H_TD'_ Réduction des endomorphismes

H) TD : Réduction des endomorphismes.
H1.1) En notant Q le polynôme caractéristique vérifier que Q(M) = 0 et calculer M n pour M = :
⎛
⎜
⎝
3
1
-1
2
0
1
2
1
0
1 2 1
⎞
⎟ ; ⎜ ⎛ 2 1 1
⎠ ⎝ ⎠ ⎟⎞ .
1 1 2
H1.2) Déterminer les éléments propres de : ⎝
⎜ ⎛
0
sin(θ)
sin(2θ)
sin(θ)
0
sin(θ)
sin(2θ)
sin(2θ)
0
⎠ ⎟⎞ .
H1.3) Déterminer les éléments propres de M = (a i,j ) 1 ≤ i ≤ n
1 ≤ j ≤ n
propres, sans passer par le polynôme caractéristique).
telle que : a i,j = (-1) i+j . (Considérer directement les vecteurs
H1.4) Montrer que l'application f définie sur n [X] par f(P) = a(b - X)P' - nP est un endomorphisme et
déterminer ses éléments propres (a et b sont des réels donnés).
H1.5) Donner les matrices T triangulaires telles que : T² = ⎝
⎜ ⎛
1 0
1 1
1 0
0
0
4
⎠ ⎟⎞ . Soit T l'une des solutions ; vérifier que T
est inversible. Si M est une solution quelconque, dans M 3 (), de l'équation M² = ⎜ ⎛ 1 0
⎝ ⎠ ⎟⎞ , et en notant E λ le
1 4
sous-espace propre associé à la valeur propre λ de l'endomorphisme de E = ³ admettant T -1 M pour matrice
dans la base canonique, montrer que E -1 ⊕ E 1 = E (montrer d'abord que Ker(M - T) et Ker(M + T) sont supplémentaires).
En déduire toutes les solutions de l'équation M² = ⎜ ⎛ 1 0 0
1 1 0
⎝ ⎠ ⎟⎞ .
1 0 4
1
0 0
1
0
H2.1) Soit M ∈ M 3 () vérifiant l'équation : M³ - 2M² - M + 2I = 0 ; montrer qu'elle est diagonalisable.
H2.2) Étant donnés une matrice M = (a ij ) ∈ M n () , et un vecteur u : (b 1 , b 2 ,... , b 2n+1 ) de 2n+1 , on définit
l'application φ par : φ(M , u) =
Soit les matrices : M 1 = (1), M 2 = (
2 -1
1 )
⎛
⎜
⎜
⎝
b 1 ... b n b n+1 ⎞
a 11 ... a 1n b n+2 ⎟
... ... ... ...
. On note ∅ une matrice vide et on pose φ(∅ , b
⎟
1 ) = (b 1 ).
a n1 ... a nn b 2n+1 ⎠
3 -2 0
0 , et M 3 = ⎜ ⎛ 2 -1 0
⎝ ⎠ ⎟⎞ ; exprimer chacune d'entre elle comme l'image par
1
φ de la précédente et d'un certain vecteur u n à déterminer (M 2 = φ(M 1 , u 1 ), M 3 = φ(M 2 , u 2 )). Soit P n (λ) le polynôme
caractéristique de M n (n = 1 , 2 , 3) ; montrer que, pour 1 ≤ n ≤ 2 : P n+1(λ) ' = k n .P n (λ) où k n est un réel à
déterminer.
On suppose qu'on connaît la suite de M 1 à M n ; soit un vecteur u n et un réel k n tels que M n+1 = φ(M n , u n ),
avec en outre : P n+1(λ) ' = k n .P n (λ). Montrer que k n = -(n + 1) et Tr(M n+1 ) = n + 1 .
On impose les conditions supplémentaires suivantes, pour u n-1 dans M n : b 1 = n , b 2 = 1 - n (n ≥ 2) , b 3 = 3 - n
(n ≥ 3) , et enfin : P n (λ) = (1 - λ) n ; trouver M 4 et u 3 .
On veut construire une autre suite (M n ), avec cette fois la condition b 1 = 1 , et toujours P n (λ) = (1 - λ) n ; donner
ses deux premiers termes. Donner la forme générale du troisième terme M 3 .
H2.3) Étant données deux matrices carrées réelles A et B d'ordre n , montrer que AB et BA ont les mêmes
valeurs propres. Montrer que si A et B sont diagonalisables avec AB = BA , alors A et B ont une base
0
1

2
commune de vecteurs propres. En déduire que, en notant leur somme M = A + B, avec AB = BA , A et B
diagonalisables, alors M est diagonalisable.
H2.4) Étant donnés quatre réels u 0 , v 0 , p et q de l'intervalle ]0, 1[ , avec u 0 + v 0 = 1 , et la matrice définie par :
M = (
1 - p q
) p 1 - q , on pose : ⎝ ⎛ u n+1
⎠ ⎞ v
= M.
n+1 ⎝ ⎛ u n
⎠ ⎞ v
. Donner deux matrices A et B telles que l'on ait : A + B = I , et :
n
A + (1 - p - q).B = M . Calculer alors A², B², AB et BA . En déduire M n
en fonction de A et B , puis montrer
que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes.