 

2 2mr 

On peut conduire une discussion qualitative pour la variable r comme s’il s’agissait d’un 

mouvement à une direction pour le potentiel effectif :

10/12/2005 172 

2 

L 

Veff 

% $ U ( r) 

2 

2mr 

On doit alors discuter la forme que prend ce potentiel effectif. Si L est très petit, on a 

essentiellement un puits. 

0.6 

0.4 

0.2 

0.5 1 1.5 2 2.5 3 

-0.2 

-0.4 

Mais quand L est pris de plus en plus grand, on trouve un potentiel de plus en plus positif, le 

minimum devient un point d’inflection horizontal (figure), puis pour L encore plus grand, le 

potentiel est décroissant monotonement. 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0.5 1 1.5 2 2.5 3 

Les résultats numériques peuvent être obtenus par une simulation par Mathematica, par exemple. 

Quand L est petit, le potentiel effectif présente un minimum bien marqué et par conséquent, il 

r t ,; t , v r et la trajectoire 

existe des orbites liées. Ci-dessous on présente le résultat pour , - , - , - 

y , x - . 

En choisissant une valeur très particulière des conditions initiales, celle qui donne lieu à un 

point d’inflection horizontal du potentiel effectif, on obtient une trajectoire selon laquelle le 

point matériel fait un tour dans le puits de potentiel et puis s'en va !

10/12/2005 173 

On ne trouverait pas cette solution en appliquant l’intégration numérique avec des conditions 

initiales prises au hasard. 

Equilibres 

Les positions d’équilibre peuvent être déterminées par les équations du mouvement en 

posant a % 0 et v % 0 . Parfois, on s’intéresse à un équilibre relatif et l'on pose v rel % 0 . Par 

exemple, on peut chercher la position d’équilibre relatif d’une bille dans un anneau en rotation 

autour d’un grand diamètre vertical ou l’inclinaison d’un pendule sur une porte en rotation 

uniforme. 

Soit 0 

F x 0 % 0 . La stabilité de cet équilibre dépend du 

signe de F ( x ) au voisinage de x 0 . Si F( x ) s’oppose à l’éloignement de x 0 , l’équilibre est 

stable. Sinon il est instable. 

x une position du point matériel où , - 

On a m !! x % F ( x) et F ( x0) % 0 

Soit 

Donc 

u % x " x 0 

m u!! 

% F '(0) 8 u 

F ( x) Q F ( x0) $ F ' 8 ( x " x0) 

%'( x0 

x 

0 

C’est une équation du mouvement qui a la forme de celle de l’oscillation harmonique, si 

F '(0) f 0. Sous cette condition, l’équilibre est donc stable. 

Quand on a un système mécanique dont l’énergie est conservée, les conditions d’équilibres 

deviennent très intuitives. En particulier, si l’énergie est légèrement supérieure à un minimum de 

potentiel V ( x ) , le mouvement est limité à un petit domaine.

10/12/2005 174 

Dans le cas du potentiel considéré déjà, E 2 est égal au minimum. Alors le mouvement est limité 

dV 

à un point. C’est une position d’équilibre. En effet, de % 0 (la condition pour trouver un 

dx 

extremum), on a en ce point, F % 0 donc a % 0 . Si, au contraire, E est à un maximum et si une 

petite perturbation diminue E , le point matériel s'éloigne du point d’équilibre. Il n’est pas 

confiné au voisinage de ce point. L’équilibre est instable. 

Le mouvement autour d’un équilibre stable peut être analysé à partir de la conservation 

d’énergie. Soit x 0 un équilibre stable. Alors on a : V '( x 0) % 0 avec V '', x 0 - ! 0 . Le 

développement de Taylor de V ( x ) au 2 ème ordre donne : 

1 

V ( x) % V ( x , -, - 2 

0) $ V '' x0 x " x0 

E , 

1 m x! 

2 

$ V ( x 1 , - , - 2 

0) $ V '' x0 x " x0 

2 

2 2 

dE 

Comme E est une constante, % 0 , et par conséquent : 

dt 

m !! x % " V '' x x " x 

, - , - 

0 0 

Soit u x x0 

k % V '' x0 

! 0 , il vient : 

m u!! % " k u . C’est l’équation d’un oscillateur harmonique ! L’importance du modèle de 

l’oscillation harmonique en mécanique vient en partie du fait que les petites oscillations autour 

de tout équilibre stable sont pareilles à celles d’un oscillateur harmonique ! 

