Exercices : Séries de Fourier.

Lycée Jean Perrin
Classe de TSI 2 Exercices série 12
Séries de Fourier
Note : On dit que f est développable en série de Fourier si pour tout réel t, S n (f)(t)
Dans ce cas, le développement en série de Fourier de f est :
∀t ∈ R, f(t) = a o (f) +
+∞∑
k=1
[
ak (f) cos(kωt) + b k (f) sin(kωt) ]
−→
n→+∞ f(t).
Exercice 1
Soit f : R ↦→ R de période 2π, impaire, et vériant :
f(t) = π − t
2
sur ]0, π]
1. Justier que f est développable en série de Fourier et former ce développement.
2. En déduire la convergence et la valeur de
3. Calculer
+∞∑
n=1
1
n 2 .
+∞∑
n=1
sin n
n .
[sdf403bis]
Exercice 2
Soit f : R ↦→ R la fonction impaire, 2π-périodique, dénie sur [0, π] par :
f(t) = t(π − t)
1. Montrer que f est de classe C 1 sur R.
2. Former le développement en série de Fourier de f. En déduire
3. Calculer
+∞∑
k=0
1 ∑
+∞
(2k + 1) 6 puis 1
n 6 .
n=0
+∞∑
k=0
(−1) k
(2k + 1) 3 .
[sdf409bis]
Exercice 3
Soit f : R ↦→ R la fonction 2π-périodique, dénie par f(−π) = f(π) = 0 et pour x ∈] − π, π[ :
f(x) = cos x 2 + sin x 2
1. Déterminer la série de Fourier de f. Justier qu'elle converge vers f.
∞∑ 1
2. Calculer
4p 2 − 1 .
p=1
[sdf404bis]
1/2

Exercice 4
Soit f : R ↦→ R la fonction 2π-périodique, dénie sur ] − π, π[ par f(−π) = f(π) = π 2 et pour
x ∈] − π, π[ :
f(x) = x 2 + πx
1. Montrer que f est développable en série de Fourier et déterminer ce développement.
∞∑ (−1) n ∞∑ 1
2. En déduire
n 2 et
n 2 .
3. Calculer
∞∑
n=1
n=1
1
n 4 .
n=1
[sdf405bis]
Exercice 5
Soit f : R ↦→ R la fonction paire, 2π-périodique, dénie sur [0, π] par :
{ 4x
f(x) =
2 − π 2 si x ∈ [0, π/2]
8xπ − 3π 2 − 4x 2 sinon
1. Montrer que f est de classe C 1 sur R et exprimer sa dérivée sur [0, π].
2. Calculer les coecients de Fourier de f.
∞∑ (−1) n
3. En déduire la valeur de
(2n + 1) 3 . n=0
[sdf06bis]
Exercice 6
Soit f ∈ C m,T (R, C). On dénit, pour k ∈ Z, les coecients de Fourier exponentiels de f par :
c k (f) = 1 T
∫ T/2
−T/2
e −ikωt f(t)dt
1. Vérier que c 0 = a 0 , et que pour k 1 :
a k = c k + c −k et ib k = −c k + c −k
2. En déduire c k et c −k en fonction de a k et b k .
3. Montrer que pour tout t ∈ R :
S n (f)(t) =
n∑
k=−n
c k e ikωt
4. Application : On donne la fonction f : R ↦→ R 2π-périodique dénie par :
∀x ∈] − π, π],
f(x) = e x
(a) Calculer les coecients de Fourier exponentiels de f.
(b) En déduire la valeur des sommes
+∞∑
n=0
(−1) n ∑
+∞
n 2 + 1 et 1
n 2 + 1
n=0
[sdf16bis]
2/2