TD 21. Espaces euclidiens.

PTSI2 – 2012/2013
Lycée La Martinière-Monplaisir – Lyon
TD 21. Espaces euclidiens.
Exercice 1. 1) Montrer que pour tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n ,
( n
)
∑ 2 n∑
a) x i ≤ n x 2 i .
b)
i=1
(
∑ n
) 2
i x i ≤
i=1
i=1
n(n + 1)
2
n∑
x 2 i .
i=1
2) Pour f et g éléments de C 0 ([0, 1], R) et n ∈ N, on pose I n =
Montrer que I 2 n+1 ≤ I n.I n+2 .
∫ 1
0
f n (t)g(t)dt.
Exercice 2. On pose, pour tous éléments u = (x, y) et u ′ = (x ′ , y ′ ) de R 2 :
ϕ(u, u ′ ) = xx ′ + 3yy ′ − xy ′ − x ′ y.
a) Vérifier que ϕ est un produit scalaire sur R 2 . On note N la norme associée.
b) On note (e 1 , e 2 ) la base canonique de R 2 . Calculer ϕ(e 1 , e 2 ), N(e 1 ) et N(e 2 ).
c) Déterminer une base orthonormée pour ϕ.
d) Existe-t-il une base orthogonale à la fois pour le produit scalaire usuel et pour ϕ ? Même question
avec "orthonormée" à la place de "orthogonale".
Exercice 3. a) Montrer que < P, Q >=
2∑
k=−2
P (k)Q(k) définit un produit scalaire sur R 4 [X].
En est-il de même sur R[X] ?
b) Déterminer une base orthonormée de R 2 [X] pour ce produit scalaire.
c) Déterminer la projection orthogonale de X 4 sur R 2 [X] pour ce produit scalaire, puis la valeur de
inf
(a,b,c)∈R 3||X4 − aX 2 − bX − c||, où ||.|| est la norme associée à ϕ.
Exercice 4. a) Montrer que < P, Q >=
∫ 1
−1
(1 − t 2 )P (t)Q(t)dt définit un produit scalaire sur R[X].
b) Déterminer une base orthonormée de R 2 [X] pour ce produit scalaire.
c) Déterminer la projection orthogonale de X 3 sur R 2 [X] pour ce produit scalaire, puis la valeur de
inf
(a,b,c)∈R 3||X3 − aX 2 − bX − c||, où ||.|| est la norme associée à ϕ.
Exercice 5. L’espace R 3 est muni du produit scalaire usuel. Soit F le plan d’équation x + y + z = 0.
Déterminer, de plusieurs façons différentes, la matrice A de la projection orthogonale p sur F dans la
base canonique.
Exercice 6. Soit E un espace euclidien de dimension n, B une base orthonormée de E.
On considère u un vecteur unitaire de E et on note U la matrice colonne des coordonnées de u dans
la base B.
Montrer que U. t U est la matrice de la projection orthogonale de D = Vect(u) dans la base B.
Exercice 7. Soit (E, < ., . >) un espace euclidien.
a) Montrer que l’application φ qui à a ∈ E associe φ(a) : E → R est un isomorphisme
x ↦→ < a, x >
de E dans L(E, R).
b) En déduire (Théorème de Riesz) que pour toute forme linéaire f sur E, il existe un unique vecteur
a ∈ E tel que f : x ↦→< a, x >.
c) Pour E = R 3 et pour f = det(u, v, .) (où u et v sont des vecteurs fixés), quel est ce vecteur a ?
1

Exercice 8. Soit E un espace euclidien.
a) Soit p un projecteur de E. Montrer :
p projecteur orthogonal ⇐⇒ ∀ x ∈ E,
||p(x)|| ≤ ||x||.
b) Soit s une symétrie de E. Montrer :
s est une symétrie orthogonale ⇐⇒ s est un automorphisme orthogonal
Exercice 9. Dans un plan euclidien orienté, soit r une rotation de E et s une réflexion de E.
Caractériser s ◦ r ◦ s et r ◦ s ◦ r.
Exercice 10. Caractériser dans chaque cas l’endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base
canonique de R 3 est :
⎛
⎞ ⎛
a) 1 −2 6 −3
⎜
⎟
⎝ 6 3 2 ⎠ b) 1 −2 − √ 6 √ ⎞ ⎛
⎞
⎜ √
6
⎝ 6 1 3
7
4
−3 2 6
− √ ⎟
⎠ c) 1 −2 −2 −1
⎜
⎟
⎝ 2 −1 −2⎠
3
6 3 1
−1 2 −2
Exercice 11. R 3 est muni du produit scalaire usuel. Déterminer les matrices dans la base canonique
des endomorphismes suivants :
a) Demi-tour d’axe Vect(u) avec u = (1, 2, 2).
b) Réflexion par rapport au plan d’équation ax + by + cz = 0 (oùa 2 + b 2 + c 2 = 1).
c) Rotation d’axe dirigé et orienté par u = (1, 1, 1) et d’angle π 3 .
2