% " , u représente l’écart à l’équilibre. En posant : , - 

La fréquence des petites oscillations est déduite de la pulsation 

k 

A % % 

m 

, x - 

V '' 

m 

0

10/12/2005 175 

Modèle d’hystérèse 

On considère les positions d’équilibre d’un métronome. 

Démonstration d’auditoire : un modèle mécanique du métronome permet de mettre en 

évidence les deux positions d’équilibre. La commutation d’une position à l’autre est obtenue 

en inclinant le support. 

L’inclinaison du support peut être considérée comme une excitation du système, et 

l’orientation de la barre comme sa réponse à cette « excitation ». On observe que l’orientation 

de la barre dépend de « l’histoire » de son support : cette orientation dépend d’où l’on vient 

avec l’inclinaison du support. On a là un comportement dit « d’hystérésis » ou 

« d’hystérèse. » 

On modélise un système mécanique un peu différent, qui a l’avantage de simplifier les 

expressions en gardant l’essence du phénomène. On imagine un métronome fait de deux 

ressorts qui coulissent sur un arc de cercle. Alors l’énergie mécanique des ressorts s’écrit de la 

1 2 

forme : Ei 

% k V xi 

où V xi 

est l’allongement du ressort i. La longueur au repos du ressort 

2 

> r 

est définie par x % . Ainsi : 

2 

V x1 

% r( N " ;) 

, V x2 

% r( "N $ ;) 

. 

De plus, l’énergie potentielle de la pesanteur s’écrit : 

Ep 

% mgh % mgl(cos N " 1) 

Au total on a une énergie potentielle 

2 

, - 2 

U % kr N " ; $ mgl (cosN " 1) 

U 1 2 

V % % A , N " ;- 2 

$ cos N " 1 

mgl 2 

2 

2 2kr 

avec A % 

mgl

10/12/2005 176 

Pour éviter de faire une analyse qualitative avec des fonctions trigonométriques, on va 

supposer que l’on peut considérer des petits angles N . Un développement limité au 2 ème ordre 

fournit alors : 

4 

, - 

N 1 1 

V J $ N A " 1 " NA ; $ A ; 

4! 2 2 

2 2 2 2 2 

Si A L 1, à inclinaison du support nul, ; % 0 : 

4 

, - 

N 1 2 2 

V J $ N A " 1 

4! 2 

Le potentiel a une forme de « double-puits ». Les profondeurs des puits de potentiel sont 

égales, les deux positions du potentiel sont équivalentes. 

E 

C min 

représente l’énergie cinétique minimum pour que le métronome se balance d’un côté à 

l’autre des deux équilibres. 

Si ; ! 0 , alors on peut écrire 

4 

, - 

N 1 2 2 2 1 2 2 

V J $ N A " 1 " ( NA ; " A ; ) 

4! 2 2

10/12/2005 177 

L’inclinaison du support ajoute au potentiel un terme linéaire en N , donc une droite sur le 

graphique, dont la pente est proportionnelle à ; . Si ; augmente, un des puits va devenir de 

moins en moins profond, jusqu’au point de s’effacer. Il ne restera plus qu’une seule position 

d’équilibre. A ce point, le puit devenu plus profond est la seule position d’équilibre possible, 

le système fait un saut pour arriver à cette position ! 

Kepler 

Discuter qualitativement les orbites possibles d'un point matériel sous l'effet d'une force 

centrale dérivant d’un potentiel proportionnel à l'inverse de la distance au point central. 

Le potentiel V est en 1 P (P : distance au centre) et centripète (cas de forces 

. 

gravitationnelles), ainsi on définit : V % " , avec . un coefficient de proportionnalité. 

r 

Pendule chargé électriquement 

Une charge ponctuelle q , pesante, de masse m, se déplace le long d'un cercle de rayon R dans 

un plan vertical. Une charge q est fixée au point le plus bas du cercle. 

Aide : pour deux charges q séparée d’une distance r, le potentiel sera pris comme V(r) = q2/r 

a) Appliquer la conservation de l’énergie mécanique pour identifier les positions d’équilibre. 

; 

b) Trouver explicitement les positions d’équilibre stable. Aide : utiliser la variable u % sin( ) 

2 

1 2 1 

c) Si E % A ! ; $ B ( ; 

0 

$ @; 

) 

2 2 

avec ; la position angulaire d’équilibre, trouver la période 

0 

des petites oscillations @; 

autour de cet équilibre. 

d) Facultatif : trouver A et B pour ce problème.

