Feuille 3 : Espaces vectoriels normés - Université de Rennes 1

Université de Rennes 1 2011-2012
Magistère de mathématiques
L3-Topologie
Feuille 3 :
Espaces vectoriels normés
Exercice 1. Démontrer que dans tout espace normé on a si x ≠ 0 et y ≠ 0
x
∥‖x‖ − y
− y‖
‖y‖ ∥ ≤ 2‖x
‖x‖ .
Exercice 2. On considère E = R[X] et A une partie non vide de R.
1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur A pour que ‖P ‖ = sup{|P (x)| | x ∈ A}
soit une norme sur E.
2. La condition précédente étant vérifiée, donner une condition nécessaire et suffisante pour
que φ définie par φ(P ) = P (0) soit continue sur E. Indication : On considèrera des polynômes
de la forme : ( )
X 2 −b 2 n,
b b = 2 supA |a|.
Exercice 3. Sur C[X] on considère la norme définie par ‖P ‖ = sup |a i | si P (X) = ∑ n
i=0 a iX i .
Pour tout x 0 on considère l’application linéaire φ : C[X] → C définie par φ(P ) = P (x 0 ).
Déterminer les x 0 pour lesquels φ est continue et calculer alors sa norme.
Exercice 4. Montrer que l’application
est une norme sur R 2 . Dessiner la sphère unité.
N : R 2 → R, (x, y) → N(x, y) = sup |x + ty|
t∈[0,1]
Exercice 5. Pour quelles valeurs du réel λ définit-on une norme sur R 2 par
Comparer les deux normes N λ et N µ .
N λ (x, y) = √ x 2 + 2λxy + y 2 ?
Exercice 6. Soit A une partie non vide et bornée d’un espace normé E. Montrer que toute
demi-droite d’origine a dans A rencontre la frontière de A. En déduire que A et F r(A) ont le
même diamètre.
Exercice 7. Soit R n [X] ⊂ R[X] le sous-espace vectoriel des polynômes de degré n au plus.
Montrer que
P → sup |P (x)| = ‖P ‖
x∈[0,1]
est une norme ; on note, en particulier, E n ⊂ R n [X] l’ensemble des polynômes normalisés (coefficient
1 pour le monôme maximal) de degré au plus n. Montrer qu’il existe a(n) ∈ R ∗ + tel
que
∀P ∈ E n ‖P ‖ ≥ a(n).
1

Exercice 8. Soit F l’ensemble des fonctions Lipschitzienne de [0, 1] dans R. On définit l’application
|f(y) − f(x)|
f → N(f) = |f(0)| + sup
.
|y − x|
0≤x≤y≤1
Montrer que c’est une norme et comparer avec ‖ · ‖ ∞ .
Exercice 9. Dans l’espace des fonctions continues définies sur [0, 1] à valeurs dans R, muni de
la norme ‖·‖ ∞ , on considère une famille (f 1 , . . . , f p ) ∈ E p et on définit l’application N : R p → R
par
p∑
N(x 1 , . . . , x p ) = ‖ x i f i ‖ L ∞.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que N soit une norme sur R p .
Exercice 10. Soit C l’espace vectoriel des suites convergentes de nombres réels et C 0 le sousespace
des suites convergentes vers 0. On munit C et C 0 de la norme l ∞ .
1. Montrer que C 0 est fermé dans C.
2. On définit une application T de C dans C 0 en associant à la suite (x n ) la suite (y n ) définie
par y 0 = lim x n et y n = x n−1 − lim x n pour n ≥ 1.
n→∞ n→∞
(a) Montrer que T est linéaire continue et calculer ‖T ‖.
(b) Montrer que T est bijective.
i=1
(c) Montrer que pour tout x ∈ C, ‖T (x)‖ ≥ 1 2 ‖x‖.
(d) Conclure que C et C 0 sont isomorphes.
( ) 1 2 3
Exercice 11. On considère l’application linéaire de R 3 dans R 2 de matrice
dans les
4 2 4
bases canoniques. Calculer la norme de cette application dans les cas suivants :
1. R 3 et R 2 sont tous deux munis de la norme l ∞ .
2. R 3 est muni de la norme l 1 et R 2 de la norme l ∞ .
3. R 3 est muni de la norme euclidienne et R 2 de la norme l ∞ .
Exercice 12. Une base de K n étant fixée, R = R ou C, on considère les normes
|X| 1
=
n∑
i=1
|x i | et |X| ∞
= sup |x i | .
i∈{1...n}
Dans M n (K), on leur associe les normes
Vérifiez que pour A = (a ij ) on a
‖A‖ p
=
‖A‖ 1
= sup
j
∑
i
sup |AX| p
p ∈ {1, ∞} .
|X| p =1
|a ij | et ‖A‖ ∞
= sup
i
∑
|a ij | .
En déduire que sup j
∑
i |a ij| et sup i
∑j |a ij| définissent des normes d’algèbre sur M n (K).
Exercice 13. Calculer les normes des formes linéaires suivantes sur C([−1, 1]) muni de la norme
de la convergence uniforme.
2
j

1. ∫ 1
0
f(x) dx
2. ∫ 1
−1
sign(x)f(x) dx
3. ∫ 1
−1
f(x) dx − f(0)
4.
f(a)+f(−a)−2f(0)
a 2
5. ∑ ∞
n=1
(−1) n
n 2 f( 1 n ).
, où a ∈]0, 1] est une constante.
Exercice 14. Montrer que si F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé alors
F est un sous-espace vectoriel de E. Donner un exemple ou F ≠ F . Montrer l’équivalence
( ◦F
≠ ∅)
⇔ (F = E).
Exercice 15. Pour A et B deux parties d’un espace vectoriel normé (E, ‖ ‖), on note A + B =
{x + y, x ∈ A, y ∈ B}.
1. Montrer que si A ou B est ouvert alors A + B est ouvert.
2. Vérifier que si A et B sont convexes, A + B est convexe.
3. Montrer que si A est compact et B est fermé, A + B est fermé.
4. Dans le cas de R 2 considérer l’exemple A = R − × {0} et B = { (x, y), y ≥ 1 x , x > 0} .
5. Montrer que si A et B sont fermés et si de plus la somme S : (x, y) ∈ A × B → S(x, y) =
x + y ∈ E est propre (au sens où S −1 (K) est compact si K est compact) alors A + B est
fermé.
Exercice 16. Théorème de Cayley-Hamilton : On travaille dans M n (C) et pour une
matrice A on note P A (X) son polynôme caractéristique : P A (X) = det (XId − A).
1. Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans M n (C). (Indication,
on travaillera sur la forme trigonalisée.)
2. En déduire que pour toute matrice dans M n (C), on a P A (A) = 0. Que peut-on dire pour
les matrices de M n (R) ?
Exercice 17. Montrer que dans un espace vectoriel normé (E, ‖ ‖ E
), on ne peut avoir deux
applications linéaires continues u et v telles que
(On vérifiera u n ◦ v − v ◦ u n = nu n−1 ).
u ◦ v − v ◦ u = Id.
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