Analyse III SÉRIE 3 Exercice 1 (Ex 7 page 19) Soient les champs F(x ...

Analyse III SÉRIE 3
Exercice 1 (Ex 7 page 19) Soient les champs
(
)
(
−x
F (x, y) =
(x 2 + y 2 ) 2 , −y
y 3
(x 2 + y 2 ) 2 et G(x, y) =
(x 2 + y 2 ) 2 , −xy 2 )
(x 2 + y 2 ) 2
et soit Ω = R 2 \ {(0, 0)} .
Dérivent-ils d’un potentiel sur Ω ?
justifier votre réponse).
(Si oui trouver un potentiel, si non
Exercice 2 (Ex 5 page 18) Soit l’équation différentielle
f 2 (t, u(t)) u ′ (t) + f 1 (t, u(t)) = 0, t ∈ R.
1. Soit F (x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) un champ vectoriel qui dérive d’un potentiel
f sur R 2 . Montrer qu’une solution u = u(t) de l’équation différentielle
est donnée, sous forme implicite, par
f (t, u(t)) = constante, ∀t ∈ R.
2. En déduire une solution de
{
u 2 (t)u ′ (t) + sin t = 0
u (0) = 3.
Exercice 3 (Ex 6 page 18) (Facteur intégrant) Soit l’équation différentielle
f 2 (t, u(t)) u ′ (t) + f 1 (t, u(t)) = 0, t ∈ R.
1. Montrer que s’il existe W : R 2 → R (avec W (x, y) ≠ 0, ∀(x, y) ∈ R 2 ,
W ∈ C 1 (R 2 )) tel que
W (x, y)F (x, y) = (W f 1 , W f 2 )
dérive d’un potentiel Φ sur R 2 alors une solution u = u(t) de l’équation
différentielle est donnée, sous forme implicite, par
2. En déduire une solution de
Φ (t, u(t)) = constante, ∀t ∈ R.
4t sin(tu(t)) + u(t)(t 2 + 1) cos(tu(t)) + u ′ (t) [ (t 2 + 1)t cos (tu(t)) ] = 0.
(Suggestion: choisir W (x, y) = 1 + x 2 ).
1

Exercice 4: (i) Montrer qu’un ensemble convexe est connexe par arcs.
(ii) Montrer qu’un intervalle est connexe.
(iii) Discuter la connexité de
Ω = {(x, y) ∈ R 2 : y 2 ≤ x 2 , x ≠ 0}
Ω = {(x, y) ∈ R 2 : y 2 − x 2 = 1}.
2