10/12/2005 178 

Les collisions et la notion de section efficace 

Les collisions sont des phénomènes pour lesquels des informations qualitatives peuvent être 

obtenues sur la base des principes de conservation et de symétrie, sans connaître les détails de 

l'interaction mutuelle entre deux objets entrant en collision ou se percutant. 

La notion de section efficace de collision mérite d’être introduite ici, puisque tout l’outillage 

de la mécanique nécessaire est déjà présenté et que cette notion revient un peu partout en 

physique, que ce soit dans l’étude des particules élémentaires, la structure du noyau, ou 

plusieurs méthodes d’investigation de la matière condensée. 

Deux boules de diamètres identiques, une pleine, une creuse. Quand on laisse tomber les deux boules 

en même temps, la lourde au-dessus de la légère, alors la légère rebondit très haut. 

Définition 

On dit qu'il y a collision quand deux ou plusieurs objets se rapprochent et subissent une 

interaction mutuelle. En règle générale, on présume que les forces d’interaction sont 

négligeables quand les objets sont suffisamment éloignés. On peut donc distinguer un 

« avant » et un « après » la collision. Contrairement à l’usage courant du terme, « collision » 

ici n’implique pas forcément qu’il y ait un impact ! Ainsi, le problème d’une comète qui 

passerait au voisinage du soleil peut être vu comme une collision. 

Collisions élastiques et inélastiques 

Un système mécanique peut avoir des degrés internes de liberté. Imaginons deux plots sur un 

rail à air. L’un d’eux est muni d’un ressort buttoir. Quand le ressort se comprime, un crochet 

l’empêche de se détendre à nouveau. Quand les deux plots se percutent, le ressort se 

comprime. De l’énergie est emmagasinée sous forme d’énergie élastique (celle du ressort). 

L’énergie cinétique n’est pas conservée.

10/12/2005 179 

Deux plots, l’un muni d’une pointe, l’autre d’un buttoir en pâte à modeler. Les plots restent joints 

après la collision. 

On appelle collision élastique une collision où l'énergie cinétique est conservée. Si elle ne 

l’est pas, la collision est dite inélastique. Il faut bien prendre note que seules des conditions 

très particulières impliquent une collision élastique. 

Conservation de la quantité de mouvement 

Si l'énergie cinétique n'est pas toujours conservée, la quantité de mouvement d’une collision 

entre deux objets isolés l’est nécessairement. En effet, la conservation de la quantité de 

mouvement d’un système isolé découle des grands principes fondamentaux de la mécanique. 

Nous l’avons vu en tant que 3 ème loi de Newton comme décrivant une propriété fondamentale 

des forces. On pourrait aussi l’obtenir en considérant des principes très généraux de symétrie. 

La loi de conservation s’étend aux systèmes non isolés mais dans lesquels un plan ou une 

direction fixe de l’espace où les forces peuvent être négligées. C’est le cas notamment d’une 

table à air parfaitement horizontale. Le système n’est pas isolé au sens strict, mais on peut en 

général négliger les frottements pour décrire des impacts entre plots. 

Finalement, il faut signaler encore que dans le cas d’un impact, c’est-à-dire d’un choc dont la 

durée est très courte, il est possible d’invoquer la conservation de la quantité de mouvement 

« juste » à l’impact. Plus formellement, l’argument peut se développer de la manière suivante. 

On part de la loi générale pour un système de point matériel : 

dP % F 

ext 

dt 

On intègre cette loi sur un intervalle de durée ` autour du temps t: 

t$ ` 

t$ 

` 

dP 

dt 

ext 

g % dt 

dt 

g F 

t" ` 

t" 

` 

Si le choc est instantané on peut poser : 

t$ 

` 

dP 

g dt % Pfinal - P 

init 

dt 

t" 

` 

et 

t$ 

` 

ext 

g F dt % 2` 

F 

t" 

` 

ext 

Dans la mesure où le choc est court, on peut faire tendre ` vers zéro. La force extérieure reste 

de valeur finie. Il résulte alors qu’on peut poser : P - P % 0, c’est-à-dire la conservation 

de la quantité de mouvement. 

final 

init 

Analyse d’une collision élastique 

Quand une collision est élastique, il est possible de tirer beaucoup d’informations sur le 

mouvement sur la seule base des principes de conservation de la quantité de mouvement et de 

l’énergie cinétique. 

Considérons la collision élastique de deux points matériels de masses m 1 et m 2 .

10/12/2005 180 

Prenons pour référentiel celui où m 2 est à l'arrêt avant le choc. L’analyse porte sur l’état du 

mouvement des deux particules bien avant (état initial) et bien après la collision (état final), 

quand ils sont libres de force. La conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie 

cinétique s’écrit : 

p $ p % p $ p 

1i 1i 1f 1f 

K $ K % K $ K 

1i 1i 1f 1f 

Les indices i et f se réfèrent aux états initial et final. En projetant sur les axes x et y du 

référentiel, on obtient le système d'équations 

1) p % p cos ; $ p cos ; 

1i 1 f 1 2 f 

2) 0 % p sin ; " p sin ; 

3) 

1 f 1 2 f 

2 

p p p 

1i 

% $ 

2m 2m 2m 

1 1 

2 2 

1 f 2 f 

Elevons au carré les équations 1 et 2 : 

2 

2 2 

, p1 i 

" p1 f 1 - % p2 

f 

2 2 2 2 

p1 f 

; 

1 

% p2 

f , " ; 

2 - 

1) cos ; cos ; 

2) sin 1 cos 

Eliminons 

2 

Eliminons 

2 

2 

2 

2 2 2 

; : , p " p cos ; - % p " p sin ; 

1 

1i 1 f 1 2 f 1 f 

p avec l'équation 3 : 

2 f 

2 

4 m 1 

2 2 

4 m 1 

2 

p1 f 21$ / " 2 p1 i 

p1 f 

cos ; 

1 

$ p1 

i 21" / % 0 

3 m1 0 3 m1 

0 

2 

2 

2 

p1 f 4 m 1 p 

2 1 f 4 m 1 

2 

1 2 cos 

2 2 $ / " ; 

1 

$ 21" / % 0 

p1 i 3 m1 0 p1 i 3 m1 

0 

1 2 

2 

p1 f m 

W 

1 l + 

2 

4 m 1( 

X 

2 l 

% Ycos ; 

1 

m ) cos ; 

1 

" 21" 

2 /& 

Z 

p1 i 

m1 $ m2 l * 3 m1 

[ 0' 

l\ 

2 2 

v1 f m W 

1 l 

2 m1 

" m X 

2 l 

% Ycos ; 

1 

m cos ; 

1 

" 

2 Z 

v1 i 

m1 $ m2 l[ m1 

\ l

10/12/2005 181 

Si v 1i est donné (avec v 2i =0), on trouve ainsi une relation entre le module v 1f de la vitesse 

finale de la particule 1, l’angle final de déviation ; 

1 

et la vitesse initiale v 1i . Pour déterminer 

; 

1 

et v 1f , il faut encore l'information sur le détail de la force d'interaction. 

En revanche, si l'on impose en plus que le mouvement est rectiligne, c’est-à-dire ; 

1 

= 0 alors 

il vient : 

2 2 

v1 f m W 

1 l m1 

" m X 

2 l 

% Y1 m 1" 

2 Z 

v1 i 

m1 $ m2 l[ m1 

l\ 

W 1 

v1 

f l 

% Y4 m1 " m 1 

2 

v1 

i l 2 / 

[3 m1 $ m2 

0 

Si v 1f = v 1i alors v 2f = 0. Cela revient à dire qu'il n'y a pas de collision. Ce sont les 

manipulations algébriques qui ont introduit cette solution triviale. 

Retravaillons l'équation de l'énergie cinétique pour trouver v 2f en fonction de v 1i dans ce cas : 

1 2 1 2 1 2 

m1 

v1 i 

% m1 v1 f 

$ m2 v2 

f v 

2 2 2 

2 

2 m1 

2 2 m 4 

1 2 

v1 

f 

1 

v2 f 

% , v1 i 

" v1 f - % v1 

i 21" 

2 / 

m2 m2 v v 

3 1i 

0 

Si m 1 = m 2 alors v 1f = 0 et v 2f = v 1i 

banc à air et des chocs élastiques. 

