Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques

Lycée Jean Perrin
Classe de TSI 2 Exercices série 13
Espaces euclidiens. Formes quadratiques.
Exercice 1
Quotients de Rayleigh
Soit f ∈ L(E) un endomorphisme symétrique et λ 1 λ 2 · · · λ n ses valeurs propres.
1. Montrer que : ∀⃗x ∈ E, λ 1 ‖⃗x‖ 2 (f(⃗x) | ⃗x) λ n ‖⃗x‖ 2 .
2. Montrer que si un vecteur ⃗x ≠ 0 vérie l'une de ces deux égalités, alors ⃗x est vecteur propre de f.
3. Soit (⃗e 1 , ⃗e 2 , . . . , ⃗e n ) une base orthonormée de E telle que pour tout i, (f(⃗e i ) |⃗e i ) = λ i . Montrer
que pour tout i ∈ [1, n], f(⃗e i ) = λ i ⃗e i .
[sym9bis]
Exercice 2
Dans l'espace euclidien (E, (. | .)), on considère un vecteur v non nul, un scalaire λ et l'endomorphisme :
{ E → E
f :
x ↦→ x + λ(x | v)v
1. Pour x ∈ E, calculer ‖f(x)‖ 2 .
2. Donner une condition nécessaire et susante sur λ et v pour que f soit une transformation
orthogonale.
3. Lorsque f est orthogonale, dire à priori quelles sont les valeurs propres possibles de f, puis dire
si elles sont eectivement valeurs propres en étudiant les espaces propres associés.
4. Lorsque f est orthogonale, donner une interprétation géométrique de f.
[ee331bis]
Exercice 3
Matrices à la fois symétriques et orthogonales
Que peut-on dire d'une matrice carrée réelle à la fois symétrique et orthogonale ? Déterminer la
nature et les éléments⎛
caractéristiques⎞
de l'endomorphisme de l'espace vectoriel euclidien canonique
R 3 de matrice A = 1 −2 6 −3
⎝ 6 3 2 ⎠ dans la base canonique de R 3 .
[sym62bis]
7
−3 2 6
Exercice 4
Dans l'espace vectoriel R 4 muni de son produit scalaire ⎛ canonique, on considère ⎞ l'endomorphisme f
−1 −4 4 −4
dont la matrice dans la base canonique est : A = 1 ⎜ −4 5 2 −2
⎟
7 ⎝ 4 2 5 2 ⎠ .
−4 −2 2 5
1. Expliquer sans calcul pourquoi f est diagonalisable en base orthonormée.
2. Montrer que f est un endomorphisme orthogonal. En déduire les seules valeurs propres possibles
pour f.
3. Sans calculer le polynôme caractéristique de f, déterminer à l'aide de la trace l'ordre de multiplicité
des valeurs propres de f. En déduire le polynôme caractéristique de f.
4. Déterminer l'espace propre E 1 associé à la valeur propre 1. En donner une base, puis lui appliquer
le procédé de Schmidt pour obtenir une base orthonormée de E 1 .
5. Montrer que l'espace propre E −1 associé à la valeur propre −1 satisfait E −1 = (E 1 ) ⊥ . En
utilisant l'équation caractérisant E 1 , en déduire un vecteur générateur de E −1 .
1/2

6. Donner une base orthonormée dans laquelle la matrice de f est diagonale. Donner une interprétation
géométrique de f.
[ee327bis]
Exercice 5
Dans R 3 muni d'une base orthonormée (⃗i,⃗j, ⃗ k), on considère la rotation r d'axe R(⃗i −⃗j + ⃗ k) et telle
que r(⃗i) = ⃗ k Donner la matrice de r dans la base (⃗i,⃗j, ⃗ k), ainsi que l'angle de rotation. [iso6bis]
Exercice 6
Dans R 3 , on considère la rotation r d'axe R(1, 1, 1) et d'angle π . Donner la matrice de r dans la base
6
canonique.
[ee232bis]
Exercice 7
Déterminer a, b, c ∈ R, non nuls, pour que la matrice
⎛
M = − 2 3
⎜
⎝
− 1 a
2 c
c
a
− 1 2
b
a
a
b
c
a
a
c
− 1 2
⎞
⎟
⎠
soit la matrice d'une isométrie. Préciser dans ce cas ses éléments caractéristiques.
[iso41bis]
Exercice 8
Après avoir prouvé qu'il s'agit d'une isométrie, déterminer la nature géométrique de l'application
linéaire f ∈ L(R 3 ) dont la matrice représentative dans la base canonique de R 3 euclidien orienté est :
a) M = 1 9
⎛
⎝ 4 4 7
1 −8 4
−8 1 4
⎞
⎠ b) M =
1
3
⎛
⎝ 1 2 2
2 1 −2
2 −2 1
⎞
⎠ c) M =
1
4
⎛
⎝
−1 3 − √ ⎞
6
3 −1 − √ √ √
6 ⎠
6 6 2
[iso42bis]
Exercice 9
1. Sur E = R 2 ou R 3 muni de sa structure euclidienne usuelle, réduire en base orthonormée les
formes quadratiques suivantes :
(a) Q ( (x, y) ) = x 2 + 10xy + y 2 .
(b) Q ( (x, y) ) = 6x 2 + 4xy + 9y 2 .
(c) Q ( (x, y) ) = 4x 2 + 9y 2 − z 2 + 2 √ 6xy + 10 √ 2xz + 2 √ 3yz.
2. Donner une équation réduite, la nature, et un dessin des coniques représentées par les équations
suivantes :
(a) x 2 + y 2 + 10xy − 22x − 14y + 13 = 0 de centre I(1, 2).
(b) 6x 2 + 9y 2 + 4xy − 8x + 14y − 9 = 0 de centre I(1, −1).
[con1bis]
2/2