, m1 " m2 

- 

, $ - 

2 

2 m 4 1 

1 2 

2 f 

% v1 

i 

1" 

2 

m 2 

2 m1 m / 

2 

% 

3 0 

2m 

v 

1 

2 f 

1i 

, m1 $ m2 

- 

. C'est le résultat observé lors des expériences avec le 

Si m 1

10/12/2005 182 

Collisions inélastiques 

On ne peut plus appliquer l'équation de conservation de l'énergie cinétique s’il s’agit d’un 

choc inélastique, par définition ! En revanche, on peut vouloir caractériser la collision par 

l'énergie dégagée par la collision. On écrit : 

K $ Q % K $ K 

1i 1 f 2 f 

pour avoir Q % K 

final 

" Kinitial 

. Q est ainsi défini comme la production d’énergie cinétique. Q 

est positif si de l’énergie est libérée par la collision. 

Collisions parfaitement inélastiques 

Considérons le cas où les deux masses sont accolées après la collision, c'est-à-dire qu'elles se 

déplacent ensemble. 

Notons p 

1 

la quantité de mouvement initiale d'un des points matériels. On considère ici que 

l'autre est immobile initialement. Après le choc, la masse du système des deux masses est : 

m1 $ m2 

. 

La conservation de la quantité de mouvement implique que leur vitesse vaut 

m 

p1 

$ m 

1 2 

L'énergie cinétique n'est pas conservée dans un tel choc ! En effet, on a : 

K 

i 

% 

1 

2 

m v 

1 

2 

1 

2 

2 

4 m1v 

1 

1 

m1 

2 

1 2 2 / 

1 

m1 $ m2 , m1 $ m2 

- 

1 1 

K 

f 

% , m $ m - 8 % 

v 

2 3 0 2 

1 2 2 

Q % K 

f 

" Ki 

% " v1 

2 m1 $ m2 

Le principe de la conservation de la quantité de mouvement implique pour ce cas-ci que Q est 

négatif. Il y a donc une perte d’énergie cinétique. L’énergie est emmagasinée dans les 

déformations plastiques de la pâte à modeler, ou dans tout autre mécanisme assurant 

l’accolement des deux plots. 

1 

m m 

Modèles pour les collisions de sphères 

Il serait malheureux de croire que toute la mécanique générale est une très vieille science 

bien établie. Des siècles après les expériences de Newton, il y a encore des questions 

ouvertes. 

Par exemple, un article de G. Barnes dans la revue Physical Review de 1957, donc 

relativement récemment sur l’échelle de temps du développement de la mécanique 

rationnelle, présente des mesures de collision entre des sphères métalliques. Cette revue de la 

littérature montre les contradictions entre les ouvrages prétendument de référence.

10/12/2005 183 

Un modèle couramment utilisé consiste à dire que dans une collision inélastique, les vitesses 

normales à la surface de collision obéissent à la loi empirique: 

, - 

v " v % e v " v 

2 f 1 f 1i 2i 

où le coefficient e est appelé coefficient de restitution. 

Problèmes à deux corps 

Il est important de réaliser que l’analyse ci-dessus consiste en une discussion qualitative d’une 

collision. Elle fournit une information partielle sur l’état final possible étant donné un état 

initial. Le système est isolé (aux approximations près mentionnées) et l’interaction mutuelle 

est négligeable dans l’état initial et final. De plus, rien n’est spécifié de l’interaction mutuelle 

pendant la collision. 

Il existe cependant de nombreuses situations physiques où l’interaction est connue et il est 

alors possible de spécifier plus précisément l’état final en fonction de l’état initial. 

Notamment, on peut déterminer la section efficace de collision, notion qui va être introduite 

ci-dessous. Souvent en physique, une telle problématique exige une description quantique de 

la collision. C’est le cas par exemple de l’interaction entre un électron de conduction et une 

impureté dans un solide. Toutefois, il est utile de se familiariser avec le concept de collision 

dans le cadre de la phénoménologie familière de la mécanique. On va ainsi traiter la collision 

entre deux particules chargées positivement. 

Si les deux objets en collision, représentés par des points matériels, ont des masses voisines, il 

n’est pas possible de considérer que l’une des masses est une cible fixe. Nous sommes en 

présence d’un problème dit « à deux corps ». Si les deux points matériels sont libres de toute 

autre force que l'interaction coulombienne entre elles, alors la quantité de mouvement du 

centre de masse reste inchangée dans la collision. Pour cette raison, il est judicieux d'analyser 

une telle collision dans le référentiel du centre de masse. 

Dans le référentiel du centre de masse, les quantités de mouvement suivent la 

règle_ P' % N 

0 . Par conséquent, les collisions vues dans le référentiel du centre de masse ont 

toujours l'allure suivante, avant la collision : 

Et après :

10/12/2005 184 

Masse réduite 

On considère, formellement, deux masses m1 

et m2 

soumises à une interaction mutuelle, la force de la particule 2 

sur la particule est notée 

implique : 

int int 

12 21 

int 

F 

12 

et celle de la particule 1 sur la 2, 

int 

F 

21 

. La 3 ème loi de Newton 

F % " F . On peut appliquer la 2ème loi de Newton à chaque point matériel et écrire : 

m !! r % F 

int 

1 1 12 

m !! r % F 

int 

2 2 21 

Il est bon, dans tout problème de physique, d’utiliser autant que possible ce qu’on sait des 

symétries d’un problème. 60 Ici, peu importe où ces deux masses sont situées dans l’espace, la 

seule chose qui détermine le mouvement pour nous, c’est le vecteur joignant ces deux masses. 

On opère donc un changement de variable qui introduit r % r1 " r 

2 

. De plus la 3 ème loi de 

Newton implique la conservation de la quantité de mouvement totale 

m1v 

1 

$ m2v 

2 

Par intégration, il en découle que le vecteur : 

m1r 

1 

$ m2r2 

R % 

m1 $ m2 

décrit un mouvement rectiligne uniforme. On reconnaît en R la position du centre de masse. 

En multipliant l'équation du mouvement pour r 1 par m 2 et celle pour r 2 par m 1, on obtient: 

m m 

1 2 

, m $ m - 

1 2 

!! r % F 

int 

12 

Tout se passe comme si un point matériel dont la masse serait la masse réduite, définie par 

^ % m 1m 2 

m 1 

$ m 2 

subissait la force 

^ !! % 

r F 

int 

1,2 

int 

F 

12 

: 

Pour le problème de deux charges électriques comme pour l’interaction gravitationnelle entre 

deux masses, la force est centrale, donc le moment cinétique défini pour les coordonnées de r 

est conservé. Cela implique entre autre que le mouvement est plan. On a débuté l’analyse du 

problème avec 6 variables a priori indépendantes. En invoquant les conservations des 

60 Stephanie Franck Singer, Symmetry in Mechanics, Birkäuser

10/12/2005 185 

grandeurs physiques, qui comme il sera vu dans un cours plus avancé, correspondent à des 

symétries du problème, il est possible de réduire l’analyse à deux coordonnées (mouvement 

plan) avec en plus la restriction que le moment cinétique est conservé ! 

Energie cinétique 

L’énergie cinétique, par définition, vaut : 

1 1 

K % m r! $ m !r 

2 2 

1 1 2 2 

Le changement de variable inverse est facilement obtenu : 

^ 

r % " r $ R 

1 

2 

m 2 

m 1 

^ 

r % r $ R . 

Les vitesses se déduisent immédiatement par dérivation. L’énergie cinétique peut s’écrire : 

2 

1 ^ 2 1 2 

1 

r! 

2 

1 

R! 

2 m1 

2 

2 

1 ^ 2 1 2 

m2 r! 

m 

2 

2 

R! 

2 m2 

2 

2 2 

1 4 ^ 1 1 4 ^ 1 

K % m1 2 r ! + R! / $ m2 

2 " r ! + R! 

/ 

2 3 m1 0 2 3 m2 

0 

K % m $ m 

$ $ 

Il vient en regroupant les termes : 

1 1 

K % m1 $ m2 

VCM 

$ v 

2 2 

avec v % r! % r! 1 

" r! 

2 

2 2 

, - ^ 

Ce résultat permet de mieux comprendre ce qu’on appelle l’énergie disponible dans une 

collision. Il se peut qu’on veuille analyser une collision susceptible de déclencher un 

mécanisme quelconque sous la condition qu’une énergie Q au moins soit absorbée (Q < 0). La 

conservation de la quantité de mouvement totale implique que le centre de masse maintient 

son énergie cinétique. 

1 2 1 2 

MVCM 

% MVCM 

2 2 

avant 

après 

1 2 

La seule énergie disponible pour le déclenchement est donc : 

2 ^ v . Il faut 1 

^j 2 S Q , soit : 

2 

1 

m1v 

2 

4 m 1 

S Q 21$ 

/ 

m 

2 1 

3 2 0 

1 2 

On constate qu'il ne suffit pas d'avoir 

1 

2 m v S Q .

10/12/2005 186 

Cela vient du fait qu'une partie de cette énergie cinétique est celle du centre de masse, et 

qu'elle ne changera pas avec la collision. 

Introduction à la notion de section efficace 

La notion de masse réduite permet de faire le lien entre une collision avec une cible fixe et 

celle de deux masses en interaction mutuelle. On considère, parce qu’il est plus simple à 

visualiser, le cas d’un projectile en interaction avec un centre fixe. On pose ainsi qu’une 

K 

masse m est soumise à un potentiel répulsif : V ( r) 

% (K > 0). Formellement, il s’agit 

r 

d’intégrer l’équation du mouvement : 

2 

L K 

mr !! " % 

3 2 

mr r 

Par analogie avec le cas de la gravitation, l’orbite a la forme : 

1 " Km 

q % % $ C cos( ; $ ; 

2 

0) 

r L 

2 

avec L % mr ! ; . Les constantes L et C sont déterminées par les conditions initiales. Comme K 

est positif, le potentiel est répulsif. Une analyse qualitative montre que pour toute condition 

initiale l’orbite est nécessairement non liée, donc une hyperbole. On peut orienter le système 

d’axe pour que ; 

0 

=0. Le point de rebroussement est donné par : 

1 " mK 

% $ 

2 C 

r L 

1 

Le point de rebroussement est aussi celui pour lequel l’énergie cinétique n’a que le terme 

centrifuge ( r ! % 0 ), et l’énergie totale à ce point vaut : 

2 

K L 

$ % E 

2 

r mr 

1 

2 

De là on tire pour C : 

C 

2 

2 2 

m K 2mE 

% $ 

4 2 

L L 

La figure ci-dessous montre une trajectoire hyperbolique. Le point O désigne le centre de 

force. Il est à l’origine du système de coordonnées (r=0). Dans cette représentation des 

coniques en coordonnées polaires, il faut noter que le croisement des asymptotes n’est pas au 

point O, tout comme le Soleil est au foyer de l’ellipse d’une orbite planétaire, et non pas en 

son centre. 

Alors que la position des asymptotes n’est pas triviale à obtenir, la direction de l’asymptote 

est donnée immédiatement par la valeur N de l’angle des coordonnées polaires ; telle que : 

" Km 

0 % $ cos( ) 

2 C N 

L

10/12/2005 187 

Par conséquent 

2 

tan 

: mK 

% cotN 

% 2 

2 2EL 

1 2 

On considère une particule incidente avec une énergie E % mv0 

. La distance de la 

2 

trajectoire asymptotique incidente avec le centre de répulsion s’appelle le paramètre d’impact, 

ici noté s. Le moment cinétique (constante du mouvement) a donc la valeur L % mvos 

. Des 

expressions de E et L en terme de la vitesse initiale et du paramètre d’impact, on tire pour 

l’angle de déviation : 

: K 

tan % 2 msvo2 

En résumé, par le fait que la loi d’interaction est parfaitement connue, et l’équation 

d’évolution peut être résolue analytiquement, on obtient une relation bijective entre le 

paramètre d’impact et l’angle de déviation. 

Dans la pratique, une expérience de diffusion fait intervenir plusieurs centres diffuseurs et un 

faisceau de particules incidentes. C’est le cas par exemple de l’expérience de Rutherford : un 

faisceau de particules N entre en collision avec les noyaux d’une feuille d’or. Ce qui est 

mesuré, c’est la probabilité d’avoir un faisceau diffusé dans une direction entre un angle : et 

: $ d: . 

Le faisceau incident est tel que toutes les valeurs de s sont équiprobables. La probabilité que 

le faisceau émergeant est à un angle entre : et : $ d: est donc proportionnelle à la surface 

de l’anneau compris entre s et s+ds. Cette surface dp % 2> 

sds est appelée une section 

efficace.

10/12/2005 188 

En d’autres termes, le sens d’une section efficace comme celle-ci est le suivant : si un flux de 

F particules par unités de surface est incident sur la cible, le nombre de particules qui sortiront 

entre les angles : et d: est donné par F dp . 

En première analyse, il est supposé que les centres diffuseurs sont loin les uns des autres. On 

peut alors traiter la feuille d’or de l’expérience de Rutherford comme s’il s’agissait de 

plusieurs centres diffuseurs indépendants, et on néglige les diffusions multiples. Si la densité 

de centres diffuseurs par unité de surface vaut n, alors le nombre de particules diffusées est 

proportionnel à n. Finalement, si N particules sont incidentes, le nombre dN de particules 

diffusées dans un angle entre : et : $ d: est donné par : 

dN 

N 

% n d p 

Cette démarche est très générale. Elle est appliquée dans toutes sortes de domaines de la 

physique : diffusion de neutrons (par exemple pour étudier les vibrations d’atomes dans un 

solide), diffusion électronique (déterminant par exemple la résistivité d’un métal), diffusion 

de particules de hautes énergies sur des cibles solides (donnant des informations par exemple 

sur la structure des noyaux.) 

On peut concrétiser cette notion de section efficace en utilisant le résultat ci-dessus liant 

l’angle de diffusion : au paramètre d’impact. Par différentiation, on a : 

1 

d: % " 

4 : 1 

2cos 2 / 

3 2 0 

K 

2 2 

2 ms v0 

ds 

En regroupant les expressions de s et ds en termes de : et d: il vient pour la section 

efficace : 

2 

, - 

K 2> 

sin 

dp % 4 2 1 d 

2 / 

: : 

3 2mv0 

0 4 4 : 1 

sin 2 / 

3 2 0 

S’il fallait se préoccuper du recul de la cible, alors il faudrait conduire une analyse qui suit la 

description du problème à deux corps. Le résultat ci-dessus serait celui obtenu pour la masse 

effective dans le référentiel centre-de-masse.

10/12/2005 189 

Le changement de variable fournit les relations entre les vitesses nécessaires pour trouver 

l’angle dans le référentiel d’inertie choisi. Si les masses sont égales : 

r! % " r! 

$ V 

1 r! % r! 

$ V 

2 

Un peu de trigonométrie fournit les relations entre l’angle : et les angles ; 

1 

et ; 

2 

. 

Modèle de choc élastique 

Un chariot assimilable à un point matériel de masse m, est mobile sans frottement sur un plan horizontal; ce 

chariot est muni à son extrémité d'un ressort de raideur k pouvant se comprimer. Par l'intermédiaire de ce ressort, 

le chariot, animé d'une vitesse v 0 , heurte un obstacle fixe; le ressort se comprime alors, puis se détend, et le 

chariot repart en sens inverse. On admettra que le choc est parfaitement élastique, c'est-à-dire que l'énergie 

mécanique se conserve. 

a) Déterminer le laps de temps pendant lequel le ressort reste en contact avec l'obstacle (durée du choc). 

Quel est l'enfoncement maximal du ressort? Quelle est la force maximale exercée par le ressort ? 

b) Que deviennent les expressions précédentes lorsque k -> infini; que devient le produit F M 8@ t de la 

force maximale par la durée du choc ? 

c) Quelle est la vitesse v' après le choc ? En déduire sans calcul la valeur de l'intégrale : 

est l'instant caractérisant le début du choc, et F la force exercée par le ressort. 

t 

0 $@ 

t 

g 

0 

t 

Fdt où to 

Rebond de deux balles 

On lâche, sans vitesse initiale, deux balles de même rayon, de masses m 1 

et m très différentes m >> m , le 

2 1 2 

centre O 1 

de m 1 

étant situé sous le centre O 2 

de m 2 

, à l'aplomb de celui-ci. Soit h la hauteur de chute; à 

cause de la résistance de l'air, la balle la plus lourde rebondit sur le sol un petit peu avant que la balle la plus 

légère ne l'atteigne. En supposant tous les chocs élastiques, montrer que la balle la plus légère rebondit à une 

hauteur h' = 9 h .

10/12/2005 190 

La grosse Bertha 

Si la ''Grosse Bertha'' était un canon de 10 tonnes qui lançait des boulets de 10 kg à 40 km (portée au sol), quelle 

était l'énergie que son dispositif d'amortissement devait absorber à chaque fois qu'un boulet était envoyé. 

Choc inélastique rectiligne 

Deux plots sur une table à air (frottements et pesanteur négligés) entrent en collision. Les plots sont considérés 

comme des points matériels. Avant le choc, un plot est au repos sur la table, l'autre a une vitesse vi. Après le 

choc, on suppose que les plots s'éloignent les uns des autres selon l'axe défini par la trajectoire du plot entrant en 

collision avec le plot au repos. Le coefficient de restitution, c'est-à-dire le rapport 

vitesse relative d' 

éloignement 

% e 

vitesse relative de rapprochement 

est supposé connu. 

a) Quelle grandeur est conservée dans le choc. 

b) Quelles sont les vitesses finales des deux plots après le choc ?

Lectures Lectures obligatoires obligatoires 1

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